Геометрия двупараметрического семейства прямых в четырехмерном центропроективном пространстве (сp 4) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.7

ГЕОМЕТРИЯ ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ПРЯМЫХ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ^4)

Л О

© И.В. Артёменко1, О.Н. Шульгина2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматривается геометрия 2-параметрического семейства прямых в СР4. В статье использовался метод внешних форм и подвижного репера. Были получены теоремы, характеризующие данное семейство. На примере теоремы Бахвалова С.В. подсчитан произвол существования 2-семейства прямых, который равен четырём функциям от двух аргументов. Рассмотрены частные классы и подсчитан произвол существования одного из частных классов.

Ключевые слова: двойственность; g-цилиндры; центральные точки; центральные линейчатые поверхности.

GEOMETRY OF TWO-PARAMETER FAMILY OF STRAIGHT LINES IN FOUR-DIMENSIONAL CENTROPROJECTIVE SPACE (CP4)

I.V. Artyomenko, O.N. Shulgina

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The geometry of two-parameter family of straight lines is considered in CP4. Using the method of exterior forms and moving frames, the theorems characterizing the family have been obtained. On example of S.V. Bakhvalov's theorem the existence arbitrariness of the 2- family of straight lines has been calculated. It equals to four functions of two arguments. Particular classes are discussed and the existence arbitrariness of one of the particular classes is calculated. Keywords: duality; g-cylinders; central points; central ruled surfaces.

Центропроективная геометрия является двойственной по отношению к аффинной геометрии [5]. Превращение проективной плоскости в аффинную осуществляется посредством фиксирования некоторой прямой, которую называют несобственной. Поступая двойственным образом, фиксируем некоторую точку плоскости, которая называется центром плоскости [1]. Эту точку будем принимать за начало координат. Фиксируя эту точку, из проективной группы преобразования

Г а'.Х + Ь 1 + с ха

выделяется новая подгруппа

I 1

üjXJ

*

двойственная по отношению к группе аффинных преобразований

*

X = a'xJ + b, \а'\ Ф 0.

Выделенная подгруппа названа центропроективной подгруппой, а её геометрию - центропроективной геометрией [5].

На проективной плоскости применяется принцип двойственности [7]: если на проективной плоскости справедливо предложение В, в котором говорится о точках, прямых и их взаимной принадлежности, то справедливо и

двойственное предложение В*.

В рп принцип двойственности сопоставляет ^-плоскости (п - k - 1) - плоскость. Например, гиперплоскости (точке) соответствует точка (гиперплоскость), прямой- (п - 2)- плоскость и так далее. О цилиндрических семействах плоскостей в Cpn

В многомерном аффинном пространстве имеется понятие частичной параллельности плоскостей [2]: две

1Артёменко Ирина Владимировна, кандидат геолого-минералогических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89148816908.

Artyomenko Irina, Candidate of Geological and Mineralogical sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 89148816908.

2Шульгина Ольга Николаевна, старший преподаватель кафедры математики, тел.: 89027671605, e-mail: [email protected]

Shulgina Olga, Senior Lecturer of the Department of Mathematics, tel.: 89027671605, e-mail: [email protected]

плоскости называются р-параллельными, если они не пересекаются, а их направляющие векторные подпространства имеют р-мерное пересечение.

Учитывая, что каждому вектору соответствует несобственная точка расширенного (за счет несобственных точек) аффинного пространства, по принципу двойственности в центропроективном пространстве можно ввести частичную параллельность. При этом учитывается, что несобственная плоскость заменяется на центр пространства, а несобственные точки - на гиперплоскости, проходящие через центр пространства.

Определение. Две плоскости Рк и Р1, заданные в CPn уравнениями

P, : х = ta M„, а = o, к,

P

:х = ГЖ

ß = 0,1,

(1)

называются д-параллельными, если они имеют общую линейную оболочку размерности д и если эта линейная оболочка содержит несобственную точку - центр пространства, то есть выполняются условия

где

, Nßj = g + 1, rIIä;, маЩ\\=g + 1,

max(k + 1, l + 1) < g < min (n, k + l + 2)

(2) (3)

Второе из соотношений (2) накладывает

Uq=(n - g)(k + l + 2 - g)

условий на взаимное положение рассматриваемых плоскостей.

Если д = max(k + 1, I + 1), то плоскости будут называться вполне параллельными.

Определение. Однопараметрические семейства Рк(0 к-плоскостей называется д- цилиндром, если каждые смежные плоскости Рк и Рк + dPk семейства д-параллельны.

Так как обе плоскости Рк и Рк + dPk имеют одну и ту же размерность к, то условие их д-параллельности имеют

вид:

ГЦма, dMa || = д + 1, Я||л0, Ма, dмa || = д + 1,

где к + 1< д < mm(n, 2(к + 1)) и накладывают ид=(п - д)(2(к + 1) - g) соотношений на положение смежной плоскости при заданном положении исходной. При д = к + 1 имеем полную параллельность.

Рассмотрим 2-семейство прямых, совместив с лучом рассматриваемого многообразия ребро А1А4 подвижного репера в СР4.

Из определения д-параллельности двух плоскостей имеет следующие условия:

^А1,А4,йА1,йА4) = д + 1, (4)

^А0,А1,А4,йА1, йА4) = д + 1,

где 2 < д < 4 или д = 2,3.

При д = 2 получаем полную д-параллельность рассматриваемых плоскостей, при д = 3 продолжаем дальнейшее исследование 2-семейства прямых.

Условия (4) принимают вид: [?(А0,А1,А4,йА1,йА4) = 4, откуда получаем уравнение д- цилиндров 2- семейства прямых

ш1ш4 - a>la>2 = 0.

(5)

С д- цилиндрами совместим координатные подмногообразия = 0, = 0.

Касательные подпространства и центральные линейчатые поверхности

Рассмотрим некоторую точку луча М = у1А1+у4А4.

Совокупность касательных плоскостей в точке М луча ко всем линейчатым поверхностям [4], проходящим через луч 2-семейства прямых и принадлежащих ему, образует трехмерное подпространство. Назовем его, следуя [3], касательным подпространством 2-семейства в данной точке М и обозначим Ту.Уравнение Ту запишется из условия

\x, А4

dM

af = 0'

dM

a = О

= о

в виде

хоугу4

■ х2(у4)2 - хЛу1)2 = 0.

Таким образом, в точке А1 получаем гиперплоскость х3 = 0, а в точке А4 получаем хг = 0. Предельное положение линейного пространства, определяемого двумя лучами линейчатой поверхности = Лш2, есть трехмерное касательное подпространство Тл [4], уравнение которого запишется из условия

x, ^Ai л, dA, i i.

I > 1> 4 iof4 =щ -

dA,

44 =4

= 0

в виде

в которой трехмерные каса-

Кх0 - А2х2 - х3 = 0.

Определение. Точка M = у1А1 + у4А4 на луче линейчатой поверхности ш3 = Аш2 тельные подпространства Ту и Тц совпадают, называется псевдофокусом.

Если М = А1, то это псевдофокус д-цилиндра мЗ = 0, если М = А3 - это псевдофокус д-цилиндра ш2 = 0.

Определение. Точки на луче 2-семейства прямых, в которых трехмерное касательное подпространство Ту проходит через центр пространства, названы центральными точками [3].

Для нахождения центральных точек получим условие у1у4 = 0, то есть точки Д, Д - центральные точки луча.

Определение. Линейчатые поверхности ш3 = Аш2 , для которых центральные точки являются псевдофокусами, названы центральными линейчатыми поверхностями. [8].

Теорема. Цилиндры суть центральные линейчатые поверхности 2-семейства прямых.

Присоединенная пара 2-семейства прямых

Прямые А1Аг и А3А4 совмещаем соответственно с касательными к линиям мЗ = 0, ш2 = 0 на поверхностям, описываемых точками А1и А4 . Полученную таким образом пару двупараметрических многообразий назовем присоединенной Опарой.

Рассмотрим соответствие между элементами к-пары. Возьмем на прямых А1А2 и А3А4 некоторые произволь-

Через точку M проведем касательную плоскость, проходящую через

ные точки М = ь1А1 + ь2А2 и М* = ь3А3 + г4А4 точку М*, и наоборот [6].

Определение. ^-проективитетом на каждом из соответствующих лучей пары двупараметрического семейства прямых называется проективитет М^ М", определяемый следующим образом: (М^ т ^ М* ^ т* ^ М"), где т, т* - плоскости, соответствующие точкам М и М", а точки М*М" - точки пересечения плоскостей т, т* с соответствующими лучами 2-семейства прямых. Двойные точки К-проективетов называются квазифлекнодальными точками [6].

Рассматривая соответствие между точками М и М", получим из условий:

) = o, ) = 0

(M *, A, A, dM 3 , dM 2

\ ' 1' 2' = 0' ю2 =0

(m, A, A, dM * 3 , dM * 2

\ ' 3' 4' тЦ = 0' l = 0

на каждом луче ^-пары по четыре квазифлекнодальные точки, причем из них А1,А2,А3,А3 - квазифлекнодальные точки и еще на каждом луче ^-пары имеем по две квазифлекнодальные точки, отсюда вывод: центральные точки луча исходного многообразия совпадают с квазифлекнодальными точками присоединенной ^-пары. Таким образом, репер зафиксирован и его деривационные формулы имеют вид:

dA1 = ш3А0 + (а}ш2 + /31ш3)А1 + ш\А2 + аш3А3, dA2 = cw2A0 + (а!ш2 + k^3)A1 + (а^ш'2 + Pia3)A2 - аш^А3 + (а3ш2 + рЗш3)А3, dA3 = [ш3А0 + (а!ш2 + Р1ш3)А1 + /1ш3А2 + (а3ш? + Р3ш3)А3 + (а3ш2 + Р3ш()А3, dA3 = ш2А0 + ро>2А1 + ш3А3 + (а3ш2 + р3ш3)А3 . Поверхность второго порядка касательных пространств

Рассмотрим линейчатую поверхность w2:w33, описываемую лучом А1А3, то есть принадлежащую рассматриваемому 2-семейству. Касательная 2 - плоскость в точке Y = у1А1+ у3А3 ее луча определяется матричным уравнением:

Rang \\x,AvA3,dy\\ = 3.

Сумма касательных плоскостей во всех точках луча линейчатой поверхности называется касательным пространством и определяется уравнением

Rang \\х, Ах, A3,dA1,dA3\\ = 4. Исходный луч 2-семейства в репере нулевого порядка задается матричным уравнением

Rang \\х, А1, А3\\ = 2,

определяющим систему

х0 = х2 = х3 = 0.

Произвольная гиперплоскость, проходящая через луч, определяется уравнением

А0х0 + Х2х2 + Х3х3 = 0. (6)

Касательное пространство луча линейчатой поверхности является гиперплоскостью рассматриваемого четырехмерного пространства и принадлежит связке (6). Уравнение (6) определяет касательное пространство, если dA1,dA3, если ему удовлетворяют. Таким образом получаем систему:

(а0\о + Х2 + а3А3)ш2 + + р313)ш33 = 0, (а0Ло + аЗЯ2)ш2 + (P30Ä0 + Р3:Л2 + X3)(ti3 = 0,

(7)

которая определяет отношение величин 10:12:13 , называемых тангенциальными координатами гиперплоскости. Чтобы рассмотреть геометрическое место касательных пространств всех линейчатых поверхностей ш2:ш3 рассматриваемого 2-семейства, надо из системы (7) исключить ш2 и Система (7) имеет ненулевые решения, если

+ ^ + а,% /30 Л0 + «0Л + а1лЛ1 Д°Ч +Д2Л +^3 откуда получаем уравнение поверхности второго порядка при 10 = 0:

= О,

ß2(h)2 + "KW2 + täßi + 1

aißDhh = 0,

(8)

дискриминант которого имеет вид:

О = (аЦ]2)2 + 1 + (а^рЗ)2 - 2а1р* - 2а1а2лр1р* - 2а2лр1 (9)

Будем называть поверхность второго порядка гиперболической, параболической или эллиптической, если она имеет две, одну или ни одной несобственной плоскости. Из уравнения (5)

а3а1(ш2)2 + (а3р2 + р?а1 - + р!р2(ш3)2 = 0 (10)

найдем дискриминант

D = (а3р42)2 + (рЦа2)2 + 1 ■

■ 2alalß3ß42 - 2ß3al

■2afßl

(11)

Из сравнения выражений (9) и (10) следует теорема: исходное 2-семейство прямых четырехмерного центро-проективного пространства будет гиперболическим, параболическим или эллиптическим тогда и только тогда, когда порождаемая им поверхность второго порядка касательных пространств всех входящих в 2-семейство линейчатых поверхностей является гиперболической, параболической или эллиптической.

Из квадратного уравнения (8) найдем тангенциальные координаты гиперплоскости:

>]_(а3Р\ +1 -«42Л3) + УР

Л

"2Ä

Подставив их в уравнение (6), получим уравнения касательного пространства произвольной линейчатой поверхности 2-семейства:

Найдя из уравнения (10) отношение

и используя из уравнения (1)

((а2Д3 -аД2 -1) + 4D)х2 + 2Д2 х3 = 0; ((а2Д3 -аД2 -1) -4D)х2 + 2Д2х3 = О

_ (1 -аД2 -а2Д3) + <JD

а

2ДД2

(12)

(13)

a _ а\ _

Т = TT = ^

а

а

получим:

откуда

2 / 0, 3 0 3ч, 3/ О1 2 2 Оч п

х (®°t®3 -а СО3)+х (а - а -а а) = о ,

х а3 - х3 а = о. 4 t

Подставив (13) в (14), имеем:

х2((1-а3д4 -аД3) + 4D) -

з 2ДД

= 0.

(14)

(15)

2

t

Из выражения t = О-, где а = ^ + , найдем t:

а4

t = 2а,3 ДД + Д3((1 -аД2 -аД3) + 4D)

1-аД2 -аД3 +4D '

Подставив значение t в (15), получим:

х2((-1-аД2 + аД) + JD) + 2Д2 х3 = 0. (16)

Аналогично получим уравнение второй гиперплоскости. Из сравнения уравнений (12) и (16) приходим к выводу: касательные пространства g-цилиндров совпадают с несобственными плоскостями поверхности второго порядка касательных пространств всех линейчатых поверхностей, входящих в данное 2-семейство. Теорема существования двупараметрического семейства прямых в СР4 Рассмотрим теорему существования 2-семейства прямых в СР4. Мы имеем следующие соотношения:

033 22342

0 = 04 02 = a0j 03 = 04 0Q = 0j [М)

00 = а}00 + Д100 00 = Ö00 00 = с00 00 = а200 + Д00 ^ g^

00 = а000 + Д000 00 = а000 + Д000 00 = f00 00 = b00 ^ д^

00 = aj0j2 + Д000 00 = а000 + Д000 00 = a000 + Д00 00 = a00 + Д000 ^o) Дифференцируя внешним образом соотношения (17), получим выражения на коэффициенты:

а1 -a-а0 +а\ = 0 ß1 -2Д0 + Д0 + а0 = 0

а0 - 2а0 - ß22 + ß3 = 0 _ b - ß; - Д2 + Д = 0

Дифференцируя внешним образом оставшиеся соотношения из (18)-(20), получаем независимые квадратичные уравнения:

[da} 0 ] + [dß},00 ] = (ß2 - ab - а} (Д0 - ß1) - ß} (а4 - а0)) 02, 00 ], [da, 00 ] = (а(а} - 2а0 + а0) + Д4) [00 ,00 ], [de, 00 ] = (а} - 2сД2 + f - Д4 - сД1) 00,00 ],

[da}, 00 ]+[d ß}, 00 ] = (2а} Д1 - (а} + а0 - а0 + а0 )ß} - ß} - b Д4) [0,00 ],

[da0,0 ] + [dД0,00 ] = fl - ß2 - а2 (Д0 - ß}) - Д0 (а4 - a0)) [0, 00 ],

[da0,00 ] + [dД4,00 ] = (аа} + Д0 (а0 - 2а44 + а0) + а0 (Д4 - 2Д2 + Д) + Д4) 0,00 ],

(5)

[df, 00 ] = (а} - с + 2f а0 - Д4 - f а0) 00,00 ], [db,02 ] = -(а} + b(ß44 + Д2)) [0,00 ],

[daз1,012] + [dß},00] = (2а}Д1 -al1ßз1 -а} + 2а\Д\ - Д0а\ -bß0-а\Д0 - ß\a\)00,00], [daз}, 0 ] + [dß0,00 ] = а + а4 + а0 (Д - Д0 +ß0) - Д0а0)02,00 ], [dа0,00 ] + [dß0,00 ] = (аа} - а0 - а0Д0 + а0Д0 - 2а0Д0 - а34 Д2 + а34 Д}) 00,00 ], [da0, 0 ] + [dß44,00 ] = (ab - а0 - а0 (Д0 - Д1) - ß44 (а0 - а0)) [0 ,00 ].

По теореме С.В. Бахвалова [1] произвол существования двупараметрического семейства прямых в СР4 равен четырем функциям от двух аргументов. Частные классы

Условия для нахождения цилиндров двупараметрического семейства прямых AA (AA) запишутся в виде:

R(A, A, ca , dA) = 4 R(A,A,A, A, cA ) = 4

(R(A, A, С^з, С^4) = 4, R(A, A, A, С^з, с^4) = 4)

Расписывая полученные условия, приходим к выводу, что подмногообразие 00 = 0,0 = 0) двупараметрического семейства прямых AA(AA) является g-фокальным, а подмногообразие 00 = 0,(00 = 0) есть цилиндр соответствующего многообразии, а при условии Д0 = 0,(а0 = 0) эти подмногообразия будут g-фокальными.

Класс a = 0(b = 0) характеризуется тем, что касательная к линии 00 = 0(00 = 0) на поверхности, описываемой точкой A (A) совпадает с прямой AA (AA) ■

Проверим теорему существования для частного класса a = 0. Для этого в формулы (5) подставим а = 0: [dа},00] + \dД\,00] = Д-a}(ß22 -Д})- Д^а^-а0))[012,043]

[de,02 ] = (a} - 2eß0 + f - сД1)[00,00 ],

[da}, 00 ] + [dß},00 ] = (2a}ß} - (а} +а0 -а0 +a0)ß} -ß} - bß0) [00,00 ], [с?а0,0}2] + [с?Д0,00] = (}-Д0 -а0(Д0 -Д})-Д0(а0 -а0)[0l2,04], [da0,00 ] + [dД0,00 ] = (Д0 (а0 - 2а0 + а0 ) + а0 (Д44 - 2Д0 + Д1) + Д34) [00, 00 ]

\/, œ\ ] = (al - с + Ifal — ß — /а44) , ®43 ] \_db,a2 ] = —(al + b(ß4+ß2)) [®f,®43 ] [da, ,a\ ] + [dß,, a\ ] = (2aß — a\ß\ —a\ + 2a3ß31 _ ß\a\ — bßl — a\ß\ — ß\a\ ) [tf, a\ ]

[dal ] + [dßt, ®4 ] = (1 + a4 + at (ß, — ßt +ßt) — ßtat ) [®2, ]

[dat ,al ] + [d ß4, a>4 ] = (—a24 — aßl + alßl — 2a\ßl — aßl + aß, ) [«f, ]

[a>i2 ] + \^ß44,®43 ] = (—at4 —a44(ß22 — ß,1) — —at))\®>43 ]

откуда получаем, что произвол существования данного класса равен пяти функциям от двух аргументов. Аналогично подсчитывается произвол существования других частных классов.

Статья поступила 25.03.2015 г.

Библиографический список

1. Щербаков Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. Томск, 1960. С. 2-5.

2. Матанов В.И. Перевертаева Т.Ф. Цилиндрические семейства плоскостей: материалы научной конференции по математике. Изд-во ТГУ, 1974. С. 120-125.

3. Лукина Р.А. О 2-семействах прямых в 4-мерном центроаффинном пространстве. Геом. сб., вып. 13, Томск, 1973 г. С. 54-63.

4. Каранетян С.Е. Проективно-дифференциальная геометрия двупараметрических семейств прямых и плоскостей четырехмерного пространства // Изв. АН Арм. ССР, сер. физ-мат. наук, 15 № 2, 1962. С. 18-22.

5. Скрыдлов В.Н. Центропроективная теория плоских кривых // Изв. Крымского нед. ин-та, 1955. С. 44-50.

6. Ивлев Е.Т. Проективно-дифференциальная геометрия пар линейчатых многообразий трехмерного пространства. Томск, 1961. С. 74-78.

7. Базылев Т.В. Геометрия. М., «Просвещение», 1975. Т. II. С. 96-101.

8. Лебедева Г.А., Перевертаева Т.Ф. Геометрия цилиндроидальных семейств плоскостей в центроаффинном четырехмерном пространстве // Вестник ИрГТУ, № 9 (68) 2012 г. С. 179-182.

УДК 519.612.2+519.876

АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛА ОБУСЛОВЛЕННОСТИ КВАЗИТЕПЛИЦЕВОЙ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ

1 9

© Т.А. Батагаева1, А.Л. Казаков2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

2Институт динамики систем и теории управления СО РАН им. В.М. Матросова, 664033, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, а/я 292.

Статья посвящена исследованию свойств числа обусловленности квазитеплицевой матрицы в случае, когда ее размерность неограниченно возрастает при сохранении структуры матрицы. Получены явные формулы для вычисления определителей таких матриц, доказаны теоремы о поведении последовательностей чисел обусловленности при различных значениях входящих параметров. Выполнен численный эксперимент, дополняющий и уточняющий результаты аналитического исследования. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач механики, математической физики, инфраструктурной логистики и др.

Ключевые слова: трехдиагональная матрица; система линейных алгебраических уравнений; число обусловленности; математическое моделирование; численный эксперимент.

ANALYTICAL AND NUMERICAL STUDY OF CONDITION NUMBER OF QUASI-TOEPLITZ TRIDIAGONAL MATRIX WITH UNLIMITED DIMENSION T.A. Batagaeva, A.L. Kazakov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

1Батагаева Татьяна Антоновна, аспирант, тел.: 89086679109, e-mail: [email protected] Batagaeva Tatiana, Postgraduate, tel.: 89086679109, e-mail: [email protected]

2Казаков Александр Леонидович, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий лабораторией, тел.: (3952) 453033, e-mail: [email protected]

Kazakov Aleksandr, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Head of the Laboratory, tel.: (3952) 453033, e-mail: [email protected]