CC BY
18
УДК 513.7
ГЕОМЕТРИЯ ЦИЛИНДРОИДАЛЬНЫХ СЕМЕЙСТВ ПЛОСКОСТЕЙ В ЦЕНТРОАФФИННОМ ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
л о
© Г.А. Лебедева1, Т.Ф. Перевертаева2
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Впервые рассматриваются цилиндроидальные двупараметрические семейства два-плоскостей в центроаффин-ном четырехмерном пространстве СА4. При построении репера используются касательное подпространство 2 семейства в точке и центральные точки. Фокальное подсемейство два-плоскостей совпадает с центральной линейчатой поверхностью двупараметрического семейства характеристик исходного семейства плоскостей. Асимптотическая гиперплоскость двупараметрического семейства характеристик два-плоскости совпадает с основной плоскостью цилиндроида. Дана геометрическая характеристика репера и отдельных инвариантов, рассмотрены некоторые частные классы. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: репер; цилиндроид; центроаффинное пространство; два-плоскость; гиперплоскость.
GEOMETRY OF CYLINDROID PLANE FAMILIES IN FOUR-DIMENSIONAL CENTROAFFINE SPACE G.A. Lebedeva, T.F. Perevertaeva
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.
Cylindroid two-parametric families of two-planes are examined in four-dimensional centroaffine space CA4 for the first time. The tangent subspace of 2 family at the point and central points is used when constructing a frame. The focal subfamily of two-planes coincides with the central ruled surface of a two-parametric family of characteristics of the original family of planes. An asymptotic hyperplane of the two-parametric family of two-plane characteristics coincides with the main plane of the cylindroid. A geometric characteristic of the frame and some invariants is given, some particular classes are examined. 4 sources.
Key words: frame; cylindroid; centroaffine space; two-plane; hyperplane.
Рассмотрим двупараметрическое множество два-плоскостей (е2, е3) в центроаффинном четырехмерном пространстве СА4. Выбираем образующей плоскостью в СА4 1_2, которая будет два-параллельна 1_3. Совместим два-плоскость репера {е2, е3} с плоскостью 1_2, а гиперплоскость (е2, е3, ё4) с основной плоскостью цилиндроида 1_3 [2]. Тогда
а{е2, ез, ё4}=я(е2, ез, 84), (1)
^(е2, е3) = ^(е2, е3) . (2)
Условия для цилиндроида [2] запишутся в виде
я|| ^ ^ ^ ^ ё41 = 3;
я|| е2, е3, 84, ае2, <183, <1841|=з
при условии, что а!2 = 0, а1; = 0, а[4 = 0.
я|| е2, е3, ё4, аеь <1ё2, <1ё3|| = 4,
так как я < я, если а\ ф 0.
Следовательно, чтобы (е2,е3) описывала цилиндроид [2, 3], необходимо выполнение условий:
ю2 =®3 =®4 = 0 , а1! Ф 0.
Из условия (2)
¿(е2, е3 ) = п12 (еь е3 (е2, е3)+
+ л2
(е4' ез )
+ я3 (е1, ез ) +
+ я|(е2, е3 )+ я3 (е2, е4) = ^(е2. е3)
получаем
я2 = яЗ = Я3 = я3 = Я4 = 0 . Поместим конец вектора я = в плоскость
(е2, е3). Тогда я4 = 0, я/ = 0.
Выбирая £2 =а4, £2$ =а4/ за базисные, полу-
чаем:
а2 = 0с4юЗ + ß3a3;
4 4
3 3 3
а 4 = а 2
+ ß4ta
Дифференцируя внешним образом, находим:
тт 3 3 1 2 3 3
ДЮз =|Oi®2 + ®2 -Ю33, Ю3 J +
■[ß
2а1 +ю3, а3
1Лебедева Галина Андреевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: (3952) 405176, 89086668414.
Lebedeva Galina, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.:
(3952) 405176, 89086668414.
Перевертаева Тамара Федоровна, кандидат физико-математических наук, доцент, тел.: 89149587417. Perevertaeva Tamara, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, tel.: 89149587417.
Да'4 = ^"¡а1 +ю2, а2\+
п4 1 3 4 4 Pi аз +аз —Ю4, аз
Да1! = 0;
Да4 = [o\ß4 —ß\a4^4
2 44 41[з г,4 4 4
а! —0,^4, а 2 \+а11 —Ра4, аз
+
<\а4, аз\+
Дифференцируя обычным образом, получаем:
Sof = TT1 —of^2 — ßl лз ; So1 = —o\ (04 л1, +П2, —л4 )—
—ßj От1+л2
\
2
4
)—.
spj = л, — o4 л2 — pIt ;
Sßj =-oj pT +л32\—)—
—ßi P4*1+T—T
Положив а\ = 0 , а4 = 0 , $ = 0, р1 = 1, имеем л22 = 0, л3 = 0, л23 = 0, л33 -л44 = 0.
ю\ = ю43 , со'4 = 0 . Поскольку л22 = 0, л33 - л4 = 0, то
а>2 = а'^ю'4 + С ;
4 3 4 п 4 Ю4 —Ю3 =аю2 + рю3 .
Дифференцируя внешним образом
2 2 2 2 3 2 2 4 \ Д®1 =\а1Ю1 +а3&3 —а1Ю2> ®2 1+
+ \021а1 —р2а2 +р2аз, а4
4
а —аз )= ]®2 +о23а3з> а44\+
2аз +Р2а2, а3 \
имеем:
о 2 2 2 2(2 А. So, = —01 Л2 — Оi Л — Л4 );
ха2 п2 2 2 з я2{ з А.
Sß1 =—ß2T2 —02Лз —р2\Лз —л4 );
So = л2 — о{л2 — л4)— рл2; Sß = 2л34 — ot32 — рЛз —л4). Положив o2 = 1, ß2 = 0, o = 0, ß = 0 , получаем: л4 — 2л'2 = 0, л^ = 0, л2 = 0, = 0,
аj =а'4 ,
4 з а 4 = аз .
Репер полностью зафиксирован. Окончательные деривационные формулы имеют вид:
вдоль а3 = 0 есть фокальное подсемейство рассматриваемого двупараметрического семейства два-плоскостей я = е + ЛН2 + рё3.
Я| е2, ез, ¿е^ ¿е2, <1ез| = 3 при условии, что со'4 = 0.
Вектор е3 направлен по характеристике линейного подпространства образующей плоскости (е2, е3)
вдоль ю43 = 0.
Прямая я = е1 + Л53 совпадает с характеристикой два-плоскости я = е + Ле2 + ¡иё3.
Рассмотрим двупараметрическое семейство прямых линий я = е1 + рё3. Совокупность касательных
плоскостей в точке М =А2 +рА3 луча ко всем линейчатым поверхностям, проходящим через луч 2-семейства и принадлежащих ему, образует трехмерное подпространство. Следуя [4], будем называть его касательным подпространством 2-семейства в данной точке М и обозначать Тр . Уравнение Тр получаем в
виде
j + po2)
/ — — — —- —- Л
'R-Aj, A3, A2, Aj + ^
= 0.
у+рА4
Точки на луче 2-семейства, в которых трехмерные касательные подпространства Тр проходят через
центр пространства, являются центральными точками [3]. Репер построен так, что точки ^ = А! и
Р2 = -а2А1 + А3 являются центральными, а линейчатые поверхности ю42 = 0, ю43 = 0 - центральными линейчатыми поверхностями.
Фокальное подсемейство семейства два-плоскостей совпадает с центральной линейчатой поверхностью двупараметрического семейства характеристик исходного семейства плоскостей.
Предельное положение касательного подпространства 2-семейства Тр при стремлении р к бесконечности является асимптотической гиперплоскостью луча [3] и обозначается Т . Ее уравнение:
(я-А!, А3, А2, А4 )=0.
Асимптотическая гиперплоскость двупараметрического семейства характеристик два-плоскости совпадает с основной плоскостью цилиндроида.
+
е1 e2 ез е4
de, 4 аз 4 аз р3а4 0
de 2 0 — 4cc(D44 — (1 + 2 +р2аз 4 ац
de3 0 o2а2 + Р2а4 4 П 4 ooo 2 + 0аз 4 аз
de4 0 o\а\+раа, o¡fа2 + 04 а4 44 ooo 2 + 0аз
Геометрическая характеристика репера и не- Вектор е2 направлен по характеристике линейно-
которых инвариантов го подпространства образующей плоскости (е2, е3)
Однопараметрическое семейство плоскостей 2 3
вдоль х4 =0 .
Уравнение касательного подпространства к цилиндроиду в точке я = е1 + Ле2 + рё3,
|Я - еь е2, е3, <1Я|=0
или координатах - х4 = 0 .
Положив ¡и = 0 , получим, что х4 = 0 является касательным подпространством однопараметрического подсемейства а2> = 0, для однопараметрического подсемейства а>3 касательным подпространством к цилиндроиду в точке Я = е1 + Ле2 + рё3 является гиперплоскость х; = 0.
Характеристика линейного подпространства гиперплоскости (еь е2, е3) вдоль х4 = 0,
I2, еь е2, е3 = 0, |г, еь е2, е4|=0,
следовательно, (еь е2) является характеристикой линейного подпространства гиперплоскости (еье2,е3). Дифференцируем еще раз последние уравнения, получим:
еь е2, е^=0,
31 ^ ^
РА^ е3> е2' е4 +
3 ^ ^ ^ I '
+ Рз 2 е1, е3, е4| = 0 или в координатах
х/ = 0, х3 = 0,
Р2х2 - р31х1 = 0 Следовательно, точка рЗ, р3, 0, о) есть лучевая точка торса, огибаемого плоскостью х4 = 0, вдоль
х4 = 0 . При аЗ = 0 характеристикой линейного подпространства гиперплоскости (е1, е2, е3) является два-плоскость (е1, е3),
I2, еl, е2, е3 = 0 , |г, е1, е4, е3|=0.
Дифференцируя последнее уравнение, получаем:
|г, е1, е4, е^ = 0, К еь ^ е3 + +а3 е1, е4, е2| = 0
или в координатах
Х4 = 0, хз = 0,
, 2 п . х1 +азхз = 0
Таким образом, точка (-а2, 0, 1, 0) есть лучевая точка торса, огибаемого плоскостью (е1, е2, е3) вдоль
аЗ = 0.
Репер нормирован так, что соприкасающаяся
квадрика к однопараметрическому семейству плоскостей Я = е1 + Ле2 + ¡иё3 вдоль х4 = 0 принимает вид
х^з 2х;хд+х^ = 0
Уравнение С-конуса направления для вектора Я = Яе3 вдоль а3 = 0 [2] имеет вид:
9х2 + 12ах2хз - 18а3Х3Х4 +
+ (14а2 + 9а]а33 )х4 = 0.
Уравнение поляр полученного конуса относительно точек:
(0, 1, 0, 0) : 9х2 + 6ах4 = 0 , (0, 0, 1, 0) : х4 = 0 .
Уравнение конуса направления для вектора Я = яе2 вдоль х4 = 0 имеет вид:
9x2 - 18Р2х2х4 -6(1 + 3р)х3х4 +
э3 +18 р + 36Р2 + 2)х4 = 0.
+ (9Р32Р23
Уравнение поляр полученного конуса относительно точек:
(0, 1, 0, 0) : х4 = 0 , (0, 0, 1, 0) : 9х3 - 3(1 + 3р)х4 = 0. Уравнение соприкасающейся квадрики для два-плоскости (е1, е2) вдоль х4 = 0 имеет вид:
9x2 -18р3х1х4 - 18р23х2х4 - 12р- 1)х3х4 -
- (8р2 + 9р1 +10р- 9р3р2 - 2) х2 = 0. Уравнение поляр полученной квадрики относительно точек:
(1, 0, 0, 0) : х4 = 0 ,
(0, 1, 0, 0) : х4 = 0 ,
(0, 0, 1, 0) : 9х3 -
-6(р- 1)х4 = 0 .
Уравнение линейного гиперкомплекса прямых в четырехмерном центроаффинном пространстве имеет вид:
ааР Рар = 0, (а, р = 0, 1, 2, 3, 4), где рар - плюккеровы координаты прямой.
Потребуем, чтобы в нуль системе линейного гиперкомплекса центральная точка была особой [3].
Гиперкомплекс имеет с лучом 2-семейства касание второго порядка и для него центральная точка Р1 = А1 является особой; выполняются следующие соотношения:
а03 + а 13 = 0; С102 + С122 = 0 ; а04 + ал = 0 ;
2
а01 = 0 , а02 = ~а12 , а03 = 0 , а04 = Р3 а12 , а13 = 0 ;
а 14 = —Р3 а12 , а23 = 0 , а24 = —а3 а 12 , а34 = 0 . Тогда уравнение этого линейного гиперкомплекса:
р3 (Р04 - Р14 ) + (Р12 - Р01) -
-а3 Р24 = О
что позволяет дать дополнительные характери-
? ?
стики на инварианты а3 и р3 .
Некоторые инварианты репера являются координатами касательных к годографам соответствующих вектор-функций: Частные классы
Рассмотрим несколько частных классов, связанных с соприкасающейся квадратикой для два-
Несколько частных классов получили из характеристик два-плоскостей (еь е2) и (еь е3):
1) ^ = о. Вектор в2 направлен по характеристике линейного подпространства два-плоскости (еь е2)
Вектор-функция Уравнение касательной к годографу вектор-функции
вдоль т42 = 0 вдоль ю43 = 0
RR = е2 (S) (еь ei )=ß1 (еь е3 ) (еь е1 )=(е1, е2 )
R = е2 (S) (р2. е2)=ß32 (е2> ез) (^2, е2 )=(^2, а3е3 + е4 )
RR=ез (S) (е3, е3 )=ß3 (ез, е2 ) (е3. е3 )=(е3> аЗе2 )
R = е4 (S) (е4> е4 )=(е4' ß4 е2 + ß4 е3) (ее4, е4 )= (<?4, а4 е2 + a4f е3)
плоскости (еь е2) вдоль x4 = 0 и конусом направле- вдоль x4 = 0 .
ния Я = Яё3 вдоль со3 = 0. При а = 0 точки А2 и А4, а при а23 = 0 точки А3 и А4 полярно сопряжены относительно конуса направления Я = Хё3 вдоль со43 = 0.
При /З^ = 0 точки А1 и А4, а при = 0 точки А2 и А4 полярно сопряжены относительно соприкасающейся квадратики для два-плоскости (еь е2) вдоль х4 = 0 .
2) = 0. Вектор е2 направлен по характеристике линейного подпространства два-плоскости (е1, е2) вдоль х4 =0 .
3) аI = 0. Вектор е3 направлен по характеристике линейного подпространства два-плоскости (еь е3) вдоль ю43 = 0.
Библиографический список
1. Щербаков Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. Томск, 1960. 193 с.
2. Лебедева Г.А., Перевертаева Т.Ф. Цилиндроид в центро-аффинном четырехмерном пространстве // Вестник ИрГТУ. 2011. № 9. С. 218-221.
3. Р.А. Лукина. О 2-семействах прямых в четырехмерном
центроаффинном пространстве. Труды Томского универси-тетата, 1973. С. 118-132.
4. Карапетян С.Е. Проектно-дифференциальная геометрия двупараметрических семейств прямых и плоскостей четырехмерного пространства // Известия АН Арм. ССР. Серия физ.-мат. наук. 1962. Т. 15. № 2. С. 53-72.
