CC BY
9В то же время из включения I = ) Q Pi следует, что многообразие нулей идеала р,
имеющее положительную размерность, содержится в многообразии нулей идеала I, что противоречит условию конечности числа решений системы (4). Таким образом, множество коэффициентов (в\,... ,См), для которых выполнено (7), образует пространство Т положительной коразмерности для г = 1,...,р и иРр=1Т С Км. Выбирая (С1 ,...,ем) £ Км \ получим Ск+1.
Теперь, когда построен идеал ■], удовлетворяющий условиям (1)—(3), достаточно заметить, что решения системы (4) являются решениями системы р уравнений
(ух, ...,Ур) = 0, Ор(У1,... ,Ур) = 0
и воспользоваться уже доказанным случаем N = р для оценки ее числа решений.
Замечание. Совершенно аналогично доказывается обобщение теоремы для случая, когда полиномы F1,..., FN однородны по группам переменных ух = (х1;о,..., х1>П1), ..., ур = (хр,0,..., хр,Пр) и их мультистепени не превосходят (Н1 ,...,Нр), а система (4) имеет конечное число решений в произведении проективных пространств Р"1 х ... х Р"р. В этом случае число решений системы не превосходит
!...«,„! НТ ■■■Hp
■p
nii...Upi
Этот же результат можно вывести из теоремы Кушниренко [5, с. 200-206].
Автор выражает благодарность профессору Ю.В. Нестеренко за помощь в подготовке статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т. 2. М.: ИЛ, 1963.
2. Van der Waerden B.L. On Hilbert's function, series of composition of ideals and a generalization of the theorem of Bezout // Proc. Roy. Acad. Amsterdam. 1929. 31. 749-770.
3. Van Tuyl A. The border of the Hilbert function of a set of points in P"1 x ... x P"fc // JPAA. 2002. 176. 223-247.
4. Philippon P. Lemmes de zeros dans les groupes algebriques commutatifs // Bull. Soc. math. France. 1986. 114. 355-383.
5. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A. V. Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants.Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1994.
Поступила в редакцию 02.08.2009
УДК 511
ОЦЕНКА СУММЫ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ДЕЛИТЕЛЕЙ
Г. В. Федоров1
В статье рассматривается задача об оценке суммы значений функции делителей. Улучшена известная оценка, и этот результат обобщен для суммы возведенных в данную степень значений функции делителей.
Ключевые слова: функция делителей, многочлен Лагерра.
The problem of estimation of the sum of values of a divisor function is considered in the paper. The previously known estimate is improved and the result is generalized to the case of divisor function values rased into a given power.
Key words: divisor function, Laguerre polynomial.
Пусть Tk(m) — число решений (x\, X2, ■ ■ ■ ,Xk) уравнения X1X2 ■ ■ ■■ ■ Xk = m в целых положительных
1 Федоров Глеб Владимирович — студ. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
числах. Считаем, что тк(0) = 0, тк(1) = 1, т\(ш) = 1. Введем обозначение
ТР(п)= Е т1к(ш).
При I = 1 эту сумму будем обозначать Тк (п)
Г ( 1к
Задачу о верхней оценке суммы Т^1 (п) одним из первых стал рассматривать К. К. Марджанишвили.
В 1939 г. с помощью неравенства
^ (п\ - \ <Г1 {тп ^ п --
(к- 1)!
™ , ч , ч (к - 1 + 1nn)k-1
Тк{п) = Y, Tfc(m) ^ п -71—^Г--(!)
К. К. Марджанишвили [1] доказал следующую оценку:
М-1 .(D к1
п • л:' ( ft" — I + inn
Тк \п) = ^ тк(ш) < п ■ А(к) (к1 — 1 + 1пп) , где А¡¡} =
1 ^т^п [К1) К-1
при любых целых п ^ 1, к ^ 2, I ^ 1.
В 2006 г. Д. А. Митькиным была улучшена оценка для Т® (п). В его работе [2] получено неравенство
тк(п)т(п) ^ ткг(п) (2)
для любых целых к ^ 2, I ^ 2 и п ^ 1. С помощью этого неравенства, используя оценку (1), Д. А. Митькин доказал, что при любых целых п ^ 1, к ^ 2, I ^ 1 выполняется неравенство
тЦ\п)= £ гЦш)^-^- (^-l + lnn)"'"1
Автор доказал более точное неравенство для оценки суммы Т (п), чем ранее известное неравенство тем самым улучшив оценку суммы Т( 1 (п).
Основным результатом данной работы является следующее неравенство (см. теорему):
к 1 'к — 1\ 1П n
Тк{п)= £ тк{т)^п^[ • -р- (3)
.7=0 ^ ■>/ ■)■
Сумма в правой части неравенства (3) может быть представлена в виде многочлена Лагерра. В общем случае эти многочлены имеют вид
Ьа (х) = —ехх~а-^— (е~ххт+а) = У^ (т + тУ ' т\ (1хтУ ' ]\
Таким образом, при а = 0, ш = к — 1 и х = — 1п п из (3) получаем
Тк(п) ^ пЬк-1(— 1п п),
где Ьт(х) = Ь0т(х). Отсюда с учетом неравенства (2) находим оценку для сумм общего вида
Т(1)(п) < пЬкг-1(— 1пп).
Перед тем как перейти к доказательству основной теоремы, приведем вспомогательную лемму. Лемма. Для любого действительного г ^ 0 и любого целого N ^ 2 выполнено неравенство
ч ^ 1пг(т - 1) 1пг+1 N т г +1 '
2<т<М
Доказательство. Воспользуемся возрастанием функции lnrt, а затем убыванием функции
v "■"<"'-1' « vif ыт< Е Г = —■
^ m ^ m Jm 1 ^ ,m 1 t r + 1
Лемма доказана.
Теорема. При любых целых n ^ 1 и к ^ 2 выполняется неравенство
Ып)= £ ^(mXng^T1)^. (4)
1<m<ra j=0 ^ J / J-
Доказательство. Ясно, что для n =1 в (4) имеет место равенство. Далее считаем, что n ^ 2. Доказательство проведем индукцией по к. Для k = 2 имеем
T2(n)= £ T2(m)= Y, £l= Z Е 1= Е
m=0 (mod d)
(i+ E 5]<n(1+ £ fd jA]=»<1+1°»).
\ 2^d^n J \ 2^d^nJd-1 )
n
L d
<
d I \ —^ Ы— i t
\ 1
таким образом, неравенство (4) выполнено.
Проведем рассуждения для к c предположением, что уже сделан (к — 1)-й шаг:
Tk(n)= £ Tk(m)= £ £Tk-i(d)= £ Tk-i(d) £ 1
l^m^n 1^m^nd|m l^d^n l^m^n
m=0 (mod d)
Tk-i(d)
ld-
l^d^n l^d^n
Далее суммированием по частям получаем
V^ (А\ n ^ V^ Tk-l(d)
E Tfc-i(d) i <n E -d-• (5)
l<d<n l<d<n-l 4 7
k 2 'k - 2\ lnj d — (k - 2\ lnj n
<SIIÏMtSÏT
j=0l<d<n-l 4 J ' J K ' j=0
Теперь воспользуемся доказанной леммой и продолжим неравенство (6):
^ Tk-i(d) ^ (к - 2\ lnJ'+1 n ^ [к - 2\ \nj п
^ d < ^ V j ) 0' + 1)! + ^
l^d^n j=0 4 J 7 v ' j=0
lns l n x—2 / (k — 2\ (k — 2\ \ lnj n s-^ /k — A lnj n
(k -1)! j^V\з- ч V w/ j! j=0 v w j!
откуда с учетом (5) получаем неравенство (4) Теорема доказана.
В заключение отметим, что с помощью более аккуратной оценки в неравенстве (5) результат теоремы может быть несколько улучшен:
Tk (n) =
1<m<n
Tk(m) ^ nc
kl
j=0
j J c2j
ln n
(7)
где Ьг(х) — многочлен Лагерра степени г, а с =1 — а и Ь всех целых ш ^ 1 выполнено неравенство
такие неотрицательные константы, что для
n m
-b <
Е
l^d^n d=0 (mod m)
Здесь константы могут быть выбраны следующим образом: а = 1п2 — 0,5, Ь = 61п 2 — 3,7. Тогда неравенство (7) дает нам некоторое улучшение оценки (3). При а = 0 и Ь = 0 из неравенства (7) получаем (3).
Автор выражает благодарность научному руководителю профессору В. Н. Чубарикову за постановку задачи и внимание к работе.
c
a
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // Докл. АН СССР. 1939. 22, вып. 7. 391-393.
2. Митькин Д.А. Об оценке некоторых арифметических сумм с числом делителей // Матем. заметки. 2006. 80, вып. 3. 471-472.
Поступила в редакцию 19.06.09
УДК 519.714
О СЛОЖНОСТИ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Д. А. Дагаев1
В работе получены верхние и нижние оценки сложности функций трехзначной логики, которые принимают значения из множества {0,1} и ограничения которых на множестве наборов из нулей и единиц являются линейными функциями.
Ключевые слова: функции трехзначной логики, формулы, сложность формул.
Upper and lower estimates for the complexity of functions of the 3-valued logic taking values from the set {0,1} with linear Boolean restrictions are derived.
Key words: functions of three-valued logic, formulas, complexity of formulas.
Рассматривается задача о реализации функций трехзначной логики формулами над конечными системами. О. Б. Лупанов [1] для любой полной системы булевых функций получил асимптотически точную оценку функции Шеннона. В работе [2] показано, что для произвольной конечной системы Ф булевых функций всякая функция из [Ф] может быть реализована формулой со сложностью, имеющей не более чем экспоненциальный порядок роста от числа переменных. Пример последовательности функций четырехзначной логики, сложность которых в классе формул над некоторой конечной неполной системой имеет порядок роста "двойной экспоненты" от числа переменных, приведен в [3]. В [4, 5] для некоторых замкнутых классов трехзначной логики получены верхние оценки соответствующих функций Шеннона. В настоящей работе исследуется сложность функций трехзначной логики, которые принимают значения
1 Дагаев Дмитрий Александрович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
