Некоторые свойства ортогонального проецирования в en Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

удк 514. íes л. К. КУЛИКОВ

Омский государственный технический университет

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ В Ем

В многомерном евклидовом пространстве Еп рассмотрен векторный подход к получению ортогональных проекций точек, линий и р-плоскостей на плоскость проекций произвольной размерности. Такой подход позволяет сделать более наглядным получение проекции фигуры и достаточно простым изучение свойств ортогонального проецирования, что необходимо для многомерной начертательной геометрии и ее приложений.

Ключевые слова: пространство, вектор, р-плоскость, проецирование.

В многомерном евклидовом пространстве Еп примем некоторую ш-плоскость (плоскость размерности т) за плоскость проекций. Введем декартову систему координат Оег..еп так, чтобы координатная плоскость (О; е1Гет) совпала с т-плоскостью проекций (Пт). Радиус-вектор произвольной точки А в Еп записывается в известном виде

ОА-х^ +... +хтет +... +хпеп. (1)

Радиус-вектором проекции Ат точки А на координатную плоскость (О; е1Г ..., ет) будет вектор [1]

Для получения радиус-вектора ОАт проекции Ат точки А необходимо вычеркнуть из (1) слагаемые с векторами, не входящими в направляющее пространство координатной ш-плоскости Пт (или оставить слагаемые с векторами, принадлежащими направляющему пространству (е,, ..., ет) этой плоскости).

Из (1) и (2) сразу следует, что точка ортогонально проецируется на плоскость любой размерности в точку. Если (1) совпадает с (2), т.е. точка принадлежит плоскости проекций, то вычеркивать нечего и точка совпадает со своей проекцией. Точка, принадлежащая плоскости проекций, проецируется сама в себя.

Прямая линия (А; а), заданная уравнением

ОМ = ОА+1а (3)

проецируется, в общем случае, в прямую линию. Уравнение (3) останется таким же, но все векторы, входящие в (3), будут иметь разложение по векторам е1, ет, а не по векторам е1Г ..., еп. Коэффициенты при е},..., ет будут такими же, как в (3), т.е. составляющие каждого вектора, содержащие ет+1,...,еп будут вычеркнуты. Прямая, принадлежащая плоскости проекций Пт, проецируется сама в себя, так как в ее уравнении уже нет векторов, имеющих составляющие с векторами ет+1, ..., еп ,т.е. вычеркивать нечего.

Прямая с уравнением (3) рассматривается как множество точек, а проекция — как множество проекций этих точек. Поэтому проекция точки прямой принадлежит проекции прямой. Тогда проекции пересекающихся прямых линий имеют общую точку.

Если в (3) вектор а является линейной комбинацией только векторов ет+1, ..., еп, т.е. а параллелен плоскости (О; ет+1, ..., еп), то после вычеркивания слагаемых он станет нулевым, параметр I из (3) исчезнет. Прямая спроецируется в точку (проекция точки А). Прямая перпендикулярна плоскости проекций.

Если в (3) вектор а является линейной комбинацией только векторов е1(..., ет, т.е. а параллелен плоскости проекций Пт, то вычеркивать нечего, и он при проецировании не изменится. Прямая, параллельная плоскости проекций, проецируется в параллельную прямую, проходящую через проекцию точки А.

Если вектор ОА в уравнении (3) не содержит составляющих по е1,..., ет, то проекция прямой проходит через начало координат. Точка А при этом проецируется в точку О.

Если прямая (3) пересекает Пт, то проекция прямой проходит через проекцию точки пересечения, так как она проецируется сама в себя. Если при этом вектор а параллелен плоскости (О; ет+1, ..., еп), то прямая проецируется в точку пересечения прямой и плоскости проекций Пт.

Если одна прямая линия задана уравнением (3), а вторая прямая — уравнением (Ж = ОВ + иЬг где Ь = Ра, то эти прямые параллельны. После вычеркивания составляющих с векторами ет+1,..еп равенство Ь = ра останется неизменным, т.е. параллельные прямые линии проецируются, в общем случае, в параллельные прямые линии.

При проецировании точки А плоскость (А; ет+1,

еп) вполне ортогональна плоскости проекций Пт, так как каждый ее направляющий вектор ортогонален направляющим векторам е1,..., ет плоскости проекций Пт (векторы взяты из одной декартовой системы координат). Плоскость (А; ет+,,..., еп) имеет уравнение

ОМ = ОА + 1т+1егп+1 + ... + 1пеп (4)

и проецируется на Пт в точку, так как после вычеркивания составляющих, не входящих в направляющее пространство плоскости проекций, все параметры исчезнут. При этом проекцией плоскости будет точка Ат. Если переходить к синтетическому изложению, то именно этой плоскостью осуществляется проецирование точки А на плоскость Пт. Эта плоскость является проецирующей, так как содержит все прямые пространства Еп, проходящие через точку А и ортогональные плоскости Пт. Размерность этой плоскости равна (п —ш), по числу линейно независимых векторов, задающих направляющее пространство Уп_т этой плоскости в (4).

Две скрещивающиеся прямые расположены в одной 3-плоскости. Если (п — ш)>3, то эти прямые могут

находиться в проецирующей плоскости и проецируются на Пт в одну точку. Точно так же пересекающиеся и параллельные прямые могут проецироваться на плоскость Пт в одну точку. Если взять из начертательной геометрии пространства Е3 понятие конкурирующих точек, то все точки любой проецирующей (п — ш)-плоскости являются конкурирующими.

Кривая линия

ОМ = мие, + ... + У1)ет + ... + уче,,, (5)

в общем случае проецируется на Пт в кривую линию. Если размерность пространства, которому принадлежит кривая линия меньше (п —ш), то она может спроецироваться в точку, так же как и скрещивающиеся прямые. Например, винтовая линия трехмерного пространства, принадлежащая проецирующей плоскости, размерность которой не менее трех, спроецируется в точку. Пространственная кривая может спроецироваться на Пт в прямую линию, но при этом с уверенностью сказать, что она плоская (как в Е3), уже нельзя. Такое произойдет, например, в случае если ^(1;), Гт(Ц — линейные функции, а fn(t) — нелинейные функции. На комплексном чертеже Радищева такая кривая будет иметь прямые линии в качестве проекций на (ш— 1) двумерную плоскость проекций. Если среди ^1+1(1:)г ..., ín(t) есть еще линейные функции, то проекций — прямых линий будет больше.

При проецировании р-плоскости на Пт принцип получения проекции не меняется. Пусть уравнение р-плоскости

ОМ = ОА + 11а1 + ... 4- 1:рар[ (6)

где а1Г ..., ар — линейно независимые направляющие векторы этой плоскости. Для любой точки р-плос-кости справедливо правило получения ее проекции, значит, оно справедливо для всех точек и векторное уравнение (6) останется таким же, только все входящие в него векторы будут иметь разложение не по е1Г ..., еп, а по векторам е,,..., ет.

Уравнение р-плоскости (6) описывает множество точек плоскости, проекция р-плоскости — это множество проекций точек р-плоскости. Поэтому проекция точки р-плоскости принадлежит проекции р-плоскости.

Если размерность р-плоскости не более размерности плоскости проекций Пт (р<т), то она может спроецироваться в р-плоскость или в плоскость меньшей размерности. Уменьшение размерности произойдет если какие-то из ненулевых векторов а],..., а имеют нулевые координаты по всем векторам е,,..., еш. Если эти координаты равны нулю у всех векторов а1? ..., ар, то р-плоскость спроецируется в точку. Если они равны нулю только у (р — 1) вектора, р-плоскость спроецируется в прямую линию и т.д.

Уменьшение размерности может произойти и при не равных нулю координатах по е},..., еп) у части векторов иза1? ...,ар. Если, например, проекции векторов а} и а2 станут линейно зависимыми, то это уменьшит размерность проекции р-плоскости. Такое возможно если существует линейная комбинация векторов а, и а2 принадлежащая направляющему пространству проецирующей плоскости. Линейная комбинация части направляющих векторов р-плоскости принадлежит направляющему пространству Ур этой р-плоскости, и принадлежит направляющему пространству Упт проецирующей плоскости, значит, принадлежит пересечению этих пространств. Понижение

размерности проекции р-плоскости происходит, когда направляющее пространство этой плоскости пересекается с направляющим пространством проецирующей плоскости (VpnVn_m = Vr). Если изменить векторы alf а , так, чтобы г направляющих векторов р-плоскости были взяты из пространства пересечения Vr, то эти г векторов будут иметь нулевые координаты по elf ..., em, как векторы пространства Vn_m. Таким образом, придем к случаю равенства нулю координат у части направляющих векторов р-плоскостиприе^ ..., ет, т.е. к первому случаю. Размерность проекции р-плоскости при этом равна (р — г). Степень ортогональности р-плоскости и Пт равна г/р.

Если у всех векторов, входящих в (6) коэффициенты разложения по ет+1, ..., еп равны нулю, то р-плос-кость принадлежит плоскости проекций Пт и проецируется сама в себя. Если эти координаты равны нулю уа1( ...,арине равны нулю у ОА, то р-плоскость параллельна Пт и проецируется в параллельную плоскость, проходящую через проекцию точки А. Плоскость частично параллельная Пт, будет проецироваться в частично параллельную р-плоскости плоскость. Степень параллельности р-плоскости и ее проекции будет такой же, как степень параллельности р-плоскости и Пт, если размерность проекции равна размерности р-плоскости. Если VpnVm = Vd, и при этом у р-плос-кости и Пт нет общих точек, то возможно, что Vpn nVn m = V, Тогда плоскости параллельны со степенью d/p и ортогональны со степенью г/р, при этом d + г<р. В этом случае размерность проекции равна (р — г), степень параллельности р-плоскости и ее проекции будет равна d/(p — г). Если при тех же условиях р-плоскость пересекает Пт, то можно говорить о степени параллельности по определению Схоуте [2] или же рассматривать только ортогональность.

Если р>ш, то размерность проекции плоскости будет не более т. При этом р направляющих векторов линейно выражаются через m векторов, а поскольку р>ш, то направляющие векторы становятся линейно зависимыми [3], и размерность понижается.

Рассмотрение свойств ортогонального проецирования р-плоскости на плоскость проекций Пт возможно на основе свойств проецирования на гиперплоскость Пп j и правила последовательно проецирования [4]. Введем ряд координатных плоскостей ПтсПт+1с ... сПп.2сПп.г Проекция точки А на Пт может быть получена последовательным проецированием А на Пп t (получена проекция Ап, точки Ап_, на Пп.2 (получена проекция Ап_2) и т.д. до Ат (проекция Ат+1 на Пт). Все свойства проецирования на гиперплоскость при каждом проецировании сохраняются. Это позволяет подробно проследить процесс формирования проекции.

Векторный подход к рассмотрению ортогонального проецирования в многомерном евклидовом пространстве позволяет сделать наглядным процесс получения проекции фигуры и достаточно просто получать свойства проецирования, что необходимо для многомерной начертательной геометрии и при изучении многопараметрических систем и многофакторных процессов.

Библиографический список

1. Куликов, Л. К. Ортогональное проецирование в Еп / Л. К. Куликов // Прикл. геометр1яташж. графжа. — К.: КНУБА, 2008. - Вид. 79. - С. 109-112.

2. Sommerville, D. М. Y. An introduction to the geometry of n dimensions / D. M. Y, Sommerville. — London, 1929. — 190 c.

3. Постников, M. M. Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия / M. М. Постников. — М.: Наука, 1979. — 336 с.

4. Куликов, Л. К. Координатная ломаная / Л. К. Куликов // Омский научный вестник, 2002. — Вып. 21. — С. 45 —46.

КУЛИКОВ Леонид Константинович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики. Адрес для переписки: 644050, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 23.09.2010 г. © Л. К. Куликов

Книжная полка

Леонова, Л. М. Инженерная графика. Резьбовые и сварные соединения [Текст]: учеб. пособие / Л. М. Леонова, К. Л. Панчукг Ф. Н. Притыкин; ОмГТУ. - Омск: Изд-во ОмГТУг 2010. - 99 с.: рис.г табл. -Библиогр.: с. 68-69. - ISBN 978-8149-0885-8.

В учебном пособии представлены общие требования, предъявляемые стандартом к разработке и оформлению конструкторских документов; даны описания способов изготовления изделий с резьбой, характеристики геометрических параметров резьбы в зависимости от технических и технологических условий изготовления и эксплуатации изделий резьбового соединения, приведены основные правила изображения резьбы и резьбовых соединений в соответствии с требованиями государственных стандартов, а также требования, предъявляемые к сборочным чертежам разъемных и неразъемных соединений. Выполнен обзор вопросов стандартизации, относящихся к конструкторским документам, стандартизированным терминам, обозначениям основных групп комплекса стандартов «Единая система конструкторской документации» в РФ. Пособие содержит комплект чертежей для самостоятельной проработки студентами.

Леонова, Л. М. Инженерная графика (изделия, документы) [Текст]: учеб. пособие / Л. М. Леонова, Л. К. Куликов, Н. Н. Чигрик; ОмГТУ. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2010. - 46 с.: рис., табл. + 25 с. - ISBN 978-5-8149-0827-8.

В учебном пособии представлены общие требования, предъявляемые стандартом к разработке и оформлению конструкторских документов; виды изделий, виды и комплектность конструкторских документов; текстовых документов; графической части чертежа; текстовой информации на чертежах, а также требования, предъявляемые к чертежам деталей и сборочным чертежам разъемных и неразъемных соединений. Проведен обзор вопросов стандартизации, относящихся к конструкторским документам, стандартизированным терминам, обозначениям основных групп комплекса стандартов «Единая система конструкторской документации» в РФ. Содержит комплект чертежей для самостоятельной проработки студентами.