Взаимное положение плоскостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514. 114

Л. К. КУЛИКОВ

Омский государственный технический университет

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

В качестве зависимости, характеризующей взаимное положение плоскостей в многомерном аффинном пространстве, взята линейная комбинация векторов, входящих в определители плоскостей при точечно-векторном их задании. Доказаны необходимые и достаточные условия для различных положений плоскостей и приведены простые выводы минимальных размерностей плоскостей, проходящих через данные плоскости в каждом из рассмотренных случаев.

В отличие от известных способов рассмотрения взаимного положения плоскостей [2, 4], за основу возьмем линейную комбинацию векторов, входящих в определители плоскостей при точечно-векторном их задании. В аффинном п-мерном пространстве Ап каждую из плоскостей Е(А; а,,..., а ) и Г(В; Ь...... Ь ) зададим точкой и системой линейно независимых векторов, которая является базисом соответствующего направляющего векторного пространства V или V . Если плоскости I и Г имеют общие точки, то они называются пересекающимися. Если плоскости £ и Г не имеют общих точек и у них нет общих направлений, т.е. V и V не пересекаются, то плоскости называются скрещивающимися. Если плоскости Е и Г не имеют общих точек и у них есть общие направления, т.е. V и У^ пересекаются, то плоскости называются к-параллельными. Число к, называемое степенью

с1

параллельности, примем равным отношению — , где

Я

(1 — размерность пространства пересечения Ур и V , q — минимальная из размерностей направляющих векторных пространств. Такое определение хорошо согласуется с определением степени параллельности, данным в [4]. При к= 1 плоскости называются вполне параллельными, при к< 1 — частично параллельными.

Георема 1. Для того, чтобы плоскости 1(А; а,, ,.., а )иГ(В;Ь|1 ...,Ь ) пересекались необходимо и достаточно, чтобы система векторов а,, ..., а , Ь,, ..., Ь , АВ была линейно зависимой и в линейной комбинации а,а,+ ... + арар+ Р,Ь,+ ... + РЧЬЧ+ уАВ = О коэффициент у*0.

Доказательство. При у*0 имеем

АВ =-1а,

У

а„ +

У

+ =Аь1 +

■а, +

р Ц = 1, 2,..., <5). Поскольку точки А и В различны, то АВ*0 и векторы а и Ь одновременно не могут быть равны нулю, Если а^О, Ь^О , то откладывая а от точки А получимАМ е V иМ е Х.ТогдаАВ = АМ + Ь=>АВ = = - МА +Ь=>МВ = Ь=>-Ь = ВМ=>МеГ. Плоскости Е и Гимеютхотя бы одну общую точку М, т.е. пересекаются.

Если плоскости Е и Г пересекаются, то у них есть общая точка М. Тогда АМ =АВ + ВМ=>АВ + Р, Ь, + ...+ + Р(|Ь(] - а,а, -... - а а = 0, т.е. система векторов а,,..., а , Ь,,..., Ь,АВ линейно зависима и у = 1*0.

Теорема 2. Для того чтобы плоскости! (А; а...... а )

и Г(В; Ь,,..., Ь ) были вполне или частично параллельны, необходимо и достаточно, чтобы система векторов а,, ..., ар, Ь,,..., Ь , АВ была линейно зависимой и в линейной комбинации а,а, + ... + а а + Р,Ь, + ...+ + РЧЬ + уАВ = 0 коэффициент у = 0.

Доказательство. Приу = 0 имеем

а,а, + ... + аа +р,Ь, + ...+ рЬ = 0,

т.е. система векторов а.

,ар,Ь,

■Л

• тоже линеино

Пусть а =

+ — Ь;|, т.е. а е Ур, Ь е У<(, Если Ь= 0, то АВ е Ур=>

В е Е, т.е. у плоскостей есть хотя бы одна общая точка В и они пересекаются. Если а = 0, то АВ е V и ВА е V => А е Г, т.е. плоскости пересекаются. Вектор а (или Ь) может быть равен 0, только при равенстве нулю всех коэффициентов а (или Р ), при этом 1 = 1,2,...,

......~р'

зависима. Пустып = а,а, + ... + а а , т.е. т е V Коэффициенты а,,..., а не могут быть все равны нулю, так как это ведет к линейной зависимости векторов Ь,,..., Ь(|. Значит, т*0, поскольку векторы а,,..., а линейно независимы. Крометого, т = - р,Ь, -...- Р(|Ь , т.е. т е Уч. Направляющие пространства V и V имеют общий вектор ш, и, значит, пересекаются. Общих точек у I и Г нет. В противном случае, по теореме 1, у*0. Значит, плоскости X и Г параллельны, с какой-то степенью параллельности.

Если плоскости параллельны, с какой-то степенью параллельности, то Ур и V пересекаются. Существует вектор к = 5,а. + ... -I- 5 а = Х.Ь. + ...+ к Ь * => о,а, + ... + 5(1а -/.,!>,-...->. Ь = 0. Тогда система векторов а,,..., ар1 Ь,,..., Ь , АВ линейно зависима, так как линейно зависима ее часть. Коэффициенту = 0, так как в линейной комбинации нет АВ*0.

Теорема 3. Для тот чтобы плоскости Е(А; а,,..., а ) и Г(В; Ь,,..., Ь ) были скрещивающимися, необходимо

и достаточно, чтобы система векторов а,,..., а , Ь,.....

Ь(), АВ была линейно независимой.

Доказательство. Если система векторов а,, .... а , Ь,, ..., Ь , АВ линейно независима, то плоскости I и Г не могут пересекаться или быть параллельными с любой степенью параллельности, так как, согласно теоремам 1 и 2, система векторов в обоих случаях линейно зависима. Значит, I и Г скрещивающиеся плоскости.

Если система векторов а,, ..., а(), Ь,, ..., Ь^, АВ линейно зависима, то в линейной комбинации с^а, + ... + а ар + р,Ь, + ...+ РД + уАВ = 0 коэффициенту либо равен нулю и плоскости параллельны с какой-то степенью параллельности (теорема 2), либо не равен нулю и плоскости пересекаются (теорема 1). В обоих случаях I и Г не являются скрещивающимися плоскостями. Теорема 3 для прямых линий в трехмерном пространстве доказана в [ 1 ].

По теореме 3 можно определить минимальную размерность плоскости, проходящей через I и Г. Рассмотрим плоскость Д(А; а,,..., ар1 Ь,,..., Ь , АВ) в определителе которой используется, упомянутая в теоремах, система векторов. Для любой точки М этой плос-костиимеемАМ=а,а1 + ... + схрар + р,Ь, + ...+ Р,,Ь + +- уАВ. При Р] = у = 0 получим все точки плоскости I, при а( = 0, у = 1 получим все точки плоскости Г, т.е. плоскость Д проходит через £ и Г. Так как система векторов, входящая в определитель плоскости Д, линейно независима, то размерность плоскости Д равна р + q + 1. Плоскость Д — это плоскость минимальной размерности. Действительно, любая плоскость, проходящая через 1иГ, содержит все пары точек этих плоскостей, и ее направляющее пространство будет содержать все векторы, входящие в определитель Д. Значит, размерность этой плоскости не меньше чем размерность Д. Можно записать зт!п = р+ q + + 1.

Если плоскости I и Г к-параллельны, то размерность плоскости Д(А; а,, ..,, ар, Ь,.....Ъ , АВ) станет

меньше. Вектор т*0 (теорема 2) и среди коэффициентов р. (] = 1..... q) есть не равный нулю (Рк# 0).

Согласно теореме о введении вектора в базис [3], вектор т можно ввести в базис Ь,, ..., Ь вместо вектора Ьк, так как Рк* 0. Вектор ш является линейной комбинацией векторов а...... а и, значит, может быть удален

из определителя плоскости Д. Размерность зт|11 уменьшится на единицу. Если векторы, входящие в определитель Д, после этого линейно зависимы, то так же, как вектор т введем вектор ш, и т.д. до тех пор, пока векторы в определителе плоскости Д не станут линейно независимы. Пусть таким способом были убраны ¿векторов. Эти векторыш,,..., т(|линейно независи-

мы, так как входят в базис У^ и принадлежат не только V , но и Ур. Пространство У(1, натянутое на эти векторы, состоитизвекторовобщихдляУ иУ(1,т.е.У(| = Ур пУ . Векторы т,, ...,т1] — базисУ,. Получим= р + ц + + 1 - с1 = р + - к) + 1.

Если плоскости X и Г пересекаются (теорема 1), то вектор АВ ф 0 является линейной комбинацией векторов базисов Ур и V . Поэтому вектор АВ может быть сразу удален из определителя плоскости Д(А;

а,.....ар1 Ь,, ..., Ь , АВ). Если оставшиеся после этого

векторы линейно независимы, то плоскости пересекаются в одной точке, например, точке М (теорема 1). Общих направлений у плоскостей нет. Если оставшиеся в определителе векторы линейно зависимы, то поступаем так же, как в предыдущем случае. Пусть из определителя плоскости Д удалены г векторов из числаЬ^ = 1.....q)1 после чего остались линейно независимые векторы. Тогда зт.п = р + д + 1 — 1— г = = р + д — г. Число г — это не только размерность Уг= = V п V,, но и размерность плоскости, заданной точкой Миг линейно независимыми векторами. Эта плоскость есть плоскость пересечения £ и Г, так как каждая ее точка принадлежит этим плоскостям.

Библиографический список

1. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. — М.: Просвещение, 1985. - 320с.

2. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомер-наягеометрия. — М.: Наука, 1970. — С. 528.

3. Куликов Л.К. Базисы векторного пространства //Прикл. Геометр1яташж. графжа. - К.: КНУБА, 2000. - Вип.67. - С. 140 - 142.

4. Первикова В.Н. Основы многомерной начертательной геометрии (конспект лекций для слушателей ФПК). — М,: МАИ, 1976 - С. 35.

КУЛИКОВ Леонид Константинович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

УДК «21.318 в. К. ФЕДОРОВ

Омский государственный технический университет

ПРИНЦИП УСТОЙЧИВОГО НЕРАВНОВЕСИЯ И ГИПОТЕЗА ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ВСЕЛЕННОЙ_

В статье освещены результаты наблюдений, проведенных космическим зондом Microwave Anisotropy РгоЫе (MAP) и проведен анализ полученных им данных.

После полуторагодичных наблюдений, проведенных космическим зондом Microwave Anisotropy РгоЫе (MAP) и анализа полученных им данных, в середине февраля 2004 г. были опубликованы результаты, сведенные в новую карту MAP Вселенной. На карте MAP изображено распределение температуры остаточного

реликтового космического излучения во всем пространстве Вселенной. О на ответила на ряд досихпорспор-ных вопросов, жизненно важных для понимания истории и структуры видимой части Вселенной. Даже краткое перечисление этих результатов позволяет понять, какой огромный шаг сделан в науке о Вселенной.