О поведении функции Шеннона для задержки схем в модели, где задержка соединений определяется типами соединяемых элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

УДК 519.714

Б. Р. Данилов

О ПОВЕДЕНИИ ФУНКЦИИ ШЕННОНА ДЛЯ ЗАДЕРЖКИ СХЕМ В МОДЕЛИ, ГДЕ ЗАДЕРЖКА СОЕДИНЕНИЙ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ТИПАМИ СОЕДИНЯЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Проблема синтеза дискретных управляющих систем является одной из основных проблем математической кибернетики. В общем виде она состоит в построении для заданной дискретной функции ее оптимальной (в том или ином смысле) структурной реализации в рассматриваемом классе управляющих систем. Теоретические результаты, полученные при решении указанной проблемы, находят применение в различных прикладных областях, к числу которых относятся задачи проектирования современных интегральных схем. Одним из основных параметров интегральных схем является их быстродействие, которое определяется, в частности, временем «прохождения» сигналов, подаваемых на входы схемы, к ее выходам. Эта характеристика схем называется задержкой и в общем случае является довольно сложным параметром, который может зависеть от ряда свойств составляющих схему элементов и способа их соединений. Математическая постановка изучаемой задачи синтеза рассматривает интегральные схемы через модель схем из функциональных элементов и задает определенное понимание задержки в этой модели. Традиционная задача синтеза в рассматриваемой постановке относится, в частности, к изучению функции Шеннона для задержки, т.е. задержки самой «плохой» функции алгебры логики, зависящей от заданных n переменных. К рассматриваемой задаче относится как ряд классических результатов теории дискретных управляющих систем, связанных с установлением асимптотики функции Шеннона для задержки схем, так и ряд новых направлений, и в, частности, направления, связанного с получением асимптотических оценок высокой степени точности. Целью данной работы является перенесение известных результатов в области синтеза схем на модели задержки схем, более точно отражающие емкостную специфику взаимосвязей элементов в интегральных схемах. Так, в работе изучается модель задержки в произвольном конечном полном базисе, в которой задержка базисного элемента - положительная действительная величина - по любому из его входов складывается из двух компонент: задержки межэлементного соединения входа с выходом предыдущего элемента и, собственно, внутренней задержки рассматриваемого элемента. При этом задержки элемента по разным входам, вообще говоря, считаются независимыми величинами.

Материалы и методы. Используемые инструменты включают в себя, в частности, решение системы разностных уравнений, матричный подход, теорему Перрона. Известный ранее метод синтеза оптимальных по задержке схем применяется к синтезу схем в рассматриваемой модели задержки.

Результаты. Получена линейная относительно величины n асимптотика функции Шеннона для задержки функций алгебры логики от заданных n переменных и задержки мультиплексорной функции, т.е. функции с n адресными и 2n информационными переменными, равной той информационной переменной, номер которой задается в двоичной системе счисления набором значений адресных переменных. Для определенного подкласса базисов установлены

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-01-00964-а.

78

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

также асимптотические оценки высокой степени точности для функции Шеннона и задержки мультиплексорной функции, подобные известным ранее оценкам в более простых моделях.

Выводы. Установленные результаты позволяют сделать вывод о существовании асимптотики функции Шеннона для задержки схем и о применимости известных ранее методов синтеза оптимальных по задержке схем в более широком классе моделей задержки.

Ключевые слова: задержка, глубина, схемы из функциональных элементов, мультиплексорная функция.

B. R. Danilov

ON BEHAVIOUR OF THE SHANNON FUNCTION OF CIRCUITS DELAY OF A MODEL WHERE INTERCONNECTIONS DELAY IS DETERMINED BY TYPES OF CONNECTABLE GATES

Abstract.

Background. The problem of discrete control systems synthesis is one of the main problems of mathematical cybernetics. In general it consists in construction of an optimal (in a varying sense) structural implementation of a given discrete function in a given class of control systems. Theoretical results obtained during the solution of the mentioned problem find their applications in different applied areas among each are the problems of integral circuits design. One of the main parameters of an integral circuit is its performance which is determined, among other things, by the speed of signal transmission from circuit inputs to its outputs. This property of a circuit is called a delay. Generally delay is a rather complex parameter that is determined by a number of circuit elements’ properties and means of elements interconnections. Mathematical definition of the synthesis problem under investigation considers integral circuits via the model of networks of functional elements and gives the particular meaning to the delay in this model. The traditional synthesis problem in its given definition particularly concerns the study of the Shannon function for delay, i.e. the delay of the “worst” Boolean function that depends on a given set of n variables. A number of classic results in the theory of discrete control systems concerned with establishment of the Shannon function asymptotics for the delay apply to the described problem. A number of new areas also apply to this problem and, in particular, the branch concerned with establishment of the so-called high accuracy asymptotic estimates. The goal of the work is to carry the known results into the area of circuit synthesis over circuit models that reflect the capacitive peculiarity of gate interconnections with greater accuracy. The work considers a delay model over an arbitrary finite complete basis where the gate delay (a positive real quantity) over any of its inputs is composed of two components: the gates’ interconnection delay of the input with the output of the previous gate, and the inner delay of the gate. Meanwhile, delays of a gate over its different inputs are, generally speaking, considered to be independent values.

Materials and methods. The instruments used involve, among other things, a solution of the system of finite difference equations, the matrix approach, the Perron theorem. The known synthesis method of optimal delay circuits is implemented to the circuit synthesis in the described delay model.

Results. The obtained Shannon function asymptotics, linear in regard to n, for the delay of the Boolean functions that depend on the given n variables and the multiplexor function delay, i.e. the Boolean function with n address and 2n data varia-

Physical and mathematical sciences. Mathematics

79

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

bles that equal to the value of the data variable numbered with the set of values given by the address variables interpreted in binary notation. High accuracy asymptotic estimates similar to earlier known estimates in simpler delay models are established for the Shannon function for delay and for multiplexor function delay in a certain subclass of bases under investigation.

Conclusions. The established results allow to conclude about the existence of asymptotics for the Shannon function for the delay and the applicability of the earlier known optimal delay circuit synthesis methods in a wider class of delay models.

Key words: delay, depth, function element circuits, multiplexor function.

Введение

В настоящей работе рассматриваются схемы из функциональных элементов (СФЭ) над произвольным конечным полным базисом Б, состоящим из функциональных элементов (ФЭ) различных типов £1,...,£ь. При этом для каждого i, 1 < i < b , ФЭ типа £ имеет ki, ki > 1, входов и реализует функцию алгебры логики (ФАЛ) фг- ( лі,..., x^), которая в случае

ki > 2 существенно зависит от всех своих булевых переменных (БП), определенных на множестве B = {0,1} .

Модель задержки СФЭ над Б, исследуемая в настоящей работе, является еще одним возможным обобщением классических моделей задержки и, в частности, моделей задержки из работ [1-3]. Данная модель дополняет рассмотренные ранее в работах [4, 5] обобщения классических моделей задержки, являясь так же, как и модель [5], обобщением модели [4]. При этом, в отличие от [5], где задержка на входе ФЭ может зависеть не только от его номера, как в [4], но и от значений, пропускаемых по другим входам, данное обобщение [4] идет в другом направлении и связано с учетом емкостных характеристик соединяемых элементов.

В рамках рассматриваемой модели будем считать, что задержка ФЭ по любому из его входов складывается из двух компонент: задержки межэлементного соединения этого входа с выходом предыдущего ФЭ и, собственно, внутренней задержки типа [4] рассматриваемого ФЭ по данному входу. Имея в виду указанную структуру задержки, нам удобно, не ограничивая общности рассуждений, определить для троек целых чисел i, j, l (1 < i,l < b ; 1 < j < ki) суммарную действительную положительную величину T j і - задержку ФЭ типа £ по входу с номером j, когда к нему подключен ФЭ типа £ . Таким образом, в любой СФЭ будут определены задержки между выходами двух последовательно соединенных ФЭ, но не будут заданы задержки от входов самой схемы до выходов присоединенных к ним ФЭ. Для устранения этого пробела будем соотносить с каждым входом любой рассматриваемой нами далее СФЭ выход какого-либо ФЭ базиса Б и определять недостающие задержки аналогично тому, как они определялись для двух последовательно соединенных ФЭ. Указанные дополнительные пометки входов СФЭ типами ФЭ базиса будем учитывать при изоморфизме (равенстве) рассматриваемых СФЭ [6].

Схему W назовем цепью, если она представляет собой последовательность ФЭ £'i,...,£i , соединенных между собой так, что выход предыдущего

элемента последовательности поступает на один из входов последующего.

80

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

Выходом цепи ю является выход ФЭ . Число d будем считать глубиной

цепи ю и использовать для ее записи обозначение И(ю). Инициальной цепью назовем цепь ю с выделенным входом ее первого ФЭ. Задержка T(ю) инициальной цепи - это сумма задержек ФЭ по соединяющим их входам и задержки по выделенному входу1. Инициальную цепь (подсхему) СФЭ X, выделенный вход которой является входом X, а выход - выходом X, назовем главной цепью СФЭ X. Подсхему без ФЭ, состоящую из единственной (помеченной) вершины, являющейся одновременно ее входом и выходом, будем считать тривиальной цепью нулевой глубины и задержки.

Задержка СФЭ X - это величина T(X), равная максимальной из задержек ее инициальных цепей. При этом под глубиной D(X) СФЭ X будем, как обычно, понимать максимальную из глубин ее цепей. Задержка Тб (f) ФАЛ f , ее глубина D (f), а также функция Шеннона Тб (n) для задержки ФАЛ, зависящих от БП xi,...,xn, в классе СФЭ над Б определяются обычным образом:

ТБ(f) = minT(X) Иб (f) = minD(X) Тб (n) = max Тб (f X X f X f feP2(n)

где оба минимума берутся по множеству тех СФЭ Xf в базисе Б, которые реализуют ФАЛ f, а через P2 (n) обозначено множество всех ФАЛ, зависящих от БП xi,...,xn .

Базис Б, в котором для любого i, 1 < i < b , и любого j, 1 < j < k, выполняются равенства T j 1 = - • = Ті j b , будем называть базисом с нулевыми

межэлементными задержками. Заметим, что случай такого базиса соответствует модели [4]. При этом из [4] следует, что для базиса Б с нулевыми межэлементными задержками функция Шеннона Тб (n) удовлетворяет асимптотическим оценкам высокой степени точности2, в которых положительная константа Тб определяется базисом Б и является минимальным из решений характеристических уравнений его элементов. Оттуда же для указанного базиса Б вытекают оценки задержки Тб (p.n) стандартной мультиплексорной ФАЛ3 pn порядка n .

В данной работе в рамках описанной выше модели задержки для любого базиса Б рассматриваемого вида устанавливается существование

1 Повторимся, что задержка по выделенному входу определяется в предположении, что к нему подключен приписанный этому входу в схеме ю ФЭ.

2 Равенство h(n) = t (n) ± O( g (n)) означает, что |h(n) -1 (n)| = O( g (n)), где g (n) > 0. Все асимптотические оценки с использованием O -символики записаны для значений аргумента соответствующей функции, стремящихся к бесконечности. Везде, где основание логарифма не указано, оно считается равным двум.

3 Стандартная мультиплексорная ФАЛ ци порядка n имеет n адресных БП, 2n информационных БП и совпадает с той своей информационной БП, номер которой в двоичной системе счисления задается набором значений ее адресных БП.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

81

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

асимптотики функции Шеннона ТБ (п) и задержки ТБ (цп) стандартной мультиплексорной ФАЛ |1п .

Теорема 1. Для любого (конечного, полного) базиса Б с произвольными межэлементными задержками существует зависящая только от Б положительная константа Тб , для которой выполняются следующие асимптотические равенства1:

ТБ (п) ~ ТБ (М*п ) ~ ТБп. (1)

Константу Тб будем называть приведенной задержкой базиса Б. Ее существование в теореме 1 устанавливается, в общем случае, неконструктивным образом. В данной работе также предлагаются конструктивные подходы к получению верхних оценок для приведенной задержки базиса, основанные, в частности, на решении системы разностных уравнений и теореме Перрона [7].

Базис Б называется равномерным, если задержки его ФЭ не зависят от номеров входов, а зависят лишь от типов соединяемых элементов, т.е. для любых i, l (1 < i,l < b) имеют место равенства Тщ =... = Tik і . Для произвольного равномерного базиса Б с помощью описанных выше подходов предложен конструктивный способ нахождения константы ТБ , а с привлечением методов [4] для ?Б (п) и Тб (цп) получены следующие асимптотические оценки высокой степени точности.

Теорема 2. Для любого равномерного базиса Б выполняются соотношения

Тб (п) = тб (п - log log п) ± 0(1), (2)

ТБ (Мп ) = ТБп ± 0(1). (3)

1. Ранговая функция базиса Б и ее поведение.

Асимптотика функции Шеннона Тб (п) и задержки Тб (цп)

Будем считать формулами2 те одновыходные СФЭ, в которых выход любого ФЭ либо поступает на вход ровно одного (другого) ФЭ, либо является выходом схемы. Различия между заданием формул деревьями, схемами (квазидеревьями) и записями символов несущественны для рассматриваемого круга вопросов, поэтому по мере необходимости будем без особых оговорок обращаться к тому или иному варианту их представления. Единственный выходной ФЭ формулы будем называть ее главным ФЭ. В особом случае тривиальной формулы-переменной без ФЭ главным ФЭ назовем ФЭ, приписанный ее единственному входу-выходу. Максимальные по включению собственные подформулы данной нетривиальной формулы назовем ее главными подформулами. Выходы главных подформул указанной формулы поступают на входы ее главного ФЭ.

1 Асимптотическое равенство h(n) ~ g(п) понимается нами как равенство вида Н(п) = g(п)±o(g(п)), которое означает, что |Ы^п)-g(п)|= o(g(п)). Функции g и h положительны при достаточно больших значениях аргумента.

2 Понятия, которые в данной работе не определяются, см., например, в [6-9].

82

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

В описанной модели поднятие ветвлений выходов ФЭ к входам схемы не изменяет ни ее задержки, ни глубины. Отсюда, аналогично [6], следует, что для любой СФЭ (СФЭ с одним выходом) в базисе Б найдется эквивалентная ей система формул (соответственно, формула) в том же базисе, задержка и глубина которой совпадают с задержкой и глубиной исходной СФЭ соответственно. Поэтому в дальнейшем достаточно ограничиться рассмотрением лишь формул в базисе Б .

Переменная х считается существенной переменной формулы Т, если

она является существенной БП реализуемой ею ФАЛ. Назовем формулу Т абсолютной (бесповторной), если каждая ее БП (соответственно каждая ее существенная БП) входит в Т ровно один раз. Определим ранг R(Т) формулы

Т как число символов переменных в ее записи. C базисом Б связана так называемая ранговая функция RБ (t) действительного аргумента t, t > 0, значение которой равно наибольшему рангу формул, имеющих задержку не больше, чем t . Определим приведенную задержку базиса Б равенством

ТБ

lim ----------

t log RБ (t)

(4)

и покажем, что этот предел конечен. Определим константы, которые понадобятся нам в дальшейшем:

T ■ =

-'mm

= min ki, k ''•max = max ki, (5)

1 < i < b 1 < i < b

min Ti j і, ' 1 1 s' U 5 T Jmax = max Ti j i. Л s' і 1 s' U 5 (6)

1 < i,l < b 1 < j < ki

1 < j < ki

Для любого положительного t задержка формулы Тt, представляющей собой полное |t / Tmax J -ярусное дерево, составленное из любых ФЭ базиса Б , не больше t , и поэтому

I t/T I

RБ (t) > R( Т) > 4nmax J ,

откуда для приведенной задержки базиса Б получаем Тб < Tmax / log kmin . Заметим, что в силу доказанной ниже леммы 2 существует обычный предел этого отношения.

Доказательство нижних асимптотических оценок теоремы 1.

Необходимая для (1) нижняя асимптотическая оценка задержки мультиплек-сорной функции вытекает из определения приведенной задержки базиса Б . Действительно, из (4) следует асимптотическое неравенство

t

RБ (t) < 2Тб±0(1), (7)

из которого для формулы М n , реализующей ФАЛ с задержкой равной TБ (^n), вытекают неравенства

Physical and mathematical sciences. Mathematics

83

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

ТБ )

n + 2п < R (М п) < RB (Тб (ц п)) < 2 ТБ ± о(1), из которых, в свою очередь, следует, что

Тб (Цп) — (б ± 0(1) )log(n + 2п),

то есть

ТБ (Цп ) — ТБп ±о(п).

(8)

Нижняя асимптотическая оценка функции Шеннона Тб (п) также вытекает из определения приведенной задержки базиса Б с применением мощностного метода Шеннона к оценке числа формул, установленной в следующей лемме.

Лемма 1. Для любого действительного T, T — 0, и любого натурального п число попарно не эквивалентных формул над базисом Б, которые зависят от БП xi,...,хп и задержка которых не больше T, не

превосходит (сп)^Б(Т), где константа с зависит от базиса Б .

Доказательство. Формулу Т, удовлетворяющую условию леммы, можно получить в два этапа:

1) выбрать ее каркас Т, т.е. абсолютную формулу ранга R( Т), которая

получается из Т заменой i -го вхождения, 1 < i < R( Т), БП в Т на БП Xj;

2) приписать каждому входу каркаса Т одну из БП X1,...,хп . Выбор каркаса Т можно осуществить не более, чем cR( Т) способами, а приписать его входам переменные - не более, чем п^-Т) способами. Имея в виду, что

R( Т) < RБ (T), получаем требуемую оценку. Лемма доказана.

Так как число попарно не эквивалентных формул над Б, зависящих от

2п

переменных X1,...,хп, задержка которых не превосходит Тб(п), равно 22 , то, используя (7), при помощи леммы 1 получаем

Тб (п) — Тб п ±о(п).

(9)

Нижние асимптотические оценки теоремы 1 доказаны.

Перед тем как перейти к доказательству верхних асимптотических оценок функции Шеннона Тб (п) и задержки Тб (Цп), докажем два вспомогательных утверждения.

Лемма 2. Существует предел

ТБ

lim

t ^+^

t

log RБ (t)

(10)

Доказательство. Покажем, что для любого Є , є > 0 , существует число T0, T0 >0 , такое, что для любого t, t > T0,

84

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

t

log R (t)

— ТБ + є

(11)

В силу (4) найдем формулу Т такую, что

log R( T)>3Tmax, T (Т )/ log R( Т )< Тб +^, (12)

є 3

где константа Tmax определена равенством (6). Рассмотрим формулу Ті, которая получается из формулы Т зацикливанием, т.е. заменой пометок входов Т, пометкой, связанной с типом ее выходного ФЭ, и для которой, очевидно, R(Ті) = R(Т), T(Ті) — T(Т) + Tmax, т.е. в силу неравенств (12) выполняются соотношения

T (Т і)/к^(Т і) — (T (Т) + Tmax)/log R( Т) — Тб +3 є.

Для каждого m , m = 2,3,... , построим формулу Тm , которая представляет собой полное m -ярусное дерево, составленное из формул Ті как из макроэлементов. Заметим, что при этом

logR(Тm) = mlogR(Ті) и T(Тm) = m • T(Ті), (13)

то есть

T (Тm )/logR( Т m) = (T (Т 1)/logR( Т і) — Тб +-є.

(14)

Выберем натуральное число mg так, чтобы выполнялось неравенство

ТБ + -3 Є

f

1 + —

m0

Л

< ТБ +є,

(15)

положим T0 = m0 • T(Ті) и докажем, что для любого t, t > T0 , справедливо

(11). Действительно, выберем m = [t /T(Т1)] > m0 и рассмотрим формулу Тm , для которой в силу (13) выполняются неравенства t - T(Т1) — T(Тm) — t. Следовательно, учитывая (13)-(15), получим

log (t} — (T ( Т m ) + T ( Т1))/log R( Т m) — ( Тб + -2 є ^ +

+T(Ті)/^logR^)) — І Тб + 3є II 1+m І<| Тб + 3є

f

1+—

m0

\

— ТБ +є.

Лемма доказана.

Лемма 3. Для любого m, m = 1,2,^, существует формула Тm над базисом Б, для которой

R( Тm) > m, T (Тm) — Тб log m + о (log m).

(16)

Physical and mathematical sciences. Mathematics

85

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Доказательство. Построим последовательность формул {Тm} над базисом Б такую, что для любого є, є >0 , найдется номер M такой, что для всех m , m > M , справедливы неравенства

R( Т m) > m, T (Т m) ^Te log m + єк^ m. (17)

В качестве формулы Тm возьмем формулу ранга Re ((Te + є) log m), задержка которой удовлетворяет (17). Из (10) следует, что найдется функция Y(t), стремящаяся к нулю при t, стремящемся к бесконечности, такая, что

Re (t) = 2 Te+Y(t). (18)

Найдем число T такое, чтобы для всех t, t > T, выполнялось

неравенство

и положим M =

| y(t)|<min{TE,є},

(19)

2T/(te +є)

. Тогда для всех m, m > M , справедливо

неравенство (Te + є) log m > T и поэтому в силу (19) выполняется

t

ТБ +є

te + Y ((te + є) log m)

>1.

(20)

Следовательно, с учетом (18) и (20) для ранга формулы Тm выполняются соотношения

_______Тб+_______

R( Тm ) = Re ((Te + є) log m) = m Te + Y((Te + є) log m) > m.

Лемма доказана.

При доказательстве верхних асимптотических оценок Te (n) и Tg (ци) будем опираться на методы, разработанные в работе [4]. Приведем определения основных понятий и сформулируем без доказательства утверждения лемм 4, 5, доказанных в [4]. Доказательства этих лемм без изменений переносятся на случай рассматриваемой нами модели задержки.

Число, двоичной записью которого является набор а, ає Bn, будем записывать через v(a). Назовем альтернированием alt(f) ФАЛ f минимальное число отрезков постоянства, уменьшенное на единицу, на которые распадается набор, составленный из значений ФАЛ f , взятых на наборах значений ее аргументов, расположенных в порядке следования задаваемых ими с помощью V -нумерации чисел.

Пусть А, А = (61,...,5^), - разбиение куба Bn от БП x, x = (x1,..,xn), на попарно непересекающиеся непустые подмножества (компоненты разбиения А) 61,.,6p, объединение которых равно Bn. Определим

мультиплексорную ФАЛ Ца , соответствующую разбиению А, равенством

86

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

p

Цд (х, щ,..., Up) = YXs. (x)ui,

І=1

где Х8- - характеристическая ФАЛ компоненты 8., при этом стандартную мультиплексорную ФАЛ цп порядка n,

цп (х,u0, •••,u^n_i)= V х1 ' хпП ' uv(o) (21)

c=(c1,...,<5n )єВп

можно рассматривать как мультиплексорную ФАЛ Цд, связанную с тривиальным разбиением Д таким, что 8V(а) = {о} для каждого о, оє Bn .

Лемма 4 [4, с. 112]. Для целого n, n > 2, и любой ФАЛ g(x1,..., xn), отличной от константы, в классе формул над базисом {&, V, —} найдется формула Q, реализующая функцию g , для которой справедливо неравенство

D( Q) < 2[log n] + |_log(alt(g))J +1. (22)

Лемма 5 [4, с. 120]. Для любой абсолютной формулы Ф(л,... yp) над Б, в записи которой БП у. появляется левее БП yj, когда i < j , натурального n, и любого разбиения Д куба Bn от БП х, х = (х1,.., xn), на d , d < p, компонент в классе формул над Б найдется бесповторная формула ¥(u, w), u = (u1, ..,Ud), w = (w1,..,Wp+d), реализующая ФАЛ y(u, w), и найдутся ФАЛ gj (x), 1 < j < p + d, такие, что

V(u, g1 (x),., gp+d (x)) = Цд (x, u), (23)

T (¥) < T (Ф) + 5TmaX, (24)

alt(gj ) < kmax ■ D^), (25)

где константы kmax , Tmax определяются соответственно (5), (6).

Доказательство верхних асимптотических оценок теоремы 1. Для

доказательсва верхней оценки задержки Тб (цп ) воспользуемся леммой 3 и

выберем формулу Ф над Б ранга p , p > 2n , такую, что

T(Ф) <ТбП + o(n). (26)

Используя лемму 5, подберем для формулы Ф и тривиального разбиения Д куба Bn от БП x, x = (1,..., xn), формулу ¥ , реализующую ФАЛ у , и ФАЛ gj (x), 1 < j < 2n + p, удовлетворяющие (23)-(25). Для

задержки формулы ¥ в силу (26) имеем T(¥) < ТбП + o(n), поэтому для получения верхней асимптотической оценки

Physical and mathematical sciences. Mathematics

87

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

ТБ (М-и) <тБп + o(n) (27)

достаточно выбрать формулы Q j , 1 < j < 2n + p, реализующие gj (x) с задержкой T(Q j ) = o(n) .

По лемме 4 найдем формулы Q j над базисом {&, v, —}, для которых D( Q j ) = O(log n) + O(log alt(g j)) . Заметим, что ^(Ф) < T(Ф) / Tmm , где константа Тт^п определяется равенством (6), поэтому из (25), (26) вытекает, что alt(gj) = O(n) и, следовательно, D( Q j ) = O(logn). В силу полноты базиса Б найдутся формулы F&, Fv , F — над Б, реализующие соответственно ФАЛ Х1 • Х2, Х1 v Х2, Х1 с задержкой O(1). Формулу Q j над Б построим из формулы Q j заменой ФЭ &, v, — на моделирующие их в базисе Б метаэлементы F&, Fv , F — . Окончательно для задержки формулы Q j получим соотношение Т(Q j ) = O(D( Q j)) = O(log n), которое устанавливает

верхнюю асимптотическую оценку (27).

Заметим, что в силу (21) произвольная ФАЛ f от БП х , Х = (Х1,..., хп ), может быть представлена на основе своей совершенной дизъюнктивной нормальной формы функцией вида цп(x,f),...,f^n 1), где fV(o) = f(°) для

любого О, ое Bn . Поэтому из (27) следует, что

Тб (и) <Тбn + o(n). (28)

Верхние асимптотические оценки теоремы 1 доказаны. Неравенства (8), (9), (27), (28) доказывают (1) и теорему 1.

2. Получение верхних оценок приведенной задержки базиса. Шаблоны подключений

Как мы видели при доказательстве леммы 2, верхние оценки для величины приведенной задержки базиса Б можно получать на основе семейства формул V, V ={ Fm}, неограниченного ранга c хорошим отношением Т( Fm )/logR( Fm). Подобно ранговой функции базиса Б, с семейством V связана ранговая функция RV (t) действительного агрумента t, t >0. Значение RV (t) равно наибольшему рангу формул семейства V, задержка которых не превосходит t. Далее, по аналогии с приведенной задержкой базиса Б, мы определим величину т V - приведенную задержку формул семейства V: т V =limf^+«t/logR V(t). Величина т V является верхней оценкой для Тб . После этого верхние оценки Тб (и) и Тб (ми ) получаются с использованием методов [4], например, подобно тому, как это было сделано при доказательстве теоремы 1. При этом конструктивность полученных оценок обеспечивается конструктивным способом задания семейства V и

88

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

константы т V. Один способ конструктивного задания семейств типа V при помощи так называемых циклических формул уже был использован нами при доказательстве леммы 2. Суть его сводится к следующему. Назовем формулу циклической, если пометки всех входов этой формулы совпадают с типом ее главного ФЭ. Рассмотрим произвольную циклическую формулу Т\ и множество формул V, получаемых из Т\ при помощи операции суперпозиции. Из результатов работы [4] следует, что константа т V определяется как минимальное из решений характеристического уравнения для метаэлемента Ті. Другой, более общий, способ конструирования семейств формул V, для которых имеется конструктивный способ задания величины т V через минимальное решение некоторого характеристического уравнения представлен ниже.

Рассмотрим корневое ориентированное бесконечное дерево V, вершины которого помечены ФЭ базиса А. При этом допустимо, чтобы некоторые ФЭ не встречались среди пометок вершин. Полустепень исхода вершины типа £г- равна kj, а исходящие из нее дуги упорядочены (перенумерованы числами от 1 до k). Дерево указанного вида будем называть деревом подключений базиса Б. По существу, дерево подключений представляет собой бесконечно продолжающуюся формулу, в которой ориентация дуг заменена на противоположную. Будем говорить, что формула Т над базисом Б порождается деревом подключений V, если она равна с точностью до ориентации дуг как помеченное дерево, в том числе с учетом пометок листовых вершин символами ФЭ, корневому (включающему корень V)

поддереву дерева V.

Возьмем дерево подключений V, пусть v - произвольная его вершина. Совокупность всех ветвей, исходящих из v , порождает поддерево дерева V с корнем в v , которое будем называть специальным поддеревом. Вершины v и w дерева V называются эквивалентными, если равны (с учетом пометок

вершин и ребер) их специальные поддеревья. Отношение эквивалентности позволяет в исходном дереве разбить множество всех вершин на классы эквивалентности, которые мы перенумеруем числами 1,2... так, чтобы класс,

в который поподает корень дерева V, получил номер один. Число классов

эквивалентности r, на которое разбивается множество вершин дерева V,

назовем его весом. Не исключается случай, когда вес бесконечен. В дополнение к существующим пометкам вершин типами ФЭ припишем каждой вершине дерева V номер ее класса эквивалентности.

Возьмем теперь произвольную корневую (исходящую из корня) ветвь дерева V. Она проходит через вершины vi,V2,...,vi,...,Vj... Пусть эти

вершины входят соответственно в классы эквивалентности с номерами di,d2,.,dj,...,dj... Допустим, что dj = dj (і Ф j ) и для всех пар (i, j)

Physical and mathematical sciences. Mathematics

89

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

(i Ф j ), для которых di = dj, индекс j является наименьшим. Произведем усечение данной ветви, сохранив ее начальный отрезок до вершины v j

включительно. Произведя эту операцию усечения для каждой корневой ветви, мы получим усеченное дерево подключений. Если в усеченном дереве произвести отождествление вершин с одинаковыми номерами классов эквивалентности, то получим граф S, который будем называть шаблоном

подключений базиса Б. В случае дерева Т> конечного веса r шаблон подключений состоит из r вершин, а когда вес Т> бесконечен, число его

вершин счетно. Назовем число r весом шаблона подключений. Назовем шаблон подключений вырожденным, если среди пометок его вершин нет ФЭ с более чем одним входом. По аналогии с формулами вершину с единичной пометкой класса эквивалентности назовем главной вершиной шаблона подключений. Заметим, что по построению в шаблоне подключений различным вершинам приписаны номера различных классов эквивалентности. Это позволяет нам в дальнейшем обозначать вершины шаблона подключений буквами v,w... с числовыми индексами таким образом, что буква получает индекс i , когда ее вершине приписан класс эквивалентности с номером i. Очевидно, шаблон подключений позволяет полностью восстановить исходное дерево Т>. Скажем, что формула Т порождается шаблоном подключений, если она порождается соответствующим ему деревом подключений. Наряду с шаблоном S веса r для всевозможных d ,

1 < d < r , рассмотрим его подграф S d, состоящий из (возможно, слабо) связной компоненты, начинающейся в вершине Vd . Очевидно, Sd будет шаблоном подключений, если в нем произвести перенумерацию классов эквивалентности так, чтобы вершина Vd получила номер один. Будем

называть Sd подшаблоном шаблона подключений S. Заметим также, что S = Sі. Обозначим через n(d) номер ФЭ, приписанного вершине Vd . Пусть Vd - вершина S, а j - номер исходящей из нее дуги, ведущей в вершину vs . Определим значение функции подключений t,(d, j) шаблона S значением s . Заметим, что шаблон подключений можно трактовать как СФЭ с обратными связями в базисе Б с дополнительным элементом задержки.

Пусть S - шаблон подключения базиса Б конечного или бесконечного веса r, а ^ - его функция подключений. Исследуем соотношение ранга и задержки формул, порождаемых S. Рассмотрим не более чем счетную систему конечных множеств Vi (t), 1 < i < r , связанных с S. Множество Vi (t) состоит из формул, порождаемых S i, задержка которых нестрого ограничена сверху неотрицательным числом t . При отрицательных значениях t примем Vi (t) состоящим из единственной формулы-переменной, которой (как входу) приписан ФЭ &n(i). Обозначим через R (t) наибольший ранг формул рассматриваемого множества. Видно, что R- (t ) = 1, когда t <max j Тц(і )jl.

90

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

Пусть t > max j Тщ) j l ■ Выберем из V (t) формулу Ti наибольшего ранга (для

которой R( Ti) = Ri(t)) и рассмотрим ее главные подформулы T..., Tk ■

i

Подформула T j , 1 < j < ki, входит во множество j) (t -Тщ) j n(t,(i j))) и

имеет в нем наибольший ранг, т.е. R( T j ) = R^(i j) (t - t(i) j p(^(i j)) )■ Отсюда вытекает рекуррентное соотношение

Ri(t) = 2%i,j) (t - Tn(i),j,n(4.i,j)) ) = 2 2 Rj (t - Tn(i),l,n(j) )■ (29)

j=1 j=1 l=1

t,(i,l )=j

Если записать (29) для всевозможных i, получим систему рекуррентных уравнений, решение которой можно искать в виде Ri (t) = XiХг для некоторого положительного параметра X и неизвестных Xi ■ Указанная подстановка приводит (29) к системе линейных алгебраических уравнений, которую мы запишем в матричной форме:

(E - Ax)x = 0, (30)

где x = (X1,X2,. .,xr) - вектор-столбец неизвестных, E =|| 5j ||[ - единичная матрица порядка r, X - параметр, а неотрицательная квадратная матрица

Ax =|| a(X) ||Г составлена из элементов aj = 2'X ,n(j), где сумми-

рование ведется по числам l, для которых ^(/, l) = j ■ Не исключается случай r = го, при котором вектор x и соответствующие матрицы имеют бесконечную размерность ■ Назовем матрицу Ах матрицей подключений для

шаблона S■

Перестановкой рядов в квадратной матрице M будем называть соединение перестановки строк с такой же перестановкой столбцов матрицы M ■ Матрицу M называют разложимой, если перестановкой рядов она может быть приведена к виду

M =

Q

S

R

T ,

(31)

где Q и T - квадратные матрицы, и либо S = 0, либо R = 0 , либо и R = 0 и S = 0\ В последнем случае матрица M называется вполне разложимой При невозможности такого представления матрицу M называют неразложимой ■ Главной вершине шаблона S соответствует первая строка матрицы Ах , а перестановка ее рядов приводит к соответствующей перенумерации вершин S^ Заметим, что шаблон подключений S является направленным графом для

„ А (X)

своей матрицы подключений Ах, тх^ aj отлично от нуля тогда и только

1 Запись M = 0 означает, что матрица M полностью состоит из нулевых элементов ■

Physical and mathematical sciences. Mathematics

91

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

тогда, когда в S существует ребро, соединяющее вершину Vj с вершиной Vj .

Известно (например, см. [8, с. 257]), что квадратная матрица неразложима тогда и только тогда, когда ее направленный граф сильно связан.

3. Асимптотические оценки ранговой функции однородных шаблонов подключений

Рассмотрим случай, когда S имеет конечный вес r . Назовем такой шаблон подключений однородным, а формулы, порождаемые им, соответственно однородными формулами. Пусть также S представляет собой одну сильно связную компоненту, и поэтому матрица неразложима. Как

известно, система (30) имеет нетривиальное решение x Ф 0 тогда и только тогда, когда ее характеристическое уравнение1

IE - AJ=0 (32)

обращается в тождество. Назовем уравнение (32) характеристическим уравнением шаблона подключений S и покажем, что оно относительно неизвестной величины X имеет единственный действительный корень на полупрямой Х> 1. Этот корень уравнения (32) мы назовем главным.

Лемма 6. Пусть S - однородный сильно связный шаблон подключений, и Ax - его матрица подключений. Тогда:

1) главный корень X S характеристического уравнения шаблона подключений S не меньше единицы, он равен единице тогда и только тогда, когда S вырожденный;

2) наибольшее по модулю собственное значение матрицы Ax S равно

единице и имеет алгебраическую кратность один;

3) собственный вектор, соответствующий собственному значению единица матрицы Ax S положителен.

Перед тем как доказать лемму 6, сформулируем относящующся к неприводимым неотрицательным матрицам известную теорему, доказанную Фробениусом и Перроном.

Теорема 3. [9, с. 339]. Пусть M =|| mj ||n - любая неотрицательная

неразложимая матрица порядка n . Тогда:

1. У матрицы M существует положительное (действительное) характеристическое число ц, которое является простым корнем характеристического уравнения. Модули всех других характеристических чисел не превосходят числа ц.

2. Этому характеристическому числу ц соответствует собственный вектор с положительными координатами.

3. Характеристическое число ц удовлетворяет неравенствам

1 Через | M | обозначен определитель матрицы M .

92

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

n n

min ^mij <ц< max ^mij,

1 < i < n j=1 1 < І < n j=1

в которых равенства имеют место лишь, когда минимум в левой части совпадает с максимумом в правой его части.

В обозначениях теоремы 3 число ц называется главным собственным значением матрицы M.

Доказательство леммы 6. Пусть ц* - главное собственное значение матрицы Л* . Согласно теореме 3 величина ц* является простым корнем характеристического уравнения | цЕ — Л* |= 0 матрицы Л* относительно неизвестного ц и заключена в пределах

min аІ*^ <ц*< max (33)

1 < І < r 1 < І < r

(*) л

где a*' - сумма элементов i строки матрицы Л* :

j=1 j=1

а равенство (33) в обоих случаях имеет место в том и только том случае, когда a(!) = a2*) = ... = ). Заметим, что величины a(!) и ц* зависят

непрерывно от !. Действительно, для первой из них это очевидно, а для второй следует из того, что корни характеристического уравнения матрицы непрерывно зависят от его коэффециентов. Величина ц* монотонно убывает по !, что следует из утверждения: при увеличении любого элемента неотрицательной неразложимой матрицы максимальное характеристическое

число строго возрастает [9, с. 355]. Далее, a(*1) = ^(i), поэтому mina(*1) > 1, и

(33) влечет ц_1 > 1. Построчные суммы a(!), 1 < i < r , матрицы Л* стремятся к нулю при !, стремящемся к бесконечности, поэтому (33) устанавливает аналогичное поведение величины ц*, которая, как нам уже известно, монотонно убывает. Следовательно, на полупрямой !> 1 существует единственный корень ! S уравнения ц* =1 рассматриваемого относительно неизвестного *. Заметим, что если S вырожденный, то из (33) следует, что ц.1 =1, а если S содержит ФЭ с более чем одним входом, то maxpi1 > 2 и

справедливо строгое неравенство ц1>1, а значит, * S >1. Утверждение 3 леммы следует из теоремы 3. Лемма 6 доказана.

Теперь докажем утверждение о верхней оценке ранговой функции формул, порождаемых однородными шаблонами подключений с неразложимой матрицей подключений.

Лемма 7. Пусть S - однородный сильно связный шаблон подключений и пусть r - его вес. Существуют константы с{,...,cr такие, что для любой

Physical and mathematical sciences. Mathematics

93

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

формулы Т, порождаемой подшаблоном Sm , 1 < m < r , шаблона подключений S, верно неравенство

где X S - главный корень характеристического уравнения для S, а константы С,..., cr не зависят от выбора формулы Т.

Доказательство проведем индукцией по глубине формулы Т. Так, если глубина Т равна нулю, то утверждение леммы будет выполняться, когда с'> 1, 1 < і < r . Этому условию согласно лемме 6 удовлетворяют компоненты вектора С = (c[,..,cr), получающегося нормировкой собственного вектора c, отвечающего собственному значению один матрицы Ax S:

min Сі

1 < і < r

Пусть (34) верно для любой формулы глубины, меньше d , а формула Т глубины d согласно условию имеет вид

Глубина главной подформулы Тj , 1 < j < k^(m), меньше d и она порождается шаблоном подключений S g^m j). Поэтому, исходя из индуктивного предположения соотношения

рассматривая уравнение системы (30) с номером m, обращающееся при X = X s, x = е' в верное равенство, имеем цепочку неравенств, завершающую доказательство:

(34)

Т ФпО)( ТTkn(m)).

Т( Т) Т( Тj) > Tn(m),j,n(^(m,j)),

kn(m)

кП( m)

Т(Т 1) =

R( Т)= 2 R(T j ) < 2 4m, j)X S

j=1

j=1

j=1

kn( m)

(35)

j=1

Лемма доказана.

94

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

Следствие. Для любой формулы Т, порождаемой однородным невырожденным сильно связным шаблоном подключений S, справедливо соотношение между ее рангом и задержкой

R( Т) < c"kTS {Т\ (36)

где X S - главный корень характеристического уравнения для S, а константа c , c > 1, не зависит от выбора формулы Т.

Лемма 8. Существуют константы c{",...,c^, T" S такие, что для любого T , T > 0, и любого m , 1 < m < r , в классе формул, порождаемых подшаблоном S m однородного неприводимого шаблона подключений S, найдется формула Т, для которой выполняются соотношения

R( Т) > c'mXT S, T(Т) <T + T" S, (37)

где X S - главный корень характеристического уравнения для S, а константы c" ,., cr , T s зависят только от шаблона S.

Доказательство. Определим T" S равенством

Т" s = max max Tn(m),j,n(^(m,j)).

1 < m < r 1 < j < kn(m)

Искомая формула Т, удовлетворяющая (37), строится индукцией по числу i (i = 1,2.), для которого

(i - 1)T"s< T < iT"s, (38)

где

T" s = , „ml^ „ тІП Tn(m),j№m,j)).

1 < m < r1 < j < kn(m)

Базис этой индукции составляет случай i = 1, когда в качестве искомой формулы Т можно взять формулу 9n(m) ^^1,., Xk ( ) j , в которой входу Xj ,

1 < j < k^(m), приписан ФЭ є^(^(m j)). В этом случае второе неравенство (37) очевидно, а первое будет выполняться, когда c''< 1, 1 < i < r . Этому условию согласно лемме 6 удовлетворяют компоненты вектора c'" = (c{",...,c^), получающегося нормировкой собственного вектора c, отвечающего собственному значению один матрицы Ax S:

c

c

max ci

1 < i < r

Physical and mathematical sciences. Mathematics

95

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Пусть (37) доказано для любой задержки, не превосходящей (i - 1)T' S, и пусть задержка T удовлетворяет (38), где i > 2. По индуктивному предположению построим для каждого j, 1 < j < k^(m), формулу F j , порождаемую подшаблоном S ^(m j), для которой

R(Fj) > c

£,(m, j)

^T Tn(m),j j))

T(Fj) <(T ((m),j,mm,j)) ) + T (39)

Нетрудно убедиться в том, что формула

F = ФпО)( F Ь--^ F kV[(m))

является искомой. Действительно, она порождается подшаблоном Sm и в силу (39) для нее выполняются соотношения:

T (F )= max {T (F j ) + Tn(m), j m%(m, j))} < T +

1 < j < kn(m)

kn(m) kn(m) -T

R( F) = £ R(Fj ) >X Z c'imj)X n(m)J,mm,j)) = X < . j=1 j=1

Лемма доказана.

Следствие. Для любого однородного невырожденного сильно связного шаблона подключений S и любого целого v, v > 2, в классе формул

порождаемых S существует формула F, для которой справедливы соотношения

v < R( F) < c s v, T(F) < logX s v + T s,

где X S - главный корень характеристического уравнения для S, а константы c S и T S зависят только от S.

Доказательство. Для доказательства достаточно применить лемму 8 к шаблону подключений S, выбрав в ней T = log ^ (v / cf) , m = 1, и для

полученной формулы F записать утверждение следствия из леммы 7. Следствие доказано.

4. Равномерные базисы и нахождение их приведенной задержки. Оценки высокой степени точности функции Шеннона Tg (n) и задержки Tg (ци)

Перейдем к рассмотрению равномерных базисов. Для равномерного базиса задержки подключения однотипных ФЭ по различным входам заданного ФЭ одинаковы, поэтому для всех i, l (1 < i,l < b) положим

Ti,*,i

= Ti,1,l ( = Ti,2,l = •

Назовем формулу ярусной, если все ее

входы помечены одинаковыми ФЭ, а она представляет собой полное дерево,

96

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

на каждом ярусе которого стоят однотипные ФЭ, при этом на разных ярусах могут стоять элементы разного типа. Все главные цепи ярусной формулы одинаковы с точностью до номеров входов, по которым производятся соединения последовательных ФЭ цепи, поэтому ярусная формула может быть однозначно задана любой из своих главных цепей.

Лемма 9. Для любой формулы Т найдется ярусная формула Т' с тем же главным ФЭ, что у формулы Т, для которой Т(Т) < Т(Т), R(Tr) > R(Т).

Доказательство проведем индукцией по глубине формулы Т. Любая формула глубины ноль ярусная. Пусть утверждение верно для любой формулы глубины, меньше d, докажем его для формулы Т,

Т = ф; (Т і,..., Т £ ), глубины d +1. Пусть подформула Т ,■, 1 < j < £ ,

i J

формулы Т имеет главный ФЭ типа Є/ . Для формулы Т ,■ по

j

предположению индукции построим ярусную формулу Т' j с главным ФЭ Є/. такую, что Т(Тj) < Т(Т), R(^j) > R^). Выберем номер j', для которого

R( Т' j ) = maxi < j < кЯ(Т' j), и положим Т' = ф; (Т' j',..., Т' j'). Формула Т' искомая, так как ее ранг, очевидно, не меньше ранга формулы Т, а задержка не больше задержки Т в силу неравенств

Т (Т) < Т*/.'+ Т ( Т f) < max [£*/. + Т( Т ,■ )} = Т (Т).

’ ’J 1 < j < к; ” J

J I

Лемма доказана.

Из леммы 9 вытекает, что для любого положительного t среди формул, на которых достигается значение ранговой функции Rg (t), есть ярусная. Назовем шаблон подключений ярусным, если все порожадемые им формулы ярусные. Ярусный шаблон подключений либо имеет бесконечный вес, либо его матрица подключений Ах циклическая, либо Ах может быть преобразована перестановками рядов к виду (31), где S = 0, Q - наддиагональная матрица, T - циклическая, а в матрице R - единственный элемент, отличный от нуля, стоит в левом нижнем углу. Заметим, что любая ярусная циклическая формула порождается однородным неприводимым ярусным шаблоном подключений, который получается из нее как из усеченного дерева подключений путем операции отождествления эквивалентных вершин. Ярусная формула, не являющаяся циклической, всегда является подформулой некоторой циклической ярусной формулы и потому тоже может быть порождена однородным неприводимым ярусным шаблоном подключений.

Лемма 10. Для любого однородного ярусного шаблона подключений S, среди пометок вершин которого есть повторяющиеся ФЭ, найдется ярусный шаблон подключений S' меньшего веса такой, что X S > X S, где X S и X S -главные корни характеристических уравнений для шаблонов S и S' соответственно.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

97

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Доказательство. Пусть среди пометок вершин шаблона подключений S есть повторяющиеся ФЭ и пусть Лх - его матрица подключений. Обозначим через r вес шаблона S. Перестановками рядов в матрице Лх можно добиться того, что первая строка будет соответствовать одному из повторяющихся ФЭ. Без ограничения общности будем считать, что матрица Лх обладает этим свойством. Пусть строка с номером d соответствует второму из повторяющихся ФЭ, т.е. П(1) = n(d). Рассмотрим подматрицы Л'х и Л'Х матрицы, полученной из Лх перестановкой столбцов с номерами 1 и d , такие, что матрица Л'х стоит на пересечении первых (d — 1) строк и столбцов, а матрица Л'Х стоит на пересечении последних (r — d +1) строк и столбцов. В силу П(1) = n(d) матрицы Л'х, Л'Х задают некоторые ярусные шаблоны подключений S', S" соответственно. Рассмотрим главные собственные значения цх, цХ, цХ соответственно матриц Лх, Л'х, Л'Х и

покажем, что (цх)r = (цХ)d 1(Ц^)Г d+1. Действительно, главное собственное значение циклической матрицы порядка m равно корню степени m из произведения ее элементов, поэтому

(цх)r = и»!Х). (цх-)d—1=ГОХ)- (ці:)r—d+‘= ШХ).

i=1 i=1 i=d

где a(X), 1 < i < r , - ненулевой элемент, стоящий в i строке матрицы Лх . Величина X S является решением уравнения цх =1 относительно X, поэтому (цХ^ )d—1(ц?х^ )r—d+1=1 и по крайней мере одна из величин цХ^, цХ^, не меньше единицы. Пусть цХ^ > 1, тогда величина Х^-, для которой уравнение

цХ =1, записанное относительно X, обращается в верное тождество, не меньше X^ , а шаблон подключений S' искомый. Лемма доказана.

Из леммы 9 вытекает, что в последовательность формул { Тm}, для которых limm^+«T(Тm)/ log R( Тm ) = Тб , можно составить из ярусных формул. Пусть последовательности { Тm } соответствует последовательность {S m} однородных ярусных шаблонов такая, что S m порождает Тm , m = 1,2... От последовательности { S m } перейдем по лемме 10 к последовательности ярусных шаблонов подключений {S' m} без повторений пометок ФЭ таких, что X с - > X с . Из следствия из леммы 8 вытекает, что для любой

формулы Тm можно выбрать формулу Т m , порождаемую шаблоном S' m такую, что

T(Т m )/ log R( Т m ) < T( Тm )/logR( Тm ).

98

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

Так как вес ярусных шаблонов подключений без повторений ФЭ ограничен количеством ФЭ базиса А, а шаблонов ограниченного веса конечное число, то из последовательности {Т m} можно выделить

подпоследовательность {Т m^}, все формулы которой порождаются

некоторым ярусным шаблоном подключений S без повторений ФЭ.

Следовательно, приведенная задержка базиса Б достигается на некотором однородном ярусном шаблоне подключений. Поэтому следствие из леммы 8 доказывает утверждение следующей леммы.

Лемма 11. Для ранговой функции Rg (t) в равномерном базисе Б выполняются асимптотические соотношения

t

log Rg (t)

(40)

Доказательство теоремы 2. Соотношение (40) позволяет получить нижние асимптотические оценки высокой степени точности

Tg (ци) >Xgn-0(1), (41)

Tg (n) >ТБ (n — loglog n) -0(1) (42)

аналогично тому, как на основе (4) нами были получены (8) и (9). Соотношения

Tg (Цп ) <Tg n + 0(1), (43)

Tg (n) <Tg (n — loglog n) + 0(1),

доказывающие (2), (3), могут быть получены на основе лемм 4, 5 с использованием техники подробно изложенной в работе [4], которая посвящена получению верхних асимптотических оценок высокой степени точности функции Шеннона Tg (n) и задержки Tg (|ln). Из этой же работы следует, что формула, на которой достигается соотношение (43), имеет линейную относительно своего числа БП сложность (количество ее ФЭ). Заметим также, что эта техника остается применимой и для произвольного базиса Б с ненулевыми межэлементными задержками при условии, что для Б выполняется соотношение (40).

Список литературы

1. Лупанов, О. Б. О схемах функциональных элементов с задержками /

О. Б. Лупанов // Проблемы кибернетики. - Вып. 23. - М. : Наука, 1970. - С. 43-82.

2. Ложкин, С. А. О глубине функций алгебры логики в произвольном полном базисе / С. А. Ложкин // Вестник МГУ. Математика. Механика. - 1996. - № 2. -

С. 80-82.

3. Ложкин, С. А. О задержке мультиплексорной функции в произвольном базисе /

С. А. Ложкин // Проблемы теоретической кибернетики : тезисы докладов XV Междунар. конф. (Казань, 2-7 июня 2008 г.). - Казань : Отечество, 2008. -С. 75.

4. Ложкин, С. А. О задержке схем из функциональных элементов в модели с произвольным распределением задержек элементов базиса по входам /

Physical and mathematical sciences. Mathematics

99

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

С. А. Ложкин, Б. Р. Данилов // Прикладная математика и информатика. -Вып. 39. - М. : МАКС Пресс, 2011. - С. 107-129.

5. Ложкин, С. А. О задержке схем из функциональных элементов в модели с произвольным распределением задержек элементов базиса по входам и входным наборам / С. А. Ложкин, Б. Р. Данилов // Вестник Московского университета. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. - 2013. -№ 4. - С. 25-33.

6. Ложкин, С. А. Основы кибернетики / С. А. Ложкин. - М. : Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004. - 251 с.

7. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М. : Физматлит, 2010. -560 с.

8. Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику : учеб. пособие для вузов / С. В. Яблонский ; под ред. В. А. Садовничего. - 4-е изд., стер. - М. : Высшая школа, 2003. - 384 с.

9. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. - М. : Наука, 1978. - 280 с.

References

1. Lupanov O. B. Problemy kibernetiki [Problems of cybernetics]. Issue 23. Moscow: Nauka, 1970, pp. 43-82.

2. Lozhkin S. A. Vestnik MGU. Matematika. Mekhanika [Bulletin of MSU. MEchanics]. 1996, no. 2, pp. 80-82.

3. Lozhkin S. A. Problemy teoreticheskoy kibernetiki: tezisy dokladov XV Mezhdunar. konf (Kazan’, 2-7 iyunya 2008 g.) [Problems of theoretical cybernetics: report theses of XV International conference (Kazan, 2-7 June 2008)]. Kazan: Otechestvo, 2008, p. 75.

4. Lozhkin S. A., Danilov B. R. Prikladnaya matematika i informatika [Applied mathematics and computer science]. Issue 39. Moscow: MAKS Press, 2011, pp. 107-129.

5. Lozhkin S. A., Danilov B. R. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 15. Vychislit-el’naya matematika i kibernetika [Bulletin of Moscow State University. Series 15. Calculus mathematics and cybernetics]. 2013, no. 4, pp. 25-33.

6. Lozhkin S. A. Osnovy kibernetiki [Basic cybernetics]. Moscow: Izdatel'skiy otdel f-ta VMiK MGU, 2004, 251 p.

7. Gantmakher F. R. Teoriya matrits [Matrix theory]. Moscow: Fizmatlit, 2010, 560 p.

8. Yablonskiy S. V. Vvedenie v diskretnuyu matematiku: ucheb. posobie dlya vuzov [Introduction into discrete mathematics: tutorial for universities]. Moscow: Vysshaya shkola, 2003, 384 p.

9. Lankaster P. Teoriya matrits [Matrix theory]. Moscow: Nauka, 1978, 280 p.

Данилов Борис Радиславович

младший научный сотрудник, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1)

Danilov Boris Radislavovich Junior researcher, Moscow State University named after M. V. Lomonosov (1 Leninskie gory, Moscow, Russia)

E-mail: [email protected]

УДК 519.714 Данилов, Б. Р.

О поведении функции Шеннона для задержки схем в модели, где задержка соединений определяется типами соединяемых элементов /

Б. Р. Данилов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 3 (31). - С. 78-100.

100

University proceedings. Volga region