Об одном способе аппроксимации прямоугольной функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.317.766

Е. Н. Червинский

ЗАО "СИМЕТА"

п

Об одном способе аппроксимации прямоугольной функции

Представлены аналитические выражения для функций, аппроксимирующих прямоугольную функцию с различной степенью приближения. Исследовано поведение функций во всей области существования. Предложена методика синтеза передаточной функции фильтра нижних частот п-го порядка с улучшенными частотными свойствами в полосе пропускания. Рассчитаны характеристики фильтров до четвертого порядка включительно. Выполнено сравнение с известными аппроксимирующими функциями.

Прямоугольный импульс, аппроксимирующая функция, приближение и-го порядка, передаточная функция фильтра нижних частот

Прямоугольная функция, ограничивающая процесс с двух сторон, имеет достаточно широкое распространение в радиотехнике для описания сигналов. Графическое определение прямоугольной функции переменной х в окрестности точки х = 0 приведено на рис. 1.

Прямоугольный импульс единичной амплитуды математически записывается фор-

Для решения задач функцию а (х) заменяют различными моделями, которые путем предельного перехода превращаются в разрывную функцию. Одна из таких моделей при-

Известны аналитические выражения (Баттерворта, Чебышева) для аппроксимации

мулой г ( х) = ст ( х + хо ) -ст ( х - хо ), где а ( х) - единичная функция: а ( х)

ведена в [1]: а (х) = Нш [1/2 + (1/ п) аг^ (х/Ах)]

Ах ^0

непосредственно функции г (х) на всей оси х, однако функция Баттерворта отклоняется от единицы уже при |х| > 0, а функция на основе полинома Чебышева имеет на интервале [-хо, хо ] колебательный характер.

хо

Рис. 1

о

хо

х

Цель настоящей статьи - анализ аппроксимирующей функции, равной единице в заданном интервале и монотонно приближающейся к нулю вне этого интервала.

Рассмотрим функцию

(1)

где а - параметр.

34

© Червинский Е. Н., 2оо7

Функция (1) симметрична относительно оси ординат. Покажем, что при х е [-а, а] и

соответствующем изменении аргумента арксинуса от -1 до 1 функция у (х) тождественно равна единице:

4

3a2 + x2

-sin

x

1

- arcsin 3

(9a2 - x2)x

(

3a2+x2)

= 1, x e [-а, а].

(2)

Преобразуем равенство (2) к виду

sin

1 . (9a2 - x2)x — arcsin 3

(

3a2+x2)

\¡3a2 + x

22

На рис. 2 представлены графики функций (x) = sin

— arcsin 3

. (9a2 - x2)x

(

3a2+x2)

(3)

и

y ( x) =

x

■\¡3a2 + x

2 , „2

для трех значений a. В промежутке -a < x < a функции , (x) и y (x)

монотонно возрастают. При -3a < x <-a и a < x < 3a функция , (x) уменьшается по абсолютному значению и равенство (3) заведомо нарушается, поэтому рассмотрим область определения функции (1) XI ^ a. Поскольку аргумент синуса принадлежит сегменту [-л/6, П 6], то, выполнив обратную тригонометрическую операцию над функцией синуса, перейдем к выражению

( x Л

■■ sin 3 arcsin —¡= . (4)

(9a2 - x2)x

(

3a2+x2)

3

V

\¡3a2 + x2 j

Перепишем правую часть (4), используя формулу для функции кратных углов: sin 3 a =

.3

= 3sin a - 4 sin3 a . Тогда

(9a2 - x2)x

3x

4 x

y¡(3a2 + x2 )3 ^a2 + x2 {(

2 2)

3

(3a* + x

Это есть тождество, что и доказывает утверждение (2).

С дальнейшим возрастанием абсолютного значения x функция y (x) уменьшается, и y (±3a) = 0 при x = ±3а . Устремив x к ±х>, найдем: lim y (x) = -l/2; lim y (x) = -l/2.

К, V

0.5

- 2

^ 1

0.06

ТП 1 1 Va = 2

0.75 IyQ-

- 1 Рис. 2

- 10

- 5

0

Рис. 3

x

1

x—T—OD

x

5

x

Введем функцию у (х, а) с помощью линейного преобразования у (х):

У (х а) = 3

1 >/за2 + х2

— + -2

-БШ

х

- агсБт 3

. (9а2 - х2)х

(

3а2+х2)

(5)

Графики функций (5) при различных значениях а приведены на рис. 3. Как видно из графиков, функция У1 (х,а) = 1 при |х| < а и обратно пропорциональна |х| с коэффициен-

том обратной пропорциональности а при |х| > а: У1 (х, а

: У ( х,а } = |х|,

1, |х|<а; а/\х\, |х|>а.

Представим выражение (5) в более компактном виде. Обозначим с = 3а , тогда

У1 х

( х,л/Ф ) =

2

1 у/с + х2

—+ -2

х

. (3с - х2

1 3с х х

- агсБт

3 1/ „ч3

>/( с + х2 )

Функция У1 (хс/3) = 1 в промежутке с/3 с/3 ] и обратно пропорциональна

|х| с коэффициентом обратной пропорциональности ^с/3 вне этого промежутка.

Выражение (5) есть приближение первого порядка для прямоугольной функции. Запишем аппроксимирующую функцию п-го порядка для прямоугольной функции переменной х (см. рис. 1), принимающую значение о < Ь < 1 при |х| = хо:

УЛх-

(хн, пь

1 ^Ь2 + хн

— + 2

-БШ

х

— агсБт 3

; _ (9^ - хн2) хн

3ПЬ2 + х2

\п

(6)

где хн = х/хо - безразмерная нормированная переменная. При п =

1: Ь2 Ь2 , и выражение (6) совпадает с (5) при а = Ьхо . На рис. 4 построено семейство кривых Уп (хн,пЬ),

п = 1, 2, 3 для четырех значений Ь; а = пЬ .

Аппроксимирующая функция п-го порядка может быть представлена в форме

1, |хн| ^ пЬ;

Уп\хн

(хн, п1Ь) =

Ь хН , хн

> пь.

(7)

Равенство Уп (хн,пЬ) = 1 при |хн| < ЩЬ очевидно, поскольку функция (6) получена возведением у^ (х, а = пь ) в степень п. Для доказательства функциональной зависимости при |хн| > пЬ перепишем вторую строку выражения (7) в виде

1 + хн

— + 2

х

— агсБт 3

. ^Ь2

хн хн

3ЩЬ2 + х2

\п

|хн| > пь

(8)

х-ц

1

3

1

3

Ь

1

п

3

Ь = 1

п = 1; а = 1

п = 2; а = 1

Ь = 0.707 Уп ц~

9 0.75

1

/0.5 — п = 1; а = 0.707

п = 3; а = 0.891 /1 1\ п = 2 а = 0.841

300.25

- 10 - 5

Ь = 0.5

Уп -

- 10 Ь = 0.3

- 5

Хт1

п = 2; а = 0.707 п = 1; а = 0.5

- 10

- 5

- 10

"н

Рис. 4

- 5

п = 2; а = 0.548 п = 1; а = 0.3

5

После извлечения из обеих частей равенства корня п-й степени и выполнения элементарных преобразований нетрудно убедиться, что выражение (8) является тождеством

при |хн 1> пь.

С учетом (7) выразим связь между аппроксимирующими функциями различного порядка: Уп+1 (хн,п +ЦЬ) = (Цхнуп (хн,пЬ), |хН ^ п+1Ь и с разными параметрами: уп (хн, ^Ь^) =

= (^/Ь)Уп (Хн,пЬ), хн > ^ Ь2 > ¿1.

Применим выражение (7) для синтеза передаточной функции реализуемого фильтра нижних частот (ФНЧ). Фильтр физически реализуем, если квадрат модуля передаточной функции может быть представлен отношением двух четных полиномов с вещественными коэффициентами, не принимающими отрицательных значений в области положительных частот, причем степень числителя не должна превышать степени знаменателя [2]. Учитывая изложенное, представим квадрат функции (7) в виде (хн,пЬ) = 1/у2 (хн, ЩЬ) аппроксимируем полиномом степени 2п функцию

[1, ХН ^ пЬ;

и

/п (Хн ) = V Уп2 ( Хн, ^

•Н2п/Ь2, ХН > пъ.

(9)

За меру отклонения полинома Q2n (хн ) = #0 + #2хн + — + #2пхнп от функции /п (хн )

1 1 2 на отрезке [-I, I] примем величину 1п = — | [ Q2n (хн ) - (хн )] ёхн .

0

5

0

5

х

н

0

0

5

н

Поскольку ¡1 (хн) - четная функция, аппроксимирующий полином содержит лишь четные степени хн. Для нахождения коэффициентов 4о, 42, •••, 42п полинома, наименее уклоняющегося от функции на отрезке [-/, / ], необходимо решить систему уравнений [3]:

+ 5242 + • • ■ + 52п42п - ¡¡п (хн )^н;

о

/

+ 5442 + ••■ + п+1)42п - |хи/п (хн)^н;

(1о)

•*2к4о + к+1)42 + • • ■ + п+к)42п - |хНк/п (хн ) ахн \

+ s2(п+1)42 + — + s4nq2n - ¡п (хн)

где 81к = /2к+1/(2к +1), к = о, 1, ..., п .

Подставив в правые части системы (1о) функцию (9) и выполнив интегрирование,

й \ 2к г 2 ( . а 2п ( -- '2п+2к+1 Л

найдем: Iхн /п (хн)ахн

о

( 2п + 2к + 1)( 2к + 1)

пЬ

2к+1

1

2к + 1 /2

2п

пЬ

2п+2к+1

Пример. Положим п = 3. Система уравнений для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома шестой степени имеет вид

/4о + (/3/3) 42 + (/5А) 44 + (/77) 46 = (6/7) Ш [1 + (16)(/7^ _ (/73)4о + (/75) 42 + (/77)44 + (/79) 46 = (6/27)^Ь3[1+(3/6)(/"/^б9)_ ' (/75)4о + (/77)42 + (/79)44 + (/"АО46 = (6/55)^[1 + ДО)(/'73Ь1Г[ (/77) 4о + (/79)42 + (/'711) 44 + (/'713) 46 = (6/91) № [1 + (7/6) (/'7 3^)

Решение системы при Ь = 1Д/2, / = 1: 4о = о.964 ; 42 = 1 .о57 ; 44 = -4.287 ; 46 = 4.13о . В табл. 1 приведены функции Н2 (юн) = 1/02п (®н) в виде отношения полиномов

нулевой степени и степени 2п, аппроксимирующие функции у^ (юн, при п = 1... 4 .

Интервал аппроксимации [- 1,1]. В качестве переменной выбрана безразмерная нормированная угловая частота юн = ю/юс , где юс - частота среза фильтра.

Рассматривая Я2 (юн) как квадрат модуля синтезируемой передаточной функции ФНЧ п-го порядка, введем нормированную комплексную частоту рн = уюн и найдем нули

знаменателя Я2 (рн ). Нули, находящиеся в левой рн -полуплоскости, примем за полюсы

о

о

о

Функция

аппроксимируемая у^ (юн, ^ 1/л/2)

аппроксимирующая (шн)

у2 (юн,0.707)

1.311

йН +1.159

у2 (юн ,70707)

0.607

-0.575ш2 + 0.642

у2 (юн ,30707 )

0.242

шН - 1.038шН + 0.256йН + 0.233

у4 (юн ,40707 )

0.094

шН -1.506шН + 0.689й4 -0.097йН + 0.096

передаточной функции Нп (рн). В табл. 2 приведены полюсы и передаточные функции ФНЧ п-го порядка, п = 1...4. Знаменатели Нп (рн) представлены произведением сомножителей, что позволяет реализовать фильтр как последовательное соединение звеньев с передаточными функциями, соответствующими каждому сомножителю.

В табл. 3 приведены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) Нп (юн) (модули

Нп (7®н)) и фазочастотные характеристики (ФЧХ) фп (юн) ФНЧ п-го порядка, передаточные функции которых представлены в табл. 2.

На рис. 5, а-г приведены графики Нп (юн), п = 1...4 соответственно. Для сравнения

там же представлены функции НпБ (юн ) = 1 ^1 + (юН) (аппроксимация Баттерворта) и

Нпч (юн ) = 1/^1 + ^2Гп2 (юн ) (аппроксимация Чебышева). В последнем выражении в< 1 - коэффициент неравномерности; Тп (ю н ) - полином Чебышева степени п. ФЧХ фп (юн ) синтезируемых фильтров приведены на рис. 6.

На графиках рис. 5 в = 1, при этом функция Нпц (юн) колеблется от 1 до 1/72 . В полосе задерживания при п > 1 Нпц (юн ) < Нп (юн ) < НпБ (юн ) . С уменьшением в величина неравномерности Нпц (юн) уменьшается, но одновременно расширяется полоса пропуска! 2

п к Полюсы Рк Передаточная функция Нп (рн); Ь = 1/\р2

1 0 -1.077 1.145 рн +1.077

2 2, 4 -0.507 ± ;0.738 0.779 рН +1.014 рн + 0.802

3 0 -0.574 0.492

2, 4 -0.28 ± ;0.837 ( рн + 0.574) (рН2 + 0.560рн + 0.841)

4 2, 4 -0.182 ± ;0.923 0.306

6, 8 -0.456 ± ^0.377 ( рН + 0.363рн + 0.885)( рН + 0.912 рн + 0.350)

1

п

1

2

3

4

Таблица 3

п ъ = 1/72

Hn(тн) Фп(тн)

1 1.064 1/1 + 0.863®^ - аг^ (0.929шн)

2 0.972 - агС^ / \ ®н ] /0, 0 <®н < 0.895; \п, 0.895 <®н

- 0.894ш2 + 1.557Ю4 у 0.79 - 0.986® 2 ,

3 1.019 - агС^ / 3 х ®н - 0.86® н {0, 0 <®н < 0.653; [л, 0.653 < ®н

+1.097ю^ - 4.448®^ + 4.285®^ у0.415 - 0.976®Нх

4 0.989 - агС^ С 3 Л ®н _1.366® н [0, 0 <®н < 0.482; -•¡л, 0.482 <®н < 1.155; [2л, 1.155 <®н

1/1 - 1.017®Н + 7.205ю4 -15.736юН + 10.451ю| у 0.332 -1.678®2 + 1.071®Н ,

ния фильтра, определяемая по уровню Ь = 1Д/2, и уменьшается затухание в полосе задерживания. На рис. 7 приведены графики функций H4 (юн ), Н4Б (юн ) и Н4ч (юн ) =

= 1Ц1 + 0.23 Т42 (юн) (8 = 0.48; в2 = 0.23) . При юн > 1 H4 (юн) < Н'4Ч (юн) < H4Б (юн).

В табл. 4 приведены сравнительные характеристики ФНЧ четвертого порядка с синтезированной передаточной функцией H 4 (pн) при Ь = 0.85 и ФНЧ Чебышева с передаточной

функцией Н4Ч (pн ) при в = 0.48. АЧХ (Н4 (юн), Н4Ч (юн )) и ФЧХ (ф'4 (юн), ф4Ч (юн )) сравниваемых фильтров приведены на рис. 8 и 9 соответственно. При равных полосах пропускания в полосе задерживания Н4 4 (®н ) < Н (юн ).

Таблица 4

Характеристики Синтезируемый ФНЧ, п = 4; Ь = 0.85 Фильтр Чебышева, п = 4; е = 0.48

н42 (®н) 0.265 0.068

шН -1.594шН + 0.772ш4 - 0.115ю2 + 0.267 шН - 2шН + 1.250ш4 - 0.25Ш2 + 0.084

Р2; Р4 -0.23 ± >1.001 -0.143 ± >0.987

Р6; Р8 -0.567 ± >0.41 -0.346 ± >0.409

Н4(Рн) 0.514 0.261

( р2 + 0.459Рн +1.055)( рН +1.134 рн + 0.49) ( рН + 0.287рн + 0.994)( рН + 0.693рн + 0.287)

Н4(®н) 0.995 0.902

-0.431юН + 2.890юН -5.969юН + 3.744ю^ 1/1 -2.992ю2 + 14.959Ю4 -23.939юН + 11.967®®

ф4 (юн) ( 3 \ юн - 1.121ю Н юн -1.27

31018 2 4 ^ 0.364 - 1.453юН + 0.70^Н ) Г0, 0 <юн < 0.542; -•1л:, 0.542 <юн < 1.334; [2п, 1.334 <юн 8 2 4 ^ 0.37-1.919® Н+1.297юН ) Г0, 0 <юн < 0.479; -к, 0.479 <юн < 1.119; [2п, 1.119 <юн

Таким образом, из выражений для Н2 (юн), представленных в табл. 1, и графиков АЧХ (рис. 5, 7, 8) видно, что передаточные функции синтезируемых ФНЧ отвечают условиям физической реализуемости. Функция Н1 (юн) подобна функциям Н^ (юн) и

Н14 (®н), которые при п = 1 совпадают (см. рис. 5, а). При п > 1 (см. рис. 5, б-г, 7, 8) Нп (юн) и Н'п (юн) в большей степени аппроксимируют идеальную АЧХ в полосе пропускания фильтра, поэтому ФЧХ синтезируемых фильтров близки к линейным на боль-

шей части частотного диапазона в полосе пропускания. В полосе задерживания НпЧ (юн ) < Hn (юн ) < Нпб (юн ) при равных полосах пропускания, однако с уменьшением коэффициента неравномерности в полоса пропускания фильтра Чебышева расширяется и выполняется условие Нп (юн ) < Нпч (юн ) < Нп^ (юн ) в полосе задерживания (см. рис. 7).

Библиографический список

1. Трахтман А. М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. М.: Сов. радио, 1972. 352 с.

2. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. М.: Высш. шк. 1976. 208 с.

3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.

E. N. Chervinsky

Closed joint-stock company "SIMETA", Saint-Petersburg One method of the rectangular function approximation

The analytic expressions for functions approximating the rectangular function with different degree of approach are presented. Functions behavior at all existence region is researched. The method of transfer function synthesis of n-order low-pass filter with improved frequency properties in filter transmission is offered. Filters characteristics to four-order inclusive are calculated. The comparison with known approximate functions is fulfilled.

Rectangular pulse, approximate function, n-order approach, low-pass filter transfer function

Статья поступила в редакцию 10 октября 2006 г.