Об инвариантных связностях многообразия пар двойственных линейных подпространств в многомерном эквиаффинном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

303(3)

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2000

УДК 514.76

Е.Т.ИВЛЕВ, О. В. РОЖКОВ А, О.Н.ЕФРЕМОВА

ОБ ИНВАРИАНТНЫХ СВЯЗНОСТЯХ МНОГООБРАЗИЯ ПАР ДВОЙСТВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ В МНОГОМЕРНОМ ЭКВИАФФИННОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

В [1] изучены основные инвариантные геометрические образы, ассоциированные с многообразием пар двойственных линейных подпространств в проективном пространстве. В этой же работе рассматривались также инвариантные проективные связности I и И. В данной статье изучаются эквиаффинно-инвариантные геометрические образы и некоторые связности указанного многообразия в многомерном эквиаффинном пространстве, отличные от тех, которые изучены в [1], и свойственные для эквиаффинного пространства. Результаты, изложенные в разд. 1,5, принадлежат Ивлеву Е.Т., в разд. 2,3 - Рожковой О. В., в разд. 4 - Ефремовой О.Н. Основные обозначения и терминология соответствуют принятым в [1] - [7].

1. Аналитический аппарат

1. Рассматривается ¿/-мерное дифференцируемое многообразие Мч класса (С™5 или Са) с базовыми формами ©а (а, (3, у, сг, т = 1, удовлетворяющими структурным уравнениям:

£)&а = 0Р л©р, л0? + ©^©?„,... . (1.1)

Как известно из [2] (см. теорему 3.2), с каждой точкой (иа\ где иа - первые интегралы вполне интегрируемой системы форм 0", ассоциируется последовательность центроаффинных дифференциально-геометрических групп Д.($ = 1,2,...) порядка 5. Обозначим Ьч пространство представлений группы Д и внесем в него центроаффинную структуру, то есть будем считать его цен-троаффинным пространством, отнесенным к локальному центроаффинному реперу Я={В,еа} где 5Я = 0, 5£а =0Р£р, ©£ =©£|0Т=О.

Заметим, что центроаффинное пространство^ изоморфно касательному векторному пространству Тч в точке В(иа) к Мч. Пространство Ьч будет в дальнейшем использовано в качестве геометрической модели Щербакова - Циндлера семейства пар двойственных плоскостей в Ап, которые будут рассматриваться в данной статье.

2. Рассмотрим и-мерное эквиаффинное пространство А„, отнесенное к эквиаффинному реперу = {А,е, }(/,у',А:,/ = 1 ,п) с деривационными формулами

¿¿4 = №>' е, ,с1е1 = со/е, (1.2)

и структурными уравнениями

£>0)' = С0* А(й'к,Оа>1 = со/ А СО;,СО/ =0. (1.3)

3. Обозначим QN, где

N = 2т(п - т) + п, (1.4)

дифференцируемое многообразие размерности (1.4), элемент которого состоит из точки М пространства А„ и двух двойственных линейных подпространств 1}т и 1?т-п, проходящих через точку М:

(1.5)

К элементу многообразия присоединим эквиаффинный репер Я так, чтобы

М = А, 1}т =(Л,е,,е2,...,ет), 12„.т =(А,ет+ие„+2,...,е„). (1.6)

Тогда в силу (1.3) 1-формы со', со", со? [a,b,c = l,m; a,b,c = m + \,n; i,j,k,l = \,п) являются базовыми на многообразии QN, удовлетворяющими структурным уравнениям:

Z)co' = со' л со у, Ekai = со* л cog + со* л со?, £>со? = co£ л tog + oof л ш? . (1.7)

4. Обозначим =(M4,QN) расслоенное пространство с базой Мч и слоем соответствующим каждой точке в(иа)е Мр. В этом расслоении зададим гладкое сечение: каждой точке в(иа) базы Мр поставим в соответствие вполне определенную точку многообразия QN . Тогда в силу (1.1), (1.3) и (1.7) дифференциальные уравнения этого сечения запишутся в виде

СО' = ^©>2 = 4а®\< = Дза®а>

d4а + 4*4 ~ - 4р©£ = 4хР©Р, (1-8)

¿С + ~ Aaia4 ~ = Л?аР©Р,

4'«Р] = М"[оф] = 0,Д?[ар] = 0.

Замечание 1.1. В данной статье будут рассматриваться эквиаффинно-инвариантные геометрические образы многообразия S^ -секущей ^-мерной поверхности расслоения Pq N (^-мерного многообразия в А4, элемент которого состоит из точки М и двух двойственных линейных подпространств l)m и J}m-n типа (1.5)). В этой же статье будут изучаться инвариантные аффинные связности многообразия S]q и определяемые ими инвариантные геометрические образы.

2. Аффинные преобразования линейных подпространств l}m и l}m-n.

Центры подпространств Ёт и 1?т_„

1. В соответствии с [1] (см. (21), (31), (86) и (87)) введем в рассмотрение следующие величины:

А о.(, - АааА"р, Aafi = —А(ар), Вар = —А[а^,

А"=А"аА%А«\ A"=AUa^, АуаАар = АауАар = 8р, (2.1)

АЦ=Ааи^Аар, А*! = АийаА^Аа\ det[4#]*0, которые в силу (1.8) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

d м - АуИ ©£ - Аау &l = My 0г , dA*р - ЛуР©* - Лq®l = Лру©т, (2.2)

dBaр --Byp©Ya - Вау®1 = ВаРу©у, dAa^ + Ау1)&у + Лау©Р = Af&,

dAa + Ah®ab = Х@а, d4 + - Аьсшса = Аьаа@а,

dA" + Аьсо| - Д?0а, d4 + 44 - А!со| = 4а©а,

где явный вид величин, стоящих при ©а, для нас несущественный.

2. В соответствии с (24) и (25) в [1, стр. 72] с тензором А*ар ассоциируются:

а) основной конус в Lq второго порядка с вершиной в точке В, порождаемый симметрическим тензором (Лф) и определяемый в локальных координатах центроаффинного репера R в Ьч уравнением

QU'-Aa р^Р=0; (2.3)

б) основной линейный гиперкомплекс Кч_] в Lq, порождаемый кососимметрическим тензором (Вар) и определяемый уравнением

Kq-1 : = 0.

Можно показать, что в общем случае

(2.4)

Геометрически это означает, что гиперконус (2.3) в общем случае не вырождается в гиперконус по крайней мере с прямолинейной вершиной, проходящей через точку В. Поэтому с учетом

(2.1) и (2.4) из (2.3) замечаем, что с тензором (ЛаР) в Lq ассоциируется гиперконус К^ второ-

го класса с вершиной В, огибаемый гиперконусом и определяемый уравнением

К^-.А^Ы р=0. (2.5)

3. В соответствии с (86) и (87) из [1, стр. 90] и в силу (1.6) и (2.1) заключаем, что тензор (А", Аъ ) определяет (первое) основное аффинное преобразование т-плоскости Ьт в себя:

П у={А\Аи, (2.6)

с тензором (Аа,А%) ассоциируется (второе) аффинное преобразование [п -т) -плоскости ]}п^т в себя:

П 2={А\А1). (2.7)

Определение 2.1. Ядро первого (второго) аффинного преобразования линейного подпространства 1}т {1}п-т) называется центром этого линейного подпространства.

Теорема 2.1. Каждому элементу многообразия в Д, в общем случае, то есть в случае, когда первое (второе) аффинное преобразование является невырожденным:

<Ы[ЛА]*0(<1е1[4]*0), (2.8)

в соответствующем линейном подпространстве Ьт (1}„-т) отвечает по одному центру. Доказательство. Если точки с радиус-векторами

Х = А + хаеа и Х = А + хйей (2.9)

являются ядрами С, и С2 первого и второго основных преобразований П, и П2 линейных подпространств 1}т и 1?т_п соответственно, то из (2.5) и (2.6) получаем следующие уравнения, которым удовлетворяют величины х" и ха соответственно:

А"+хьАаь= 0, А*+х*А*.= 0, (2.10)

о

Отсюда в силу (2.8) замечаем, что в линейных подпространствах 1}т и имеется по одному центру, что и требовалось доказать.

4. Из (2.6) - (2.10) замечаем, что тензор (Аа) геометрически определяет первое центроаффин-ное преобразование /и-плоскости ¿т в себя с центром А,

П ,=К>, (2.11)

которое любое направление дс е 1)т, проходящее через точку А, переводит в направление, проходящее через С] параллельно образу направления х при первом аффинном преобразовании. Аналогично тензор (А£) определяет второе центроаффинное преобразование

П 2= {Ар (2.12)

(п - т)-плоскости ¿2п_т в себя с центром А, которое любое направление у е 1}„-т, проходящее через точку А, переводит в направление, проходящее через С2 параллельно образу направления у при втором аффинном преобразовании.

Заметим с учетом (2.8), что каждое из центроаффинных преобразований (2.11) и (2.12) является в общем случае невырожденным.

5. Из (2.6) - (2.8) следует, что образами точек с радиус-векторами X - А + хаеа и

X = А + х"ей при аффинных преобразованиях П, и П2 в силу (2.6) и (2.7) являются точки с радиус-

векторами П] X - А +(А" +хьАь )еа, П 2У = А+(Аа +хьАа-)ей. Отсюда следует, что точки

А] =А + Ааеа -П]А, А2 =А + А"ей = П2 А . (2.13)

Определение 2.2. Образ точки А при первом П, (втором П2) аффинном преобразовании подпространства 1}т и 1}т_„ называется главной точкой соответствующего линейного подпространства.

Заметим, что точка А\ е ]}т (А2 е 1}т-„ ) с соответствующим радиус-вектором (2.13) с учетом Определения 2.2 является главной точкой соответствующего линейного подпространства. Замечание 2.1. Из (2.12) следует, что точка

Ап=А + А1е,, (2.14)

отвечающая точке В е Мч, где

С1 •

—А , 1 = а, _

А' = \ 2 сМ - А]ъ) = <©", (2.15)

-А", / = а, 12

является серединой отрезка А]А2. Эту точку будем называть главной точкой пространства А„.

3. Поле инвариантных гиперконусов

1. С помощью величин (2.1) и А^ построим следующие величины, удовлетворяющие, в силу (1.8) и (2.1), соответствующим дифференциальным уравнениям:

^=А!аА1Аа\ Ш = 0, . (3.1)

с!е%,у]*0, (3.2)

- ёкМ~ ёча®а-

Здесь явный вид величин, стоящих при ©у, для нас несущественный, причем величины gya удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

^«а ~ £#»<*>?- £,ур©£ = £/,р©Р. (3 -4')

Из (3.3) замечаем, что каждая из систем величин (3.4') и (3.2) образует соответствующий двухвалентный симметрический тензор в смысле [3].

В следующем параграфе будет дана геометрическая интерпретация тензорам (3.1) и (3.2). Лемма 3.1. Каждой (д - 1)-плоскости Г?_1 э В подпространства Ьч, отвечающей точке В базы Мч расслоения Рч ы, в пространстве А„ соответствует гиперплоскость э А, которая содержит касательные к линиям, описываемым точкой А вдоль всех направлений, проходящих через точку В и принадлежащих Г9_1.

Доказательство. Гиперплоскость Г9_1 с/,, в точке В е Мч в локальных координатах репера Я пространства Ьч зададим уравнением

Г9_, :.1а1а = О, (а = \,т) . (3.4)

Гиперплоскость С„-\ э А в пространстве А„ в локальных аффинных координатах репера Я зададим уравнением

в„.х : х,*' =0, (/ = 1,и). (3.5)

Из

с1А = (й'е1,= А'а®ае1 (3.6)

следует, что касательная к линии, описываемой точкой А в направлении 0а = ¿а© в точке В, принадлежащим Г9_], не выходит из гиперплоскости тогда и только тогда, когда в силу (3.5) и (3.4) выполняется соотношение

х1А^а=0. (3.7)

Таким образом, каждой гиперплоскости э А пространства А„ отвечает в Ьч гиперплоскость (3.4), о которой идет речь в Лемме 1, где

'а = 4*,. (3.8)

Лемма 3.1 доказана.

Теорема 3.1. Совокупность всех гиперплоскостей Оп-\ э А пространства А„, которым отвечают в пространстве Ьч подпространства Г^, с В, принадлежащие гиперконусу сг Ьч, образует в пространстве Ап гиперконус второго класса с вершиной А. Этот гиперконус определяется контравариантным тензором g'-/ .

Доказательство. Из (2.5) в силу (3.8), (3.7), (3.1) и Леммы 3.1 следует, что совокупность всех гиперплоскостей С„_] в А„, о которых идет речь в условиях Теоремы 3.1, определяется уравнением

(3.9)

Это уравнение в пространстве А„ определяет гиперконус С„.\ второго класса с вершиной в точке А. Теорема доказана.

Лемма 3.2. Гиперконус , отвечающий точке В е Мч, в общем случае при

и(я + 1)<2д« + 4д7и(и-/и) (ЗЛО)

является невырожденным, то есть

с1е^]*0 (3.11)

на многообразии Мч.

Доказательство. Из (3.1) с учетом (2.1) заключаем, что

р = п(и + 1) (3.12)

независимых величин ^ выражаются через

р" - qn^■2qm{n-m) (3.13)

величин А'а, 4а и Д?а. Из (3.13) и (3.12) в силу (3.8) следует, что всегда можно подобрать величины 4,Лйа и 4а так, чтобы = I~ в силу чего ] = 1 Ф 0, что с учетом (3.11) и тре-бовалось доказать.

Замечание 3.1. С учетом Леммы 3.2 из соотношений (3.2) и (3.11) заключаем, что гиперконус второго порядка с вершиной А,

Си2_, =0, (3.14)

огибается гиперконусом 0„~\.

Определение 3.1. Гиперконус в А„, отвечающий точке ВеМч, называется основным

контравариантным гиперконусом. Гиперконус б2.], огибаемый гиперконусом , называется основным ковариантным гиперконусом.

4. Поле инвариантных центроаффинных преобразований

В этом разделе с помощью инвариантных геометрических образов, изученных в предыдущих разделах, аналитически и геометрически будет определено поле инвариантных центроаффинных преобразований пространства А„ с центром в точке А .

1. С помощью величин (2.1), (3.1) и (3.2) на базе М„рассмотрим следующие величины, которые в силу (1.8), (2.2), (2.14) и (3.3) удовлетворяют соответствущим дифференциальным уравнениям:

Лр = Иа = 4 = 4аЬа, А1 = А".аи\

¿Ир -^@1=Ира®а,с1Иа+ИУ®« = кра0р,

¿¡4 + 4<4 - 4<*"а = 4а® аЖ+ 4< - = Л"а©а• (4.2)

Здесь явный вид величин, стоящих при 0а, для нас несущественный. Из (4.2) следует, что каждая из систем величин (4.1) образует соответствующий тензор в смысле Г.Ф.Лаптева [3].

Найдём инвариантные геометрические образы, которые определяются величинами (4.1). Из (2.5), (2.15), (3.7) и (3.13) в силу (4.1) следует, что тензор /гр определяет в Ьч подпространство размерности ^ -1:

УР = 0, (4.3)

которое отвечает поляре главной точки пространства Ап относительно гиперконуса . При этом тензор Иа определяет в Ьч основное направление

И = {Вга)Иа, (4.4)

являющееся полюсом подпространства (4.3) относительно гиперконуса а Ьч .

Обозначим через Т(Х), касательную к линии, описываемой точкой X, отвечающей точке В&МЧ, в направлении /. Тогда из (1.2) с учётом (1.8), (2.1), (4.1) и (4.4) получаем

Х = А+хаёае 4„ => Й» и Т(Х)п }П Ь2п-т =А + х% ^ 7, 5)

= 4ьа + ха4аЬа = А&а+х" 4.

Отсюда, при х" = 0, получаем геометрический смысл точки:

Н = А+И%={1т{М{А)}[М1т, Ий=4Ьа. (4.6) Из (4.4) и (4.6) замечаем, что

АУ = ~АН + ~НУ, НУ = х"4ёа. (4.7') Из (4.5) - (4.7') вытекает геометрический смысл величин А%:

х = АХ = {Аёа) ха е 1}т -> у = (А,ёа)4 е ¿2_т. (4.7) Аналогично получается геометрический смысл величин А£:

У - АУ = (Аёц)у3 е -+х = {Аёа)А*/ е Д, . (4.8)

2. Рассмотрим следующие конусы, которые в силу (1.6) и (3.1) определяются соответствующими уравнениями:

ё&=б1х Г\1}т: 8аьх"хЬ= о, Xй = о- ^^

сл2:2т_, = а2_, п 12„-т : V =0, ха= 0.

Отсюда с учётом (2.13) и Определения 2.2 следует, что полярами главных точек пространств 1}т и

О ^ 1 О л 10

Ьп.т относительно конусов и 0„_т_\ являются линейные подпространства Ст_2 и ,

определяемые уравнениями соответственно:

су,: ёаЬА"хь= 0, х" =0,

. - (4.10)

.,: ёй-ьАахь =0, х" =0.

Определение 4.1. Линейные подпространства с: !'„, и Я2_т_ 1 с , параллельные и и проходящие через соответствующие главные точки, называются главными подпространствами в пространствах 1}т и 1}п-т.

Из (4.10) и (2.13) замечаем, что главные линейные пространства Н[т.{ и определяются

уравнениями, соответственно:

Я'_,с1'т: ёаЬАа(хь-А") = 0, хй =0; Н1-т-\ с : 8з6Аа (х* -А6) = 0, = 0. 3. Теорема 4.1. Каждой точке В&МЧ отвечает, в общем случае, единственное центроаффин-ное преобразование

П = М

пространства Ап в себя с центром в точке А, удовлетворяющее условиям:

1 л

1. Ограничение преобразования П на Ьт эквивалентно преобразованию П,.

9 л

2. Ограничение преобразования П на Ь„-т эквивалентно преобразованию П2.

3. 1}т 1?„-т по закону А%.

4. ¿}п_т -» 1}т по закону А%.

5. Справедливы соотношения:

М, = {ш, )П 1}т е, М, ев1т.х; - М2 ^ {ш, ид]п 4-т е я„2_т_,, М2 <2 Си2_т_,; М3 = {Ш2 и 1}т }П ¿2„-т е Я2_т_,, М3 € С„2_т_,;

м4 = {ш2 и 4-т }п е я'_т_,, г ау,.

Доказательство. Из (1.6), (2.11), (2.12), (4.7) и (4.8) в силу (4.12) и условий 1 - 4 получаем

Вьа = г, А*, В*а= В1=еъ4, Вай =гАА* . (4.13)

Из условий 5 с учётом (4.13), (4.10) и (4.12) находим

(4.14)

где

(4.15)

Ех = ёаЬАа4Ас * 0, £2 = ЯаьАа4Аь Ф 0, £3 = Е,ьАй4Ад * 0, ё^АЙ4Аь * 0 на многообразии Мч.

Из (4.13) - (4.15) с учётом (1.8), (2.2) и (4.2) получаем, что величины В/ удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

еШ/ + ВЫ{ - В[ю* = В(а&а, (4.16)

где явный вид величин В/а для нас несущественный, и образуют, следовательно, смешанный тензор второй валентности в смысле Г.Ф.Лаптева [3]. Поэтому эта система величин в каждой точке В е Мч определяет центроаффинное преобразование пространства А„ в себя с центром в точке А . Теорема доказана.

5. Инвариантные аффинные связности

В этом разделе будет показано, что с каждым направлением / = (Веа) в Ьч ассоциируется центроаффинное преобразование пространства А„ в себя, являющееся объектом некоторой эквиаффинной связности.

1. С помощью условий инвариантности [3] точки

Х = А + х'ё/еА„, ск'=-(£>'-хксо'к + ®х' и с учётом (3.3) убеждаемся в том, что система уравнений

Яп_2(,)>^°' (5.1)

[е^ХЧ* =0

определяет некоторую (и - 2)-мерную алгебраическую поверхность Я„_2(^) как пересечение гиперконуса 01-\ (см. (3.13)) со своим смежным )' вдоль направления

1 = (Вга)1а еД, (5.2)

в точке В&МЧ. Обозначим Нп_\{Х,1) пучок гиперквадрик в А„, проходящих через Н„_2(() ■ Из (5.1) замечаем, что гиперквадрики #„_,(А.,/) определяются уравнением:

Я„_,(М : + ^ц) х'Х1 - 2ЯоА'ах^а = 0 . (5.3)

Отсюда следует, что асимптотическими гиперконусами второго порядка с вершиной А гиперквадрик Я„_1(Л,,г') будут гиперконусы пучка , определяемого уравнением:

В пучке гиперконусов выберем такой гиперконус Я^Д/), которому будет аполярен ги-

перконус 0„-\ в смысле [6]:

=0.

Отсюда в силу (3.2) получаем

Ь = (5-4')

п

Поэтому гиперконус , отвечающий каждому направлению (5.2), в силу (5.4) определяется

уравнением

Н1М : {8иа + /аЫ = 0, (5.5)

где

(5-6)

п

Заметим в силу (5.4') - (5.6) и (5.3), что гиперконус Я°_.,(/) будет асимптотическим гиперконусом для гиперквадрики Я„_1 (г), отвечающей направлению (5.2) и определяемой уравнением

Нп-М- + (5.7)

Из (5.5) и (3.13) следует, что каждому направлению (5.2) отвечает центроаффинное преобразование

Г(/) = Н'а}> (5-8)

где

Г*а=г/уаг'*+6?/„, (5.9)

которое порождается гиперконусами Н„-\(?) и . Из (5.9) и (5.6) следует, что

П«=0. (5.10)

Это означает, что центроаффинное преобразование (5.8) является эквиаффинным при любом t, то есть для всех направлений (5.2) в точке В е Мч .

Из (3.3) и (3.3') с учётом (5.6) замечаем, что величины (5.9) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

d ri+ r¿ со* - г*а со/ - rfp еР = rfap ©р . (5.11)

2. Имеет место

Теорема 5.1. Система величин rfa образует объект эквиаффинной связности Г с тензорами кручения i?¿p и кривизны , которые определяются по формулам

Rj -i.Г* TJ - — Г7

ихР - 2 1 /[а 1 |i|p] 2 'И] •

Доказательство. Рассмотрим 1-формы

Q's со'=4©°, Q/ = со/ + Г/а @а. (5.13)

Из (1.1), (1.3), (1.8) и (5.11) в силу (5.12) следует, что 1-формы (5.13) удовлетворяют структурным уравнениям:

DQ1 =QJ р©ал@р, (5.14)

DQf = Q/ a Q* + Д* р@а л ©р.

Отсюда с учётом (5.10) и в соответствии с [7] заключаем, что формы (5.13) являются формами некоторой эквиаффинной связности Г с тензорами кручения - кривизны (5.12). Теорема доказана.

3. Аналогично с учётом (4.16) доказывается следующая теорема.

Теорема 5.2. Система величин BJka, удовлетворяющая дифференциальным уравнениям (4.17), является объектом аффинной связности G с формами связности

Q"=со'4©а> o;v+5f©a,

которые удовлетворяют структурным уравнениям:

DQ4/ = a Q!j + я;'р®а а ©Р,

DQ.*k = Q*7 a Q*/ + <р©а А ©Р . Здесь тензоры кручения и кривизны определяются по формулам:

= J A(aB{j|р], RVp = iBk[aB{m - i5/[ap].

4. Замечание 5.1. Из (3.5'), (3.13), (5.2) и (5.3) следует, что в пучке Hn.\{X,t) гиперконусами с вершиной в точке А пространства А„ являются гиперквадрики, отвечающие тем направлениям t = (Вга) ta е Lq в точке В е Мч, вдоль которых касательные к линиям (А), лежат в своих полярах

относительно гиперконуса .

Замечание 5.2. Из (4.1), (5.5) и (5.7) замечаем, что гиперконус и гиперквадрика

Hn_\[h), отвечающие направлению (4.4), определяются уравнениями соответственно:

Я„°_,(/7) : Gijx'xJ = 0, (5.15)

H„_¡(h) : GiJxixJ-2G¡x'=0, где величины Gy и G, определяются по формулам

G(j = [gya + lag¡j) ha, G; = giJKha (5.16)

и удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

<Юц - а*, со* - С,*со* = Сиа@а, (5.17)

сЮ1-вк со* = С,а®а.

Здесь явный вид величин, стоящих при 0а, для нас несущественный. Из (5.15) и (5.16) следует, что система величин ^ , образующая в силу (5.17) ковариантный вектор в смысле [3], геометрически определяет поляру Г„_1 точки А относительно Я„_1 (г), определяемую уравнением

Я„_,(г): С,х'= 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивлев Е.Т., Тыртый-оол Н.В., Бразевич М.В. //Математический сборник. Вып. 1. - Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1974. - С.68-91.

2. Лаптев Г . Ф . // Труды геометрического семинара. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1966. - Т. 2. - С. 139-189.

3. Лаптев Г.Ф. // Труды Московского математического общества. - М.: 1953. - Т. 2. - С.275-372.

4. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

5. Щербаков Р.Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. - Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1973.

6. Ивлев Е.Т.// Материалы итоговой научной конференции по математике и механике за 1970 г. 4.1. - Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1970. - С. 121-123.

7. Евтушик П.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.Ш., Широков А.П.// Итоги науки и техники. -М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - С.7-246.