Научная статья на тему 'Задание s-плоскости'

Задание s-плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
152
33
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ПРОСТРАНСТВО / S-ПЛОСКОСТЬ / ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ / SPACE / S-PLANE / A DETERMINANT

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Куликов Леонид Константинович

В многомерном пространстве рассмотрено задание s-плоскости двумя плоскостями меньшей размерности и другие способы ее задания. Найдено количество возможных для s-плоскости определителей данного вида и их получение, что позволяет на начальном этапе моделирования иметь полную информацию о задании плоскости. Показана возможность перехода от одного определителя плоскости к другому.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

S-plane setting

In a multidimensional space setting a s-plane by two planes of smaller dimension and other ways of setting are considered. The number of possible determinants for the plane of the given kind is obtained. That gives information about the plane setting at the initial stage of modeling. The possibility of transition from one determinant of the plane to another is shown.

Текст научной работы на тему «Задание s-плоскости»

2. Из шести независимых переменных выразить пять относительно одной из переменных.

3. Подставить полученные выражения пяти переменных в систему уравнений гиперплоскости,

4. Освободившись от переменной, получим аналитическое представление гиперповерхности.

Вывод

Разработан алгоритм формализованного графоаналитического представления гиперповерхностей пространства Е„ с помощью методов теории параметризации и исчислительной геометрии, что позволяет установить вид интерполирующего или аппроксимирующего уравнения и определить число экспериментальных значений для его вывода.

Библиографический список

1. Schubert, Н. Kalkul der abzahlender Geometre /

H. Schubert; Springer - Vergal, Heidelberg, New — York, 1979. - P.45.

2. Volkov, V. An axiomatic theory of graphic models of polydimensional spaces / V. Ja. Volkov, V. Ju. Jurkov ; Proceeding of 6th ICECGDC 19 — 23 August, Tokyo, JAPAN, 1994, p. 32.

ИЛЬЯСОВА Ольга Борисовна, аспирантка кафедры начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской автомобильно-дорожной академии, ассистент кафедры «Детали машин и инженерная графика» Омского государственного аграрного университета.

644008, ул. Физкультурная 3 ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, заведующий кафедрой начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской автомобильно-дорож-ной академии, доктор технических наук, профессор.

644080, г. Омск, пр. Мира, 5

Дата поступления статьи в редакцию: 15.02.2009 г.

© Ильясова О.Б., Волков В.Я.

удк514 114 Л. К. КУЛИКОВ

Омский государственный технический университет

ЗАДАНИЕ S-ПЛОСКОСТИ

В многомерном пространстве рассмотрено задание з-плоскости двумя плоскостями меньшей размерности и другие способы ее задания. Найдено количество возможных для 5-плоскости определителей данного вида и их получение, что позволяет на начальном этапе моделирования иметь полную информацию о задании плоскости. Показана возможность перехода от одного определителя плоскости к другому.

Ключевые слова: пространство, х-плоскость, определитель.

Во многих задачах многомерной евклидовой геометрии важно умение представить плоскость размерности б (б-плоскость) как суммарную плоскость, проходящую через две или более плоскостей меньшей размерности. Под суммарной плоскостью будем понимать плоскость минимальной размерности, содержащую данные плоскости. Рассмотрим Б-плоскость в евклидовом пространстве Еп как суммарную плоскость двух плоскостей, размерности которых р и я. Для различных положений этих плоскостей в пространстве на их размерности накладываются определенные условия [5]. Примем для определенности Я < р < Б.

Если р- и я-плоскости пересекаются по г-плоскости, то в = р + я — г. При этом размерности удовлетворяют неравенствам я > г £ 0, я^р, р < б, р + я ^ б. Найдем количество определителей б-плоскости, представляющих собой две пересекающиеся плоскости [3]. Поскольку р < б, то рш<1х = б — 1. Подставляя это значение в формулу Б = р + Я — г, получим Я = г + 1. Размерность г = 0, 1, 2,..., при этом я = 1,2,..., р, т.е. Я = 1, 2,..., (б — 1). Тогда для р = б — 1 возможными будут именно эти значения q. Пары плоскостей, входящих в определитель Б-плоскости, будут иметь размерность р = Б- 1 и Я = 1 (г = 0), р = Б — 1 И Я = 2

(г = 1)..р = Б - 1 И Я = Б — 1 (г = Б — 2). Число таких

пар (число определителей) равно количеству различных размерностей я-плоскости, т.е. (б — 1). Для следующей размерности р-плоскости, при движении в сторону уменьшения числа р, имеем пары плоскостей р = б — 2ия = 2, р = Б — 2ия = 3,..., р = Б — 2ия = б — 2. Число таких пар равно количеству различных значений размерностей я-плоскости, т.е. (б — 2) — 1 = б — 3. Для р = б — к имеем пары р = Б — кия = к. Р = б — кия = к + Ь—. Р = б — кия = Б — к. Число таких пар равное — (2к — 1). Всего определителей данного вида для б-плоскости будет равно сумме

N. = (Б - 1) + (Б - 3) + (Б - 5) + ...

...+[Б-(2к-1)1 + ... (1)

Этот ряд необходимо прервать в том случае, если следующий член ряда менее или равен нулю. Если б — четное число (б = 2к), то

N. = (б - 1) + (б - 3) + (б - 5) + ... + 1. (2)

Число Ы, является суммой б/2 членов арифметической прогрессии и равно б2/4. Если б — нечетное

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ вестник N«2 МО). 200? ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

число (б = 2к — 1), то минимальный член ряда равен 2и

Ы, = (5 - 1) + (в - 3) +

+ (в - 5) + ... + 2. (3)

В этом случае N1, = б2/4 - 1/4. Единая формула

имеет вид

N. = [б2/4], (4)

и справедлива для четных и нечетных значений б. Число N1, является целой частью числа, записанного в квадратных скобках.

Для 3-плоскости, по формуле (4), имеем два определителя такого вида. Пары плоскостей, входящих в определитель 3-плоскости, будут иметь размерность р = э — 1 = 2ия = 1(г = 0), р = в — 1 = 2 и я = 2 (г = 1),т.е. 2-плоскость и 1-плоскость пересекающиеся по 0-плоскости (точке) и две 2-плоскости пересекающиеся по 1-плоскости (прямой). Количество определителей 4-плоскости равно четырем. Пары плоскостей, входящих в определитель 4-плоскости, будут иметь размерность р = б — 1 = 3 и я = 1(г = 0), р = б — 1 = 3ия = 2(г= 1), р = в — 1 = 3 и я = 3 (г = 2), р = б - 2 = 2 и я = 2 (г = 0). Это 3-плоскость и 1-плоскость пересекающиеся по 0-плоскости, 3-плоскость и 2-плоскость пересекающиеся по 1 -плоскости, две 3-плоскости пересекающиеся по 2-плос-кости, две 2-плоскости пересекающиеся по

0-плоскости. Для 5-плоскости таких определителей будет шесть, а именно: 4-плоскость и 1-плоскость пересекающиеся по 0-плоскости, 3-плоскость и 2-плоскость пересекающиеся по 0-плоскости, 4-плоскость и 2-плоскость пересекающиеся по 1-плоскости, две 3-плоскости пересекающиеся по

1-плоскости, 4-плоскость и 3-плоскость пересекающиеся по 2-плоскости, две 4-плоскости пересекающиеся по 3-плоскости.

Если р- и я-плоскости скрещиваются, то б = р + + я + 1. откуда р = б — я - 1- Так как я £ Р, то б -

- Я - 1 £ Я Ч ^ (5 — 1 )/2. При этом яш|„ = 1. значение я = 0 необходимо отнести к полной параллельности этих плоскостей, вследствие того, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору направляющего пространства р-плоскости. Задавая возможные значения я: 1.2,.... (б — 1)/2 будем иметь соответствующие значения р: (б - 2), (б - 3),..., (б - 1 )/2. Число пар плоскостей, задающих б-плоскость, в этом случае равно числу значений размерности я-плоскости, так как размерность р при этом определяется однозначно. Это число Ы2 = (б — 1)/2. Если б — нечетное число, то Ы2 - целое число и имеет смысл. Если Б — четное число, то Ы2 — дробное и необходимо брать в качестве Ы2 наибольшее целое число, меньшее этого дробного числа, а именно б/2 - 1. При подсчете Ы2 для четных чисел по формуле Ы2 = (б - 1)/2 получим число на 1 /2 большее истинного числа. Поэтому единая формула в этом случае имеет вид

Ы2 = [(б - 1)/2]. (5)

Число Ы2 является целой частью числа, записанного в квадратных скобках.

Для 3-плоскости, по формуле (5), существует только один определитель такого вида (я= 1, р = б - 2 = = 1,т.е. две скрещивающиеся 1-плоскости). Для 4-плоскости определитель такого вида тоже один (я = 1, р = б — 2 = 2, т.е. скрещивающиеся 1-плоскость и 2-плоскость). Для 5-плоскости таких определителей два (Я = 1, р = б — 2 = 3ия = 2, р = б - 3 = 2, т.е.

скрещивающиеся 1 -плоскость и 3-плоскость и скрещивающиеся две 2-плоскости).

Если р- и я-плоскосги вполне параллельны, то б = р + + 1. Тогда р = б — 1. С этой р-плоскостью в паре могут быть я-плоскости при я = 0, 1,2, ..., б — 1, т.е. пар плоскостей, задающих б-плоскость, будет ровно б.

N3 = Б. (6)

Для 3-плоскости существует три определителя такого вида. При этом р = 2 и я = 0 (плоскость и точка вне этой плоскости), р = 2 и я = 1 (плоскость и параллельная ей прямая), р = 2 и я = 2 (две параллельные плоскости). Для 4-плоскости таких определителей четыре: 3-плоскость и вполне параллельная ей плоскость, размерность которой принимает значения 0, 1,2, 3. Для 5-плоскости определителей этого вида пять: 4-плоскость и вполне параллельная плоскость, размерность которой принимает значения 0, 1,2,3, 4.

Если р- и я-плоскости к-параллельны, то б = р + + Я + 1 — с1. При этом степень параллельности к = с!/я, где с! — размерность пространства пересечения направляющих пространств данных плоскостей. Размерность я удовлетворяет неравенству 0 < я ^ Р, значения я = 0 и с1 = я отнесены к полной параллельности, т.е. в этом случае к < 1. Размерность с1 принимает значения 1, 2, ..., я — Так как б = р + я + + 1-а,тор = Б + с1-я-1=> Рпих = з + -

— я — 1 = б+(я— 1) — я - 1 = б — 2. Для р = Б — 2 размерность я = й + 1 и я может принимать значения 2, 3,..., б — 2. Количество пар плоскостей в этом случае будет равно б — 3. Для следующего значения р = б - 3 размерность я = с1 + 2 и я может принимать значения 3, 4,..., б — 3. Количество пар плоскостей равно б — 5. При р = б — ш размерность я = <3 + + т — 1 и я может принимать значения т, (т + 1), ..., (б — т). Количество пар плоскостей равно (б —

- (2т - 1)).

В разных парах к-параллельных плоскостей степень параллельности разная. Общее количество пар

и, соответственно, определителей равно

N. = (б — 3) + (б — 5) + ...

... + (б — (2ш — 1))... (7)

Можно считать по этому ряду, обрывая его, когда член ряда будет равен или менее нуля. Если б -четное число, то сумма членов ряда равна = = (б — 2)2 /4. Если б — нечетное число, то = = (б — 2)2 /4 - 1/4. Единая формула имеет вид

N. = [(б - 2)74]. (8)

Число является целой частью числа, записанного в квадратных скобках.

При б = 3 количество определителей, состоящих из двух к-параллельных плоскостей (к < 1) по формуле (8) равно нулю, что соответствует действительности, так как частичной параллельности в 3-про-странстве нет. Для 4-плоскости такой определитель один. Определитель состоит из двух 1/2-параллельных (полупараллельных) 2-плоскостей (р = б — 2 = 2, с! = 1,я = с1 + 1 = 2). Для 5-плоскости таких определителей два: 1/2-параллельные 3- и 2-плоскости (р = = б — 2 = 3, с! = 1, я = с1 + 1 =2), а также двумя 2/3-параллельными 3-плоскостями (р = б - 2 = 3, с! = 2, я = с! + 1 = 3).

Плоскости, входящие в определитель Б-ПЛОСКО-сти могут быть заданы одним из способов, которые рассмотрены для б-плоскости, как суммарные плос-

кости плоскостей меньшей размерности. При этом определитель в-плоскости будет состоять из числа плоскостей более двух. Расположение плоскостей может быть комбинированным, например, какие-то из плоскостей определителя пересекаются, какие-то скрещиваются, а какие-то параллельны. Этот подход дает возможность получить для исчислительной геометрии большое количество задач, имеющих единственное решение.

При составлении алгоритмов решения задач удобным является точечно-векторное задание плоскости, например Б(А; а,,а,). Переход от такого задания плоскости к другим определителям можно проводить с введением линейно независимых точек. Введем точки В,, В2, ..., В, так, что АВ, = а,, АВ2 = а2, ..., АВ1 = а,. Тогда плоскость будет задана в направленными отрезками — геометрическими векторами. Если рассматривать только точки А, В,, В2.Вя, то плоскость

будет задана б + 1 линейно независимой точкой. От задания плоскости линейно независимыми точками

легко перейти к заданию б отрезками [АВ,], [АВ2].

[АВ,.], которые тоже удобно называть линейно независимыми. Каждый из отрезков однозначно задает прямую, поэтому плоскость можно задать в прямыми (АВ,), (АВ2),..., (АВя), которые называются линейно независимыми прямыми [1, 4]. Вместо прямых можно рассматривать лучи [АВ,), [АВ2)..[АВя).

Переход к заданию Б-плоскости линейно независимыми точками возможен и при рассмотрении ее как суммарной плоскости. При задании б-плоскости двумя вполне параллельными 0-плоскостыо и (б - 1 )-плоскостью, можно рассматривать (б - 1 (-плоскость как суммарную плоскость вполне параллельных 0-плоскости и (б - 2)-плоскости. Тогда б-плоскость будет задана двумя точками и (б — 2)-плоскостью. Продолжая этот процесс, получим б 4- 1 линейно независимую точку, задающую б-плоскость.

Изменение точечно-векторного задания плоскости заключается в изменении начальной точки (А)

или векторов а..... а,. В качестве новой начальной

точки может быть взята любая точка плоскости. Изменение векторов а,, а, должно быть таким, чтобы новая система векторов была базисом V,. Это возможно на основе следующих предложений [2]. Предложение 1. Вектор Ь е Уя с Уп можно ввести в базис а,, а2,а, подпространства У8 вместо любого вектора этого базиса, по которому координата вектора Ь не равна нулю, и при этом будет получен новый базис подпространства У8 пространства Уи. Пред-

ложение 2. Система линейно независимых векторов (Ь) = Ь,, Ь2,bk (к < б), принадлежащая V, с Vn может быть вся введена в базис (а) = а,, а2, а, подпространства Vs вместо каких - то векторов базиса так, что полученная новая система векторов будет базисом подпространства Vs пространства Vn. Предложение 2 реализуется на основе предложения 1. Векторы (Ь) = Ь,, Ь2,bk последовательно по одному вводятся в базис (а) = а,, а2,а, вместо векторов по которым их координаты не равны нулю.

От одного определителя, при необходимости, можно перейти к другому. Так, например, 3-плоскость заданная двумя скрещивающимися 1 -плоскостями (прямыми) может быть перезадана двумя вполне параллельными 2-плоскостями (плоскостями). Для этого на первой прямой берется точка и через нее проводится прямая параллельная второй прямой и на второй прямой берется точка и через нее проводится прямая параллельная первой прямой. Эти две пары пересекающихся прямых задают параллельные плоскости, которые являются определителем 3-плоскости. Выбор вида определителя важен при решении задач как многомерной геометрии, так и многомерной начертательной геометрии.

Библиографический список

1. Волков В.Я. К-параллельность и К-перпендику-лярность в N-мерном евклидовом пространстве // Прикладная геометрия и инженерная графика — Омск : Изд-во ОмПИ, 1972. - С. 50 - 55.

2. Куликов Л.К. Введение вектора в базис // Омский научный вестник. - 2006. - № 4(38). - С. 201 - 203.

3. Куликов Л.К. Определитель плоскости. —Омск : ОмГТУ, 2007. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.03.07, № 198.

4. Первикова В.Н. Основы многомерной начертательной геометрии (конспект лекций для слушателей ФПК). - М. : МАИ, 1976. - 35 с.

5. Commerville D.M.Y. An introduction to the geometry of n dimensions. — London, 1929.

КУЛИКОВ Леонид Константинович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

644050, г. Омск, пр. Мира, 11

Дата поступления статьи в редакцию: 23.03.2009 г.

© Куликов Л.К.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (80>. 2009 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.