Обобщенная проблема делителей с натуральными числами, имеющими двоичные разложения специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17. Выпуск 1.

УДК 511

ОБОБЩЕННАЯ ПРОБЛЕМА ДЕЛИТЕЛЕЙ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ, ИМЕЮЩИМИ ДВОИЧНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

К. М. Эминян (г. Москва) Аннотация

Пусть Tk(n) — число решений уравнения Х\Х2 • • • xk = n в натуральных числах xi, Х2, ... xk. Пусть

Dk (x) = Tk (n).

Задача получения асимптотической формулы для Dk (x) при k = 2 называется проблемой делителей Дирихле, а при k ^ 3 — обобщенной проблемой делителей Дирихле. Эта асимптотическая формула имеет вид

Dk (x) = xPk-i(log x) + O(xak +£),

где Pk-i(x) — многочлен степени k — 1, 0 < ak < 1, £ > 0 — сколь угодно малое число. Обобщенная проблема делителей Дирихле имеет богатую историю. В 1849 Л. Дирихле [1] доказал, что

ak < 1 — 1, k > 2. В 1903 году Г.Ф. Вороной [2] доказал, что (см. также [3])

ak < 1 — *ГГ' k ^ 2.

В 1922 году Г. Харди и Д. Литтлвуд [4] доказал, что

3

ak < 1--, k > 4.

k + 2'

В 1979 году. Р. Хис-Браун [5] доказал, что

3

ak < 1 — k, k > 8.

В 1972 году замечательный результат получил А. А. Карацуба [6]. Его оценка остаточного члена асимптотической формулы имеет вид

O(x1- W3 (Ci logx)k),

где c > 0, ci > 0 — абсолютные постоянные. Эта оценка равномерна по 2 ^ k ^ log x.

Пусть No — класс множества натуральных чисел, двоичного разложения которых содержат четное число единиц. В 1991 автор [8] решил проблему делителей Дирихле в числах из множества No и получил формулу

Е T(n) = 1 Е T(n)+ O(X" ln2 X),

n^X n^X

neNo

где т (п) — число делителей п, ш = 2 (1 + V 2 + /2) = 0.9428 ....

В настоящей статье обобщенная проблема делителей Дирихле решается в числах из множества N0.

Ключевые слова: Обобщенная проблема делителей, двоичные разложения, асимптотическая формула, равномерная оценка остаточного члена.

Библиография: 15 названий.

GENERALIZED PROBLEM OF DIVISORS WITH NATURAL

NUMBERS WHOSE BINARY EXPANSIONS HAVE SPECIAL TYPE

K. M. Eminyan (Moscow) Abstract

Let rk (n) be the number of solutions of the equation x\x2 ■ ■ ■ xk = n in natural numbers xi,

X2, ..., Xk. Let

Dk (x) = rk (n).

The problem of obtaining of asymptotic formula for Dk(x) is called Dirichlet divisors problem when k = 2, and generalyzed Dirichlet divisors problem when k ^ 3. This asymptotic formula has the form

Dk (x) = xPk-i(log x) + O(xak +e),

where Pk-1 (x) — is the polynomial of the degree k — 1, 0 < ak < 1, e> 0 — is arbitrary small number.

Generalyzed Dirichlet divisor problem has a rich history. In 1849, L. Dirichlet [1] proved , that

a.k < 1 — 1, k > 2.

In 1903, G. Voronoi [2]

^k < 1 — k > 2.

(see also [3])

In 1922, G. Hardy and J. Littlewood [4] proved that

3

ak ^ 1 — k ^ 4. In 1979, D. R. Heath-Brown [5] proved that

3

ak < 1 — k' k > 8.

In 1972, A. A. Karatsuba got a remarkable result [6].

His uniform estimate of the remainder term has the form

O(x1- W3 (c1 log x)k ),

where c > 0, c1 > 0 — are absolute constants.

Let No — be a set of natural numbers whose binary expansions have even number of ones. In 1991, the autor [8] solved Dirichlet divisors problem and got the formula

E T(n) = 1 E T(n)+ O(X" ln2 X)'

n^X n^X

n£No

where t(n) — the number of divisors n, w = 1 (1 + log2 V2 + V2) = 0.9428 ....

In this paper, we solve the generalyzed Dirichlet divisors problem in numbers from No. Keywords: generalized problem of divisors, binary expansions, asymptotic formula, uniform estimate of the remainder term.

Bibliography: 15 titles.

1. Введение

Пусть

П = £q + £I2+ £222 + ... (1)

— двоичное разложение натурального числа п, (ej = 0,1; ] =0,1, 2,...).

Разобьем множество натуральных чисел на два непересекающихся класса следующим образом. Если число единиц в разложении (1) четное, отнесем п к классу N0; в противном случае

— к классу N1.

Пусть

1, если п е N0

e(n) = , ^т

1 -1, если n £ N1.

В работе [8] автор вывел асимптотическую формулу вида

Е т(n) = 1 Е т(n) + O(Xш ln2 X),

n^X n^X

ne N0

где т(n) — число делителей n, ш = 1 (l + log2 д/2 + /2) = 0.9428____

В настоящей статье изучается сумма

Е Тк (n),

n^X neN0

где Тк(n) — число решений уравнения х1 ■ ■ ■ Хк = n в натуральных числах Х1,..., Хк, k ^ 3. Сформулируем основные результаты статьи.

Теорема 1. Для любого фиксированного натурального k ^ 3 существует п = n(k) > 0 такое, что справедлива формула

Е Тк(n) = 1 Е Тк(n) + O(X1-п).

n^X n^X

neN0

Заметим, что

Е Тк(n) - ХРк-1(1п X),

n^X

где Рк-1(х) — многочлен степени k — 1 (см. [13], гл. V, задача 3), поэтому формула теоремы 1 является асимптотической при X ^

Теорема 2. Для любого фиксированного натурального k ^ 3 существует п = n(k) > 0 такое, что

S = Е £Нтк(n) = O(X1-n).

n<X

Доказательства теорем основано на принадлежащей автору оценке интеграла

г 1

J0

где

|5(а)|^а,

5(а) = Е е(п)в'

и< 2®

2 пгаи

где ( — натуральное число см. [8].

2. Леммы

Лемма 1. (А.О. Гельфонд).

При любых вещественных а справедлива оценка

и4Х

Ао = 1о§4 3 = 0.7924....

Доказательство см. в [7]. Лемма 2. Пусть

| Е е(п)в2п^аи| < /=XЛо, 3

2 пгаи

5(а) = Е е(п)в Тогда справедливо неравенство

[ (а)|^а < 2^0, 0

где 0о = 1о§2 у/2 + /2 = 0.8857.... Доказательство см. в [8]. Лемма 3. Пусть

а 0

а = - + , (а, д) = 1, д ^ 1, |д| ^ 1. д д2

Тогда при любом в, и > 0, Р ^ 1 имеем

Р 1 Р

Е ) < Ч7 + 1)<и + я^ '>•

х=1

Доказательство см. в [13, гл. VI].

Лемма 4. Пусть аи — произвольные комплексные числа такие, что при а < п ^ Ь, |аи| ^ 1. Пусть д — натуральное число, д ^ Ь — а. Тогда

Ь — а г Ь — а

д-1

Еь — а ь — а \ I \ _

аи ^^ М Е аиаи+г

1/2

а<и^Ь у г=1 а<и^Ь-т

Доказательство дословно повторяется доказательство леммы 3 в [14, Приложение, §11].

емая на отрезке [to, ifc] функция, t0 < ti < ... < tfc-i < tk. Тогда, полагая ö = min (tr+ — tr),

0^r<fc

Лемма 5. (П. К. Галлахер). Пусть Б(¿) — комплекснозначная непрерывно дифференциру-ая на отрез

будем иметь

1 1 !

i /"ifc i /"ifc £|S(tr)| < -/ |S(t)| dt + -/ |S'(t)| dt. r=i Ö ^ to 2 ^ to

г=1 ^ *0

Доказательство см. [15, глава 1].

Лемма 6. Пусть к € N. Справедлива оценка

2 — 1

2-fcE

r=0

2ki

Еe(x)

e 2k

ж=0

< 2^т k

где 0О — константа из леммы 2.

Доказательство. Применяем лемму 5, положив в ней

2к — 1

ж=0

S(t)=E e(x)e2nitx, tr = 2k, ö = 2-k.

Тогда

Следовательно,

2ki

S'(t) = 2ni E xe(x)e'

2k-i

2-fcE

r=0

2k-i

E e(x)e

ж=0

2пггж2 k

ж=0 i

2k-1

2-k E |S(tr

<

r=0

< f |S(t)| dt + 2-k [ |S'(t)| dt.

00

Оценим интеграл:

|S'(t)|dt.

После применения преобразования Абеля получим

-1 р 2—1 /> 1 |S'(t)|dt < 2п / /

00

| Е ^(x)e2nixt |dtdu+

+2п /11 V ^(x)e2nixt|dt. 0

0<ж<2к- 1

2k-1

V E E e2nib(x-y)2-fc;

0<ж<2к- 1

Воспользуемся тождеством

Е е(х)е

получим

/>1 о^ г 2к-12к-1 , 1

Уо < |Уо Е / | Е е-2пгЬу2-к|| Е Ф)е2п^+Ь2

b=0

b=0 1/0

0<ж<2к-1

1

0

0

+2п /11 Е e(x)e2nixt|dt. 0 -1

Отсюда, из неравенства

| Е е-2«-' | <

2k

о<„<« |b| + 1

и из периодичности с периодом 1 функции S(t) следует, что

г i 2'-1 1 fi

J |S '(t)|dt « 2*Е щ+ij |S(t)|dt.

Если k — четное число, то из леммы 2 имеем

1

|S'(t)|dt < 2kk2(fc0°)/2. (2)

0

Если k — нечетное число, k = 2ki + 1, то поскольку

S (t)= Е e(x)e2nixt + Е ф + 2kl)

е2пгж4 _ e2ni22fcl t

0^£<22fcl-1 0^£<22fcl-1

в(ж + 2к1) = —е(ж), вновь применяя лемму 2, получаем и в этом случае неравенство (2) Наконец, применяя указанным способом лемму 2 к интегралу

[115

0

завершаем доказательство леммы 6.

Лемма 7. Пусть к и £ — целые числа, 0 ^ £ ^ к. Пусть при т е N

2m-1

em(r) = 2-m Е e(xm)e"2nirx2-

ж=0

пусть a — произвольное число из промежутка [0, 2k — 1]. Тогда

2 — 1

Е (r)|< 26°(fc-t)/2|lt(a)| k,

r=0 r=a. (mod 2')

где 00 — константа из леммы 2.

Доказательство. По определению имеем 2fc-1

E (r)| = 2-k E

r.a Tm°od 2') Г (m0d 2'-4)

2 — 1

Ee(x)

2П a+kr x e 2k

ж=0

= 2-k Е

r (mod 2k-t)

2k-t-1 2'-1 Е Е £(x + 2k-ty)

ж=0 y=0

, , .,fc-t ч 2ni (x+2k-ty)

e(x + 2k ly)e 2k

и

Поскольку е(ж + 2к = е(ж)е(у), имеем

2к 1

Е ^ (г)| = 2-(к-4) Е

г( шоё 2к-4)

г=0

г=а( mod 2^)

2к— — 1

Е е(х)

е2^2к-+2к )ж

ж=0

2- Е Ф)е2пау

у=о

= 2-М ^

г( шоё 2к-4)

2к-1-1

Е е(х)

е2*Ч +2к )ж

ж=0

(а)|.

Сумма в правой части последнего неравенства оценивается точно так же, как аналогичная сумма из леммы 6.

3. Доказательство теоремы 2

Пусть

Б = Е е(п)тй(п).

и^Х

Разобьем сумму 5 на не более чем 0(1пк X) сумм вида

5 (Х1,Х2,...,Хк )= Е ... Е £(Х1Х2 ••• ^)

Хх^Ж1<2Хх Хк^Жк<2Хк Ж1,Ж2,...,Хк ^Х

и рассмотрим одну из них.

Считаем, что Х^ ^ 1, ] = 1, 2,..., к, и предполагаем выполненным неравенство

Х1 ■ Х2 ■ ■ ■ < Х

Без ограничения общности считаем, что

Х1 < Х2 < ... < Хк.

Рассмотрим три возможных случая. 1° Пусть Хк > Xа8. Тогда

Х1 ■ Х2 ■ ■ ■ Хк-1 < Х0.2,

следовательно

|5(Х1,Х2,...,Хк)| < Е Тк-1(^)| Е (3)

Хк 4

2° X0Л < Хк < X0.8. Пусть

тк-1(й) = Е ... Е 1.

Х1^Ж1<2Х1 Хк-1^Жк-1<2Хк-1

Тогда в случае 2° имеем

)= Е тк-1(у) Е £(ХУ),

жу^Х

где Г = Xl ■ X2 ••• Xfc-l.

Пусть У ^ Хд, тогда

5 (ХЬХ2,...,Х) «Xе Е I Е £(ХУ)|.

ху^Х

Заметим, что если У < X0-1, то так как Хд ^ X0-8, тривиальная оценка приводит к неравенству

|5 (Х1,Х2,...,Хк )| « Х°-9+£.

Поэтому можно считать, что

X0-1 < У < /X. (4)

Неравенство У ^ л/Х следует из неравенств ХдУ < X, У ^ Хд Если же Хд < У, то меняя названия переменных, получаем

|5(Х1 ,Х2,...,Хд )|« Е I Е т'_1(ж)фу)|,

ху^Х

где У удовлетворяет неравенству (4).

Тем самим получаем, что в случае 2° достаточно оценить сумму (Хд, У) вида

51 (Хк, У) = Xе Е | Е Ьх фу)| = X е^2(Хд, У), (5)

У ^у<У' Хк<,х<Х'^

Хк < X' « Хдд, X0-1 < У « /X, |Ьх| « Xе, ХкУ < X.

3° Пусть Хд ^ X0Л. Тогда к ^ 10, так как иначе, оценивая 5(Х1,...,Хд) тривиально, приходим к неравенству

|5 (Х1,Х2,...,Хк )|« X 0-9+е. (6)

Пусть т — наибольшее натуральное число такое, что

Х1Х2 ' ' ' Хт ^

л/Х.

Без ограничения общности считаем, что 1 ^ т ^ к — 1 (иначе тривиально приходим к (6)). Заметим также, что из

Х1Х2 ' ' ' Хт ^

Vх,

Х1Х2 ■ ■ ■ ХтХт+1 > л/Х и Хт+1 ^ Хд ^ X0-1

следует, что

X0-4 <Х1 Х2 ...Хт < л/Х. Введем обозначения у = х1 ■ ■ ■ хт, х = хт+1 ■ ■ ■ хд,

т'(у) = Е ... Е 1,

Х1^х1<2Х1 Хт^х т <2Хт хг-хт=у

Т^_т(х) = Е Е 1.

Тогда получим

Хт+1^хт+1<2Хт+1

хт + 1 =х

|5(Х1,Х2,...,Хд)| < Е Тт(у)| Е т'_т(Ф(у*)|

У-г^Х

где Я = Ят+1 ■ ■ ■ , X0.4 < Г < X0.5, Г Я < X, Я' « Я.

Поскольку тт (у) « X£, то и в случае 3° мы пришли к тому, что достаточно оценить сумму того же типа, что и в случае 2° (см. (5)).

Вернемся к случаю 1° и оценим сумму (3). Пусть X' = XТй, X'' = min(2X',X). Оценим при фиксированном й сумму

Е

Х' <йж<Х"

Имеем

4

Е фХ)= Е ^ Е е2пг* =

Х' ^ж<Х" Х' ^ж<Х'' Ь=1

1 ^

1 Е Е Ф)е™ ^.

й

Ь=1 Х' ^ж<Х''

Отсюда, применяя оценку Гельфонда, получаем

| Е Фж)|« XЛ0,

Х' <йж<Х"

где А0 = 0.792... (см. [7]).

Теперь в случае 1° имеем оценку

Б^^,...^) « X а2+Л0+£ « X1-П1,

где п1 > 0.

Пусть теперь выполняется один из случаев 2° или 3°. Оценим сумму (5). Применим неравенство Коши:

Б22№,Г) « Г Е I Е Ьж£(ху)|2.

У<у<У' Хк ^ж<Хк

Пусть Н = [Xр], где 0 < р < 10-3 — малый параметр, который будет выбран позже. Применим лемму 4:

| Е Ьжфу)|2 « Н Е (1 — НО Е Ьж Ьл+Лфу)фу + Ну).

Хк^ж<Хк |Л|<Я Хк^ж<Хк

/ Х2 ч

Вклад Н = 0 оценивается как 0(-Н), поэтому

X 1+е Н X 2

S2(-fc,Г) « Е I Е + Ну)| + —.

Зафиксируем Н € [1,Н]. Теперь достаточно доказать, что

Бз^к,Г)= Е I Е + Ну) | « X1-п.

Хк^ж<Х' У ^у<У'

Выберем натуральное число Л из неравенств

2Л-1 < УХ2р ^ 2Л.

Введем символом ел(п):

1, если сумма первых Л двоичных цифр п четная;

£л(п) = ,

1 —1, - в противном случае.

Докажем, что тогда

5з(Хд, У) < Е | Е е(ху)е(ху + Лу)| + X 1-р+е.

Хк^х<Х'к У ^у<У'

Поделим ху на 2Л с остатком:

ху = 2Л д + г, 0 < г< 2Л.

Если г < 2Л — 2к_1УН, то тогда

ху + уЛ = 2Лд + г + уЛ, 0 <г + уЛ < 2Л.

Для таких ху имеем

е(ху)е(ху + Лу) = е(2Лд + г)е(2Лд + г + уЛ) =

= е(г)е(г + уЛ) = ел(ху)ел(ху + Лу).

Число пар (х, у), для которых остаток от деления ху на 2Л лежит между 2Л — 2к_1 УН и 2Л — 1, есть

0(Х 2_ЛУНХе) = 0(Х 1-р+е).

Перейдем к оценке

54 (Хк ,У )= Е | £ £л(ху)ел(ху + Лу)|.

ХьАх<Х'к У^у<2У

Введем для символа £л(г) дискретное преобразование Фурье:

2Л-1

?Л(г) = 2_Л Е £Л(1)е_2пг

1=0

Отметим, что в последней сумме £л(1) можно заменить на е(1). По определению имеем

2Л_1

^—л 2пг тхУ

^л(ху) = ^Л(г)е ,

г=0

£л(ху + уЛ) = Е £Л(«)е2пг ( 2Л ). «=0

Суммируя получившиеся линейные суммы по у, получаем неравенство

2Л_1 2Л_1

54(Хд,У) ^ Е |Гл(г)||Гл(в)|х

г=0 «=0

x E] min ^Y,

r + s hs -1

x + ТГТ

2Л 2Л

Пусть t — целое неотрицательное число такое, что 2^|(r + s). Пусть сначала 0 « t « Л — 120p log2 X.

Заметим, что из неравенства 2Л > Y ^ X1/10 следует, что Л > 0.1log2 X. Применим к сумме

Е. / r + s hs -ь min I Y,

2Л x + 2Л

лемму 3, положив в ней q = 2Л t, а = , ß = |x;

min Y,

r + s hs

x + ТГТ

2Л 2Л

-1) « + 0 (Y + Л 2Л-0-

Упростим правую часть полученного неравенства. Имеем

Xk +1 < XkX2Р +1 « 2-XfcX2Р-

таким образом,

2Л-t 2Л-^ 2Л-t '

Y + Л2Л-t < YX2р + Л2Л-t < 2YX3р;

+ l) (Y + Л2Л-^ « X ^Рг^;

) < X ^^г^.

min Y,

r + s hs x + 2х

Теперь, пользуясь леммой 7 оценим сумму

2Л-1 2л-1

E E fö(r)i^(s)i «

r=0 s=0,24y(r+s)

2Л-1 2Л-1 «e e

a=0 r=0

Л

2Л 1

|Гл(г)| e

r=a (mod 2')

s=0

s=—a (mod 2')

2Л 1

« 2^-t) log2 X ^ 1^л(а)|2 = 2^-t) log2 X.

a=0

В рассматриваемом случае получена оценка

54(XТ,Г) « X 1+6р2-(1-00)(Л-4). Поскольку А — £ ^ 120р log2 X, 1 — 00 > 0.1, имеем

, Г) « X 1+6р-12р < X1-р.

Осталось рассмотреть случай

А — 120р log2 X < £ < А.

Имеем:

2Л-1 2Л-1

S4(Xk,Y) < Е Е Е |^л(г)||ел(в)| min (y,

Xfc^x<X' r=0 s=0,24y(r+s)

r + s hs -1 x +--r"

2Л 2Л

2X-t — 1 2X-t — 1 2'- 1

2 — 1

E E E E E

Xk ^x<X' r2=0 S2 =0 ri =0 si=0

r1+s1=0( mod 2')

|ел(г1 + 2tr2) || ё^л (s 1 + 2^)|x

x min Y,

Г1 + S1 +2t(r2 + S2) S1 +2tS2 -1 -x +

2k 2k

При 0 ^ s1,r1 < 2t из сравнения r1 + s1 = 0( mod 2t) следует, что либо r1 = s1 = 0, либо r1 + s1 = 2t.

Отсюда и из леммы 1 получаем, что

2X-t-1 2A-t-1 2'-1

где

S4(Xfc,Y) « 2-2Л(1-Л°) E E Z Zmin [Y,

Xk ^x<X' S2=0 Г2 =0 si=0

+X2-2Л(1-л°) 22(Л-t)

1 + Г2 + S2 hS2 в =-^^-x +

hs1 , о ~2a" x + в

2Л-t

2Л-t

Пусть hpr = hps1, где 2xf — несократимая дробь. Так как

2-Л1 < 2-ЛХр, Y + Л12Л1 < YX3р

-1

+

(7)

имеем

2t 1

min(Y, ||^x + в|| ^ < YX5р

s1=0

Подставим это неравенство в (7):

S4(Xk, Y) < X 1+5p22(Л-t)2-2Л(1-Л°).

Отсюда, поскольку

22(Л_4) < 2240рlog2 Х = X240р 22Л > (УХ_2Р)2 > X0-2_4р при достаточна малых р имеем

54(Хк,У) « X 1_р.

Теорема 2 доказана.

Теорема 1 прямо следует из теоремы 2, поскольку

Е Tk(n) = Е 1±2МTk(n) = 1 Е Tk(n) + O(X1-n)

ra^X ra€N°

ra<X

ra<X

4. Заключение

В работе решена обобщенная проблема делителей с натуральными числами, имеющими

двоичные разложения специального вида.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Diriclet L. Uber die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie// Abh. Akad Berlin (Werke 2, 49 - 66), 1849, Math. Abh., 69-83.

2. Voronoi G. Sur un probleme du calcul des fonctions asymptitiques//J. Fur die reine und angewandte, Math., 1903, 126, 241-282.

3. Landau E. Uber die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen, Nacher//K. Gas. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Klassen, 1912, 6, 687-771.

4. Hardy G., Littlewood J. The approximate functional equation in the theory of the zeta-function, with applications to the divisor problems of Dirichlet and Piltz//Proc. London Maht. Soc. 2, 1922, 21, 39-74.

5. D. R. Heath-Brown, Recent Progress in Analytic Number Theory//Symposium Durham, 1979, v.1 London: Academic Press. 1981.

6. Карацуба А. А. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирих-ле// Изв. АН СССР, Сер. матем., 1972, 36:3, 475-483.

7. Gelfond A. O. Sur les nombres qui ont des proprietes additives et multiplicatives donnees// Acta Arith. 1968. Vol. XII. P. 259-265.

8. Эминян К. М. О проблеме делителей Дирихле в некоторых последовательностях натуральных чисел//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1991. Т. 55, вып. 3. С. 680-686.

9. Эминян К. М. Проблема Гольдбаха в простых числах с двоичными разложениями специального вида//Изв. РАН. Сер. мат. 2014. Т. 78, вып. 1. С. 215-224.

10. Эминян К. М. О средних значениях функции Tk(n) в некоторых последовательностях натуральных чисел//Мат. заметки. 2011. Том 90, выпуск 3.

11. Mauduit C. et Rivat J. Sur un probleme de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers//Annals of Mathematics. Second Series. 2010. V. 171. No 3, 1591-1646.

12. Green B. Three topics in additive prime number theory // Current Developments in Mathematics, Vol. 2007 (2009), 1-41.

13. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1983.

14. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994.

15. Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. М.: Мир, 1974.

REFERENCES

1. Diriclet L. 1849, ""Über die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie". Abh. Akad Berlin (Werke 2, 49 - 66), Math. Abh., 69-83.

2. Voronoi G. 1903, "Sur un probleme du calcul des fonctions asymptitiques", J. Fur die reine und angewandte, Math., 126, 241-282.

3. Landau E. 1912, ""Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen". Nacher. K. Gas. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Klassen, 6, 687-771.

4. Hardy G., Littlewood J. 1922, "The approximate functional equation in the theory of the zeta-function, with applications to the divisor problems of Dirichlet and Piltz", Proc. London Maht. Soc. 2, 21, 39-74.

5. D.R. Heath-Brown. 1981, "Recent Progress in Analytic Number Theory", Symposium Durham, v.1 London: Academic Press.

6. Карацуба А.А. 1972, "Uniform approximation of the remainder term in the Dirichlet divisor problem", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 36:3, 475-483

7. Gelfond, A.O. 1968, "Sur les nombres qui ont des proprietes additives et multiplicatives donnees" Acta Arith. vol. XII. pp. 259-265.

8. Eminyan, K. M. 1991, "On the Dirichlet divisor problem in some sequences of natural numbers", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 55:3, pp. 680-686

9. Eminyan, K. M. 2014, "The Goldbach problem with primes having binary expansions of a special form", Izv. RAN. Ser. Mat., 78:1, pp. 215-224

10. Eminyan, K. M. 2011, "On the Mean Values of the Function rfc(n) in Sequences of Natural Numbers", Mat. Zametki, 90:3, 454-463

11. Mauduit, C. et Rivat, J. 2010, "Sur un probleme de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers", Annals of Mathematics. Second Series. vol. 171. No 3, pp. 1591-1646.

12. Green, B. 2009, "Three topics in additive prime number theory", Current Developments in Mathematics, vol. 2007, pp.1-41.

13. Karatsuba, A. A. 1983, Osnovy analiticheskoi teorii chisel (Russian), [Fundamentals of the analytical number theory]. Second edition. Nauka, Moscow. 240 p.

14. Voronin, S. M.; Karatsuba, A. A. 1994, Dzeta-funktsiya Rimana. (Russian) [The Riemann zeta function] Fiziko-Matematicheskaya Literatura, Moscow,. 376 p.

15. Montgomery, H.L. 1971, Topics in multiplicative nunmber theory. Springer.

Московский государственный технический университет

им. Н. Э. Баумана.

Финансовый университет при Правительстве РФ.

Получено 18.12.2015

Принято в печать 11.03.2016