О сложности псевдолинейных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

В заключение отметим, что с помощью более аккуратной оценки в неравенстве (5) результат теоремы может быть несколько улучшен:

Tk (n) =

1<m<n

Tk(m) ^ nc

kl

j=0

j J C2j

ln n

(7)

где Ьг(х) — многочлен Лагерра степени г, а с = 1 — а и Ь всех целых т ^ 1 выполнено неравенство

такие неотрицательные константы, что для

n m

-Ь <

Е

l^d^n d=0 (mod m)

Здесь константы могут быть выбраны следующим образом: а = 1п2 — 0,5, Ь = 61п 2 — 3,7. Тогда неравенство (7) дает нам некоторое улучшение оценки (3). При а = 0 и Ь = 0 из неравенства (7) получаем (3).

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору В. Н. Чубарикову за постановку задачи и внимание к работе.

c

a

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // Докл. АН СССР. 1939. 22, вып. 7. 391-393.

2. Митькин Д.А. Об оценке некоторых арифметических сумм с числом делителей // Матем. заметки. 2006. 80, вып. 3. 471-472.

Поступила в редакцию 19.06.09

УДК 519.714

О СЛОЖНОСТИ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Д. А. Дагаев1

В работе получены верхние и нижние оценки сложности функций трехзначной логики, которые принимают значения из множества {0,1} и ограничения которых на множестве наборов из нулей и единиц являются линейными функциями.

Ключевые слова: функции трехзначной логики, формулы, сложность формул.

Upper and lower estimates for the complexity of functions of the 3-valued logic taking values from the set {0,1} with linear Boolean restrictions are derived.

Key words: functions of three-valued logic, formulas, complexity of formulas.

Рассматривается задача о реализации функций трехзначной логики формулами над конечными системами. О. Б. Лупанов [1] для любой полной системы булевых функций получил асимптотически точную оценку функции Шеннона. В работе [2] показано, что для произвольной конечной системы Ф булевых функций всякая функция из [Ф] может быть реализована формулой со сложностью, имеющей не более чем экспоненциальный порядок роста от числа переменных. Пример последовательности функций четырехзначной логики, сложность которых в классе формул над некоторой конечной неполной системой имеет порядок роста "двойной экспоненты" от числа переменных, приведен в [3]. В [4, 5] для некоторых замкнутых классов трехзначной логики получены верхние оценки соответствующих функций Шеннона. В настоящей работе исследуется сложность функций трехзначной логики, которые принимают значения

1 Дагаев Дмитрий Александрович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ddagaev@gmail.com.

из множества {0,1} и ограничения которых на множестве наборов из нулей и единиц являются линейными булевыми функциями. Все необходимые определения можно найти в [1-3, 6-9].

Пусть Ек = {0,1,... ,к — 1}, к ^ 2. Обозначим через Е'п множество всех наборов а = (а\,..., ап), таких, что а\,...,ап € Ек. Множество всех функций к-значной логики обозначим через Рк, а множество всех функций из Рз, принимающих значения только из множества Е2, — через Рэ;2. Пусть Е С Рк. Обозначим через [Е] замыкание множества Е относительно операций суперпозиции и введения несущественной переменной (см. [6]), а через Е(п) — множество всех функций из Е, зависящих от переменных Х\,... ,хп, п ^ 1.

Определим следующие множества булевых функций: Ь — множество всех линейных функций, 5 — множество всех самодвойственных функций, Т — множество всех функций, сохраняющих константу г, г = 0,1. Положим Ьг = Ь П Тг, г = 0,1; Ьо1 = Ьо П Ь1; БЬ = 5 П Ь. Дизъюнкцию Х1 и Х2, конъюнкцию Х1 и Х2, сумму по модулю два Х1 и Х2 будем обозначать через Х1 V Х2, Х1&Х2, Х1 ф Х2 соответственно.

Пусть Ф — конечная система функций из Рк, / (Х1,... ,Хп) € [Ф], Ф — формула над Ф, реализующая функцию /, а Е С [Ф]. Обозначим через Ь(Ф) число символов переменных и констант, входящих в формулу Ф (сложность формулы Ф), через Ьф(/) — сложность функции /, а через Ьф(Е(п)) — функцию Шеннона для множества Е.

Пусть /(Х1,...,Хп) € Р32. Проекцией функции /(Х1,...,Хп) называется такая булева функция (рг/)(Х1,... ,Хп), значение которой на произвольном наборе а € Еп определяется равенством (рг /)(а) = /(а). В дальнейшем функцию (рг/)(Х1,... ,Хп) будем обозначать через рг/(Х1,... ,Хп). Проекцией ргЕ множества функций Е С Р32 называется множество У {рг /}, где объединение берется по всем функциям / € Е. Нетрудно убедиться, что для любого замкнутого класса Е С Р32 множество рг Е является замкнутым классом булевых функций. Положим С = {/ € Рз,2|рг/ € Ь}. Функция /(Х1,...,Хп) € Рз,2 называется псевдолинейной, если / € С.

Пусть / (Х1,..., Хп) € Р3 2, Н С Е'п. Будем называть ограничением функции / на множество Н такую функцию из Р3 2, значение которой на произвольном наборе а € Е'п равно /(а), если а € Н, и равно 0, если а € Н (обозначение / Н).

Обозначим через ji(x) функцию из Р3,2, равную 1 при Х = г и 0 в остальных случаях, г € Е3, а через Х+у и Х■ у — функции из Р3 2, такие, что для любых а, в € Е3 выполняются равенства а+в = jl(a)ф]1 (в) и а ■ в = Л (®)&Л (в) соответственно.

Приведем описание замкнутых классов Н С Р3,2, таких, что ргН = Ь. Пусть /(Х1,... ,Хп) — произвольная псевдолинейная функция. Нетрудно видеть, что выполняется равенство

/ (xl,Хп) = ^ (Х1) -.-^п (xn),

где суммирование производится по всем наборам а = (а1,...,ап) € Е'п, таким, что /(а) = 1. Заменим каждое вхождение функции jо(y) в правой части этого равенства на равную ей функцию 1 + jl (у) + j2 (у) и раскроем скобки. Получим представление функции /(Х1,... ,Хп) в следующем виде:

/ (Х1, ...,Хп) = (Х1, ...,Хп) + (Х1,.. .,Хп), (1)

где

п

(Х1, ...,Хп) = а + ^ агЛ(Хг), (Х1, ...,Хп) = а1^К!^(Х1, .. .,Хп), г=1 1,3

KIíJ(xl, ...,Хп)=(Ц j1 (Хг Л Щ j2 (Хз )

а,аг,а1,з € {0,1}, а суммирование в определении функции производится по всем множествам I,1, таким, что I и 1 С {1,..., п}, I П 1 = 0, 1 = 0. Если а1,з = 1, то функция к1,з(Х1,..., Хп) называется компонентой функции /. Множество всех компонент функции / будем обозначать через К$. Положим К = У К!, где объединение берется по всем псевдолинейным функциям /. Легко видеть, что представление функции / € С в виде (1) единственно (с точностью до перестановки слагаемых и порядка множителей в слагаемых). Обозначим через 1$ множество всех функций jl(Хг), 1 ^ г ^ п, таких, что аг = 1 в представлении функции / в виде (1). Определим множество следующим образом: если а = 1 в представлении функции / в виде (1), то = {1}; в противном случае = 0. Положим = и и .

Пусть а € Е2. Определим подмножество 22,а множества Рз , 2, а = 0,1. Функция / (х1,... ,хп) € Рз,2 принадлежит множеству 22,а в том и только в том случае, если она удовлетворяет следующему условию:

если а € Е'П, (3 € ЕП и набор а получается из набора (3 заменой всех двоек на а, то / (а) = /((3), п ^ 1. Определим следующие подмножества множества С. Положим

В работе [7] показано, что множество всех замкнутых классов Е СС, таких, что рг Е = Ь, состоит из следующих классов: С, Ь2, Ь2 ,22 ,0ПС, 22 д ПС, Ь2,г, где 1 ^ г < ж. При этом каждый из перечисленных замкнутых классов, кроме класса Ь2 ,имеет конечный базис.

Положим \(х,у) = п(х) + л(у), ¡л(х,у) = п(х)э2(у), Vг(Х1 ,...,Хг) = ;г(х1 )]2(Х2) ■■■22(хг), г ^ 1. Определим следующие системы функций из С. Положим

А = {1,А(х,у)}, В = А и{л(х)л (у)п2 (г)По (х),л (х)П2 (х)}, С = А и{ф,у)},

®г = А и{иг (х1,...,хг)}, Е = {1,2о (х) + По (у)}.

Известно [7], что [А] = 22,о П С, [В] = С, [С] = Ь2, [®г] = Ь2,г, [Е] = 22,1 П С.

Ниже устанавливаются оценки функций Шеннона для всех конечно-порожденных замкнутых классов Е С Р3 2, таких, что рг Е = Ь.

Теорема 1. Пусть Q = 22,о ПС, V = 22,1 ПС, Ш = Ь2, УТ = Ь2,г, где 1 ^ г < ж. Тогда имеют место следующие соотношения:

При доказательстве теоремы 1 используется следующая лемма.

Лемма. Пусть /(х1,...,хп) — произвольная функция из Ь2,Т, существенно зависящая от п переменных, п ^ 2. Тогда Ь®г(/) = \Jf \ + \Hf \ + г\Kf |.

Доказательство теоремы 1 проводится следующим образом. В (2) равенство Ь^(Я(п)) = п+1 вытекает из того, что для любой функции /(х1,...,хп) € Q, существенно зависящей от п переменных, п ^ 2, выполняется соотношение Ьщ(/) = Ь{1,х+у} (рг /) = п + 1. Равенство Ь^(и(п)) = п + 1 имеет место из соображений двойственности.

Докажем равенство (3). Если п = г = 1, то утверждение очевидно. Пусть п ^ 2, п ^ г ^ 1. Легко видеть, что для любой функции /(х1,...,хп) € Уг(п) выполняются неравенства \Jf\ + \Hf\ ^ 1 + п, \Kf \ ^ СП + ... + СП. Поэтому в силу леммы Ь^г(У(п)) ^ 1+ п + г(СП + СП + ... + СП), что и доказывает верхнюю оценку.

Докажем нижнюю оценку. Обозначим через 9п функцию из множества Уг (п), у которой в представлении (1) все коэффициенты равны 1. Очевидно, что ивп \ + \нвп \ = 1 + п и \К$п \ = Сп + ... + Сп. Из леммы следует, что Ь®г (вп) = \<1вп \ + \Нвп \ + г\Квп \ = 1 + п + г(СП + ... + Сгп). Поэтому Ь®г (У-(п)) ^

ь®г (вп) = 1 + п + г(сп + сп +... + сп ).

При доказательстве равенства (4) сначала для любой функции / € Ь2, существенно зависящей от п переменных, п ^ 2, устанавливается неравенство Ьс(/) ^ \Yf \ + В(/), где В(/) — некоторая величина, которая однозначно вычисляется по функции /. Затем показывается, что \Yf \ ^ п2П_1 + 2П, В(/) ^ 2П — 1, и поэтому выполняется неравенство Ьс(/) ^ п2П_1 + 2п+1 — 1. Наконец, рассматривается такая функция тп(х!,..., хп) из Ь2, у которой в представлении (1) все коэффициенты равны 1, и показывается, что ее сложность удовлетворяет неравенству Ьс(тп) ^ п2П_1 + 2п+1 — 1.

Ь2 = {/ € С\ Kf С {к^ € К\ \1 \ < 1}},

Ь2,г = {/ € С\Kf С {ки € К\ I = 0, \,]\ < г}}, 1 < г < ж, Ь2,= {/ € С\Щ С {К! ,J € K\ I = 0}}.

Ьщ^(п)) = Ье(и(п))= п + 1, п ^ 2;

Ьъг(Уг(п)) = 1 + п + г(СП + СП + ... + СП), п > г; Ьс(Ш(п)) = п2П"1 + 2П+1 — 1, п ^ 2.

(2)

(3)

(4)

Теорема 2. Справедливо соотношение

(5)

Приведем план доказательства теоремы 2. Верхняя оценка в соотношении (Б) получается с помощью модификации асимптотически оптимального метода синтеза формул над базисом {&,V,—} [8] (другие обобщения см. в [10, 11]). Доказательство опирается на существование специального разбиения Y множества E'n, n ^ l, на непересекающиеся подмножества Го, Ti,..., Г (где t — параметр, зависящий от n). Это разбиение получается на основе метода построения совершенных кодов Хэмминга [9] длины m, m < n, над полем GF(3), где m — параметр вида m = (3r — l)/2, r G N. Разбиение Y обладает следующими свойствами: число наборов, содержащихся в множестве Го, "достаточно мало", и для каждого множества Ti, i = l,.. .,t, найдется номер ji ^ m, такой, что для любого набора a = (ai,..., an) G Г выполняется равенство aji = 2.

Пусть f(xi,...,xn) G L, n ^ 3, f|r — ограничение функции f на множество Ti, i = G,...,t, а A = Ti U... U Опишем основные этапы построения формулы Ф над B, реализующей функцию f. Сначала строятся формулы Ф1,..., Ф^, реализующие функции f |г1,..., f |rt соответственно, методом, который аналогичен методу синтеза формул из [8]. При этом вместо функций x V y и x&y используются функции ji(x) + ji (y) и ji (x) ji (y) j2 (xji ) соответственно (см. свойства разбиения Y). Далее строится формула Фа, которая реализует функцию f A и имеет сложность, не превышающую мощностную нижнюю оценку для функции L®(L(n)). Затем в качестве формулы Фо для функции f |г0 берется формула, "аналогичная" совершенной дизъюнктивной нормальной форме этой функции. Наконец, рассматривается формула Ф = л(Фо ) + ji (Фа), которая реализует функцию f, причем ее сложность (в силу свойств разбиения Y) асимптотически равна сложности формулы Фа.

Нижняя оценка в соотношении (Б) следует из мощностных соображений [8] и равенства

|L(n)| =2n+1 ■ 2з"-2n.

Замечание. Для замкнутых классов F С Pз,2, таких, что pr F G {Lo, Li, LS, Loi}, можно установить аналогичные соотношения.

Автор выражает благодарность профессору А.Б. Угольникову за внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863), программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-4470.2008.1) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. О сложности реализации функций алгебры логики формулами ^ Проблемы кибернетики. Вып. 3. М.: Физматгиз, 1960. 61-80.

2. Угольников А.Б. О глубине формул в неполных базисах У У Математические вопросы кибернетики. Вып. 1. М.: Наука, 1988. 242-245.

3. Угольников А.Б. О сложности реализации формулами одной последовательности функций 4-значной логики ^ Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 52-55.

4. Дагаев Д.А. Глубина и сложность реализации формулами функций из некоторых классов трехзначной логики УУ Тез. докл. XV Междунар. конф. "Проблемы теоретической кибернетики" (Казань, 2-7 июня 2008 г.). Казань: Отечество, 2008. 24.

5. Дагаев Д.А. О глубине формул, реализующих функции из некоторых классов трехзначной логики ^ Мат-лы IX Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения" (Москва, 18-23 июня 2007 г.). М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическим факультете МГУ, 2007. 84-87.

6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2008.

7. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Berlin: Springer-Verlag, 2006.

8. Лупанов О.Б. О синтезе некоторых классов управляющих систем У У Проблемы кибернетики. Вып. 10. М.: Наука, 1963. 63-97.

9. Мак-Вильямс Ф.Дж, Слоэн Н.Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.

10. Гашков С.Б. О параллельном вычислении некоторых классов многочленов с растущим числом переменных УУ Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990. № 2. 88-92.

11. Захарова Е.Ю. Реализация функций из Pk формулами ^ Матем. заметки. 1972. 11, № 1. 99-108.

Поступила в редакцию 18.09.2009