Геометрическое моделирование поверхности посредством ее отображения на четырехмерное пространство Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЕВЗИНА Наталия Владимировна, аспирантка кафедры «Конструирование и технологии изделий лёгкой промышленности» Омского государственного института сервиса (ОГИС). Адрес для переписки: [email protected] ЮРКОВ Виктор Юрьевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Конструирование и тех-

нологии изделий лёгкой промышленности» ОГИС. Адрес для переписки [email protected]

Статья поступила в редакцию 13.11.2014 г. © С. Н. Литунов, Н. В. Ревзина, В. Ю. Юрков

УДК 514.185.2

В. А. КОРОТКИМ

Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОСРЕДСТВОМ ЕЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Рассмотрен способ построения поверхности, проходящей через замкнутый контур, основанный на повышении размерности объемлющего пространства. Для конструктивной реализации соответствующего графического алгоритма используется гиперэпюр Наумович. Даны примеры построения поверхности, проходящей через трех- и четырехзвенный контуры, образованные плоскими кривыми линиями.

Ключевые слова: начертательная геометрия, гиперэпюр Наумович, обобщенный чертеж Монжа, гладкая поверхность на замкнутом контуре, цилиндроид, коноид.

Одним из способов моделирования поверхностей является ключевой способ, в соответствии с которым определитель поверхности содержит некоторое геометрическое условие («ключ»), посредством которого задается закон изменения формы образующей. Ключ проекционно связан с главными видами, что позволяет рассматривать чертеж с изображением ключа как чертеж двумерной по -верхности, находящейся в четырехмерном пространстве, на что впервые обратил внимание профессор И. И. Котов [1]. Обобщенная трактовка всех ключевых способов формирования поверхности как задачи начертательной геометрии четырехмерного пространства Е4 дана в [2].

Постановка задачи. В расширенном евклидовом пространстве хуг имеется замкнутый четырех-звенный контур, заданный плоскими кривыми линиями АВ, ВС, СВ, ВА, лежащими в плоскостях и, т, п, Р соответственно (рис. 1). Требуется сформировать гладкую (всюду дифференцируемую) поверхность, проходящую через данный контур.

В трехмерном пространстве задачу следует считать неопределенной [1, 2]. Для устранения неопределенности предлагается выполнить отображение плоскостей и, т, п, Р, вместе с находящимися в них звеньями контура ДБСБ, на четырехмерное пространство E4(xyzt). С этой целью отмечаем в каждой из плоскостей три произвольные точки и «выносим» их из Г(xyz) в Е4, присваивая им произвольные координаты по оси 1 Например, на рис. 2 точкам 1=хпи, 2 = упи, 3 = znи, имеющим нулевые

значения координаты ^ поставлены в соответствие точки 10, 20, 30 (с произвольными, отличными от нуля значениями координаты Ц, определяющие плоскость и0 в пространстве Е4. При этом реализуется биекция (взаимно однозначное отображение) множества точек плоскости и как прообраза, вложенного в трехмерное пространство Г, на множество точек образа — плоскости и0, лежащей в Е4. Плоскости и и и0, пересекаясь по прямой MNK, принадлежащей гиперплоскости Г(xyz), в свою очередь определяют в Е4 некоторую гиперплоскость Т(ипи0), содержащую несобственную точку Т" координатной оси 1 Взаимно однозначное отображение и^и0 обеспечивается проецированием точек плоскостей и, и0 друг на друга пучком проецирующих прямых 1 — 10, 2 — 20, 3 — 30,... с центром в точке Т". Все проецирующие прямые вложены в гиперплоскость Т. Плоское криволинейное звено ЛББ ^ и отображается в звено Л^ Б0 ^ и0 (см. рис. 2).

Отображая плоскости всех звеньев контура ЛБСБ на E4(xyzt), получаем некоторый замкнутый контур w0 = A0B0C0D0, размещенный в четырехмерном пространстве. Исходный контур ABCD будем считать ортогональной проекцией контура w0 на гиперплоскость Г(xyz); при этом формулировка поставленной задачи изменяется.

В расширенном евклидовом четырехмерном пространстве Е4(хугЦ дан замкнутый контур шд=А1рдС1рд, образованный плоскими криволинейными звеньями. Плоскости и0, т0, п0, Р0 звеньев А0В0, В0С0, С0В0, В0А0 пересекаются в узлах А0, В0, С0, В0

в

р п

с

Рис. 1

оо

Рис. 2

в

Ро По

Рис. 3

(рис. 3). Требуется составить алгоритм построения двумерной поверхности, проходящей через контур

В отличие от исходной задачи, сформулированной для пространства Г(ху2), в пространстве Е4(ху^1;) может быть конструктивно реализовано закономерное построение точек и линий поверхности, проходящей через данный контур. Решением исходной задачи является ортогональная проекция этой поверхности на гиперплоскость Г(ху2).

Алгоритм построения поверхности в четырехмерном пространстве. В пространстве Е4(ху21;) дан замкнутый контур w0 = A0B0C0D0, на который надо «натянуть» двумерную поверхность (см. рис. 3).

1. Отмечаем точки пересечения и0 = ст0пп0, У0 = т0пр0 плоскостей противолежащих звеньев. Назовем их базисными точками (базисом) контура w0 в четырехмерном пространстве.

2. Между точками каждой пары противолежащих звеньев устанавливаем взаимно однозначное соответствие, описываемое некоторой функцией соответствия ф. Пусть соответствие точечных рядов звеньев А0В0 и С^0 описывается функцией ф1, где

A0^D0, В0^С0, а звеньев А^0 и В0С0 — функцией

Ф21, где А^В* ^^0.

3. Формируем в пространстве Е4 два пучка (одномерных множества) вспомогательных плоскостей 5 и ю. Плоскости пучка 5, включая в себя р0 и т0, проходят через базисную точку У0 = т0^р0 и через пары соответственных в ф1 точек звеньев А0В0 и С^0. Плоскости пучка ю, включая в себя ст0 и п0, проходят через и0 = ст0пп0 и через пары соответственных в ф2 точек звеньев А(Р0 и В0С0. Две произвольные плоскости одного пучка пересекаются между собой только в его базисной точке.

4. Точки пересечения плоскостей разных пучков образуют двумерную поверхность в четырехмерном пространстве, натянутую на контур w0 (доказательство см. [2]).

Покажем, что на этой поверхности располагается два семейства образующих. Пучок 5 плоскостей, проходящих через У0 и управляемых функцией ф1, пересекая какую-либо фиксированную плоскость ю. пучка ю, определяет однопараметрическое множество точек — плоскую криволинейную образующую, лежащую в плоскости ю.. Множеству го1 плоскостей пучка ю соответствует го1 не пересекающихся между собой образующих одного семейства. Аналогично в каждой из го1 плоскостей пучка 5 формируется образующая другого семейства. Через любую точку поверхности, натянутой на контур w0, проходит одна образующая первого семейства и одна образующая второго семейства. Многообразие функций соответствия ф1, ф2 порождает многообразие двумерных поверхностей в Е4, проходящих через контур w0.

Пример. В пространстве Г(ху2) дан прямоугольный в плане четырехзвенный контур ABCD, через который требуется провести поверхность.

Присвоим узлам контура произвольные координаты по оси ; и изобразим его на гиперэпюре Наумович, состоящем из двух трехмерных проекций узлов контура на «фронтальную» Г(ху2) и «горизонтальную» Г'(ху!) гиперплоскости проекций (рис. 4а).

При отображении контура на четырехмерное пространство требуется однозначно определить не только положение узлов в Е4, но и положение плоскостей, содержащих звенья контура. Для этого необходимо в четырехмерном пространстве указать (выбрать) положения базисных точек и„, У0, в которых пересекаются плоскости противолежащих звеньев. Этот выбор, от которого зависит форма конструируемой поверхности, может быть сделан с большой степенью произвола.

В рассматриваемом примере базисные точки выбраны следующим образом: плоскости и П0, содержащие звенья А0В0 и С^0, пересекаются в несобственной точке и0 = Хго оси х, а плоскости р0(А^0) и т0(В0С0) пересекаются в несобственной точке У0 = 2" оси В этом случае проекции на Г'(ху!) плоскостей р0 и т0 вместе с содержащимися в них звеньями А^^ В0С0 вырождаются в прямые линии [3], а проекции на Г' звеньев А0В0 и С^0 определяются по общему правилу: если линия принадлежит плоскости, то проекция линии принадлежит проекции плоскости.

Таким образом, выполнено отображение замкнутого контура ABCD, расположенного в трехмерном пространстве Г(ху2), на пространство четырех измерений Е4. Между точками «прообраза» ABCD Г(ху2) и точками «образа» А0В0С^0 Е4 установлено взаимно однозначное соответствие. Гиперэпюр (двухпроекционный трехмерный чертеж) контура

№

а)

б)

Рис. 4

w0 = A0B0C0D0 удовлетворяет основному требованию, предъявляемому к чертежу геометрической фигуры: по одной проекции точки, принадлежащей контуру или плоскости какого-либо его звена, может быть построена вторая проекция этой точки.

После выбора базисных точек, следует, согласно рассмотренному выше алгоритму, задать функции ф1, ф2, определяющие взаимно однозначное соответствие точечных рядов противолежащих звеньев контура А0В0С^0. В рассматриваемом примере для указания этих соответствий использованы гиперплоскости уровня. Так, соответственные в ф1 точки на противолежащих звеньях А0В0, С^0 выделяются как точки пересечения этих звеньев гиперплоскостями уровня х = сош1:, параллельными координатной гиперплоскости у21;, а соответственные в ф2 точки звеньев А^Ро, В0С0 получаются в пересечении их гиперплоскостями уровня у = сош1:, параллельными гиперплоскости Х21;.

Определив функции соответствия, получаем пучки вспомогательных плоскостей 5 и ю. Произвольная плоскость 5. пучка 5 определена базисной точкой У0 = 2" и парой соответственных в ф1 точек М0, Ы0. Проекция этой плоскости на Г'(ху!) вырождается в прямую М'№. Произвольная плоскость ю. пучка ю определяется точкой и0 = Х" и парой соответственных в ф2 точек К0, Ь0, заданных на гиперэпюре своими проекциями К, Ь и К', Ь' (см. рис. 4а).

Точка Р0 пересечения плоскостей 5. и ю. принадлежит искомой поверхности, проходящей через контур w0 в четырехмерном пространстве. Для построения этой точки на гиперэпюре достаточно найти «горизонтальную» проекцию Р' точки Р0 как точку пересечения «горизонтальных» проекций

5.' = М'№ и ю.' = К'Ь'Х™ плоскостей 5. и ю., и затем

1 ] 1 г

построить «фронтальную» проекцию Р этой точки

из условия принадлежности ее к плоскости ю.. На

гиперэпюре это построение выполнено с помощью

вспомогательной прямой 1—2, лежащей в ю..

Многократно повторяя указанное построение, получаем поверхность как двупараметрическое множество точек. Каждой точке Р1 плана (плоскости ху) ставится в соответствие единственная точка Р0(Р, Р') поверхности, через которую проходят две образующие М0Ы0(МЫ, М'№) и К0Ь0(КЬ, К'Ь') (рис. 4б).

В рассматриваемом примере «горизонтальная» проекция поверхности на гиперплоскость Г'(хуЦ — цилиндроид с направляющими А'В', C'D' и плоскостью параллелизма у! Если звенья АВ и CD контура

ABCD — алгебраические кривые второго порядка, то их проекции А'В', C'D' также будут кривыми второго порядка, а поверхность цилиндроида — поверхностью восьмого порядка [4], в сечении которой плоскостью ю.' получается алгебраическая кривая К'Ь' восьмого порядка (см. рис. 4б). На гиперэпюре точечные поля < . и < .', вложенные в гиперплоскости Г(ху2), Г'(хуЦ, находятся в перспективно-аффинном (родственном) соответствии, поэтому порядок образующей КЬ в исходном пространстве Г(ху2) также равен восьми.

Конструктивное решение задачи может быть реализовано не только на гиперэпюре Наумович, но и на плоской проекционной модели — обобщенном чертеже Монжа, где проекция контура на плоскость у; может быть названа «трапецеидальным ключом» (рис. 5). Очевидно, такой чертеж менее нагляден по сравнению с гиперэпюром. Гиперэпюр, в отличие от чертежа Монжа, имеет минимальную разность между размерностями исходного и картинного пространств, вследствие чего обладает преимуществами в простоте и наглядности при конструктивном решении задач в пространстве Е4. Эти преимущества могут быть эффективно реализованы на компьютере в связи с развитием программных графических средств, позволяющих выполнять точные построения на компьютерных аксонометрических моделях фигур, условно называемых «3D-макетами».

Сравнение с ключевым способом. Требуется построить отсек судовой поверхности, ограниченный палубной линией BC, килевой линией АО и шпангоутами АВ, CD. В соответствии с прогрессическим ключевым способом, вводится треугольный «ключ» А^^, проекционно связанный с фронтальной и горизонтальной проекциями контура ABCD (рис. 6а). Далее проводят прямые М2Ы2, К1Ь1 и с помощью линий связи вычерчивают на «ключе» отрезки М4Ы4 и К4Ь4, пересекающиеся в точке Р4. Эту точку переносят с помощью линий связи на прямые М2Ы2, К1Ь1 и считают полученную точку Р (Р2, Р1) принадлежащей конструируемой поверхности. Покажем, что здесь неявно реализован

В5

Рис. 5

C2 K B2

а)

б)

Рис. 6

№

рассмотренный выше алгоритм построения поверхности в пространстве; Е4. Действительно, на рис. 6а представлена плоская проекционная модель контура w0 = A0B0C0D0, расположенного в E4, у которого плоскости противолежащих звеньев ст(ЛБ) и п(СЭ) пересекаются в базисной точке и0 = 2", а плоскости т(ВС) и р(ЛЭ) — в базисной точке У0 = У". Поскольку плоскости ст и п инцидентны точке 2", то они изображаются на Г'(ху1;), а следовательно, и на П4 = х1 прямыми линиями.

Функциональные соответствия ф1, ф2 между точками противолежащих звеньев установлены посредством гиперплоскостей уровня, параллельных гиперплоскостям проекций ху и Х21;. Например, гиперплоскость А3||ху1; пересекает звенья ЛБ, CD в точках N М (функция соответствия ф1), которые совместно с базисной точкой У" определяют плоскость 5. Гиперплоскость 03||х21 высекает на противолежащих звеньях ВС и ЛЭ соответственные в ф2 точки К, Ь, определяющие (совместно с базисом 2") плоскость ю. Точка пересечения Р плоскостей 5(МИУ") и ю(КЬ2") принадлежит моделируемой поверхности. Эти плоскости изображаются на П4 = х1 прямыми М4И4 и К4Ь4, точка пересечения которых определяет проекцию Р4 искомой точки Р = 5пю.

Таким образом, в рамках ключевого способа построение точки на поверхности сводится к построению точки пересечения двух прямых (см. рис. 6а). Это решение полностью, без каких-либо изменений, с теми же базисными точками и функциями соответствия реализовано на гиперэпюре (рис. 6б).

Частный случай. Пусть палубная линия ВС — кривая второго порядка. Тогда проекция искомой поверхности на пространство Г'(ху^) — линейчатая алгебраическая поверхность четвертого порядка (коноид с плоскостью параллелизма х;), в сечении которой плоскостью 5' получаем кривую четвертого порядка М'Р'№ [4]. Точечные поля плоскостей 5'с Г'(хуУ и 5 с Г(ху;) проекционно связаны, поэтому в пространстве Г(ху2) образующая МРИ (бортовой стрингер) — кривая четвертого порядка (см. рис. 6б).

Покажем, что, в отличие от классического ключевого способа, применение способа выхода в пространство Е4 позволяет сформировать продольный силовой набор поверхности из участков кривых не четвертого, а второго порядка.

Повернем контур ЛБСЭ конструируемого отсека таким образом, чтобы плоскость т палубной

Рис. 7

линии BC совместилась с yz. Выносим контур в E4, придав узлам произвольные значения координат по оси t (рис. 7). Выби р аем базисные точки: V0 = Y" = T(BC)np(AD), U0 = Z" = CT(AB)nn(CD). Устанавливаем соответствие ф1 между точками звеньев AB и CD посредством вспомогательных гиперплоскостей уровня x = const, а соответствие ф2 между звеньями BC и AD — с помощью гиперплоскостей y = const.

Пара соответственных в ф1 точек, «бегущих» по звеньям AB и CD, совместно с базисной точкой Y" определяет пучок плоскостей 5, «пробегающих» от плоскости палубы до киля. Аналогично, множество пар соответственных в ф2 точек и базисная точка Z" определяют пучок плоскостей <в, «пробегающих» между шпангоутами AB и CD.

Множество <ю2 точек пересечения плоскостей пучков 5 и < определяет в E4 искомую поверхность, проекция которой на r'(xyt) — коноид у' с плоскостью параллелизма xt и направляющей коникой B'C'. В подпространстве T'(xyt) плоскость 5'(M'N'Y") пересекается с коноидом у' по кривой второго порядка M'N' (см. рис. 7). Для доказательства этого утверждения рассмотрим лемму.

Лемма. Пусть линейчатая поверхность в задана направляющей кривой второго порядка e и двумя прямолинейными направляющими g, q, пересекающимися с плоскостью Z коники e в точках G, Q. Тогда плоскость 5, проходящая через GQ, пересекается с в по кривой второго порядка.

Доказательство. Прямая GQ пересекает направляющую e в двух точках (действительных, совпавших или мнимых сопряженных), а также пересекает направляющие g, q. Следовательно, прямая GQ представляет собой две совпавшие образующие поверхности в. Линейчатая поверхность в — алгебраическая поверхность четвертого порядка [4], в сечении которой плоскостью 5 получаем кривую четвертого порядка, распавшуюся на считаемую дважды прямую GQ и на кривую второго порядка, ч.т.д.

Коноид у'С r'(xyt) — поверхность четвертого порядка с направляющей коникой B'C'C yt и прямолинейными направляющими A'D', i» = X"T", которые пересекают плоскость yt направляющей коники

в точках Y", T" соответственно (здесь X", Y", T" — несобственные точки координатных осей x, y, t). Плоскость 5' проходит через Y"T" (так как S'||yt), следовательно, в соответствии с леммой, в сечении коноида у' этой плоскостью возникает участок кривой второго порядка M'N' (см. рис. 7). Точечные поля 5' и 5, вложенные в гиперплоскости проекций r'(xyt) и r(xyz), связаны на гиперэпюре перспективно-аффинным соответствием, поэтому в исходном пространстве xyz кривая MN С 5 также будет участком коники. Множество плоскостей пучка 5 индуцирует множество продольных образующих (кривых второго порядка MN) моделируемого отсека поверхности.

Таким образом, если палубная линия BC — участок коники, то, независимо от формы шпангоутов AB и CD, отсек ABCD конструируемой поверхности может быть образован движением дуги кривой второго порядка MN по направляющим AB, CD. При этом форма образующей MN меняется от палубной линии BC до прямолинейного киля AD (см. рис. 7).

Поверхность на трехзвенном контуре. Во всех вариантах ключевого способа решается задача построения поверхности на четырехзвенном контуре. Покажем, что если одну из вершин трехзвенного контура считать выродившимся в точку четвертым звеном, то рассматриваемый обобщенный алгоритм построения поверхности посредством отображения ее на пространство E4, в отличие от ключевого способа, полностью сохраняет свою конструктивную определенность. Пусть требуется построить поверхность, проходящую через контур ABC. Присваивая узлам произвольные значения координат по оси t, получаем контур A0B0C0 в E4. Положим

°o(AoCo)^o(BoCo) = CoZ™ To(AoBo)nPo(Co)=X» где p0(C0) — плоскость выродившегося в точку Co звена, противолежащего звену AoBo. При таком выборе базисных инциденций плоскости звеньев A0C0, B0C0 и сами звенья проецируются на T'(xyt) прямыми A'C' и B'C', а проекция на Г' звена A0B0 определяется из условия его принадлежности плоскости To(AoBoX") (рис. 8).

Формируем в E4 два пучка вспомогательных плоскостей. Будем полагать, что плоскости <в. пучка <в с осью C0Z" перспективны ряду точек звена A0B0, то есть в этом пучке плоскости «пробегают» точечный ряд A0B0 от положения °0(A0C0) до n0(B0C0). Плоскости 5.пучка 5 проходят через базисную точку X" и через точки пересечения противолежащих звеньев A0C0 и B0C0 вспомогательными гиперплоскостями уровня y = const. Двупараметрическое множество точек пересечения плоскостей пучков 5, <в образует поверхность, «натянутую» на контур A0B0C0 в пространстве E4, проекция которой на r(xyz) — искомая поверхность, а на T'(xyt) — отсек конической поверхности с вершиной C' и направляющей A'B' (см. рис. 8).

Рис. 8

Заключение. Рассмотрен графический способ построения поверхности, основанный на выходе в четырехмерное пространство, конструктивная реализация которого отличается применением гиперэпюра вместо плоского проекционного чертежа. Показано, что способ может быть использован для построения поверхности, проходящей не только через четырехзвенный, но и через трехзвенный замкнутый контур.

Библиографический список

1. Котов, И. И. Геометрические основы ключевых способов построения поверхностей : сб. научн. тр. / И. И. Котов // Труды Всесоюзного заочного энергетического института. — М. : МЭИ, 1957. - Вып. 10. - С. 15-36.

2. Волошинов, Д. В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация: монография / Д. В. Волошинов. — Saarbrucken : Lambert Academic Publishing, 2010. - 355 с.

3. Короткий, В. А. Компьютерное моделирование фигур четырехмерного пространства / В. А. Короткий // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2014. —

№ 7. - С. 14-20.

4. Иванов, Г. С. Теоретические основы начертательной геометрии / Г. С. Иванов. - М. : Машиностроение, 1998. -

157 с.

КОРОТКИЙ Виктор Анатольевич, кандидат технических наук, доцент кафедры графики. Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 29.09.2014 г. © В. А. Короткий