CC BY
34
юу
_н7 Рис.2. Модель зависимости Р рН=Р(С„С2Д. 1Л]
Таким образом, чтобы учесть в процессе математического моделирования взаимозависимости реагирующих между собой компонентов, эту зависимость в виде уравнения необходимо включить в данные условия.
Так как часто на практике такая взаимозависимость неизвестна, то для применения методик математического моделирования на базе конструктивной геометрии необходимо по экспериментальным данным такую взаимозависимость установить. В данном случае взаимосвязь С,, С2| = к| в литературном ис-
точнике [4) не указана, там приведена лишь таблица растворимостей поваренной соли и каустической соды, Эта таблица позволила не только установить характер зависимости Си С21 = к|Г но и вычислить численные значения константы к1 (табл.2). Так как данное обстоятельство нами учитывается вперг.ые, то для самоконтроля уравнения гиперповерхностей выразили через каждую компоненту отдельно.
По аналогии необходимо заключить, что подобный порядок моделирования необходимо выполнять так же и для процессов, в которых взаимозависимостями являются параметры и факторы.
Библиотра(1и!ч- оийспш ->к
1. ШмидтР , Сапунов3,1 1еамрмал1.ная 'лиетика / Р, Шмидг, В. Сап/нов. - М. М., р. - 1905. - С. 2Ьч.
1. Г. Х<жек. Синергетика / Г. Хакен М.: Мир. 1980. - С. 304306.
3. Верги1;г\ая Н. Д. Математическое моделирование многофакторных »[ мне гопараметрических процессов в многокомпонентных снск--,чах/ Н.Д. '.' ртпнскан - ИрГТУ. Иркутск.-2001. -21-9 с.
4. Справочник химика.- т.З.-М-Л.:1964.-С.242-243.
5. Вертинская Н.Д. Математическое моделирование многопа-раметричсских процессов в растворахс реагирующими веществами, / Н. Д, Вертинская. - ИрГТУ. Иркутск, 2004.-С, 18.
6. Вертинская Н. Д., Скачков Е. В. Орег (Программное обеспечение авторского спецкурса «Математическое моделирование технологических, процессов на базе конструктивной геометрии ») / Н. Д. Вертинская, Е. В. Скачков // Свидетельство об отраслевой регистрации разработок, № 5156 от 07.09.2005.
ВЕРТИНСКАЯ Наталья Дмитриевна, кандидат технических наук, профессор, заведующая кафедрой начертательной геометрии и инженерной графики.
Поступила в редакцию 22.06.U0. © Вертинская Н.Д.
УДК Л4. Н4 Л.К.КУЛИКОВ
Омский государственный технический университет
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
Рассмотрен алгоритм получения к-параллельных плоскостей и нахождения определителей этих плоскостей в аффинном п-мерном пространстве. Приведены примеры использования результатов при решении позиционных задач.
Пусть £(А; а,.....ар)и Г(В; Ь,,..., Ьд) две плоскости
аффинного п-мерного пространства, заданные точками А, В и базисами направляющих векторных пространств Ур и V соответственно. При любом взаимном положении I и Г, выполним параллельный перенос плоскости Г на вектор ВА. Точка В перейдет в точку А, плоскость Г(В; Ь,, ..., Ьч) - в плоскость Г'(А; Ь,, ■•■. Ьп). Плоскости £ и Г1 пересекаются, так как у них есть общая точка А. ПустьД - суммарная плоскость, т.е. плоскость минимальной размерности, проходящая
через I и Г1. Тогда ее размерность может быть найдена по известной формуле э = р + q — с! [5], гдеё - размерность плоскости пересечения Ф.
Пустьс,, ...,с(| — базис У(| (направляющее пространство плоскости Ф=1пГ'). Перезададим плоскости I и Г' следующим образом 2(А; с,, ..., си, аи + 1, ..., ар) и Г'(А; с,,..., с„,Ь(, + 1,..., Ьч). Каждая из плоскостей задана точкой А, базисом и частью векторов из старых базисов V и V . Такое перезадание возможно. Оно основано на лемме, которую приведем без доказательства.
Лемма. Система линейно независимых векторов с,,..., cd, принадлежащих V , может быть вся введена в базис (а) = а,,..., ар пространства Vp (dip) вместо каких-то векторов базиса так, что полученная новая система векторов, состоящая из с,,..., cd и оставшихся векторов от базиса (а), будет новым базисом пространства V .
Поскольку линейно независимая система векторов с,, .... cd (базис пространства Vd = VpnVq) принадлежит Vp и V , то лемма применима д\я базисов этих пространств. В новом задании плоскостей Е и Г1 нумерация, оставшихся от старых базисов векторов, изменена. Параллельным переносом на АВ переведем Г'(А; с...... cd, bd + 1,..., bq) в плоскость Г(В; с,,...,
cd, bd+1,..., bq). Полученная так плоскость Г(В; с,,..., cd, bd+1,..., Ь ) совпадает с исходной плоскостью Г(В; Ь,, ..., bq), так как задана той же точкой В и новым базисом того же направляющего векторного пространства V .
Если ABeVs (направляющее пространство суммарной плоскости Д), то точка BeД и ГсД. Базисом Vs является система векторов с,,..., cd, ad+1,..., ap,bd+l,..., bq. Вектор АВ № 0 есть линейная комбинация векторов этого базиса и система векторов с,,..., cd, ad+1,..., ар, bri +,,..., bq, АВ - линейно зависима. Причем в линейной комбинации векторов этой системы коэффициент при АВ не равен нулю. Но эти векторы — часть системы векторов, составленных из базисов V , Vq и АВ. Значит и эта последняя система векторов линейно зависима и в нетривиальной линейной комбинации, равной нулю, векторов этой системы коэффициент при АВ не равен нулю. По теореме 1 [2] эти плоскости £ и Г пересекаются. По определению Schoute Р.Н. [5], пересекающиеся плоскости считаются k-параллельными (к = —, q<p), так как в расши-
q
ренном евклидовом пространстве у них есть общая несобственная (d— 1)-плоскость.
Если АВе Vs, то Вй Д и ГосД. Плоскость Д1, заданная плоскостью Д и точкой В имеет размерность
s1 = р + q - d + 1. (1)
Плоскости Е и Г принадлежат Д1 и не имеют общих точек, в противном случае вектор АВ е Vs. Плоскости Е и Г называются k-параллельными. Степень парал-
d
лельности к = —, где d — размерность общего на-
q
правляющего векторного пространства этих плоскостей (q<p). Плоскость Е (А; ..., cd, ad+1, ...,ар) можно представить как суммарную плоскость двух плоскостей Е'(А; с,,..., cd) и Е2(А; ad+1,..., ар), а плоскость
Г(В; с,,..., cd, bd+1.....Ьд) двух плоскостей Г1 (В; с,,...,
са) и Г2(В; bd+1,..., bq). При этом Е'пЕ2 = А, Г'пГ2= В и других общих точек у них нет. Действительно, на примере плоскости Г, которая имеетразмерность q, имеем dim Г1 = d, dim Г2 = q — d. Так как объединение векторов, входящих в определители плоскостей Г1 и Г2 является линейно независимой системой векторов (базис Vq), то соответствующие направляющие пространства не пересекаются и у плоскостей Г1 и Г2нет общих направлений. Появление новой общей точки С ведет к появлению общего вектора ВС, что невозможно. Таким образом, каждую из к-параллельных плоскостей I и Г можно задать парой плоскостей, пересекающихся в точке. При этом I1 и Г1 — вполне параллельны. У этих плоскостей одно направляющее
d
пространство Vd, поэтому к = — = 1. Плоскости!2 и
Г2 скрещиваются. У этих плоскостей нет общих направлений (аа+......ар, Ь(1+...... Ьд — линейно независимая система векторов) и нет общих точек (в противном случае АВеУ8). Пары плоскостей I1, Е2и Г1, Г2 являются определителями плоскостей I и Г соответственно.
Плоскость Е(А; с,, ..., а(1+1, ..., ар) можно рассматривать как суммарную плоскость двух плоскостей 2,(А; с,.....с„, ай + 1,..., ат) и Е2(А; с,,..., с„, ат + 1,
..., ар). Эти плоскости пересекаются по плоскости
Е3(А; с1.....сй). Других общих точек нет, в противном
случае векторы базиса Ур станут линейно зависимы. Определителем плоскости £ будут плоскости I, и Е2, пересекающиеся по плоскости £3. Аналогично, можно плоскость Г(В; с...... с[), Ь^,,..., Ьч) представить как
суммарную плоскость плоскостей Г, (В; с,, ...,сй, Ь[1+1,
..., Ьг) и Г2(В; с,,..., са, Ьг+1.....Ьд) пересекающихся по
Г3(В; с,,..., са). При этом Е3 и Г3 вполне параллельные плоскости. Плоскости Е, и Г, частично параллельны, так же как частично параллельны плоскости Е2 и Г'2. Степени параллельности могут изменяться с изменением чиселт и г. Разбивая базисы начасти (количество частей может доходить до числа, равного размерности плоскости) и, рассматривая различные сочетания этих частей можно получать различные определители для параллельных плоскостей.
Этот подход удобен при составлении алгоритмов решения позиционных (аффинных) задач. Так, например, легко получить признак параллельности двух гиперплоскостей четырехмерного евклидова пространства, используемый в [4] при построении этих гиперплоскостей на комплексном чертеже. Пусть в четырехмерном евклидовом (или аффинном) пространстве даны две вполне параллельные гиперплоскости Е(А; а,, а2, а3) и Г(В; а,, а2, а3). Зададим Е и Г как суммарные плоскости двух плоскостей Е,(А; а,, а2) и Е2(А; а2, а3), Г,(В; а,, а2) и Г2(В; а2, а3) соответственно. Плоскости Е,(А; а,, а2) и Е2(А; а2, а3) пересекаются по плоскости Е3(А; а2), а Г,(В; а,, а2) и Г2(В; а2, а,) - по Г3(В; а2). Плоскости БДА; а,, а2) и Г,(В; а,, а2), атакже Е2(А; а2, а3) и Г2(В; а2, а3) вполне параллельны. Получаем, что две гиперплоскости в четырехмерном евклидовом (или аффинном) пространстве могут быть заданы параллельными плоскостями, которые пересекаются по параллельным прямым (Е, // Г,, Е2// Г2, Е,пЕ2 = Е3, Г,пГ2 = Г3, Е3 //Г3). Этот признак можно сформулировать для вполне параллельных гиперплоскостей в п-мерном аффинном пространстве. Две вполне параллельные (п —1)-плоскости могут быть заданы двумя парами вполне параллельных (п — 2)-плоскостей, пересекающихся по вполне параллельным (п — 3)-плоскостям.
Если плоскость Е(А; а,, .,., ар) рассматривать как суммарную плоскость р одномерных плоскостей: (А; а,), (А; а2),..., (А; ар), то определителем плоскости будут р прямых линий. Эти прямые линии определяются линейно независимыми векторами, и проходят через точку А. Плоскость Е может быть задана данными прямыми, которые называются независимыми прямыми [1,3]. При построении на комплексном чертеже
т-плоскости к-параллельной р-плоскости (к= —),
q
проводится г независимых прямых параллельных прямым р-плоскости и (т — г) независимых прямых скрещивающихся с р-плоскостью [1].
При составлении алгоритмов решения задач, связанных с параллельностью, обычно фигуры рассматриваются в расширенном евклидовом пространстве, пополненном несобственными элементами. Этот
подход использован в |5] при определении степени параллельности сечений б-плоскостью (размерность плоскости равна в) к-параллельных р-плоскости и
г + 1
а-плоскости (к =-, <3 - г + 1). Приведем два спосо-
Ч
ба решения этой задачи, основанные на изложенном выше материале. Данные р-плоскость и д-плоскость принадлежат (р + д - г)-плоскости, размерность которой определена по формуле (1). В пересечении я-плоскости с р-плоскостью получим (б + г— д)-плос-кость, а в пересечении с ц-плоскостью получим (б + г— р)-плоскость. Плоскость Л1 имеет размерность б, тогда по формуле (1) имеем б = (б + г — ц) 4- (« + г — р) -
-<!+ 1 => а = 5 + 2г-р-д+ 1 => к =
я + 2г-р-д + 1
з + т-р
Второй способ основан на использовании определителей к-параллельных плоскостей. Вполне параллельные плоскости, входящие в определители р-плоскости и я-плоскости, имеют размерность с1 (I1 и ! ' ). Тогда (б + г — д)-плоскость пересекает с1-плоскость по плоскости, размерность которой равна с! + (б + г - я) -— р = Б + 2г —р —а (в + г —р)-плоскость пересекает (¿-плоскость по плоскости, размерность которой равна с1 + (б-1- г — р) — ч = б + 2г — р — я + 1. Значит, вполне параллельные плоскости определителя сечений имеют размерность б + 2г — р — д + 1. Степень
Б + 2г-р-а + 1 „ параллельности равна --—-5—. Второй спо-
Б + г-р
соб удобен при графическом решении, так как облегчает нахождение определителей сечений.
Библиографический список
1. Волков В.Я. К-параллельность и К-перпендикуля;'. ;остьв Ы-мерном евклидовом пространство //Прикладная гсоусчрии и инженерная графика - Омск: И <л во ОмПИ, 1972 - С. 50 - 55.
2. Куликов Л.К. Взаимное пом.-*», -»ш«; плоскостей //Омский научный псстннк, 2005 - Выи 31. — О 70 -71.
3. ПервикппаВ.Н. Осногыу.ляг. ••¡.•риойн .тертателыюй геометрии/ В.Н.Первикова - М . г-.'-Л !, 1976 - 35 ..
4. Филип :ов П.В. Нпчертат!»л!,-1,1ягет.1е1 оиямногомерного пространства иее^рпложекия/. I 1>. Фи^.'-ппов. - Л.: Изд-воЛГУ, 1979. -- 280 с
5. С.'опи.югуШе IXМ У. А.1 пЦгос1пг,юп Ю 11и_деоте1гуоГпШ-тОП*-ОП*. -- 1ч!-..1пп, 1929
КУЛИКОВ Л ;онид Константинович, кандида т технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.
Поступила о редакцию 22.06.06. © Куликов Л. К.
Книжная полка
Геннадий Андреевич Месяц. — М.: Наука, 2006. - 9 л. - (Материалы к биобиблиографии ученых).
Выпуск посвящен академику, вице-президенту РАН, выдающемуся российскому ученому, организатору науки, специалисту в области электроники и электрофизики. Включает основные даты жизни и деятельности Г. А. Месяца, краткий очерк его научной деятельности, литературу о нем и ег о трудах, хронологический указатель трудов, справочный аппарат.
Для специалистов и интересующихся историей науки.
Архив истории науки и техники / Ин-т истории естествознания и техники им. С. И. Вавилова. — М.: Наука, 1995. -Т. 3. - 2006. - 30л.
В сборнике рассмотрены актуальные теоретические, методологические проблемы историографии и источниковедения истории науки и техники, уделено внимание изучению тенденций и особенностей их формирования на различных эталах исторического развития, анализируется жизнь и деятельность некоторых крупных отечественных ученых, теоретические аспекты создания историко-научной биографии. Дан анализ источников по истории науки, впервые вводимых в научный оборот. Статьи, документальные публикации содержат большой й разнообразный фактический материал.
Для специалистов в области истории науки, техники и интересующихся развитием научного познания, технического творчества.
