Равноволновое приближение на отрезке идеальной амплитудно-частотной характеристики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 2======================================

УДК 621.372.54

Е. Н. Червинский

ЗАО "СИМЕТА" (Санкт-Петербург)

|Равноволновое приближение на отрезке идеальной амплитудно-частотной характеристики

Представлена методика синтеза амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) фильтров нижних частот (ФНЧ) произвольного порядка, равномерно приближающих идеальную частотную характеристику. Исходная частотная зависимость образована перемножением аппроксимации прямоугольной функции и режекторной функции. Методом интегрального квадратичного аппроксимирования синтезирована А ЧХ с приближенно равномерным отклонением всех ее лепестков от единицы при фиксированной полосе пропускания фильтра. Дальнейшее выравнивание лепестков выполнено методом последовательных приближений с использованием критерия равномерного приближения на отрезке идеальной частотной характеристики. В качестве примеров синтезированы А ЧХ с различной неравномерностью для ФНЧ шестого, седьмого и восьмого порядков. Проведено сравнение равноволновых на отрезке АЧХ с характеристиками фильтров Чебышева.

Амплитудно-частотная характеристика равномерного приближения, крутизна амплитудно-частотной характеристики, неравномерность частотной характеристики, режекторная функция, аппроксимируемая функция, интегральное квадратичное приближение функции, интервал аппроксимации, метод последовательных приближений

В работе [1] представлена методика синтеза амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) реализуемых фильтров нижних частот (ФНЧ) на основе критерия равномерного приближения идеальной АЧХ в полосе пропускания. Строгое решение задачи выравнивания всех лепестков АЧХ существует только для фильтров не выше пятого порядка. Для фильтров более высокого порядка в [1] предложена функция, аппроксимируя которую полиномом степени 2п, наименее отклоняющимся в среднеквадратическом смысле от аппроксимируемой функции, можно синтезировать АЧХ с приближенно равномерным отклонением всех ее лепестков от единицы в полосе пропускания. Дальнейшее выравнивание лепестков может быть выполнено методом последовательных приближений.

Цель настоящей статьи - разработка методики синтеза равноволновой на отрезке АЧХ с требуемой неравномерностью в полосе пропускания фильтра порядка п .

АЧХ равномерного приближения. Пусть Йп (шн) = 1Д/^2П(®н) - модуль передаточной функции, или АЧХ синтезируемого фильтра (шн =ш/шс - безразмерная нормированная частота; ш - текущая частота; шс - частота среза). Образующий полином

п 2'

^2п (шн ) = X УИ®н' степени 2п имеет действительные коэффициенты У2;-.

'=0

В качестве критерия аппроксимации функцией Нп (шн ) идеальной АЧХ

,, Л /1. 0<шн < 1,

1 (шн ) = {о. шн >1 (1)

© Червинский Е. Н., 2010

9

примем равенство абсолютных отклонений Йп («н ) от единицы на отрезке [0, й], й < 1.

Под абсолютными отклонениями понимаются числа А .■ =

1 -1,

'^2п («н/ )

Ю<Юн1 < й Ч/

(] = 1, ..., п), где «н/ - положительные корни полинома У2п («н) = «н X 2/^

У21 «н

2(/ -1)

I =1

полученного дифференцированием полинома ^2п (шн ).

Примем условие ЙП (1) = 0.5 независимо от степени полинома 2п, тогда Р2п (1) = 2. Кроме того, зададим численное значение первой производной полинома Р2п (шн) в точке шн = 1, характеризующее крутизну частотной характеристики в переходной области: У2п (1) = g. Если при условиях, наложенных на коэффициенты полинома Р2п (шн), функция Йп (шн) существует, то она равномерно приближает идеальную АЧХ в полосе пропускания с точностью до А/. Из уравнения («н ) = 0 следует первый корень полинома шн1 = 0, таким образом, всего на отрезке [ 0, й ] существует п +1 точек, включая границы отрезка 0 и й, таких, что разность А/ = 1 - ]Д/^2п (0) . Система п + 2 уравнений для определения п +1 коэффициентов полинома У2/ (i = 0, . ••, п) и границы отрезка равномерного приближения й имеют вид:

I ^2/ = 2;

I=0 п

I2^2/ = g;

/=1

(2)

1 -= 1 - 1ЦУщ («И/ )|, ■ = 2, ..., п;

1 -У2п (0) = 1 -14у2п (й)|, й « 1. Крутизна АЧХ равномерного приближения на границе полосы пропускания

Й'п («н)« =1 К2п К) ] = =- ^2п (0/2<Япй) =- g|

н «н —1

Неравномерность АЧХ (в децибелах) 5 = 20^ (Йп ^^ Йп т|п ), где Йп тах и Йп т|п -

максимальное и минимальное значения АЧХ на отрезке й соответственно. С учетом того,

что первый экстремум функции Йп достигается при = 0, при выровненных абсолютных

отклонениях А/ неравномерность АЧХ вычисляется по формуле 5 = (-1)п 20 ^ (2^0 -1). Интегральное квадратичное приближение АЧХ. Рассмотрим функцию

К (« ) = Уп (« ) гп (« ), (3)

где

1, К! < nib;

Уп (®н) =

Ъ/Шп, шн >

(4)

rn (®н ) =

1, Ip-fflJ > Vnia;

П (5)

а|Р-шн|п, |Р-юн| < 1 tfa

(0 < Ь < 1; 0 < а < 1 - параметры; Р - произвольное число).

Функция (4) порядка п. аппроксимирующая идеальную прямоугольную функцию (1)

с различной степенью приближения. тождественно равна единице на отрезке [-^Ь. п~Ь ] и принимает значение 0 < Ь < 1 при |шн| = 1. Выражение (5) определяет режекторную функцию п-го порядка. монотонно возрастающую от нуля до единицы в заданном интервале и равную единице вне этого интервала. Обозначим через с границу отрезка [0. с]. на котором гп (шн ) = 1. Из (5) следует. что гп (Р± 1) = а и Р = с +1/па. Таким образом. все функции гп (шн) проходят через точку а при шн =(Р± 1).

Графики функции (3) при Ь = 1Д/2. а = 1 для с = 0.9 и с = 1.1 представлены на рис. 1. а и б соответственно для трех значений п. На рис. 1. а с < пЬ. на рис. 1. б с > пЬ. Функция ^ (шн) имеет на интервале [0. Р) два излома (отмечены маркерами): в первом

случае при шн = с и при шн = п~Ь. во втором - при шн = ^Ь и при шн = с .

Аппроксимируем функцию ^ (шн) = (шн) полиномом Q2n (шн ) = qo + q2ш2 +

Л-----Л q2iшH Л-----Л q2nш^ степени 2п. наименее отклоняющимся в среднеквадратическом

смысле от ^ (шн) на интервале аппроксимации [-/. /]. |/| <р. Функция И^ (шн) = = VQ2n (шн) трактуется как квадрат модуля передаточной функции синтезируемого фильтра. При выбранных значениях а. Ь. с и / коэффициенты q2i (' = 0. 1. .... п) полинома Q2n (шн) определяются из системы п +1 уравнений [2]:

а б

Рис. 1

1г2(k+/ )Ч2/ = !«н^п («н) й«и, k = 0, 1, ., п ,

(6)

I =0

где у 2( k+/) = 12( k+1 )+7 [ 2 (k +1) +1]. В зависимости от соотношения параметров Ь, с и I изменяется вид аппроксимируемой функции:

при с < I < ^Ь : («н ) = ■

1, «н < с; а-2 (Р-«н ) 2п :

с < «н < I;

при с < Щъ < I: («н) = ^

1, «н < с;

-2 ,

а

(Р-«н)-2п, с <«н < Щъ;

«

2пЬ~2а"2 (р-«н)-2п , п[Ь <«н < I;

-2п

при ^Ь < с < I: sn¡ («н) =

1, «н < УЬ;

«2пЬ"2, пЬ <«н < с;

«2пЬ"2а"2 (р-«н) 2п , с <«н < I.

\-2п

Подставив в правые части системы (6) функцию («н) и выполнив интегрирова-

ние, найдем:

при с < I < ^Ь, k = 0, 1, ..., п-1

КЧ («н) й«н =

(2k )!(-рУ

= с^+2.11 _ 2k +1 + а2 {р^(2k-р)!р!(2k-2п-р +1)

при с < I < ^Ь, k = п :

(Р- с )

\21-2п-р+1

-(Р-1)

2k-2п - р+1

í«Иks2 («н) й«н =

0

с2п+1 1 |7 0 т Р-с 2п (2п)!(-р)р

-+ —- с - 2пр 1п--+ I ----

2п +1 а2 I Р-1 2(2п-р)!р!(1 -р)

(Р- с)1-р -(Р-1)1-р

при с < пЬ <I, k = 0, 1, ..., п-1:

(«н )й«н =

(2k )!(-РУ

с21"+1 + ^ X _

2k +1 + а2 1 (21 - р)! р!(21 - 2п - р +1)

(Р-с )

21 -2п - р +1

(р- шь )

21 -2п - р+1

+

+

21 I

( 2п + 21 )!(-рУ

Ь2а2 I р=0(2п-21 -р +1)!р!(21 -р +1)

(р- )21 - р+1 -(Р-1)

\21 - р+1

+

1

(2п + 2k)!(-p)2k+1, Р- Пь

+—-ч/ ч 1о--+

(2п -1)!( 2k +1)! р-/

( 2п + 2k )!(-рУ

2п+2k

+р=Г+2 (2п + 2k - р )! р!( 2k - р +1)

(р- Шъ)

2k - р +1

-(Р-/ )

2k - р+1

при с < пЬ < /. k = п :

КЧ (шн)dшн

с2п +1

-+ ,

2п +1 а2

Л \пГь - с - 2пР 10 + X (2 (2">'(-р()1" ) [(Р-с )1-р-(р-Пь )1-р

Р-пЬ р=2 (2п-р)!р!(1 -р)

+

Г (4п)!(-Р)р

Ь2а2 \р=0(4п-р)!р!(2п-р +1) ( 4п )!(-Р)2п+1

(Р- пЬ)

2п - р +1

-(Р-/ )

2п - р+1

+

+

10 ^ +

(2п - 1)!(2п +1)! Р-/

( 4п )!(-РУ

4п

V 1

+р=2п+2 С4« - р )! р!( 2п - р +1)

(Р- п!ъ)

2п - р+1

-(Р-/ )

2п - р+1

■ +

1

при

п[ъ < с < /. k = 0. 1. .... п:

КЧ (шн) dшн =

2п

( 2п + 2k +1)( 2k +1)

2k+1

1 +

2k +1 с

2n+2k+1 Л

2п

п[ъ

2п+2k +1

+

2k I

( 2п + 2k )!(-Р);

Ь2а2 \р=0(2п + 2k-р)!р!(2k-р +1)

(Р-с - р+1 -(Р-/ )

2k - р +1"

+

+

(2п + 2k)!(-р)2k+1, Р-с

+---1о---+

(2п - l)!(2k +1)! Р-/

( 2п + 2k )!(-РУ

2п+2k

+р=ГГ+2 (2п + 2k - р )! р!( 2k - р +1)

(Р- с - р+1 -(Р- / )

2k - р+1'

Наложим дополнительные условия на коэффициенты полинома Q2n (шн) : X q2i = 2.

'=0

п п _ п

Г 2i'q2i = g. Тогда qo = 2 - Г q2i. q2 =--X iq2i. Решив систему уравнений (6). опреде-

'=1 '=1 2 '=2

лим с учетом дополнительных условий коэффициенты полинома (' = 2. 3. .... п) параметр Ь и интервал /. на котором достигается минимум интеграла 1п =

1

= («н)-Q2n («н)] й«н. Изменяя значение с, являющееся параметром при реше-0

нии системы уравнений (6), можно добиться приближенного выравнивания лепестков

АЧХ Йп («н) = 14Q2n К ) .

Равноволновая АЧХ. Примем в качестве начальных условий при решении системы уравнений (2) относительно коэффициентов У2/ полинома Р2п («н) коэффициенты ^

полинома наилучшей квадратичной аппроксимации Q2n («н), а в качестве исходной совокупности точек, в которых искомая функция Йп («н) равномерно отклоняется от единицы (точки равномерного приближения), - координаты экстремумов функции Йп («н),

п !(■-1)

или положительные корни «нр (р = 1, 2, ..., п) полинома Q2n («н) = «н 12iq2i«И^l .

I=1

Образуем полином ©2п («н)= I ^'«н , коэффициенты которого ^ (I = 0, 1, .••, п) есть

I=0

решение системы уравнений

I 9ц = 2;

I =0

I 21-921 = ^

/ =1

(7)

1 - 14©2п (0) = 1 -1/4©2п («нр)|, р = 2, ..., п;

1 -14&2п (0) = 1 -14&2п (й )|, й«1

при указанных начальных условиях. Из-за различия критериев приближения «нр не

являются абсциссами локальных экстремумов полинома ^2п («н). Считая корни «н. (г = 0, 1, ..., п) полинома ©2п («н) точками равномерного приближения, запишем новую систему уравнений, решением которой являются коэффициенты у>| (I = 0, 1, ..., п) образующего полинома У2п («н) и отрезка равномерного приближения й*. Корни полинома ©2п («н ) также не являются абсциссами экстремумов У^п («н), или корнями поли-

нома У2*п («н), поэтому функция Йп («н ) = 1 («н ) = 1,

I v2l«Иl есть первое рав-

I=0

новолновое приближение АЧХ (первая итерация) на отрезке й . При переходе от функции Йп («н) к Йп («н) уменьшается наибольший по значению локальный максимум и увеличивается минимум. 14

Если точность равномерного приближения идеальной АЧХ функцией ИИ* (шн ) явля-

п ,ч

** тп* I \ V/-»- * 2('—1)

ется неудовлетворительной. то вычисляются корни шн полинома У^п (®н)=®нХ2^2'®н

'=1

и определяется решение V** (' = 0. 1. .... п). d** системы уравнений. аналогичной (7). для положительных значений ш^Т (г = 1. 2. .... п). В качестве второй итерации на отрез-

ке d ** используется АЧХ ИИ П*(®н ) = 1/

п

X V**®!/ и т. д. Независимо от выбора началь-

'=0

ного полинома Q2n (шн) последовательность коэффициентов V*'. V**. ... с определенного

номера итерации. зависящего от точности вычислений. перестает изменяться. С увеличением номера итерации возрастает длина отрезка d.

Пример. В качестве иллюстрации метода последовательных приближений рассмотрим синтез равноволновой на отрезке АЧХ ФНЧ пятого порядка. точное аналитическое выражение которой найдено в работе [1]. Для п = 5. а = 1. с = 0.999052. g = 34 имеем Qlo (шн ) =

= 0.941182 + 3.647749®2 -34.963664®^ +114.488039®^ - 150.381994®н + 68.268688®™.

5 2(■ 1)

Положительные корни полинома Q1o (шн) = шн X 2'^2'®н ' : ®н1 = 0. ®н2 = 0 279973.

'=1

®н3 = 0 538710. шн4 = 0.755771. шн5 = 0.906892; решение системы уравнений (7): 30 = 0.910045. -Э2 = 5.371850. -Э4 =-47.254679. 36 = 144.960745. -Э8 = -181.195076. ^10 = 79.207115. d = 0.9565517. Положительные корни полинома ©^ 0 (шн ) =

= шнГГ2'^2'®2('-1): ®н1 = 0. ®н2 = 0.294295. шн3 = 0.561373. шн4 = 0.774475. шн5 = 0.910236. '=1

В результате решения системы уравнений (7) для совокупности точек ш^ (г = 1. 2. .... 5) найдем первую итерацию АЧХ на отрезке ё* = 0.9568817: И*(шн) = 1^У* (шн) = = (0.907891 + 5.433295®2 -47.471987®^ +145.170048®^-181.196772ш| + 79.157524® ^) 12. Вторая итерация АЧХ на отрезке ё*= 0.9568822: И5*(®н ) = 1 д/Уш* (®н) =

= ( 0.907887 + 5.433195®^ - 47.470991®4 +145.167481®^-181.194204®! + 79.156632® ¡0) 12 совпадает с точным выражением ИИ5 (®н) при выбранной точности вычислений [1]. Графики функций И5 (®н ) = иД/Ою (®н) и ИИ5* (®н ) = 1 ^Уо* (®н ) представлены на рис. 2.

В рассмотренном примере все решения системы уравнений (7) - действительные числа. В общем случае решение системы при ®н = ®нр (р = 1. 2. ...) лежит в области комплексных чисел: Z2С = + у 2^' (С = 0. 1. . ••. п). ё. Примем действительные части Х2С ком-

15

И

И

g = 34 плексных чисел Z2С в качестве коэффициен-

/ V

5 -7Л» тов полинома ©2п (®н )=Х х2С®нС. При

1.0, ^ .V , С=0

0.9

определении корней ®нг полинома ©2п (®н)

точками равномерного приближения решение системы уравнений (2) определяется в рис 2 виде набора комплексных чисел

л2с = ^С+м2С' (; =0. .. п). ё*. отличных от Z2С и ё. Действительные части V*; комплексных чисел являются коэффици-

ентами полинома У*п (®н)= X ^>С®н. а первая итерация искомой АЧХ на отрезке ё* есть

С=0

функция ИИ"* (®н ) = 1/

\

п * 2С

®н

Е*

V2СC

С=0

При неудовлетворительной точности равномерного приближения идеальной АЧХ

функцией ИИ *(®н) вычисляются корни ®н* полинома У>П (®н )=®н X 2Сv2С®I^(С~1) и опреем

деляется решение = V*; + М**;' системы уравнений (7) для положительных значений ®нТ (г = 1. 2. .... п). В качестве второй итерации на отрезке ё** > ё* используется АЧХ

и ГК )=1

п ** 2С к ~

X V2С®н . Как и в случае действительных решений. с определенного но-

С=0

мера итерации. зависящего от точности вычислений. последовательность коэффициентов V*;. V*;. ... перестает изменяться.

Пример. Положим п = 6. g = 32. а = 1. Изменяя число с. определим в результате решения системы уравнений (6) полином Ql2 (®н). параметр Ь и интервал аппроксимации /. на котором приближенно выровнены отклонения функции И6 (®н ) = l/■\|Ql2 (®н) от единицы: Q12 (®н) = 1.016844-1.458312®^ + 20.02925®4 -99.742864®^ + 223.882928®! -- 231.4637680™ + 89.7359220^; Ь = 0.701812; Щ = 0.942693; с = 0.971161; / = 0.971179.

6 2('-1)

Положительные корни полинома Ql2 (®н) = ®н X 2'^2'®н ' ®н1 = 0. ®н2 = 0 237725.

'=1

®н3 = 0.46299. ®н4 = 0.658115. ®н5 = 0.802716. ®н6 = 0.895069. Решение системы уравнений (7) Z2С = Х2; + У2;' (С = 0. 1. .••. 6). ё. при ®н =®нр имеет вид: zo = 1.017899-

-1.648785 -10-24 г; z2 = -1.48017 + 8.854849 -10-24г; Z4 = 20.092605-1.100585 -10-22г; z6 = -99.746505 + 4.961332-10-22г; z8 = 223.820811-1.001108-10-21г; z10 = -231.479068 + + 9.196686-10-22г; z12 = 89.774429-3.118415-10-22г; d = 0.927081.

Образуем полином 12-й степени с действительными коэффициентами: 0^2 (шн ) = = 1.017899-1.48017ш 2 + 20.092605шн -99.746505шн + 223.82081^ -231.479068шн° + + 89.7744290^. Положительные корни ш^- (j = 1, ..., 6) полинома ©12 (шн) : Юн1 = 0, юн2 =

= 0.239942, шн3 = 0.463529, ш^ = 0.655548, ш^ = 0.802887, ш^ = 0.895493, а решение системы (7): л0 = 1.017905-9.577324-10-25г; л2 = -1 480267 + 5.163104-10-24г; | =

-23 * -22 *

= 20.093185-6.421954-10 23г; г|6 = -99.746879 + 2.896855-10 22 г; |8 = 223.818957-5.846883 -10-22 г; |*0 = -231.476107 + 5.371292-10-22 г; |*2 = 89.773207-1.821122-10-22 г; d = 0.927084.

Первая итерация искомой АЧХ на отрезке d = 0.927084: Н6(шн) = 1 У\2 (шн) = = (1.017905-1.480267ш2 + 20.093185ш^ -99.746879шн + 223.818957шн -231.476107шн0 +

+ 89.773207шн ) . Графики АЧХ Н6 (шн) и Н* (шн) в полосе пропускания представлены на рис. 3. Максимальные отклонения функции Н* (шн) от единицы 0.00880 и -0.00883.

Положительные корни ш^Т (г = 1, 2, ..., 6) полинома ^12(шн)=шнX^у^ш^ 1:

С=1

= 0, шн*2 = 0.239947, = 0.463542, = 0.655547, = 0.802878, ш^ = 0.895494.

** ** ** . ^ /г_ч ** ** Л Г\Л ГЛГ\Г\Г

Решение = системы уравнений (7) для шн- : | = 1.017905

-25 ** -24 ** -23

-5.767998-10 25г; |2 = -1.480267 + 3.109436-10 24г; |4 = 20.093 1 85 - 3.867567-10 23г;

** 22 Л6 = -99.746879 +1.744613-10 22 г;

** _99

|8 = 223.818957-3.521264-10 22 г;

** 22 |*0 = -231.476107 + 3.234853-10 22 г;

** 22 Л12 = 89.773207-1.096771-10 22 г;

d ** = 0.927084.

Н 6

0.99

1-

0.5 Рис. 3

ю

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 2

Из сравнения и ^^ видно, что их действительные части не изменились, следовательно, не изменились и уровни лепестков АЧХ при выбранной точности вычислений.

п

В табл. 1 приведены образующие полиномы )= X , п = 6, 7, 8 (вто-

С=о

рые итерации) при различных значениях g . Условия выравнивания абсолютных отклонений функций И** (шн ) = 1 ^Р'нП ((н) от единицы выполняются с точностью до пятого знака после запятой. Для каждого g указаны значения Ь, с и I, при которых определены начальные полиномы (®н), а также неравномерность АЧХ на отрезке d, вычисленная как 5 = (-1)п 20 lg (2^-1). При определении коэффициентов полиномов Q2n (®н) принято а = 1.

Графики И** (шн), п = 6, 7, 8, для выборочных значений g представлены на рис. 4. На рис. 5 приведены зависимости неравномерностей АЧХ 5 в полосе пропускания от g.

Как видно из табл. 1 и рис. 4, 5, с ростом g неравномерность АЧХ 5 и интервал равномерного приближения d возрастают. Для практики наиболее интересен случай малых 5. На рис 6 приведены графики И П*(®н), п = 6, 7, 8, при минимальных для каждого

Таблица 1

п = 6

Я ь/6Ь с/1 б/ d ** V?

16 0.10049 0.68185 0.68001 0.68260 0.00015 0.66146 1.00002 - 0.00280и>н + 0.074590^ - 0.727514 + 3.20708(1^ -- 6.51613юн0 + 4.96475и12

24 0.67068 0.93559 0.81075 0.81375 0.02383 0.86603 1.00275 -0.26339*02 + 4.097160^4 -23.30816(1^ + 59.93488(4 -- 71.033490^° + 31.57024ю1н2

32 0.70181 0.94269 0.97116 0.97118 0.15347 0.92708 1.01791 - 1.48027юн + 20.09319(1^ -99.74688(4 + 223.81896(4 - - 231.47611он0 + 89.77321он2

40 0.75659 0.95458 0.96789 0.97187 0.42705 0.95422 1.05103-3.89169(4 + 49.8636(4 -233.65296(4 + 494.8869(4 -- 483.11707он0 + 176.86019о н2

48 0.82470 0.96839 0.97005 0.98076 0.82300 0.96898 1.10278-7.35544(02 + 91.39491(4 -415.31487^^ + 853.06074(4 -- 807.59604(0^ + 286.7°791юH2

56 0.88113 0.97913 0.98360 0.98461 1.33658 0.97817 1.17327 -11.6940702 + 142.58825(4 -635.83404(4 + 1281.59505(4 --1190.61026юн0 + 414.78179юн2

64 0.80367 0.96423 0.98476 1.01072 1.92483 0.98449 1.26346-16.802(4 + 202.24956(4 -890.34056(4 +1771.62479(4 --1624.79692юн0 + 558.80167к>н2

72 0.80567 0.96463 0.99857 1.00561 2.57714 0.98918 1.37525 -22.64555(2 + 270.00966(4 -1177.38294^ + 2320.61554(4 -- 2108.14464юн0 + 718.17268юн2

Окончание табл. 1

п = 7

§ ь/7Ь с/1 б/ d ** ^14* (юн )

28 0.66605 0.94360 1.06903 1.09943 0.00794 0.86603 0.99909 + 0.11950®] -2.54922®] + 20.39378®] -77.69053®] + +151.92804юН° -147.32406®]2 + 56.12341соН4

38 0.70415 0.95113 1.00997 1.01851 0.07753 0.92967 0.99113 + 1.01222®] -18.73842®] + 130.08380®] - 430.02549®] + +729.73410®]0 -614.04608®]2 + 202.98874®]4

48 0.70829 0.95192 1.00264 1.09139 0.26006 0.95662 0.97072 + 3.20754®] -56.08065®] + 367.69327®] - 1147.99234®] + +1839.88964®]0 -1462.21231®]2 + 456.52414®]4

58 0.79025 0.96693 0.98272 1.01921 0.56004 0.97074 0.93853 + 6.71753®] -114.059юН4 + 726.22721®] -2201.88154®] + +3427.00266®]0 -2644.84944®] + 801.90405ю]Н4

68 0.78990 0.96687 0.98724 1.00666 0.96049 0.97924 0.89805 + 11.35890®] -189.52972®] + 1185.90433®] -3533.48052®] + +5404.49619®]0 -4098.95933®]2 + 1221.31209ю]]4

78 0.80007 0.96864 0.98113 1.01470 1.44222 0.98490 0.85286+16.96870®] -279.89014®] +1731.24226®]] -5099.27928®] + +7710.08593®]0 -5780.63460®]2 +1702.65427®]4

88 0.78275 0.96561 0.98162 1.01694 1.98938 0.98897 0.80578 + 23.45515®] -383.70299®]] + 2353.87473®]] -6876.25887®] + +10311.46937®]0 - 7667.51747®-]2 + 2239.87430®]4

98 0.74923 0.95959 0.99174 1.01413 2.58797 0.99208 0.75894+30.78240®] -500.42887®] + 3050.79169®]] -8856.49769®] + +13198.03442®]0 -9752.60508®]2 + 2831.16421®]]4

п = 8

§ ь/Ш с/1 5/ d ** ^*6*(®и )

44 0.70004 0.95640 1.01221 1.03607 0.03886 0.93151 1.00449 - 0.66228®]] +16.03596®]] -147.89164®]] + 669.75012®]] --1646.93382®]0 + 2243.37780®]2 -1591.11216®]]4 + 458.43152®]6

56 0.74267 0.96350 0.99402 1.00255 0.15781 0.95835 1.01842-2.53288®]] + 57.92049®]] -504.55042®]] + 2158.29323®] --5013.41600®]0 + 6451.26690®]2 -4322.64680®]4 +1176.64705®]]6

68 0.79901 0.97234 0.98363 1.01202 0.37719 0.97206 1.04488-5.88726®]2 +130.84206®]] -1107.77755®] + 4605.77157®] --10398.63386®]0 +13005.9512®]]2 -8470.39995®]4 + 2241.0889®]6

80 0.81641 0.97496 0.98326 1.00549 0.68974 0.98012 1.08436 -10.60878®]] + 231.91454®]] -1931.35050®]] + 7898.39547®] --17540.44956®]0 + 21579.1589®]2 -13823.69914®]]4 + 3597.55471®]6

92 0.79643 0.97195 0.98874 1.00606 1.08083 0.98535 1.13690-16.51068®]2 + 357.10548®]4 - 2942.38000®] +11905.44584®]] --26158.72811®] + 31840.47387®]2 - 20180.80009®]4 + 5196.25679®]]6

104 0.78801 0.97066 1.00135 1.00301 1.53645 0.98904 1.20286 - 23.44995®]] + 503.42477®]]-4117.16154®]] +16535.06453®] --36061.01449®]0 + 43567.42869®]2 - 27408.28615®]4 + 7004.79129®]6

116 0.75487 0.96546 0.99206 1.01125 2.04491 0.99179 1.28307-31.34997®] + 669.29279®] -5443.34525®]] + 21740.03681®]] --47149.67775®]0 + 56648.59298®] -35440.14515®]4 + 9007.31249®]]6

128 0.79502 0.97173 0.98291 1.01120 2.59630 0.99396 1.37873-40.19103®]] + 854.30895®]] - 6917.85549®]] + 2750886571®] --59401.57313®]] + 71058.35636®]2 -44261.72509®]4 +11200.43498®]]6

И 6 0.80.40 И 7

0.5

1.0

1.5

0.8

0.4

0 И8

0.80.4-

>71

98

78

0.5

1.0

1.5

Я = 56

0.5

1.0

в

Рис. 4

1.5

5, дБ

1.8

0.9-

И 6

0.75 0.5 0.25

0 И 7 0.75 0.5 0.25

0 И8

0.75 0.5 0.25

И 6

\

\ И6Ч

V \

И6Б \

\У \ ч\ \

Оч.

ч

0.5

1.5

0.5

1.5

ю

б

\\\

И8Ч

И

0

8Б

^---

0.5

1.5

в

Рис. 6

п значениях я = 16, 28, 44 соответственно (см. табл. 1), в сравнении с характеристиками Баттерворта НпБ (®н ) = 1/-^

1 + ш2п и

Чебышева

И

пЧ (°н ) = У^1 + 82?п2 (°н )

64 Рис. 5

(0 < в < 1 - коэффициент неравномерности; Тп ((н ) - полином Чебышева п-го порядка). Коэффициент в определяет неравномерность чебышевской характеристики в полосе пропускания: 5 = 201^1 + в2. Коэффициенты неравномерности выбраны из условия равенства неравномерностей синтезированных и че-бышевских АЧХ фильтров одинаковых порядков: при п = 6 в = 0.00584, 5 = 5 = 0.00015; при п = 7 в = 0.04279, 5 = 5 = 0.00794; при п = 8 в = 0.09481, 5 = 5 = 0.03886. При этом крутизна синтезированных АЧХ на границе полосы пропускания значительно превосходит 20

1

ю

ю

а

а

1

ю

б

1

0

ю

ю

Таблица 2

g §/ d ** И7* (*н )

42 0.13589 0.94285 (0.98454 + 1.72487* -31.04523* + 209.53946*4 -673.46863*4 + + 1111.13875*] -909.04427®] + 292.17051с44) ^

50 0.31108 0.96013 (0.96513 + 3.8094*4 - 66.11755*4 + 430.33565*4 -1333.76271*4 + + 2122.01907®] -1674.11718*] + 518.86819*]) 12

66 0.87319 0.97783 (0.90665 + 10.34771* -173.16193* +1086.65139*4 - 3247.18175*4 + + 4981.04295®] -3788.76932*] +1132.16431*]) 12

74 1.24049 0.98287 (0.87134+14.61218* -242.02172* +1503.22291* -4446.01576* + +6750.18842*] -5081.88508*] +1503.02771*]) 12

82 1.65380 0.98667 (0.83414+19.45855*22 -319.81124*4 +1971.09565* -5784.97584* + +8715.53420*] -6511.05754*] +1910.92209*]) 12

90 2.10495 0.98965 (0.79637 + 24.84874* -405.94714* + 2486.94087* -7255.06654* + + 10864.65447*] -8067.80411*] + 2353.57734*4) 12

крутизну сравниваемых характеристик. Максимальное значение g для каждого п в табл. 1 принято равным крутизне квадрата полинома Тп (*н) на границе полосы пропускания:

£тах

_Т2 (1)] . При 8 = 1 Й'п (1) = И'пЧ (0 = -£шах/().

Решение системы уравнений (7) может быть продолжено для промежуточных значений g, при этом исходными точками равномерного приближения и начальными условиями для коэффициентов образующего полинома новой АЧХ будут координаты экстремумов и коэффициенты полинома в последней итерации. Для примера в табл. 2 представлен

ряд АЧХ ФНЧ седьмого порядка И** (шн) . Для расчета использованы образующие полиномы ^4*(юн ) из табл. 1 с ближайшими значениями g.

Таким образом, представленная методика позволяет синтезировать АЧХ фильтра произвольного порядка, равномерно приближающую на отрезке прямоугольную функцию. Определяющим является то обстоятельство, что равноволновое приближение осуществляется на отрезке, меньшем единицы, при любой степени образующего полинома. Это позволяет синтезировать характеристику с оптимальным соотношением неравномерности в полосе пропускания и крутизны при переходе к полосе задерживания без изменения частоты среза и при сохранении порядка фильтра.

Список литературы

1. Червинский Е. Н. Коррекция частотных характеристик при синтезе фильтров нижних частот // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 2. С. 35-51.

2. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.

E. N. Chervinsky

Closed joint-stock company "SIMETA", Saint-Petersburg

Equiwave approximation on the section of ideal amplitude-frequency response

Method of synthesis of the amplitude-frequency characteristics (AFC) of arbitrary order lowpass filters (LPF) with uniformly approximating an ideal frequency characteristic is submitted. Initial frequency dependence is formed by multiplying the approximation of the rectangular function and rejection function. AFC with approximately uniform deflection of all its petals from the unit with a fixed bandwidth filter is synthesized by method of integral quadratic approximation. Further alignment of petals is performed by successive approximation using the criterion of uniform approximation of an ideal frequency response. AFC with various non-uniformity of response to LPF sixth, seventh and eighth orders are synthesized as examples. A comparison same wave on the interval AFC to Chebyshev filters characteristics is satisfied.

Amplitude-frequency response of even approximation, amplitude-frequency response slope, frequency response unevenness, rejection function, approximated function, integrated quadratic approximation of function, approximation interval, the successive approaches method

Статья поступила в редакцию 7 декабря 2009 г.

К сведению читателей.

В статье Е. Н. Червинского "Коррекция частотных характеристик при синтезе фильтров нижних частот", опубликованной в журнале "Известия вузов России. Радиоэлектроника" за 2009 г., вып. 2 следует читать:

• на с. 43 в табл. 3 строка 3 снизу с = 0.962752;

• на с. 45 в табл. 4, строка 2 снизу

юн4,5 =

v8

5v

'10

Y - + -

25v

10

3v6 20vi0

v8

5v

10

Y — + -

3v6

25v

10

20v

10

- Y +

2Yv8 - v4

^50Yv20 + 4v2 - 15v6vi0

2

v

v

2

2