Научная статья на тему 'Цилиндроид в центроаффинном четырехмерном пространстве'

Цилиндроид в центроаффинном четырехмерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
144
18
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
iPolytech Journal
ВАК
Область наук
Ключевые слова
ЦИЛИНДРОИД / ЦЕНТРОАФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО / РЕПЕР / CYLINDROID / CENTROAFFINE SPACE / REFERENCE POINT

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лебедева Галина Андреевна, Перевертаева Тамара Федоровна

Рассматриваются в центроаффинном пространстве условия p-параллельности плоскостей. Впервые сформулировано определение цилиндроида, построен его репер, геометрически охарактеризован. Представлена характеристика инвариантов, и рассмотрены некоторые частные классы цилиндроида.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

CYLINDROID IN THE CENTROAFFINE FOUR- DIMENSIONAL SPACE

The conditions of p-plane parallelism are examined in a centroaffine space. For the first time the definition of a cylindroid is formulated, its reference point is built, and characterized geometrically. The characteristics of invariants are presented, and some special classes of the cylindroid are considered.

Текст научной работы на тему «Цилиндроид в центроаффинном четырехмерном пространстве»

УДК 514.7

ЦИЛИНДРОИД В ЦЕНТРОАФФИННОМ ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Г.А. Лебедева1, Т.Ф. Перевертаева2

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматриваются в центроаффинном пространстве условия р-параллельности плоскостей. Впервые сформулировано определение цилиндроида, построен его репер, геометрически охарактеризован. Представлена характеристика инвариантов, и рассмотрены некоторые частные классы цилиндроида. Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: цилиндроид; центроаффинное пространство; репер.

CYLINDROID IN THE CENTROAFFINE FOUR- DIMENSIONAL SPACE G.A. Lebedeva, T.F. Perevertaeva

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The conditions of p-plane parallelism are examined in a centroaffine space. For the first time the definition of a cylindroid is formulated, its reference point is built, and characterized geometrically. The characteristics of invariants are presented, and some special classes of the cylindroid are considered. 4 sources.

Key words: cylindroid; centroaffine space; reference point.

Центроаффинная группа, лежащая в основе цен-троаффинной геометрии, определяется как такая подгруппа проективной группы, которая оставляет неподвижной некоторую точку О и плоскость пространства.

Аффинное пространство, в котором выделена неподвижная точка, называется центроаффинным, а точка О называется центром пространства. Если выбрать центр О за начало координат, то преобразования центроаффинной группы принимают вид:

х1 = А'х8.

Выделение в аффинном пространстве одной привилегированной неподвижной точки и превращение его в центроаффинное пространство позволяет сопоставить каждой точке М вполне определенный вектор

(радиус-вектор г = ОМ), а каждой гиперплоскости ц , не проходящей через О, - вполне определенный ковектор, определяемый упорядоченной парой гиперплоскостей, первая из которых параллельна ц и проходит через центр О, а вторая совпадает с ц. Аналитически это сводится к тому, что если выбрать начало

координат в точке О, то точке М (х1,х2,...,хп) мы сопоставим ее радиус-вектор г(хх х2...,хп), а гиперплоскости ^х' = 1 - ковектор ^¡(^,£2,...,£„).

Но так как п - мерное пространство ковекторов - с абстрактной точки зрения, ничем не отличается от п-мерного векторного пространства, то мы можем сделать вывод, что в центроаффинной геометрии имеет место полная двойственность: каждому положению относительно точек соответствует точно такое же положение относительно гиперплоскостей.

Приведем здесь некоторые определения, которые в дальнейшем нам понадобятся [1].

Линия пересечения линейчатой поверхности с конусом, вершина которого находится в центре пространства, а образующие параллельны касательным центральной кривой, является центральной индикатрисой, а линия, вдоль которой касательные плоскости к линейчатой поверхности проходят через центр пространства, центральной.

Точка пересечения луча линейчатой поверхности с центральной линией называется центральной точкой луча.

О р-параллельности плоскостей. Две плоскости Ьк и Ье, заданные в Ап уравнениями:

аоx' + aoo = 0 o =1 n - к;

+ вро = 0 р = 1, n - e; (1)

при

R

= R

a a n

o' o0 epi вР0

Н = к + е - п > 0 в общем случае имеют Н-мерное пересечение. В случае Н<0 плоскости Ьк и Д общего положения не пересекаются. Линейные векторные пространства Vk и V, базисные для плоскостей Д и Д , определяются

соответственно однородными системами и имеют (при Н>0) в общем случае Н-мерное пересечение.

1 Лебедева Галина Андреевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89086668414. Lebedeva Galina, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 89086668414.

2Перевертаева Тамара Федоровна, кандидат физико-математических наук, доцент, тел.: 89149587417.

Perevertaeva Tamara, Candidate of Physical and Mathematical sciences, Associate Professor, tel.: 89149587417.

и

Непересекающиеся плоскости Lk и Le являются

р-параллельными, если имеют общее линейное векторное подпространство размерности

р = dim V ^ V.

Очевидно, что

H < p < min (k, e). Для того, чтобы Vk и Ve, определяемые однородными системами

а^х' = 0 а = 1, и - £ ;

вдх' = 0 р = 1, и - e,

как совокупности их фундаментальных решений, имели р-мерное пересечение, необходимо и достаточно, чтобы объединенная система однородных уравнений имела ранг (п-р). Таким образом, условиями р-параллельности плоскостей Ьк и , заданных системами (1), являются соотношения а„

R

= n-p;

R

= rR a0ä aa0

6ß 6ß 6ß0

Первое из этих условий накладывает

И = p(n+p-k-e).

При p = p^ = min(k, е) плоскости Lk Le будем называть вполне параллельными.

В этом случае меньшее по размерности из подпространств Vk и V является подпространством другого. Тогда:

Pmax = min (k,e) i

Итх min(k, e)n + min(k, e) - k - e].

Определение цилиндроида и построение его репера. Цилиндроидом называется однопараметри-ческое семейство плоскостей, р-параллельных одной и той же плоскости, называемой основной плоскостью цилиндроида.

Пусть L - образующая плоскость цилиндроида, заданная уравнением:

Lk = tama + m; a = 1, k и L - основная плоскость цилиндроида, заданная уравнением:

Le =rßnß+ Щ; ß = 1, e.

Эти плоскости не пересекаются. Тогда условия для цилиндроида запишутся в виде:

^lma nß| = k + e - Р; .й рШ^ n J = e,

причем R < R

ma mo

Па no

Деривационные формулы репера в центроаф-финном пространстве имеют вид

¿Л1 = О£Лк.....(', £ = 1,2,3,4),

где Л; - линейно независимые векторы, а О£ -

дифференциальные формы, удовлетворяющие уравнениям структуры:

ДО = О ок}

Можно положить

Ок = ®\ ,

где оОк - формы, являющиеся линейными комбинациями дифференциалов параметров семейства (первичные формы). а п\ - формы, являющиеся линейными комбинациями дифференциалов шестнадцати вторичных параметров.

Рассмотрим однопараметрическое семейство два-плоскостей в четырехмерном центроаффинном пространстве. Выбираем образующей плоскостью в СА4

Ь2, которая будет два-параллельная Ь3. Совместим два-плоскость репера {ё2, ё3} с плоскостью Ь2, а гиперплоскость {ё2, ёъ,ё4 } с основной плоскостью цилиндроида Ь3.

Репер построен, и его деривационные формулы имеют вид

dHj

ds de.

■ = e + ae2, — ds ds

de.

= 2be2 + ё4,

= Ьё2 + еёъ.

&

Соприкасающейся квадрикой является квадрика, которой принадлежат три бесконечно близкие плоскости.

Уравнение соприкасающейся квадрики можно искать в виде

(я )+ 2(ы * Я)+ а00 = 0,

где Я = е + Лё2 + ;

(ё;* ёк ) = а;к; (Ыё; = ао1).

Уравнение квадрики, содержащей три близкие плоскости, имеет вид

2х0х4 — 0.

Найдены уравнения поляр полученной квадрики для точек:

(1, 0, 0, 0) : - 2х2+х4=0; (0, 1, 0, 0) :х1=1; (0, 0, 0, 1) : х1= -1. С-конусом направлений назовем соприкасающуюся квадрику к конусу направлений, образованного

движением вектора Я = Лё{.

Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат можно записать в виде

(r *r )= о.

Уравнение С - конуса направления Я — Ле3 име-

ет вид

9х2 + (9Ь + 2)х2 - 6х2х4 -18х3х4 = 0; тогда поляры для несобственных точек запишутся: (0, 1, 0, 0) : - 3х2+х4=0; (0, 0, 1, 0) : х4= =0; (0, 0, 0, 1) : 3х2+9х3-(9Ь+2)х4 = 0.

Таким образом, три-плоскость (е,е2,ё3) есть поляра точки (0, 0, 1, 0) относительно конуса направлений Я — Ле3.

Уравнение характеристики линейного подпространства образующей плоскости (е2, е3) найдется из условия:

е^, е^, е^ | — 0; е^, е^, е^ | — 0;

е^, е^, е^ | — 0;

е4, е3, ех| — 0, т.е. х1 = 0, х4 = 0, х1 = 0, х2 = 0 и, следовательно, вектор е3 направлен по найденной характеристике.

Центральной плоскостью однопараметрическо-го семейства плоскостей называют касательную плоскость семейства, проходящую через центр пространства [1].

Точка, в которой касательная плоскость - центральная, назовем центральной точкой.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Уравнение касательной плоскости к цилиндроиду

точке

Я — ех + Ле2 + /

из

условия

z- е, е2, е, ёЯ

— 0 запишется в виде

Лх1 - х4 - Л — 0.

При Л — 0 имеем центральную прямую Я — ех +/3, а центральная плоскость к цилиндроиду есть три-плоскость (е, е2, е3).

Найдено, что характеристика гиперплоскости (е, е2, е) - линейное подпространство два-

плоскости (е,е3); вектор ех - пересечение трех бесконечно близких плоскостей плоскости (е, е2, е3 ), т.е. точка Я — е есть лучевая точка торса [1], описываемого гиперплоскостью (е, е2, е3).

Получили, что вектор е4 направлен по характеристике два-плоскости (е3, е4) и вектор е4 является первой осью специального комплекса в (е2, е3, е4), соприкасающегося к линейчатым поверхностям Я — е + Ле2 и Я — ех + /е3 [3].

В гиперплоскости (е1, е2, е3) кривая Я — е2 (б) -плоская. Тогда дифференциал длины дуги цилиндро-

ида пропорционален длине дуги индикатрисы плоской кривой: Я — е2 (б) в гиперплоскости (е, е2, ®з):

ёБ+ — (4Ь2 )13 (е3, е2 Ж . Уравнение квадрики для (е, е3) имеет вид

9х2 + (18Ь-13)х2 - 6х2х4 -18х3х4 — 0.

Уравнение поляр полученной квадрики для точек: (1, 0, 0, 0) : х4=0; (0, 1, 0, 0) : х3-2Ьх4=0; (0, 0, 1, 0) : х2+х4= 0; (0, 0, 0, 1) : ах1+2Ьх2+х3+2(2Ь+о)х4=0. Плоскость х2 = 0 есть поляра соприкасающейся

квадрики для два-плоскости (е, е4).

Вектор е направлен по первой оси специального комплекса, образованного однопараметрическими семействами проекций прямых Я — е +Ле2 и

Я — е + /е3 на гиперплоскость (е1, е2, е3) ||е4 .

При а = 0 прямая Я — е2 +Ле3 есть вторая ось специального комплекса.

Вектор е4 - первая ось специального комплекса, образованного однопараметрическими семействами проекций прямых Я — е2 +Ле2 и Я — е1 + /ме3 на плоскость (е2, е3, е4 ) ||е .

При (с - 2ЬЛ) — 0 прямая Я — е2 +/4 совпадает со второй осью этого специального комплекса. Инвариант 2Ь является координатой касательной,

к годографу вектор-функции Я — е2(б), так как ^ е 2 )= (е2,2Ь|ез + е 4).

Ь

Отношение — - координата касательной к годо-с

графу вектор-функции Я — е4(б), так как (е4,е4)=

— (е4,Ье2 + се2).

Точка (о, а, - Ь, о) - точка пересечения ребра (А1А2) с полярой точки А4, относительно соприкасающейся квадрики к однопараметрическому семейству

плоскостей (е, е2).

Частные классы цилиндроида. Уравнение конуса направлений имеет вид

(12аЬ + 8с-8)х 2 + б(4а - 4Ь - 2ас)х0х! -

- 8Ь2х0х2+ сх0х3 - 4Ьсх0х4 +

+ (4аЬ + 2ас)х2 + 8Ь2х1х2 -

- (4Ь + с^х,, + 4Ьсх^4 — 0.

При с = 0 точки А0 и А3 полярно сопряжены относительно данного конуса направлений Я — Ле1. При

в

4Ь+с = 0 точки А1 и А3 полярно сопряжены относительно конуса направлений Я = Ле1.

Характеристика гиперплоскости (е, ё2, ё4), задается уравнениями:

2 е1, е2, е4| = 0,

а 2, е3, е2, е4| + 2Ь 2 е, е3, е4| + + с 2 е, е, = 0.

Отсюда имеем следующие частные классы:

1) при а # 0; 2Ь = 0; с = 0 характеристика

(е ,е2,ё4 ) есть два-плоскость (е2, ё4 );

2) при а = 0; 2Ь # 0; с = 0 характеристика (е1, е2 ,е4) - два-плоскость (е1, ё4);

3) при а = 0; 2Ь = 0; с # 0 -характеристика (е, е2 ,ё4 ) - два-плоскость (е, ё2).

При а = 0, 2Ь = 0 вектор е1 направлен по характеристике линейного подпространства два-плоскости (е, ё2), найденной из условия:

z, e, e2, e = о,

z, e1, e2, e4 = 0,

® z, e3, e2, e + 2b z, e, e3, e + z, e, e4, e2 = о,

alz, e3, e, e4|+2b |z, e, e3, e4|+|z, e, e4, el = 0.

При а # 0, Ь = 0, с = 0 вектор е4 направлен по характеристике линейного подпространства два-плоскости (е, ё4), и при а = 0, Ь # 0, с = 0 вектор е1 направлен по характеристике линейного подпространства два-плоскости (е, ё4 ).

Библиографический список

1. Щербаков Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. Томск, 1960.

2. Лукина Р.А. О 2-семействах прямых в четырехмерном центроаффинном пространстве: Тр. Томского ун-та. 1973. С. 118-132.

3. Карапетян С.Е. Проектно-дифференциальная геометрия

двупараметрических семейств прямых и плоскостей четырехмерного пространства. // Известия АН Арм. ССР, серия физ.- мат. наук, 1962. Т. 15. №2. С. 53-72. 4. Машанов В.И., Перевертаева Т.Ф. Цилиндрические семейства плоскостей в Ап: сб. тезисов конф. по математике и механике. Томск, 1974.

<

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.