О сложности мультиплексорной функции в классе формул Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 38-41

УДК 519.714

О СЛОЖНОСТИ МУЛЬТИПЛЕКСОРНОЙ ФУНКЦИИ В КЛАССЕ ФОРМУЛ © 2012 г. Н.В. Власов

Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова

nikita. v. vlasov@gmail .com

Поступила в редакцию 10.09.2012

Рассматривается задача синтеза формул для мультиплексорной функции алгебры логики, которая часто является составной частью интегральных схем, а также используется в теоретических исследованиях. В стандартном базисе устанавливаются оценки сложности реализации мультиплексорной функции от п адресных переменных, близкие к асимптотическим оценкам высокой степени точности, вида 2и+1(1 + с(п)/п + 0(И(п\о% «))), где с(п) е [1/2, 1].

Ключевые слова: мультиплексорная функция, формулы, индивидуальная сложность.

Введение

Рассматривается задача оптимальной по сложности реализации мультиплексорной функции алгебры логики (ФАЛ) в классе формул в стандартном базисе (см., например, [1, 2]).

Пусть В = {0, 1} и Б" - и-я декартова степень множества В - единичный "-мерный куб, являющийся областью определения ФАЛ /,

В'1 —» В. от булевых переменных (БП) х = = (Х],..., хп). Мультиплексорной ФАЛ (мультиплексором) ц„ порядка п называется ФАЛ от и + 2" БП, где первые п переменных называются адресными, оставшиеся 2" - информационными, а значение функции равно значению той её информационной БП, номер которой задаётся значениями адресных БП.

Задача синтеза решается в классе формул в стандартном базисе Б0 = {х & у, х V у, х}. Сложность /.(/• ) формулы /• определяется как число функциональных элементов (ФЭ) «&», «V» и «—1» в ней. Под рангом И(1) формулы /• будем понимать число вхождений БП в её запись, то есть число листьев связанного с ней дерева (см., например, [2, глава 2, §5]). Сложностью ФАЛ / в классе формул в стандартном базисе называется величина ЬФ(К), равная минимальной сложности формул в базисе Б0, реализующих ФАЛ /. Те понятия, которые в данной работе не определяются, могут быть найдены, например,

в [2].

Сложность мультиплексорной ФАЛ изучалась в ряде работ. Известно (см., например, [3]), что сложность реализации ФАЛ \х„, п = 1, 2, ..., как схемами из функциональных элементов

(СФЭ), так и формулами в стандартном базисе

Бо асимптотически равна 2 . В работе [4] по-

~и+1 _и/2 4\

лучена нижняя оценка вида 2 + cx-L -0(2 )

,и+1 ,и/2

и верхняя оценка вида 2 + с2-1 + 0(2 ), где

cj,c2 = const, для сложности реализации мультиплексора порядка n в классе СФЭ над базисом Бо. Кроме того, в [3] была установлена асимптотика сложности ФАЛ ц„ в классе СФЭ в базисе {х & у, х © у, х}, равная 2”+1, а в [5] были получены асимптотические оценки высокой степени точности (см. [6]) вида1 2 (1 +1/(2и) ±

+0(1/(«log и))) для сложности её реализации в классе 71-схем.

В работе [7] доказано, что значение глубины мультиплексорной ФАЛ порядка п в стандартном базисе в случае, если ФЭ «&» и «V» имеют единичную глубину, а ФЭ «—.» - нулевую, равно 2, если п = 2, и равно п + 2, если 1 < п < 5 или п > 20. Для случая 5 < п < 20 устанавливаются нижняя оценка (п + 2) и верхняя оценка (п + 3) глубины ФАЛ ц„. Аналогичные результаты справедливы также для базиса, состоящего из всех элементарных конъюнкций и дизъюнкций от двух переменных.

В данной работе приводится доказательство установленных в [8] оценок, близких асимптотическим оценкам высокой степени точности, для сложности реализации мультиплексорной ФАЛ в классе формул в стандартном базисе, следующего вида:

1 Все логарифмы в данной работе берутся по основанию 2.

L (Un )=2

n+1

1 + cCn-±o\ 1

n log n

где

e(n) є

1,1

2

ществует

m-регулярное

q

L(Fn) < 2n+1 + O

n

V у

2n+1l 1 + -

1

< 2n

2(n +1)

1 +1 + O

n

< L (Un )<

n log n

(3)

/у

Оценки сложности мультиплексорной ФАЛ в классе формул

Следуя [2], для натуральных т и q множество наборов 8, 8 с Бч, будем называть т-регулярным (т < q), если |8| = 2т и префиксы длины т для любых двух наборов из 8 различны. Разбиение куба на т-регулярные компоненты называется т-регулярным.

Из результатов [2, глава 4, §6] вытекает справедливость следующей леммы.

Лемма. Для любой тройки натуральных чисел т, q, А, где q = т + А, и для произвольной системы ФАЛ я = (§!,...,) от БП х^...,Хт су-

Доказательство. Для доказательства нижней оценки заметим, что любой п-схеме Е можно сопоставить эквивалентную ей формулу Б в стандартном базисе Б0 с поднятыми отрицаниями, такую, что Л(Б) = 1(Е), где 1(Е) - число контактов в схеме Е, и обратно. Так как для произвольной формулы Б выполняется неравенство

1Ф(Б)>ВД, то 1Ф(ци)>I?(ци), п = 1, 2, ...,

где 1^(цп) — сложность мультиплексора порядка п в классе п-схем. В работе [5] устанавливается справедливость следующего неравенства:

2п

разбиение Д = = (81,..., 82,_„) куба В от БП х1,..., хч , такое, что

произвольная ФАЛ gi, 1 < I < А, на произвольной компоненте 8;, 1 < ] < 2Ч т, совпадает либо с переменной хт+г-, либо с её отрицанием.

Легко убедиться в том, что для ФАЛ цп справедливо представление:

Цп (х> У) = V Кс(х)Уv(С). (1)

ст=Вп

где х = (х1,...,хп) - набор адресных БП, у = = (у0,..., у2„_1) - набор информационных БП

и для набора с = (с1, ... , сп) е В" формула2 КС(х) = хСх2С2...хпСп - элементарная конъюнкция от БП х, обращающаяся в 1 на наборе с, а число v(c) = ^г=1 ci 2п i - номер набора с при

лексикографическом упорядочении.

Из [1, 2] следует, что ФАЛ цп можно реализовать в базисе Б0 бесповторной по информационным БП формулой Бп с поднятыми отрицаниями, для которой

2

L (Un ) > 2n+1 + Следовательно,

L<p (Un) > 2n+1 +

n+1

2n

n+1

и нижняя оценка доказана.

Верхняя оценка доказывается аналогично случаю п-схем (см. [5]) с помощью дополнительного подразбиения куба Б", которое позволяет уменьшить общее число ФЭ отрицания в формуле.

Выберем натуральные параметры т, s, і и г,

такие, что

s < 2”

t =

2”

q = m + s, q + r < n,

(4)

(2)

Сформулируем и докажем основную теорему.

Теорема. Для мультиплексорной ФАЛ Un справедливы неравенства:

а затем представим набор БП х в виде

/ 1 п т\

х = (х, х , х ),

где

х' = (Л^..^ хд X х" = ( xq+1,..., хд+г X х"' = ( V г+1,..., хп ).

Для каждого],] е [1, ... , ?], и каждого I, I е е [1, ..., 5], определим ФАЛ ф;- и щ1 от БП х1,..., хт как характеристические ФАЛ множества тех наборов у куба Вт, для которых Lv(Y)/s_ = ] - 1 и v(Y) - Lv(Y)/s_ = I - 1 соответственно. Заметим, что при этом для любого набора Y, У е Вт, найдутся числа],] е [1, ... , ^, и I, I е [1, ... , 5], для которых Ку(х1, ... , хт) = ф;- щ. Рассмотрим разбиение Д = (81,..., 82,_т) куба

В4 от БП х', построенное по лемме для системы ФАЛ щ = (щ1, ... , щ5). Разобьём, далее, каждое

' Полагаем, как обтічно, что x = x и x = x.

3 Через Г а] (_а_|) обозначается ближайшее к а сверху

(соответственно, снизу) целое число.

n

1

s

множество 8г- , i е [1,2ч т], на подмножества 8гд, ... , 8i,t, где 8г-,- е [1, X], — множество всех тех наборов с ', с ' е В4, на которых ФАЛ ф - обращается в единицу. Из отмеченных выше свойств ФАЛ ф-, щ1 и построения разбиения Д следует, что 18у | < 5 и что для любого набора с ', с ' е 8г- , элементарная конъюнкция КС ' (х')

совпадает на 8г- с ФАЛ вида хг“с' при некоторых 1С е [т +1,...,т + 5] и аС ' е В.

Таким образом, для ФАЛ цп, с учётом (1), имеет место следующее представление:

2,_т (

Цп(x, У) = V VЪ,J(х) • V Kc*(x", х1*

i=1 -=1 с*еВп_ч

аС'

V хгС' •уv(c ',с*) чС'е5',-

где х - (х') — характеристическая ФАЛ множества 8ij. Заметим, что подформула

Т7* ас '

*п = V х/С' * yv(С',С*)

С'е8(, -

в этом представлении эквивалентна на множестве 8г- формуле

ное множество обозначим 8) ,. Затем построим

F =

& (х1а' *yv(a',а*))

&

&

V (Ха*Уу(а',а*)) V gSl,, (х)

а 'є8' j

где 8'

ст ', для которых аст - = 0 (аст -= 1), а я8 (х) -

некоторая ФАЛ, которая равна 1 (равна 0), если на адресные входы поступил набор ст = (ст ', ст*) и ст ' є8'(ст 'є 8";-), а в остальных случаях её значение произвольно. Заметим, что формула Ґ" не содержит ФЭ отрицания.

Определим ФАЛ ] (х ') так, чтобы столбец её значений на наборах множества 8ц, І є [1^-т ], 7 є [1, і], упорядоченных лексикографическим образом, совпадал с компонентами с номерами т +1,...,т+ |8І1 набора, на который была сдвинута компонента с номером і разбиения Д при его построении в соответствии с леммой. На остальных наборах её значение положим произвольным. Для каждых І є є[1,2^т], 7 є[1,і] расширим все наборы множества 8^, добавив к каждому из них г значений ФАЛ ] (х ') на данном наборе. Получен-

2r -1 множество 82;-,...,82 j, выполняя пораз-

рядное сложение каждого вектора множества 8І 7 с векторами

(0;^,0,::;0,1),...,(0;^,1!::.1!1)

т+|8і 71 г т+8 71 г

аналогично тому, как это делалось при построении т -регулярного разбиения Д. Тогда ФАЛ ^ 7 (х ') на множестве 8к;-, к є [1,2г ], совпадает

с ФАЛ вида

хак

uk

для некоторых uk є

е [q +1, q + r], ak e B, причём для k e [1,2r -1] номер uk может быть выбран так, что ak = 1. При этом множество

2q m t 2r

U U U С-

i=1 j=1 k=1

совпадает с кубом Bq+r.

Используя представление (1), отмеченную

выше эквивалентность формул и F^ и моделируя ФАЛ gs (~) с помощью ФАЛ xak ,

i, j uk

uk e [q +1, q + r], ak e B, получим следующее

представление:

2q-m t 2r

Mn(x, y) =VVVXi, j,k (x , x> V KC- (xl&

t j 8j j (8' j с 8г- j) - множество наборов

)=1 j=1 k=1 a''tBn-q-r

& ( Х1а,-Уу(а',а' ,a'' )) & V (Х/а'*Уv(a',а' ,а'' ))vXuk

_а'є8Ь _ _а'є8”,^ _

&

где - к (х ', х") - характеристическая ФАЛ

множества 8к-. Искомая формула Бп (х, у) получается из этого представления при реализации каждой ФАЛ -к (х', х') по её совершенной ДНФ, ФАЛ цп-ч-г от адресных БП хч+г+ь ... , хп - с помощью формулы Бп_ч_г, и выборе ФАЛ

uk

при к є [1,2r -1] так, чтобы значение ак

было равно 1. При этом общее число ФЭ « — » в подформулах вида Б*п не превосходит

X* 2ч_т • 2г, и для сложности формулы Бп (х, у) будут справедливы неравенства:

1(¥п (х, у)) < X • 2ч_т • 2г _ 1 +

( ( 2 n-q-r \

+t*2q-m *2r* n2+2n-q-r+1

+O

A

+2s*2n-q-r +

, 2 * 2n +1 * 2q-m * 2n-q < 2n+1 +=-=-

a

k

+

n

+ O

s2n

2n

s(n - q - r)

2 2q+r - +— + n2 • 2q-m+r

Если при n > 64 значения параметров выбрать так, что m = Г 3log nl, s = \n - 7log nl и r = = Г log nl, то неравенства (4) будут выполнены, а из последней приведённой выше оценки следует верхняя оценка в (3).

Теорема доказана.

Следствие.

L(Vn) = 2

n+1

1

\\

n log n

c(n)e

ZJ

1,1

2

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ грант №12-01-00964-а.

Список литературы

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Ложкин С.А. Лекции по основам кибернетики. М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004.

3. Коровин В.В. О сложности реализации универсальной функции схемами из функциональных

элементов // Дискретная математика. 1995. Т. 7. Вып. 2. С. 95-102.

4. Румянцев П.В. О сложности реализации муль-типлексорной функции схемами из функциональных элементов // Проблемы теоретической кибернетики. Тезисы докладов XIV Международной конференции (Пенза, 23-28 мая 2005 г.). М.: Изд-во мех.-мат. факультета МГУ, 2005. С. 133.

5. Ложкин С.А., Власов Н.В. О сложности мультиплексорной функции в классе п-схем // Ученые записки Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2009. Т. 151. Кн. 2. С. 98-106.

6. Ложкин С.А. О синтезе формул, сложность и глубина которых не превосходят асимптотически наилучших оценок высокой степени точности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 3. С. 20-26.

7. Ложкин С.А., Власов Н. В. О глубине муль-типлексорной функции // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2011. №2. С. 40-46.

8. Власов Н.В. О сложности мультиплексорной функции в классе формул // Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVI Международной конференции (Нижний Новгород, 20-25 июня 2011 г.). Н.Новгород: Изд-во Нижегородского гос-университета, 2011. С. 96-97.

s

n

ON THE COMPLEXITY OF THE STORAGE ACCESS FUNCTION IN THE CLASS OF FORMULAS

N.V. Vlasov

We consider the synthesis problem for the storage access function, which often appears as a component of integrated circuits and is also used in theoretical investigations. Realization complexity estimates in the form 2K+1(1 + c(n)/n ± ± O(1/(nlog n))), where c(n) e [1/2, 1], which are close to high accuracy asymptotic bounds, are established in the standard basis for the storage access function depending on n address variables.

Keywords: storage access function, formulas, individual complexity.