CC BY
7Работа частично поддержана грантом РФФИ № 12-01-00748-а, грантом программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-3224.2010.1, грантом программы "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1.3704 "Современная дифференциальная геометрия, топология и приложения" и грантом ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (контракт № 14.740.11.0794).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кудрявцева Е.А., Пермяков Д.А. Оснащенные функции Морса на поверхностях // Матем. сб. 2010. 201, № 4. 33-98.
2. Кудрявцева Е.А. Равномерная лемма Морса и критерий изотопности функций Морса на поверхностях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 4. 13-22.
3. Кудрявцева Е.А. О гомотопическом типе пространств функций Морса на поверхностях // Матем. сб. 2013 (в печати); arXiv: 1104.4796.
4. Кудрявцева Е.А. Топология пространств функций Морса на поверхностях // Матем. заметки. 2012. 92, вып. 2. 241-261.
5. Кудрявцева Е.А. Связные компоненты пространств функций Морса с фиксированными критическими точками // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 1. 3-12.
6. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 10711075.
7. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Теория типа Морса для интегрируемых гамильтоновых систем с ручными интегралами // Матем. заметки. 1988. 43, № 5. 663-671.
8. Матвеев С.В., Фоменко А.Т, Шарко В.В. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 1988. 135(177), № 3. 325-345.
9. Кудрявцева Е.А. Устойчивые инварианты сопряженности гамильтоновых систем на двумерных поверхностях // Докл. РАН. 1998. 361, № 3. 314-317.
10. Кудрявцева Е.А. Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты // Матем. сб. 1999. 190, № 3. 29-88.
11. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ: теория и приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000.
12. Smale S. Diffeomorphisms of the 2-sphere // Proc. Amer. Math. Soc. 1959. 10. 621-626.
13. Earle C.J., Eells J. (Jr.). The diffeomorphism group of a compact Riemann surface // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. 73, N 4. 557-559.
14. Earle C.J., Eells J. (Jr.). A fibre bundle description of Teichmüller theory //J. Diff. Geometry. 1969. 3. 19-43.
15. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.
16. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.
Поступила в редакцию 10.06.2011
УДК 519.95
О СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ ИЗ ОДНОГО КЛАССА ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ ФОРМУЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Д. В. Трущин1
В работе описан некоторый класс функций трехзначной логики, для которого получены верхние оценки функции Шеннона в классе формул специального вида. Приведены также примеры последовательностей функций из рассматриваемого класса, для которых установлены экспоненциальные относительно числа переменных нижние оценки сложности. При этом значения функции Шеннона для рассматриваемого класса найдены с точностью до аддитивной константы.
Ключевые слова: функция трехзначной логики, формула, сложность, глубина.
A set of functions of the three-valued logic is considered and upper estimates for the Shannon function in the class of formulas of specail form are obtained for that set. Some
1 Трущин Дмитрий Владимирович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
examples of sequences of functions from that set are considered and exponential lower estimates of complexity are obtained. In this case the values of the Shannon function are obtained for the considered class with the accuracy up to an additive constant.
Key words: function of three-valued logic, formula, complexity, depth.
В данной работе рассматривается задача о реализации функций трехзначной логики а-формулами, т.е. такими формулами, в которых каждая подформула содержит не более одной нетривиальной главной подформулы. В качестве меры сложности формул берется глубина. В работе описан некоторый класс функций трехзначной логики, для которого получены верхние оценки функции Шеннона по а-глубине над системой из всех бинарных операций с правым сокращением. Кроме того, приведены примеры последовательностей функций из рассматриваемого класса, для которых установлены экспоненциальные относительно числа переменных нижние оценки сложности. Значения функции Шеннона для данного класса найдены с точностью до аддитивной константы.
Пусть к ^ 2. Положим Ek = {0,1,... ,k — 1}. Пусть {x, z, X\,X2,...} — множество переменных, принимающих значения из Ek. Через Pk обозначается множество всех функций k-значной логики. Пусть H Q Pk. Обозначим через H(n) совокупность функций, принадлежащих множеству H и зависящих только от переменных xi,..., xn, n ^ 1.
Пусть А — конечная система функций из Pk. Формулу над А, множество переменных которой содержится в множестве {xi,...,xn}, обозначим через Ф(xl,...,xn). Значение формулы Ф на наборе b = (bi,..., bn) Е ЕП обозначим через Ф(Ь). Две формулы Ф1 и Ф2 называются эквивалентными (обозначение Ф1 = Ф2), если они реализуют равные функции (т.е. такие функции, которые существенно зависят от одного и того же набора переменных и при любых значениях переменных из этого набора принимают одинаковые значения). Замыкание системы А (относительно операций суперпозиции и введения фиктивной переменной) обозначим через [А].
Пусть Ф — некоторая формула над А. Сложностью Ь(Ф) этой формулы называется число входящих в нее символов переменных. Глубину ^(Ф) формулы Ф определим индуктивно. Если Ф состоит только из символа переменной, то ^(Ф) = 0. Если Ф имеет вид д(Ф1,..., Фт), где m ^ 1, д — символ m-местной функции из А, а Ф1,..., Фт — формулы над А, то ^(Ф) = 1 + max0(Ф^), где максимум берется по всем i, 1 ^ i ^ m. Для любой функции f Е [А] положим L^(f) = minLfä),Ds&(f) = min^(Ф), где минимум берется по всем формулам Ф над А, реализующим f. Необходимые определения можно найти в [1, 2].
Известно [3], что для любой полной конечной системы А булевых функций и любой булевой функции f(xi,...,xn) выполнено соотношение < —. В работах [4, 5] показано, что для произвольной
конечной системы А булевых функций и любой функции f(x1,...,xn) Е [А] справедливы неравенства La(f) ^ гП и D%(f) ^ Г2П, где Г1 и Г2 — некоторые константы, зависящие от А.
Следуя [6], определим индуктивно понятие а-формулы над конечной системой А функций алгебры логики. Символ переменной является элементарной а-формулой. Выражение вида и(Ф), где Ф — а-формула над А, а u — символ одноместной функции из А, является а-формулой. Наконец, выражение вида д(Ф , xi2 , ..., xim
), где Ф — а-формула над А, m ^ 2, а д — символ m-местной функции из А, также является а-формулой. Отметим, что каждая а-формула является формулой над А. Множество всех функций, реализуемых а-формулами над А, будем называть а-пополнением системы А и обозначать через [А]а. Система А Q Pk называется а-полной, если [А]а = Pk. Известно [7], что в P2 не существует конечных а-полных систем. При этом в Pk при всех к ^ 3 конечные а-полные системы существуют [6-8].
Пусть А — конечная система функций из Pk, f Е [А] «.Положим DA (f) = min D^), L^(f) = min L^), где минимум берется по всем а-формулам Ф и Ф над А, реализующим f. Формулу Ф назовем минимальной (для функции f), если Ф реализует f и D^) = DA(f). Пусть H — некоторое множество функций, реализуемых а-формулами над системой А. Положим DA(H(n)) = max DA(f), где максимум берется по всем функциям f Е H(n). Положим DAA(n) = DAA(J(n)), где J = [А]а. Очевидно, что справедливы
неравенства rDA(f) ^ LA(f) ^ r2DA(f), где п и Г2 — некоторые положительные константы, зависящие
А'Ч -от А.
В работе [9] показано, что для любой конечной системы А булевых функций существует многочлен Р(п), такой, что (п) ^ Р(п). Из этого результата следует, что в Р2 не существует конечных а-полных систем.
В дальнейшем рассматриваются только функции трехзначной логики; под сложением, вычитанием и умножением элементов Е3 будем понимать соответственно сложение, вычитание и умножение по модулю 3. Будем далее обозначать элемент 2 £ Е3 через —1 (поскольку он является обратным к элементу 1 по сложению).
Двухместную функцию д(х, г) € Р3 будем называть бинарной операцией с правым сокращением, если для любых элементов Ь,с € Е3 существует, и притом ровно один, элемент а € Е3, такой, что д(а,Ь) = с. Множество всех бинарных операций с правым сокращением обозначим через В. Из результатов работы [8] следует, что [В]а = Рз, т.е. система В является а-полной в Р3.
Для любого Ь € Е3 через 'рь(х) обозначим функцию, значение которой при любом значении переменной х равно Ь. Положим
Г 1 если х = Ь;
ЫХ) = \ -1 иначе.
Пусть п ^ 1 и 'ш(х!,...,хп) € Р3. Функцию и> будем называть двоично-представимой, если существуют набор Ь = (Ь1,...,Ьп) € ЕП и функция /(х1,...,хп) € Р3, такие, что w(xl,...,хп) = /(С&1 (х1),..., (хп)). При этом набор Ь мы будем называть центром функции w. Множество всех двоично-представимых функций обозначим через Ш.
Пусть а = (а1, а2,..., ап) € Еп, с € Е3. Следуя [6], положим
Для каждого Ь € Е3 положим
п
с, если хг = аг,г = 1,...,п; 0 иначе.
Ь, если хг = 1,1 = 1,...,п; 0 иначе.
Очевидно, что имеет место равенство фас(х 1,..., хп) = /с(£а1 (х1),..., £ап (хп)), т.е. функция фа,с является двоично-представимой функцией с центром а. В работе [10] автором получены точные по порядку верхние и нижние оценки для функции Шеннона ВВ(Фад). Основными результатами данной работы являются следующие теоремы.
Теорема 1. Для любого п ^ 1 и любой функции w(xl,...,хп) € Ш имеет место неравенство ВВ (w) < 2п - 1.
Теорема 2. Для любого п ^ 1, любого набора а = (а1, ,..., ап) из ЕЩ и любого элемента с € {1, —1} имеет место неравенство 2п — 2 ^ ВВ (фа,с).
Доказательство этих теорем опирается на ряд вспомогательных утверждений. Для того чтобы сформулировать эти утверждения, необходимо ввести дополнительно некоторые понятия.
Пусть {у1, у2,...} — множество переменных, принимающих значения из Е3. Для каждого ] ^ 1 и каждого т ^ 1 положим у0 = 1 и ут = ут-1 ' Уз. Через N0 обозначим множество всех неотрицательных целых чисел. Пусть п ^ 1. Обозначим через 0п множество всех многочленов вида
£
Сау1 . ..уп ,
а=(а1,...,ап)еМ
где N — непустое конечное подмножество множества ^ и для каждого а € N коэффициент Са принадлежит Е3. Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, мы будем называть нулевым. Два многочлена из 0п назовем равными, если их разность есть нулевой многочлен. Многочлены из 0п принимают значения из Е3, поэтому каждый такой многочлен задает некоторую функцию из Р3 от переменных у1,..., уп. Будем говорить, что два многочлена Р^ € 0.п частично эквивалентны, если для любого набора (д1,..., дп) € {1, —1}п имеет место равенство Р(д1,..., дп) = Q(ql,..., дп). Многочлен из 0п назовем правильным, если каждая переменная в каждый одночлен входит в степени не выше первой. Множество всех правильных многочленов из 0п обозначим через фп. Отметим, что если правильные многочлены частично эквивалентны, то они равны. Кроме того, для любого многочлена Р € 0.п существует единственный частично эквивалентный ему правильный многочлен. Обозначим этот многочлен через Я(Р).
Пусть п ^ 1, а 7 = (71 (х1),..., 7п(хп)) — набор функций, принадлежащих Р3 и принимающих только значения 1 и —1. Пусть а € Е3, I ^ 1. И пусть для каждого ], 1 ^ ] ^ I, функция Н'(х,х^) € Р3 определяется равенством
Н(х,хг;] ) = х • сз,оГз (х^ ) + (х%з ) + ',2,
где 1 ^ ' ^ n, с],1,с],2 € Е3, с',о €{1, —1}, а функция Г3(х^) совпадает либо с функцией (хг5), либо с единицей. Тогда формулу
Ы(Н-1(... Н(ра(х) , хг1) ..., хц—1), хц )
будем называть представимой в виде многочлена (относительно набора 7). Обозначим рассмотренную формулу через Ф и каждой ее подформуле сопоставим некоторый многочлен из фп следующим образом. Обозначим подформулу ра(х) через Фо и для каждого ], 1 ^ ] ^ I, обозначим формулу
Н (Н-1(...Н1 (ра(х) ч ) • • • ч хг. — 1) ч хг, )
через Фз. Формуле Фо сопоставим многочлен Ро = а. Пусть далее 1 ^ ] ^ I. Если формуле Ф^_1 сопоставлен многочлен Р—1, то через Qj обозначим многочлен Рз-\(у\, • • • ,уп) • е^оЕ^(у.) + с^уг. + 03,2, где Ез (у г,) = У г., если Г (х.) = 7г. (хг.), и Ез (у г.) = 1, если Г (х.) = 1. Отметим, что для любого Ь £ Е3 имеет место равенство Ез(7г.(Ь)) = Г(Ь) • Положим Рз = К^з). Сопоставим формуле Ф3- правильный многочлен Рз. Правильный многочлен, который сопоставлен формуле Ф, обозначим через Р^,ф(у1, • • • ,уп).
Если при каждом ] (1 ^ ] ^ I) имеют место равенства сз,о = 1, Г (х.) = 7г. (хг.) и л = 0, т.е. Нз(х,хг ) = х • 7г. (хг.) + сз,2, то формулу Ф мы будем называть универсально представимой в виде многочлена (относительно набора 7).
Из определения представимой в виде многочлена формулы следует, что каждая отличная от константы функция, символ которой входит в такую формулу, является бинарной операцией с правым сокращением.
Лемма 1. Пусть п ^ 1, а 7 = (71 (х1), • • ,7п(хп)) — набор функций из Р3, принимающих только значения 1 и —1. Пусть формула Ф(х1, • • • ,хп) представима в виде многочлена (относительно набора 7). Тогда для любого набора (Ь1, • • • Ьп) £ Еп справедливо равенство
Ф(Ь1, • • • ,Ьп)= Р^^ЫЬ), • • • ,7п(Ьп))•
Эту лемму нетрудно доказать индукцией по глубине формулы Ф.
Лемма 2. Пусть п ^ 1, а 7 = (71(х1),---,7п(хп)) — набор функций из Р3, принимающих только значения 1 и —1. Пусть Р £ фп. Тогда существует универсально представимая в виде многочлена (относительно набора 7) а-формула Пр глубины 2п, такая, что многочлен Р^,пР равен многочлену Р, причем для любого г, 1 ^ г ^ п, переменная хг имеет 2п-г вхождений в формулу Пр.
Доказательство. Докажем лемму индукцией по п.
При п =1 многочлен Р(у1) имеет вид ¿1У1 + ¿2, где ¿1^2 £ Е3. Непосредственной проверкой легко убедиться, что искомой формулой Пр является формула Н^1 (х),х1), где Н(х,х1) = х^(х^+£2, Н(х,х1) £ Р3. Тем самым база индукции доказана.
Пусть далее п ^ 2. Предположим, что для набора функций 7' = (71 (х1), •••, 7п-1(хп-1)) и для любого многочлена из фп_1 искомая формула существует. Рассматриваемый в условии леммы многочлен Р можно представить в виде уп • Q(Уl, • • • ,Уп_1) + Т(у1, • • • ,уп_1), где Q,T £ фп_ь Положим V = К(уп_ По предположению индукции существуют универсально представимые в виде многочленов (относительно набора 7') а-формулы Пу и Пр глубины 2п_1, такие, что многочлен ,пу равен многочлену V, многочлен Р^'Пт равен многочлену Т и для любого г, 1 ^ г ^ п — 1, переменная хг имеет по 2п_1_г вхождений в каждую из формул Пу и Пр. Формула Пр имеет вид Н[(Н[_1 (• • • Н1(ра(х),хз1) • ••, хз1-1),х^1), где I = 2п_1 —1, а £ Е3, Нт(х,хзт) £ Р3, 1 ^ ]т ^ п (1 ^ т ^ I).
Через Пр обозначим а-формулу
Нг(Нг_1 (• • • Н1 (Н(Пу , хп), з) • ••, хз—х), хз1),
где Н(х,хп) = х • 7п(хп) + а, Н(х,хп) £ Р3. Покажем, что формула Пр является искомой. Эта формула имеет глубину 2п_1 + 1 + (2п_1 — 1) = 2п. Переменная хп имеет ровно одно вхождение в эту формулу, а для каждого г, 1 ^ г ^ п — 1, переменная хг имеет ровно 2п_1_г + 2п_1_г = 2п_г вхождений. Кроме того, легко видеть, что формула Пр универсально представима в виде многочлена (относительно набора 7). Поэтому каждой ее подформуле сопоставлен некоторый многочлен. Для каждого т, 1 ^ т ^ I, через Пр,т обозначим а-формулу Нт(Нт_1(• • • Н1(ра(х),хз1 )• • • ,хзт-1 ),хзт), а через Пр,т обозначим а-формулу Нт(Нт_1 ( • • • Н1 (Н(Пу,хп),хз1 )• • • ,хзт-1 ),хзт)• Кроме того, обозначим формулу ра(х) через Пр,о, а формулу Н(Пу,хп) — через Про. Для каждого т, 0 ^ т ^ I, обозначим многочлен, сопоставленный формуле Пр,т, через Тт. Отметим, что То = а. Положим Уо = 1, Ут = Уз1 уз2 • ••Узт (1 ^ т ^ I). Индукцией по т, 0 ^ т ^ I, несложно показать, что формуле Пр,т сопоставлен многочлен Тт+К(упУтУ). Тогда формуле Пр = Прд сопоставлен многочлен
Т1 + К(упУУ) = Т + К(упУ1уп_^) = Т + К(упу?-2у2П-3 • • • Уn1-2Уn0-lУn-lQ) = Т + УnQ = Р.
Тем самым доказано, что формуле Пр соответствует многочлен Р.
Таким образом, легко видеть, что формула Пр удовлетворяет требованиям леммы. Лемма доказана.
Одноместную функцию в(х) € Р3 будем называть подстановкой, если для любых различных элементов 0,1,0,2 € Е3 справедливо неравенство з(а1) = з(а2). Отметим, что в Р3 существует ровно шесть подстановок:
х, х + 1, х — 1, —х, —х + 1, —х — 1. (1)
Лемма 3. Пусть п ^ 1, w(xl,...,xn) € Ш, а набор а = (а1,...,ап) € Е™ — центр функции w. Пусть В = ВВТогда существует представимая в виде многочлена (относительно набора £ = (£а1 (х\),... ,£а„ (хп)) ) формула Ф глубины В + 2, которая реализует функцию w.
Доказательство. Для каждого г, 1 ^ г ^ п, выберем произвольный элемент множества Е3, отличный от аг, и обозначим его через йг.
Как было отмечено выше, система В является а-полной. Поэтому существует а-формула Ф глубины В, которая реализует функцию w. Формула Ф имеет вид до(до-1(.. . д1(хго,хг1)... ,хгв-1 ),хгв), где дт € В, 1 ^ гт ^ п (1 ^ т ^ В). Легко видеть, что существует функция до € В, такая, что для любого элемента Ь € Е3 выполнено равенство до(1,Ь) = Ь. Тогда до(р1(х),хг0) = хг0, откуда следует, что а-формула ф' = до(дю-1(... дЛдо(Р1(х) , хго), хг1) ..., хгр-1
),хгП) эквивалентна Ф.
Для каждого ] (0 ^ ] ^ В) определим функции г3(х,х^(х,х^) € Р3 следующим образом. Положим
дз(х,аг1), если х^ = аг
ij 1
rj (x, Xij ) = ¡ j
J j 1 x иначе,
v (X X ) ^ x, если Xij = aij;
j ( , ij) [ gj (x,dij) иначе.
Рассмотрим формулу
rD (vd (■■■ ri (Vl(ro(vo(pi(x) , xio ) , xio ) , xii ) , xii ) ■ ■■, xid ) , xiD )
и обозначим ее через Ф'. Индукцией по D, D ^ 1, несложно показать, что формулы Ф' и Ф' эквивалентны. Тогда формула Ф' реализует функцию w.
Далее для каждого i, 1 ^ i ^ n, через Yi обозначим функцию £ai(xi).
Нетрудно понять, что функция g(x, z) Е P3 является бинарной операцией с правым сокращением тогда и только тогда, когда для любого элемента b Е Е3 одноместная функция s(x) = g(x,b) является подстановкой. Поэтому при каждом j, 0 ^ j ^ D, функция gj(x, di.) является подстановкой. Легко видеть, что в зависимости от того, какой из шести подстановок (1) является функция gj(x, d.), функция Vj(x, xij) является одной из шести следующих функций: x, x + Yi. - 1, x - Yi. +1, x ■ Yi., x ■ Yij + Yij - 1, x ■ Yij - Yij +1. В самом деле, если xij принимает значение aij, то Yij = 1, и тогда каждая из указанных функций совпадает c x; если же xi. принимает иное значение, то Yi ■ = -1, и тогда каждая из указанных функций обращается в одну из подстановок. Аналогичным образом функция rj (x,x. ) совпадает с одной из шести функций x,
x - 1 - Yij, x + 1+Yij, x ■ (-Yij), x ■ (-Yij) - 1 - Yij, x ■ (-Yij) + 1 + Yij.
Для каждого j, 0 ^ j ^ D, положим hj (x,x. ) = rj (vj (x,x. ),x. ). Учитывая полученные выше
выражения для функций rj и vj и равенство y= 1, функцию hj(x,xi.) легко представить в следующем
ijj
виде: x ■ Co,jTj(x.) + cijYij + C2,j, где cij,C2j Е E3, Co,j Е {1, -1}, а функция Tj(x.) Е P3 совпадает либо с Yi., либо с единицей.
Обозначим через Ф формулу
hD (hD-i(■ ■ ■ hi(ho(pi (x) , xio ), xil ) ■ ■ ■ ,xiD-1 ) , xiD )■
Очевидно, что формула Ф эквивалентна формуле Ф' (т.е. реализует функцию w), является представимой в виде многочлена (относительно набора £) и имеет глубину D + 2. Тем самым лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. Пусть набор a = (ai^^^an) Е Е'П — центр функции w. Положим £ = (£ai(xi), ■■■, £an(xn)). По лемме 3 существует представимая в виде многочлена (относительно набора £) формула Ф, которая реализует функцию w. Рассмотрим правильный многочлен P = P¿гф. По лемме 2
существует универсально представимая в виде многочлена (относительно набора £) формула П глубины 2n, такая, что P¿n = P, причем переменная xi имеет 2n-i вхождений в формулу П. Для любого набора (bi, ■■ ■, bn) Е ЕП в силу леммы 1 справедливы равенства
n(bi, ■■■,bn )= Pln(£ai (bi ), ■ ■ ■ , £an (bn)) = P (£ai (bi), ■ ■ ■,£an (bn)) =
= (£ai (bi), ■■■, £an (bn)) = Ф(Ь1, ■■■,bn)= w(bi, ■■■,bn )■
Таким образом, формула П реализует функцию w. Из определения следует, что формула П имеет вид Ни(Н^_10 • • Н1 (ра(х),хг1) • • • ,хгв-1 ),хгв), где Б = 2п — 1, а £ Е3 и при каждом ^, 1 ^ ^ ^ Б, функция Нз(х, х.) принадлежит В. Заметим, что существует такая функция Н1(х, г) £ В, что для любого элемента Ь £ Е3 имеет место равенство Н\(Ь,Ь) = Н1(а,Ь), т.е. Н^(хг1 ,хг1) = Н1(ра(х),хг1). Тогда эквивалентная формуле Ф формула Л = Ни (Ни_1(•••,Н2(Н'1(xil ,хг1 ),хг2) •••,хгв_1 ),хгп) является а-формулой над В глубины 2п — 1 и реализует функцию w. Отсюда следует, что (w) ^ 2п — 1 Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2 опирается на следующие две леммы.
Лемма 4. Пусть п ^ 1, а = (а1, •••, ап) £ Еп, с £ Е3, £ = (£а1 (х1), •••, ^ап (хп)). Пусть представимая в виде многочлена (относительно набора функций £) формула Ф реализует функцию 'фа,с- Тогда имеет место равенство
Р?>(У1, •••чУп) = ( —1)п 0(У1 + 1) • ••• • (Уп + 1)
Доказательство. Положим Q(yi, ...,y,n) = (—1)nc(yi + 1) •... • (yn + 1), Q £ фга. Пусть (q1,...,qn) £ {1, —1}n, причем (qi,..., qn) = (1,..., 1). Поскольку при каждом j, 1 ^ j ^ n, функция £aj принимает оба значения 1 и —1, существуют элементы bi,...,bn £ E3, такие, что для любого j, 1 ^ j ^ n, имеет место равенство (bj) = qj. При этом (bi,..., bn) = (ai,... an), так как в противном случае (qi,..., qn) = (1,..., 1). В силу леммы 1 выполнены равенства
(qi, ...,qn) = (£ai (bi),..., Can (bn)) = Ф(Ьь ...,bn) = ^a,c(bi, ...,bn) = 0 = Q(qi,..., qn). Кроме того,
Pa, ф(1,..., 1) = pa, ф (£ai (ai),.. .,Can (an)) = ...,an) = фа, c(ai, ...,an) = c = Q(1,..., 1).
Тем самым доказано, что правильные многочлены Pa ф и Q частично эквивалентны, откуда следует, что Pa ф = Q. Лемма доказана.
Пусть n ^ 1, P £ Qn и b £{1, —1}. Рассмотрим все коэффициенты многочлена R(P), за исключением свободного члена, и обозначим число равных b коэффициентов среди рассмотренных через Nb(P).
Лемма 5. Пусть n ^ 1, а Y = (Yi(xi),...,Yn(xn)) — набор функций из P3, принимающих только значения 1 и —1. И пусть Ф — а-формула, представимая в виде многочлена (относительно набора y). Тогда
Ni(Pa,ф) + N-i(Pa,ф) < D — 1,
где D = D(Ф).
Доказательство. Докажем лемму индукцией по D.
При D = 1 формула Ф имеет вид pa(x), где a £ E3. Тогда Pa^ = a. Поэтому Ni(P'a^) = N_i(P^) = 0, т.е. Ni(Pj,ф) + N_i(Pa^) =0 ^ D — 1. Тем самым база индукции доказана.
Пусть далее D ^ 2. Предположим, что для любой представимой в виде многочлена (относительно набора Y) формулы меньшей глубины доказываемое неравенство имеет место. По определению формула Ф имеет вид h(n,xi), где П — а-формула меньшей глубины, представимая в виде многочлена (относительно набора Y), 1 ^ i ^ n. Функция h(x,xi) £ P3 имеет вид x • cor(x^ + CiYi(xi) + c2, где ci,c2 £ E3, Со £ {1, —1} и функция r(xi) совпадает либо с функцией Yi(xi), либо с единицей. По предположению индукции Ni(Pa,n) + N_i(Py,п) ^ (D — 1) — 1. По определению Pa,ф = R(Q), где Q(yi, ...,yn) = Pa,n (yi, ...,yn)x coE(yi) + ciyi + c2, E(yi) = yi, если r(xi) = Yi(xi), и E(yi) = 1, если r(xi) = 1.
Пусть P — произвольный многочлен из Qn. Рассмотрим все коэффициенты правильного многочлена R(P), за исключением свободного члена и коэффициента при одночлене yi. Обозначим число равных b коэффициентов среди рассмотренных через N^,i(P). Нетрудно понять, что имеют место следующие неравенства:
Ni(Pa^) + n_i(p^) < nm(p^) + N_i,i(Pa^) +1 = Ni,i(Q) + N_i,i(Q) +1 =
= Ni,i(Pa,n • coE(yi) + ciyi + c2) + N_i,i(Pa,n • coE(yi) + ciyi + c2) + 1 = = Ni,i(Pa,n • coE(yi)) + N_i,i(Pa,n • coE(yi)) + 1 = = Ni,i(Pa,n) + N_i,i(Pa,n) + 1 < Ni(Pa,n) + N_i(PY,n) + 1 < (D — 1) — 1 + 1 = D — 1.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2. Положим D = DB(фа). Как было отмечено выше, функция фа,с принадлежит множеству W. Положим £ = (£а1 (x\),... ,£ап(xn)). В силу леммы 3 существует представимая в виде многочлена (относительно набора £) формула Ф глубины D + 2, которая реализует фа,с. По лемме 4 имеет место равенство
P> = (-1)nc(yi + 1)- ... • (yn + 1).
Из леммы 5 следует, что (D + 2) — 1 ^ N\(P^, ф)+ N-i(P^^) =2n — 1. Тогда 2n — 2 ^ D, что и требовалось доказать. Теорема доказана.
Из теорем 1, 2 непосредственно вытекает
Теорема 3. Для любого n ^ 1 имеют место неравенства 2n — 2 ^ DB(W(n)) ^ 2n — 1. В заключение автор выражает искреннюю признательность А. Б. Угольникову за постановку задачи и обсуждение результатов работы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 11-01-00508, и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2006.
2. Лупанов О.Б. Асимптотичексие оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
3. Лупанов О.Б. О сложности реализации функций алгебры логики формулами // Проблемы кибернетики. Вып.3. М.: Физматгиз, 1960. 61-80.
4. Угольников А.Б. О глубине формул в неполных базисах // Матем. вопросы кибернетики. 1988. Вып. 1. 242-245.
5. Угольников А.Б. О глубине и сложности формул, реализующих функции из замкнутых классов // Докл. АН СССР. 1988. 298, № 6. 1341-1344.
6. Глухов М.М. Об а-замкнутых классах и а-полных системах функций k-значной логики // Дискретн. матем. 1989. 1, вып. 1. 16-21.
7. Чернышов А.Л. Условия а-полноты систем функций многозначной логики // Дискретн. матем. 1992. 4, вып. 4. 117-130.
8. Шабунин А.Л. Примеры а-полных систем k-значной логики при k = 3,4 // Дискретн. матем. 2006. 18, вып. 4. 45-55.
9. Трушин Д.В. О глубине а-пополнений систем булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 2. 72-75.
10. Трушин Д.В. Об оценках глубины а-пополнений систем функций трехзначной логики // Проблемы теоретической кибернетики: Мат-лы XVI Междунар. конф. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2011. 484-487.
Поступила в редакцию 14.12.2011
УДК 519.216
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МАКСИМУМА СКОШЕННОГО БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Я. А. Люлько1
В работе получено максимальное неравенство для скошенного броуновского движения, являющееся обобщением классических неравенств для стандартного броуновского движения и его модуля. Доказательство результата основано на решении задачи оптимальной остановки, для которой найдены оптимальный момент и функция цены.
Ключевые слова: скошенное броуновское движение, максимальные неравенства, оптимальные правила остановки, локальное время.
The maximal inequality for the skew Brownian motion being a generalization of the well-known inequalities for the standard Brownian motion and its modulus is obtained in the paper.
1 Люлько Ярослав Александрович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
