Задание s-плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Из шести независимых переменных выразить пять относительно одной из переменных.

3. Подставить полученные выражения пяти переменных в систему уравнений гиперплоскости,

4. Освободившись от переменной, получим аналитическое представление гиперповерхности.

Вывод

Разработан алгоритм формализованного графоаналитического представления гиперповерхностей пространства Е„ с помощью методов теории параметризации и исчислительной геометрии, что позволяет установить вид интерполирующего или аппроксимирующего уравнения и определить число экспериментальных значений для его вывода.

Библиографический список

1. Schubert, Н. Kalkul der abzahlender Geometre /

H. Schubert; Springer - Vergal, Heidelberg, New — York, 1979. - P.45.

2. Volkov, V. An axiomatic theory of graphic models of polydimensional spaces / V. Ja. Volkov, V. Ju. Jurkov ; Proceeding of 6th ICECGDC 19 — 23 August, Tokyo, JAPAN, 1994, p. 32.

ИЛЬЯСОВА Ольга Борисовна, аспирантка кафедры начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской автомобильно-дорожной академии, ассистент кафедры «Детали машин и инженерная графика» Омского государственного аграрного университета.

644008, ул. Физкультурная 3 ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, заведующий кафедрой начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской автомобильно-дорож-ной академии, доктор технических наук, профессор.

644080, г. Омск, пр. Мира, 5

Дата поступления статьи в редакцию: 15.02.2009 г.

© Ильясова О.Б., Волков В.Я.

удк514 114 Л. К. КУЛИКОВ

Омский государственный технический университет

ЗАДАНИЕ S-ПЛОСКОСТИ

В многомерном пространстве рассмотрено задание з-плоскости двумя плоскостями меньшей размерности и другие способы ее задания. Найдено количество возможных для 5-плоскости определителей данного вида и их получение, что позволяет на начальном этапе моделирования иметь полную информацию о задании плоскости. Показана возможность перехода от одного определителя плоскости к другому.

Ключевые слова: пространство, х-плоскость, определитель.

Во многих задачах многомерной евклидовой геометрии важно умение представить плоскость размерности б (б-плоскость) как суммарную плоскость, проходящую через две или более плоскостей меньшей размерности. Под суммарной плоскостью будем понимать плоскость минимальной размерности, содержащую данные плоскости. Рассмотрим Б-плоскость в евклидовом пространстве Еп как суммарную плоскость двух плоскостей, размерности которых р и я. Для различных положений этих плоскостей в пространстве на их размерности накладываются определенные условия [5]. Примем для определенности Я < р < Б.

Если р- и я-плоскости пересекаются по г-плоскости, то в = р + я — г. При этом размерности удовлетворяют неравенствам я > г £ 0, я^р, р < б, р + я ^ б. Найдем количество определителей б-плоскости, представляющих собой две пересекающиеся плоскости [3]. Поскольку р < б, то рш<1х = б — 1. Подставляя это значение в формулу Б = р + Я — г, получим Я = г + 1. Размерность г = 0, 1, 2,..., при этом я = 1,2,..., р, т.е. Я = 1, 2,..., (б — 1). Тогда для р = б — 1 возможными будут именно эти значения q. Пары плоскостей, входящих в определитель Б-плоскости, будут иметь размерность р = Б- 1 и Я = 1 (г = 0), р = Б — 1 И Я = 2

(г = 1)..р = Б - 1 И Я = Б — 1 (г = Б — 2). Число таких

пар (число определителей) равно количеству различных размерностей я-плоскости, т.е. (б — 1). Для следующей размерности р-плоскости, при движении в сторону уменьшения числа р, имеем пары плоскостей р = б — 2ия = 2, р = Б — 2ия = 3,..., р = Б — 2ия = б — 2. Число таких пар равно количеству различных значений размерностей я-плоскости, т.е. (б — 2) — 1 = б — 3. Для р = б — к имеем пары р = Б — кия = к. Р = б — кия = к + Ь—. Р = б — кия = Б — к. Число таких пар равное — (2к — 1). Всего определителей данного вида для б-плоскости будет равно сумме

N. = (Б - 1) + (Б - 3) + (Б - 5) + ...

...+[Б-(2к-1)1 + ... (1)

Этот ряд необходимо прервать в том случае, если следующий член ряда менее или равен нулю. Если б — четное число (б = 2к), то

N. = (б - 1) + (б - 3) + (б - 5) + ... + 1. (2)

Число Ы, является суммой б/2 членов арифметической прогрессии и равно б2/4. Если б — нечетное

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ вестник N«2 МО). 200? ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

число (б = 2к — 1), то минимальный член ряда равен 2и

Ы, = (5 - 1) + (в - 3) +

+ (в - 5) + ... + 2. (3)

В этом случае N1, = б2/4 - 1/4. Единая формула

имеет вид

N. = [б2/4], (4)

и справедлива для четных и нечетных значений б. Число N1, является целой частью числа, записанного в квадратных скобках.

Для 3-плоскости, по формуле (4), имеем два определителя такого вида. Пары плоскостей, входящих в определитель 3-плоскости, будут иметь размерность р = э — 1 = 2ия = 1(г = 0), р = в — 1 = 2 и я = 2 (г = 1),т.е. 2-плоскость и 1-плоскость пересекающиеся по 0-плоскости (точке) и две 2-плоскости пересекающиеся по 1-плоскости (прямой). Количество определителей 4-плоскости равно четырем. Пары плоскостей, входящих в определитель 4-плоскости, будут иметь размерность р = б — 1 = 3 и я = 1(г = 0), р = б — 1 = 3ия = 2(г= 1), р = в — 1 = 3 и я = 3 (г = 2), р = б - 2 = 2 и я = 2 (г = 0). Это 3-плоскость и 1-плоскость пересекающиеся по 0-плоскости, 3-плоскость и 2-плоскость пересекающиеся по 1 -плоскости, две 3-плоскости пересекающиеся по 2-плос-кости, две 2-плоскости пересекающиеся по

0-плоскости. Для 5-плоскости таких определителей будет шесть, а именно: 4-плоскость и 1-плоскость пересекающиеся по 0-плоскости, 3-плоскость и 2-плоскость пересекающиеся по 0-плоскости, 4-плоскость и 2-плоскость пересекающиеся по 1-плоскости, две 3-плоскости пересекающиеся по

1-плоскости, 4-плоскость и 3-плоскость пересекающиеся по 2-плоскости, две 4-плоскости пересекающиеся по 3-плоскости.

Если р- и я-плоскости скрещиваются, то б = р + + я + 1. откуда р = б — я - 1- Так как я £ Р, то б -

- Я - 1 £ Я Ч ^ (5 — 1 )/2. При этом яш|„ = 1. значение я = 0 необходимо отнести к полной параллельности этих плоскостей, вследствие того, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору направляющего пространства р-плоскости. Задавая возможные значения я: 1.2,.... (б — 1)/2 будем иметь соответствующие значения р: (б - 2), (б - 3),..., (б - 1 )/2. Число пар плоскостей, задающих б-плоскость, в этом случае равно числу значений размерности я-плоскости, так как размерность р при этом определяется однозначно. Это число Ы2 = (б — 1)/2. Если б — нечетное число, то Ы2 - целое число и имеет смысл. Если Б — четное число, то Ы2 — дробное и необходимо брать в качестве Ы2 наибольшее целое число, меньшее этого дробного числа, а именно б/2 - 1. При подсчете Ы2 для четных чисел по формуле Ы2 = (б - 1)/2 получим число на 1 /2 большее истинного числа. Поэтому единая формула в этом случае имеет вид

Ы2 = [(б - 1)/2]. (5)

Число Ы2 является целой частью числа, записанного в квадратных скобках.

Для 3-плоскости, по формуле (5), существует только один определитель такого вида (я= 1, р = б - 2 = = 1,т.е. две скрещивающиеся 1-плоскости). Для 4-плоскости определитель такого вида тоже один (я = 1, р = б — 2 = 2, т.е. скрещивающиеся 1-плоскость и 2-плоскость). Для 5-плоскости таких определителей два (Я = 1, р = б — 2 = 3ия = 2, р = б - 3 = 2, т.е.

скрещивающиеся 1 -плоскость и 3-плоскость и скрещивающиеся две 2-плоскости).

Если р- и я-плоскосги вполне параллельны, то б = р + + 1. Тогда р = б — 1. С этой р-плоскостью в паре могут быть я-плоскости при я = 0, 1,2, ..., б — 1, т.е. пар плоскостей, задающих б-плоскость, будет ровно б.

N3 = Б. (6)

Для 3-плоскости существует три определителя такого вида. При этом р = 2 и я = 0 (плоскость и точка вне этой плоскости), р = 2 и я = 1 (плоскость и параллельная ей прямая), р = 2 и я = 2 (две параллельные плоскости). Для 4-плоскости таких определителей четыре: 3-плоскость и вполне параллельная ей плоскость, размерность которой принимает значения 0, 1,2, 3. Для 5-плоскости определителей этого вида пять: 4-плоскость и вполне параллельная плоскость, размерность которой принимает значения 0, 1,2,3, 4.

Если р- и я-плоскости к-параллельны, то б = р + + Я + 1 — с1. При этом степень параллельности к = с!/я, где с! — размерность пространства пересечения направляющих пространств данных плоскостей. Размерность я удовлетворяет неравенству 0 < я ^ Р, значения я = 0 и с1 = я отнесены к полной параллельности, т.е. в этом случае к < 1. Размерность с1 принимает значения 1, 2, ..., я — Так как б = р + я + + 1-а,тор = Б + с1-я-1=> Рпих = з + -

— я — 1 = б+(я— 1) — я - 1 = б — 2. Для р = Б — 2 размерность я = й + 1 и я может принимать значения 2, 3,..., б — 2. Количество пар плоскостей в этом случае будет равно б — 3. Для следующего значения р = б - 3 размерность я = с1 + 2 и я может принимать значения 3, 4,..., б — 3. Количество пар плоскостей равно б — 5. При р = б — ш размерность я = <3 + + т — 1 и я может принимать значения т, (т + 1), ..., (б — т). Количество пар плоскостей равно (б —

- (2т - 1)).

В разных парах к-параллельных плоскостей степень параллельности разная. Общее количество пар

и, соответственно, определителей равно

N. = (б — 3) + (б — 5) + ...

... + (б — (2ш — 1))... (7)

Можно считать по этому ряду, обрывая его, когда член ряда будет равен или менее нуля. Если б -четное число, то сумма членов ряда равна = = (б — 2)2 /4. Если б — нечетное число, то = = (б — 2)2 /4 - 1/4. Единая формула имеет вид

N. = [(б - 2)74]. (8)

Число является целой частью числа, записанного в квадратных скобках.

При б = 3 количество определителей, состоящих из двух к-параллельных плоскостей (к < 1) по формуле (8) равно нулю, что соответствует действительности, так как частичной параллельности в 3-про-странстве нет. Для 4-плоскости такой определитель один. Определитель состоит из двух 1/2-параллельных (полупараллельных) 2-плоскостей (р = б — 2 = 2, с! = 1,я = с1 + 1 = 2). Для 5-плоскости таких определителей два: 1/2-параллельные 3- и 2-плоскости (р = = б — 2 = 3, с! = 1, я = с1 + 1 =2), а также двумя 2/3-параллельными 3-плоскостями (р = б - 2 = 3, с! = 2, я = с! + 1 = 3).

Плоскости, входящие в определитель Б-ПЛОСКО-сти могут быть заданы одним из способов, которые рассмотрены для б-плоскости, как суммарные плос-

кости плоскостей меньшей размерности. При этом определитель в-плоскости будет состоять из числа плоскостей более двух. Расположение плоскостей может быть комбинированным, например, какие-то из плоскостей определителя пересекаются, какие-то скрещиваются, а какие-то параллельны. Этот подход дает возможность получить для исчислительной геометрии большое количество задач, имеющих единственное решение.

При составлении алгоритмов решения задач удобным является точечно-векторное задание плоскости, например Б(А; а,,а,). Переход от такого задания плоскости к другим определителям можно проводить с введением линейно независимых точек. Введем точки В,, В2, ..., В, так, что АВ, = а,, АВ2 = а2, ..., АВ1 = а,. Тогда плоскость будет задана в направленными отрезками — геометрическими векторами. Если рассматривать только точки А, В,, В2.Вя, то плоскость

будет задана б + 1 линейно независимой точкой. От задания плоскости линейно независимыми точками

легко перейти к заданию б отрезками [АВ,], [АВ2].

[АВ,.], которые тоже удобно называть линейно независимыми. Каждый из отрезков однозначно задает прямую, поэтому плоскость можно задать в прямыми (АВ,), (АВ2),..., (АВя), которые называются линейно независимыми прямыми [1, 4]. Вместо прямых можно рассматривать лучи [АВ,), [АВ2)..[АВя).

Переход к заданию Б-плоскости линейно независимыми точками возможен и при рассмотрении ее как суммарной плоскости. При задании б-плоскости двумя вполне параллельными 0-плоскостыо и (б - 1 )-плоскостью, можно рассматривать (б - 1 (-плоскость как суммарную плоскость вполне параллельных 0-плоскости и (б - 2)-плоскости. Тогда б-плоскость будет задана двумя точками и (б — 2)-плоскостью. Продолжая этот процесс, получим б 4- 1 линейно независимую точку, задающую б-плоскость.

Изменение точечно-векторного задания плоскости заключается в изменении начальной точки (А)

или векторов а..... а,. В качестве новой начальной

точки может быть взята любая точка плоскости. Изменение векторов а,, а, должно быть таким, чтобы новая система векторов была базисом V,. Это возможно на основе следующих предложений [2]. Предложение 1. Вектор Ь е Уя с Уп можно ввести в базис а,, а2,а, подпространства У8 вместо любого вектора этого базиса, по которому координата вектора Ь не равна нулю, и при этом будет получен новый базис подпространства У8 пространства Уи. Пред-

ложение 2. Система линейно независимых векторов (Ь) = Ь,, Ь2,bk (к < б), принадлежащая V, с Vn может быть вся введена в базис (а) = а,, а2, а, подпространства Vs вместо каких - то векторов базиса так, что полученная новая система векторов будет базисом подпространства Vs пространства Vn. Предложение 2 реализуется на основе предложения 1. Векторы (Ь) = Ь,, Ь2,bk последовательно по одному вводятся в базис (а) = а,, а2,а, вместо векторов по которым их координаты не равны нулю.

От одного определителя, при необходимости, можно перейти к другому. Так, например, 3-плоскость заданная двумя скрещивающимися 1 -плоскостями (прямыми) может быть перезадана двумя вполне параллельными 2-плоскостями (плоскостями). Для этого на первой прямой берется точка и через нее проводится прямая параллельная второй прямой и на второй прямой берется точка и через нее проводится прямая параллельная первой прямой. Эти две пары пересекающихся прямых задают параллельные плоскости, которые являются определителем 3-плоскости. Выбор вида определителя важен при решении задач как многомерной геометрии, так и многомерной начертательной геометрии.

Библиографический список

1. Волков В.Я. К-параллельность и К-перпендику-лярность в N-мерном евклидовом пространстве // Прикладная геометрия и инженерная графика — Омск : Изд-во ОмПИ, 1972. - С. 50 - 55.

2. Куликов Л.К. Введение вектора в базис // Омский научный вестник. - 2006. - № 4(38). - С. 201 - 203.

3. Куликов Л.К. Определитель плоскости. —Омск : ОмГТУ, 2007. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.03.07, № 198.

4. Первикова В.Н. Основы многомерной начертательной геометрии (конспект лекций для слушателей ФПК). - М. : МАИ, 1976. - 35 с.

5. Commerville D.M.Y. An introduction to the geometry of n dimensions. — London, 1929.

КУЛИКОВ Леонид Константинович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

644050, г. Омск, пр. Мира, 11

Дата поступления статьи в редакцию: 23.03.2009 г.

© Куликов Л.К.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (80>. 2009 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА