Коррекция частотных характеристик при синтезе фильтров нижних частот Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 2002. 205 с.

4. Конторович М. И. Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях. 2-е изд., доп. М.: Гостехиздат, 1953. 227 с.

5. Бычков Ю. А., Щербаков С. В. Расчет математических моделей динамических систем аналитически-численным методом. СПб.: Технолит, 2008. 299 с.

6. Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы. М.: Изд-во МПИ, 1988. 527 с.

7. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 576 с. Ju. A. Bychkov

Saint-Petersburg state elektrotechnical university "LETI" S. V. Scherbakov, A. A. Shumakov Pskov volny institute

Analysis of dynamics of linear unstable electric circuits with nonuniformly distributed arguments based on integral Laplace transformation and formal power series

The computing analysis algorithm of linear unstable electric circuits with none uniformly distributed arguments is offered. The computing basis of algorithm is made with an analytically-numerical method. The example of the offered algorithm application is applied.

Linear electric circuits, unstable distributed arguments, analytically-numerical method, step of calculation, Taylor's line, Laplace transform

Статья поступила в редакцию 10 апреля 2009 г.

УДК 621.372.54

Е. Н. Червинский

ЗАО "СИМЕТА" (Санкт-Петербург)

Коррекция частотных характеристик при синтезе фильтров нижних частот

Разработана методика синтеза амплитудно-частотных характеристик фильтров нижних частот с заданной неравномерностью при фиксированной полосе пропускания и сохранении порядка фильтра. Введено понятие режекторной функции; определена аппроксимируемая функция. В качестве критериев оптимальности характеристик реализуемых фильтров использованы минимум отклонения функции, обратной квадрату модуля передаточной функции фильтра, от аппроксимируемой функции на интервале аппроксимации и критерий равномерного приближения на отрезке идеальной частотной характеристики. Выполнено сравнение синтезированных амплитудно- и фазочастотных характеристик с характеристиками фильтров Чебышева. Приведены примеры реализации звеньев первого и второго порядков при каскадном построении фильтров.

Интервал аппроксимации, крутизна амплитудно-частотной характеристики, режекторная функция, аппроксимируемая функция, амплитудно-частотная характеристика равномерного приближения

Основные требования, предъявляемые к амплитудно-частотным характеристикам

(АЧХ) фильтров нижних частот (ФНЧ), - равномерность в полосе пропускания и большая

крутизна при переходе к полосе задерживания. Наиболее равномерными (максимально

плоскими) на начальном участке являются АЧХ фильтров Баттерворта, однако они имеют

небольшую крутизну АЧХ в переходной области, которая возрастает только с увеличением

порядка фильтра п. Более быстрый переход от полосы пропускания к полосе задерживания © Червинский Е. Н., 2009 35

обеспечивают фильтры Чебышева, что является следствием равноволнового колебательного характера АЧХ в полосе пропускания. Неравномерность характеристики фильтра Чебышева может быть уменьшена при сохранении порядка фильтра при одновременном расширении полосы пропускания и уменьшении крутизны АЧХ в полосе задерживания.

Цель настоящей статьи - разработка методики коррекции АЧХ в соответствии с требованиями к ФНЧ без изменения порядка и полосы пропускания фильтра.

Интервал аппроксимации. Рассмотрим функцию [1]:

Уп (®н ) =

1 + ш2

— + 2

Sin

шх

1

- arcsin 3

(9nb2-®Н )®н

(зпЬ2+ш2 )3

п

(1)

где шн = ш/шс - безразмерная нормированная частота (ш - текущая частота; шс - частота

среза фильтра); Ь - параметр. Функция (1) тождественно равна 1 на отрезке[-\/Ь, ^Ь ] и принимает значение 0 < Ь < 1 при |шн| = 1:

1, К! < ПЦ;

Уп (®н ) =

Ъ/шп, |шн

> пъ.

(2)

Представим (2) в виде уп (шн) = lj[1/yn (шн)] . Функция f2 (юн) = l/уП (®н) аппро

ксимируется полиномом Q2n (шн) = qo + q2шHн +-----+42^ 2 +-----+42пш^п степени 2п , наименее отклоняющимся в среднеквадратическом смысле от /П (шн) на интервале аппроксимации [-/, /]. Функция нП (шн) = УQ2n (шн) трактуется как квадрат модуля передаточной

2п

функции синтезируемого фильтра порядка п. Коэффициенты до, 42, •••, , нома определяются из системы п +1 уравнений [2]:

п

q2n поли-

l

Z s2(k +i)q2i =№ti (®н)d®н,k = 0 1 n , (3)

i =0 0

где s2k = l2k+1/(2k +1), k = 0, 1, •.., n .

При выборе интервала аппроксимации необходимо обеспечить выполнение неравенства

l > ПЪ. (4)

Подставив в правые части системы (3) функцию f2 (шн) и выполнив интегрирова-

ние, найдем: l

(®И) d®н

0

2п

4Ъ

2k +1

1 +

2k +1 l

2п+2k+1 ^

2п п и2п+2k+1

(5)

( 2п + 2k +1)( 2k +1)

Решение системы уравнений (3) при ь = 1Д/2, / = 1, позволяет синтезировать передаточную функцию фильтра, квадрат модуля которой на границе полосы пропускания

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 2

юн = 1 приближается к требуемому значению 0.5 только с увеличением степени полинома

2п . Для выполнения равенства Q2n (1) = 2 при любых п наложим на коэффициенты поп

линома Q2n (юн) условие ^ q2i = 2, тогда коэффициент до в уравнениях (3) может быть

I =0

заменен разностью

п

д0 = 2 q2i. (6)

i=1

Кроме того, зададим численное значение первой производной полинома Q2n (юн) в

п

точке шн = 1: Q2п (1) = ^ 2iq2i = g , характеризующее крутизну частотной характеристики

i=1

в переходной области, откуда второй коэффициент

п

д2 = g|2 ^. (7)

i=2

Решив систему уравнений (3) относительно переменных д2/', / = 2, 3, ..., п, Ь и I,

можно определить все коэффициенты полинома, а также значение параметра Ь и интервал

I 2

I, на котором достигается минимум интеграла 1п = [{[1/уП (®н )] - Q2n (юн)} ^шн , с уче-

0

том условий (6) и (7). Дополнительным условием, которому должно удовлетворять решение системы, является выполнение неравенства (4).

Очевидно, что при п = 1 уравнения (6) и (7) однозначно определяют коэффициенты д0 и д2 , поэтому неизвестными в системе двух уравнений (3) являются Ь и I.

В табл. 1 приведены выражения Н2 (шн),п = 1, ..., 5, при различных значениях первой производной g. Условие (6) выполняется с точностью до четвертого знака после запятой. В последних строках таблицы для каждого п значения g выбраны близкими к предельным, при которых система имеет решение. Дальнейшее увеличение крутизны АЧХ возможно при переходе к другой аппроксимируемой функции.

Таблица 1

п = 1

g Ь 1 Н2 К)

2.20 0.555736 0.762013 (0.900 + 1.100юн ) 1

2.25 0.598609 0.860747 (0.875 +1.125(4 ) 1

2.30 0.633068 0.952770 (0.850 +1.150(4) 1

2.35 0.661198 1.040298 (0.825 +1.175(4 ) 1

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 2======================================

Окончание табл. 1

П = 2

g ьД/ь / Н22 (шн )

5.0 0.479043 0.692130 0.755283 (1.0207-0.5414ш^ + 1.5207ш^ ) 1

5.5 0.593689 0.770512 0.882731 (1.0417-0.8335шн2 + 1.7917ш^) 1

6.0 0.663911 0.814807 0.988031 (1.0674-1.1347ш^ + 2.0674ш^) 1

6.5 0.703126 0.838526 1.097884 (1.0969-1.4438шн2 + 2.34690^ ) 1

П = 3

g ь/3Ь / Hз2 (шн )

8.5 0.470576 0.777816 0.809335 (0.9923 + 0.3260ш2 -1.8790<4 + 2.5606ш^) 1

9.5 0.586660 0.837135 0.893305 (0.9831 + 0.5994шн2 -2.8983ш^ + 3.31570^) 1

10.5 0.660302 0.870792 0.960541 (0.9707 + 0.9301шнн -4.0225ш^ + 4.12160^) 1

11.5 0.700191 0.887985 1.092139 (0.9551 +1.31330^-5.24180^ + 4.97340^ ) 1

П = 4

g ь/4ь / H42 К )

11.0 0.304978 0.743134 0.750740 (1.0009-0.070702 + 0.82070^-2.93310^ + 3.18210® ) 1

13.0 0.501862 0.841678 0.862708 (1.0044-0.263602 + 2.34410^1-6.41500^ + 5.33010® ) 1

15.0 0.627824 0.890142 0.931400 (1.0112-0.5865<в2 + 4.55650^4-10.89820^ + 7.91700^) 1

17.0 0.698724 0.914274 1.040471 (1.0210-1.02000^2 + 7.31640^4 -16.15680^ +10.83940^) 1

п = 5

g ь/5ь / ^ (0н )

15.0 0.312202 0.792296 0.797071 1 (0.9996 + 0.04480^-0.70830^ + 3.80650^^-8.16500^^ + 6.0225(4-°)

18.0 0.511398 0.874484 0.888101 1 (0.9976 + 0.19990^-2.56330^4 +11.17520^^ -19.44810^4 +11.63870™)

21.0 0.639479 0.914461 0.942152 1 (0.9934 + 0.49790^2 -5.74340^ + 22.53240^ -35.29280! + 19.01260™)

24.0 0.707764 0.933206 0.999053 1 (0.9865 + 0.94830н2 -10.24010^4 + 37.64070^ - 55.286401 + 27.9511сон0 )

Режекторная функция. Выполним в (1) замену переменной на обратную величину по следующему правилу: шн ^ 1/(р-шн) (Р - произвольное число). Тогда функция

Уп (шн ) преобразуется к виду

rn (Шн ) =

Í

1+V

2

э^а2+i (р-©н)

1/(Р"®н )

Sin

- arcsin

э

9^7 - V (р-шн )2 ]/(р-Шн)

Э^а2 +1/ (р-шн )

(8)

где 0 < а < 1 - параметр. Графики rn (шн) , n = 1, ..., 5, при Р = 0.5 для а = и а = 1

приведены на рис. 1, а и б соответственно.

Выражение (8) определяет режекторную функцию n-го порядка, монотонно возрастающую от нуля до единицы в заданном интервале и равную единице вне этого интервала. В результате преобразования частоты в выражении (2) режекторная функция может быть представлена в форме

Í1, |Р-Шн| > 1 nía;

Гп (Шн) Mq \n |Q 1/1 ЫГ \а p-raJ , Р-®н < 1/va,

(9)

откуда следует, что гп (Р ± 1) = а. Таким образом, все функции гп (шн) проходят через точку а при шн =Р± 1. С ростом п функция гп (шн) в интервале |Р-шн| < 1 неограниченно приближается к нулю.

Аппроксимируемая функция. Рассмотрим на полуинтервале 0 < шн < Р функцию вида

\ шн < ^Ъ;

ъ/шП, пЪ <шн < с; (10)

(Ъ/ шп ) а (р-шн )п , с <шн <Р,

где с - граничное значение отрезка [0, с], на котором функция гп (шн) = 1. Из выражения

(9) следует, что параметры Р, с и а связаны соотношением Р = с +1/Щ~а . Графики функции (10) при Ъ = 1/>/2 , с = 1 для а = 0.1 и а = 1 представлены на рис. 2, а и б соответственно. Функция ^ (шн ) имеет на [0, Р) два излома: при шн =пъ и

hn (Шн ) = Уп (Шн )rn (Шн ) =

Шн = c .

Аппроксимируем полиномом Q2n (шн) функцию ^ (шн) = 1/^ (шн) . При выбранных значениях параметров а и с коэффициенты полинома #2/, * = 2, 3, ..., п, параметр

гн V»

0.75 —

0.5 _

0.25 - Г А \

0 , ч

1 - 0.5 0

0.75 0.5

0.25

0

0.5

1.5

- 1 - 0.5

0.5 б

1 1.5

n

2

1

3

2

r

н

1

0

со

н

к

0.75 0.5 0.25

К

0.75 0.5 0.25

0

0.5

1

а

1.5

0н

0

4

Л5

п = 1

0.5

1

б

1.5

Рис. 2

Ь и интервал аппроксимации / определяются из системы п +1 уравнений (3) после подстановки в правую часть системы вместо /П (0н ) функции

¿П (0н) =

1, 0н < ПЬ;

2п / 7.2

Пь <0н < с;

(11)

2п

0н

Ь2а2 (Р - 0н )2п , с <0н <Р.

2п

При интегрировании выполняется условие Пъ < с < /. Полученные интегралы табличные [3].

Подставив пределы интегрирования пъ, с и /, после приведения подобных членов найдем:

(°н)d0н =

2п

( 2п + 2k +1)( 2k +1)

Пц

2k +1

1 +

2k +1 с

2n+2k+1 Л

2п

пЬ

2п+2k +1

+

+

22 Ь а

( 2П + 2k )!(-рУ

2п+2k

V -

Р=0 (2П + 2k-p)!р!(2k-р +1)

(р-с )^-р+1 -(р-/)

2k-p+1'

(12)

за исключением 2k- р +1 = 0. В последнем случае соответствующий член суммы должен

(2П + 2k)!(-р)^+11п р-с (2п-1)!(2k +1)! П р-/

быть заменен на

В частном случае при с = / значения интегралов (5) и (12) совпадают. Положим с = /^, где /^ - интервал аппроксимации, соответствующий первой производной g при

решении исходной системы уравнений. Тогда решения систем уравнений (3) при использовании в качестве аппроксимирующих функций /п (0н) и (0н ) совпадают независимо от значения параметра а. Примем а = 1, поскольку из графиков на рис. 2 видно, что при этом значении функция Ип (0н) имеет после точки 0н = с наибольшую крутизну. В

табл. 2 приведены выражения нп (0н), п = 1, •.., 5, для значений g, превышающих (за исключением первых строк для каждого п ) значения производных из табл. 1.

0

н

1

Таблица 2

п = 1, а = 1, с = 1.040298

g Ъ 1 Н2 (шн)

2.35 0.661198 1.040298 (0.825 +1.175(4 )

2.40 0.685265 1.101986 (0.800 +1.200(4 )

2.45 0.708200 1.145436 (0.775 +1.225(4 )

2.50 0.730884 1.182224 (0.750 +1.250(4 )

2.55 0.753628 1.215333 (0.725 +1.275(4 )

п = 2, а = 1, с = 1.097884

g ьЦь 1 Н2 К )

6.5 0.703126 0.838526 1.097884 (1.0969-1.4438(22 + 2.34690^) 1

7.0 0.724652 0.851265 1.149059 (1.1297-1.7594(4 + 2.6297а>н) 1

7.5 0.741604 0.861165 1.177602 (1.1639 - 2.0779а>н + 2.9139(^) 1

8.0 0.755464 0.869175 1.200575 (1.1993 - 2.3986(^2 + 3.1993(4) 1

п = 3, а = 1, с = 1.092139

g ь/3Ъ 1 Н32 К)

11.5 0.700191 0.887985 1.092139 (0.9551 +1.3133(4 - 5.2418(4 + 4.9734(^6) 1

12.0 0.705203 0890099 1.093690 (0.9445 +1.5459(4 - 5.9253(4 + 5.4349(^1) 1

14.0 0.724726 0.898238 1.100940 (0.9014 + 2.4881(4 - 8.6805(4 + 7.2910(4) 1

16.0 0.742175 0.905389 1.110281 (0.8568 + 3.4527а>н -11.4758(4 + 9.1663(4) 1

18.0 0.755516 0.910782 1.122407 (0.8102 + 4.4455(4 -14.3216(44 +11.0659*4) 1

п = 4, а = 1, с = 1.040471

g ь/ 1 Н4 К)

17 0.698724 0.914274 1.040471 (1.0210-1.0200(4 + 7.3164(4^ -16.1568(| +10.8394(1) 1

20 0.724116 0.922470 1.044426 (1.0449-1.9704(12 +12.8512(^4-25.9709(н +16.0452(|) 1

24 0.758485 0.933226 1.052281 (1.0786-3.2949(4 + 20.4924(4 -39.4146(н + 23.1385(4) 1

28 0.786371 0.941688 1.065975 (1.1157 - 4.7237(4 + 28.5997(44 - 53.4911(| + 30.4994(1) 1

32 0.791615 0.943254 1.136643 (1.1595-6.3606(4 + 37.6368(^4 - 68.8298(4 + 38.3941(4) 1

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 2======================================

Окончание табл. 2

п = 5, а = 1, с = 0.999052

g ь/5Ъ / Н52 К)

24 0.707765 0.933207 0.999052 1 (0.9865 + 0.94830^ -10.240304 + 37.64070^ -55.28620^ + 27.95100™)

26 0.725079 0.937728 1.018634 1 (0.9799 +1.359202 -14.15710^4 + 50.25340^ -71.37180® + 34.93640н0)

34 0.748185 0.943630 1.070933 1 (0.9412 + 3.64770^ -34.96370^ +114.48800^ - 150.38200нн + 68.26870™)

42 0.696954 0.930338 1.124774 1 (0.8421 + 8.97860^2 -79.27150^4 + 240.309304 - 293.92920^ +125.07070™ )

50 0.584262 0.898093 1.166030 1 (0.4486 + 28.75590^ -232.81650^4 + 648.020504 -729.85850^ + 287.44990™)

Коэффициенты полиномов определены в результате решения системы уравнений (3), где в качестве аппроксимируемой использовалась функция (0н ) . В первых строках табл. 2 для каждого п = 1, •.., 5 значения g выбраны равными предельным значениям производных для фильтров тех же порядков, приведенных в табл. 1. Из сравнения таблиц

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 2

видно, что при равных g коэффициенты #2/ при членах полиномов, имеющих одинаковую степень, параметры Ь и соответствующие им интервалы аппроксимации I совпадают.

Графики Нп (шн ) для выборочных значений g из табл. 1 и 2 представлены на рис. 3. Из графиков видно, что при любом п с ростом крутизны АЧХ в переходной области, определяющей затухание фильтра в полосе задерживания, колебания Нп (юн ) относительно

единичного значения в полосе пропускания нарастают. Изменяя число с, которое при решении системы уравнений (3) играет роль параметра, можно добиться уменьшения максимального отклонения Нп (юн) от единицы и выравнивания его с одним из лепестков

АЧХ. В качестве примера в табл. 3 представлены значения а и с для максимальных величин g, приведенных в табл. 2, а также расчетные значения Ь, I и коэффициентов полинома

Q2n (юн ), п = 2, ..., 5, при которых два лепестка АЧХ Нп (юн ) выровнены с точностью до третьего знака после запятой. Для п = 1 число с произвольно выбрано равным единице. Соответствующие графики АЧХ Нп (юн ) представлены на рис. 4.

Выравнивание всех лепестков АЧХ в полосе пропускания может быть достигнуто при переходе к другому критерию вычисления коэффициентов полинома аппроксимирующей функции.

АЧХ равномерного приближения. Примем в качестве критерия аппроксимации идеальной АЧХ равенство абсолютных отклонений на отрезке [ 0, й], й < 1, функции

Таблица 3

п = 1, а = 1, с = 1

g Ь 1 н2 к)

2.55 0.763134 1.196395 (0.725 +1.275(4 ) 1

п = 2, а = 1, с = 1.629477

g ьд/ь 1 Н2 К )

8 0.665851 0.815997 1.715142 (1.3061-2.6122^^ + 3.3061(4) 1

п = 3, а = 1, с = 1.176839

g ь/3ь 1 н2 к)

18 0.655951 0.868875 1.202663 (0.7407 + 5.4128(4 -16.0478(4 +11.8943(4) 1

п = 4, а = 1, с = 1.094351

g ь/4ь 1 н42 к)

32 0.640749 0.894689 1.133891 (1.2446-8.9676юнн + 49.1924(4 -84.4605(4 + 44.9911(4) 1

п = 5, а = 1, с = 0.999052

g ь/5ь 1 н2 К)

50 0.782282 0.952078 1.133863 1 (0.7725 + 12.7707юн2 -111.3222^^ + 333.2855(4 - 402.5495(4 + 169.0430ган°)

_ __п

Нп (®н ) = 1/л/Ущ (юн ) от единицы (^2п (ган ) = I УИюн' - полином степени 2п ). Под аб-

i=0

солютными отклонениями понимаются значения

^ДУНПК)

А 7 =

0<юн,- < d н]

у = 1, ..., п, где гану - корни полинома У2п (®н ) = ®н I 2?у

ни-1)

полученного диффе-

i=1

ренцированием полинома Унп (ган ). Если при определенных условиях, наложенных на коэффициенты полинома Унп (®н ), функция Нп (ган ) существует, то она равномерно приближает идеальную АЧХ в полосе пропускания с точностью до А у . Из уравнения У2п (®н ) = 0 следует, что ган1 = 0 является корнем полинома. Таким образом, всего на отрезке [ 0, d ] существует п +1 точек (включая границы отрезка 0 и d ) таких, что разность А у = 1-1Д/У2п (0) . Для определения коэффициентов полинома У2п (ган ) с учетом условий У2п (1) = 2 и У2п (1) = &, а также границы отрезка d, составим систему п + 2 уравнений:

!-!//2п (»ну )

1-^#2п К)|,

у = 2, ... , п; 1;

га

(13)

|1-1Д/У2 п ( 0 ) |

ИД/ У2 п ( 0 ) |

п

I V2I■ = 2;

г = 0 п

I 2^2г = &•

г =1

Решением системы (13) являются п +1 коэффициент полинома V2г■, г = 0, ..., п, и граница га^ отрезка равномерного приближения d. Решение может быть найдено с любой точностью для п = 1, ..., 5, поскольку в этом случае положительные корни гану,

п (- )

у = 2, ..., 5 , биквадратного уравнения 12г>2,ю„- ) = 0 выражаются через коэффициенты

г=1

V2i, г = 1, ..., п, в общем виде (табл. 4). В табл. 5 представлены функции Й^ (ган),

п = 1,

Нп 1

0.75 0.5 0.25

0

5 и отрезки d .

Графики АЧХ равномерного приближения Нп (ган) для минимального и максимального значений & из табл. 5 приведены на рис. 5. Там же для сравнения приведены АЧХ фильтров Чебышева

пЧ (ган ) = ^ ^ (ган ) ( Тп (ган ) -

Н

по-

0.5

1

1.5

лином Чебышева п-го порядка, 0 < в < 1 -

со

н

Таблица 4

н/

юн2 =4 ~у21 ( 2у4 )

юн2,3 =

~у4 у4-Зу2у6

Зу 6

юн2,3 =

-2

л

Зу6 -8у4у8

cos

48у2

(

л 1

— + -arccos

3 3

V

у6 -4у4убу8 + 8у2у2

( 2 Зу6 -8у4у8

3

у6 . 4у8 '

юн4 =

Зу6 -8у4у8

cos

48у2

-arccos

3

4у4у6у8 + 8у2 •81 •6

( Зу6 -8у4у8 ^ 3 > 4у8

V 3 ) -

юн2,3 =

3

4

1

2

коэффициент неравномерности) при двух значениях в для п > 2 . Максимальные значения g в Нп (юн ) приняты равными значениям первой производной подкоренного выражения

Нпч (юн ) в точке юн = 1 при в = 1: 2ТП (1) = g. При равных g равны и значения крутизны

сравниваемых АЧХ на границе полосы пропускания: Н'п (1) = Н'пч (1) = -(1/2>/8) g .

При в < 1 полоса пропускания фильтров Чебышева расширяется в отличие от синтезированных фильтров, и в этом случае целесообразно сравнивать фильтры с одинаковой неравномерностью 5п = 20^ (Нп тах/ Нп т^п ) ( Нп тах и Нп тщ - максимальное и минимальное значение АЧХ соответственно, имеющей колебательный характер в полосе пропускания). Из графиков рис. 5 видно, что при одинаковых значениях 5п затухание синтезированного фильтра в

полосе задерживания превосходит соответствующую характеристику фильтра Чебышева.

На рис. 6 представлены зависимости затухания от частоты в полосе задерживания

синтезированных ФНЧ ап (шн ) = -20^ Нп (шн) и фильтров Чебышева апч (юн ) = = -20^НпЧ (юн) при g = 2.55 и g = 2 для п = 1 и при равных значениях g для п > 2 .

Таблица 5

п g d ИП (®н )

2.40 0.636116 (0.800 +1.200*4 ) 1

1 2.45 0.678747 (0.775 +1.225(4) 1

2.50 0.720843 (0.750 +1.250*4 ) 1

2.55 0.762990 (0.725 +1.275(4) 1

6.5 0.796747 (i.1306 —1.5112*22 + 2.3806ю4 ) 1

2 7.0 0.833357 (1.1809-1.8619ffl22 + 2.6809^4) 1

7.5 0.863422 (1.2392 — 2.2285(4 + 2.9892(4) 1

8.0 0.888889 (1.3061 — 2.6122га22 + 3.3061(4) 1

12 0.868089 (0.9285 + 1.8103(4— 6.4062^4 + 5.6673*4) 1

3 14 0.908079 (0.8785 + 2.9465(4— 9.5287raH + 7.7036ю44) 1

16 0.934903 (0.8246 + 4.2568(4 —12.9874raH + 9.9060(4) 1

18 0.954594 (0.7701 + 5.7324ю22 — 16.7752юн +12.2727ю44) 1

20 0.917541 (1.0722 — 2.6105(4 +15.5037^4 — 29.4649(4 + 17.4994ю|) 1

4 24 0.945310 (1.1438 — 4.6917(4 + 26.2511<4 — 47.0023(4 + 26.2991(4) 1

28 0.962831 (1.2406 — 7.2038(4 + 38.8537^4— 67.0583(4 + 36.1678ю|) 1

32 0.975168 (1.3651 —10.1151(4 + 53.1837Ю44 — 89.4828(4 + 47.0490(4) 1

26 0.923320 (0.9660 + 2.0457ю22 —19.1964raH + 63.0482^^ — 84.5201(4 + 39.6566юН0) 1

5 34 0.956882 , > —1 (0.9079 + 5.4332ю22—47.4710юн +145.1675юнн —181.1942*^^ + 79.1566ю4н0)

42 0.973842 (0.8359 +10.0611«22 —84.8710(44 + 250.5767ш44 —301.9643(4 + 127.3616юН0) 1

50 0.984310 (0.7612 + 15.7532ю22 —130.0755ю44 + 375.9149ю44 — 443.4221(4 +183.0683(4°) 1

В табл. 6 представлены передаточные функции Ип (sH), Ипц (sH)4 и полюсы Pk = ak + j®k, k = 1, ..., 5, передаточных функций синтезированных фильтров и фильтров Чебышева (рн = ан + j(H - нормированная комплексная частота; ан и sH = j(H -вещественная и мнимая части нормированной комплексной частоты соответственно), а также их АЧХ Ип (шн) = |ИП (sH)| и фазочастотные характеристики (ФЧХ) arg[Ип (sH)] в

4 В табл. 6 и далее знак тильды в обозначении Ип (sH) и индекс "Ч" в обозначении Ипч (%) опущены. 46

Рис. 6

неявной форме. Нп (5н) и Нп (шн) представлены в виде произведений, соответственно, передаточных функций и АЧХ звеньев первого и второго порядков с общим коэффициентом К в числителе и коэффициентами А, В, С, F, G в знаменателе. Там же приведены неравномерности АЧХ 5п и максимальные превышения затухания фильтров Чебышева в полосе задерживания Дт при шн = 8 (см. рис. 6). На рис. 7 совмещены графики фп (шн) синтезированных ФНЧ и

фильтров Чебышева.

При равномерном приближении на отрезке идеальной АЧХ (п < 5) имеет место "равноволновое" отклонение АЧХ от еди ницы в полосе пропускания. При одинаковой крутизне Н'п (1) = -(1/2>/8) g на границе полосы пропускания неравномерность 8 синтезированной АЧХ снижается и, соответственно, несколько спрямляется ФЧХ по сравнению с характеристикой фильтра Чебышева. Превышение затухания фильтров Чебышева в полосе задерживания увеличивается с ростом п и при п = 5 Дт составляет 1.451 дБ на частоте шн = 8 при

абсолютном ослаблении синтезированной АЧХ на этой частоте 112.76 дБ.

п = 1

Н (5н) Н1 (юн)

К sн + А К + А2

ФНЧ g Рi

Синтезированный 2.55 р1 = -0.754074

Чебышева 2 РЧ1 = -1

п = 2;

Н2 ( sн ) Н2 (®н)

К sH + + С К )1(4-С )2 +(Вюн )2

ФНЧ Pi

Синтезированный р1,2 = -0.341671 + ;0.715402

Чебышева РЧ1,2 = -0.321797 + ]0.776887

п = 3 ;

Нз (sн) Н3 (юн)

К К

(Sн + А)( sH + Вн + С) \ Й + А2 -С)2 +(Вюн )2 ]

ФНЧ

Синтезированный р1 = -0.319025; р2,3 = -0.159513 + ;0.871648

Чебышева рЧ1 = -0.298036; рЧ2 3 = -0.149018 + ;0.903670

п = 4;

Н4 () Н4 (юн)

К К

(^ + Bsн + С)(^ + Fsн + G) -С)2 +(Вюн)21(4 +(Fюн)2]

ФНЧ Рi

Синтезированный Р12 = -0.220292 + ;0.384175; р34 = -0.091248 + ;0.927479

Чебышева рЧ12 = -0.205222 + у0.392011; рЧ3 4 = -0.085006 + ;0.946398

п = 5;

Н5 (sн ) Н5 (юн)

К К

(sн + А)( sH + Bsн + С)(^ + Fsн + G) )1(4 + а2 ) "С)2 +(Вюн )21(4-G)2 +(Fюн )2 ]

ФНЧ Рi

Синтезированный рх = -0.190447; Р2,3 = -0.058851 + у0.953496; р45 = -0.154075 + у0.589293

Чебышева рЧ1 = -0.177189; РЧ2,3 = -0.054754 + у0.965871; рЧ4 5 = -0.143349 + у0.596941

Таблица 6

^ [ф1 (юн )]

Юн

А

К А

0.885615 0.754074

1 1

g = 8

^[Ф2 (юн)]

Вюн

2 ^ юн -С

К В С 82 ^т

0.549972 0.683341 0.628539 2.183 0.813

0.5 0.643594 0.707107 3.010 -

ё = 18

tg[Ф3(юн)]

юН -(АВ + С )юн

(А + В)юН -АС

К А В С 83 ^т

0.285450 0.319025 0.319025 0.785214 2.439 1.143

0.25 0.298036 0.298036 0.838825 3.010 -

g = 32

tg[Ф4 (юн)]

(В + F )юНН-(BG + CF )юн

4 юн -(С + BF + G)юН + CG

К В С F О 84 ^т

0.145789 0.440584 0.196119 0.182496 0.868544 2.521 1.330

0.125 0.410444 0.195789 0.170011 0.902895 3.010 -

ё = 50

tg[Ф5 (юн)]

юн-[ А( В + Г)+ ВГ + С + О] юн +[ А( ВО + СГ) + СО]юн

(А + В + Г) ю н -[ А(С + ВГ+О) + ВО+СГ]юн + АСО

К А В С Г О 85 ^т

0.073908 0.190447 0.117702 0.912618 0.308149 0.371005 2.558 1.451

0.0625 0.177189 0.109509 0.935904 0.286698 0.376887 3.010 -

0.5

1.5

В общем случае (при любом п), используя функцию (11) в качестве аппроксимируемой, можно, не разделяя фильтры по типу передаточной функции, синтезировать АЧХ в диапазоне от "максимально плоских" кривых Баттерворта до характеристик, имеющих колебательный характер в полосе пропускания и крутизну, близкую (при равных ё) к крутизне АЧХ фильтров Чебышева в переходной области или (при равных 8 ) превышающую ее.

Примеры. На рис. 8, а, б приведены схемы четырехполюсников, реализующих звенья первого и второго порядков при каскадном построении ФНЧ. Передаточная функция низкочастотной цепи первого порядка (рис. 8, а)

-л/ 2 -- п -3я/2 - 2п ф п, ФпЧ

п = 5 Рис. 7

Н1НФ ( •н ) =

_ Кп/(юсгС1НФ )

•н +1/ (юсгС1НФ )'

(14)

где Кп - коэффициент передачи элемента развязки; г и Сщф - сопротивление и емкость низкочастотной цепи соответственно. Для фильтра первого порядка, сравнив выражения (14) и Н (5н ) (см. табл. 6), находим, что в (14) 1/(шсгСщф ) = А; Кп/(шсгСщф ) = К .

Из полученных соотношений могут быть определены элементы четырехполюсника и Кп. Задав юс и номинал одного элемента, например Сщф, найдем: г = 1/(АшсСщф),

5 _7

Кп = КюсгСщф . Положим юс = 1-10 рад/с, Сщф = 1-10 Ф. Для синтезированного фильтра при ё = 2.55 имеем г « 132.6 Ом, коэффициент передачи Кп = 1.174. Для фильтра Чебышева (ё = 2) г = 100 Ом, Кп = 1.

Передаточная функция низкочастотной цепи второго порядка (рис. 8, б)

\2

Н2НФ ( •н )= Кп

Я! (1 + ^с^НФ )

^юс^>НФ + Я/(1 + ^юсЯС2НФ )

= К

(юр/юс

Г

, (15)

•н + [юр / (юЛ )] sн + (юр / юс ) где Я, С2НФ, L2НФ - сопротивление, емкость и индуктивность низкочастотной цепи второго порядка соответственно; юр = 1/-^2нфС2нф и Q = яД^нф /С2НФ - резонансная частота и добротность контура, шунтированного сопротивлением Я, соответственно.

Сравнив выражение (15) с передаточной функцией НН2 () (см. табл. 6), найдем, что

б

а

в (15) Шр = ^¡Cшc , Q = у[с/в, Кпш2/= KnC = K, откуда ¿2НФ = 1 (^юсС2НФ ), R = 1/(ВшсС2нф), Kn = K/C . При шс = 1-105 рад/с, С2НФ = 1-10"7 Ф для синтезированного фильтра второго порядка (g = 8) R « 146.3 Ом, ¿2НФ ~ 1.591-10"3 Гн , Кп « 0.875 . Резонансная частота и добротность контура шр = 0.79280-105 рад/с, Q = 1.160. Для фильтра Чебышева второго порядка (g = 8) найдем: R « 155.4 Ом, L2НФ ~ 1.414-10_3 Гн ,

Кп « 0.707, шр = 0.84090-105 рад/с, Q = 1.307.

Увеличение вещественных и уменьшение мнимых составляющих полюсов передаточных функций синтезированных фильтров по сравнению с фильтрами Чебышева (см. табл. 6), а также уменьшение добротности цепи второго порядка в рассмотренном примере указывают на то, что уменьшение неравномерности частотных характеристик реализуется колебательными системами с большим затуханием.

Библиографический список

1. Червинский Е. Н. Об одном способе аппроксимации прямоугольной функции // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 3. С. 34-42.

2. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.

3. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977. 224 с.

E. N. Chervinsky

Closed joint-stock company "SIMETA" (Saint-Petersburg)

Frequency characteristics correction during low-pass filters synthesis

Method of low-pass filter response characteristics synthesis with given unevenness by fixed pass band and maintain of filter order is suggested. The concept of rejection function is introduced, the approximated function is determined. The minimum deviation of inverse square module filter transfer function from approximated function on approximation interval and even approximation criterion on the length of ideal response characteristic are used as an optimum criterion of realizable filters characteristics. The comparison of synthesizing amplitude-frequency- and phase-response characteristics is fulfilled. Examples of realization offirst- and second-orders with cascade construction of filters are presented.

Approximation interval, response characteristic steepness, rejection function, approximated function, response characteristic of even approximation

Статья поступила в редакцию