О глубине мультиплексорной функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.714

С.А. Ложкин1, Н.В. Власов2

О ГЛУБИНЕ МУЛЬТИПЛЕКСОРНОЙ ФУНКЦИИ*

Рассматривается задача синтеза схем для мультиплексорной функции алгебры логики, которая часто является составной частью интегральных схем, а также используется в теоретических исследованиях. В стандартном базисе при условии, что элементы конъюнкции и дизъюнкции имеют глубину 1, а элемент отрицания — глубину 0, устанавливается точное значение глубины мультиплексорной функции от п адресных переменных, если 1 п 5 или п ^ 20. Для остальных значений п получены отличающиеся на 1 верхняя и нижняя оценки указанной глубины. Аналогичные результаты справедливы также для базиса, состоящего из всех элементарных конъюнкций и элементарных дизъюнкций от двух переменных.

Ключевые слова: мультиплексорная функция, глубина, формула, индивидуальная сложность.

1. Введение. В работе рассматривается задача, относящаяся к классу задач индивидуального синтеза, т. е. задач нахождения по заданной системе функций алгебры логики (ФАЛ) F = (/i,..., fm) схемы >]//. >1/. е- I' (U — заданный класс схем), реализующей F, и такой, что = minf(E), где Ф — заданный функционал сложности, а минимум берется по всем схемам S, S € U, реализующим систему F (см., например, [1]).

В данной работе эта задача решается для мультиплексорной ФАЛ (мультиплексора) /хп порядка п, т. е. ФАЛ от п + 2п булевых переменных (БП), где первые п переменных называются "адресными", оставшиеся 2" — "информационными", а значение функции равно значению той ее информационной БП, номер которой поступил на адресные БП.

Сложность мультиплексорной ФАЛ изучалась в ряде работ. Известно (см., например, [2]), что сложность реализации ФАЛ /хп, п = 1,2,..., как схемами из функциональных элементов (СФЭ), так и формулами в стандартном базисе Б0 = {ж&у, х У у, х} асимптотически равна 2n+1. В работе [3] получена нижняя оценка вида 2n+1 + с\ ■ Т1!2 — О (2П/4) и верхняя оценка вида 2n+1 + с2 ■ Т1!2 + О (2П/4), где ci,c2 = const, для сложности реализации мультиплексора порядка п в классе СФЭ над базисом Б0. Кроме того, в [2] была установлена асимптотика сложности ФАЛ /хп в классе СФЭ в базисе {xSzy, х Ф у, ж}, а в [4] были получены асимптотические оценки высокой степени точности вида 2n+1 (1 + 1/(2п) ± О (1/nlogn)) для сложности ее реализации в классе 7г-схем**.

Что касается глубины, то в работе [5] было доказано, что глубина ФАЛ /хп не превосходит величины (п + 4) для случая единичной глубины всех ФЭ и не превосходит (п + 3) в случае, если функциональные элементы (ФЭ) "&" и "V" имеют единичную глубину, а ФЭ "-i" — нулевую.

В данной работе доказывается, что значение глубины мультиплексорной ФАЛ порядка п в стандартном базисе в случае, если ФЭ "&" и "V" имеют единичную глубину, а ФЭ "-i" — нулевую, равно 2, если п = 2, и равно п + 2, если 1 < п ^ 5 или п ^ 20. Для случая 5 < п < 20 устанавливаются нижняя оценка (п + 2) и верхняя оценка (п + 3) глубины ФАЛ рьп. Из полученных результатов вытекают аналогичные оценки для базиса, состоящего из всех элементарных конъюнкций (ЭК) и элементарных дизъюнкций (ЭД) от двух переменных.

2. Основные понятия и нижняя оценка глубины мультиплексорной функции. Напомним некоторые определения и факты, а также введем обозначения, связанные с реализацией ФАЛ в классах формул и СФЭ в базисе Б0, где ФЭ "&" и "V" имеют вес и глубину 1, а ФЭ "-i" — нулевые вес и глубину. Те понятия, которые в данной работе не определяются, могут быть найдены, например, в [6]. Будем использовать, в частности, описанное в [6] представление формул деревьями и вложение класса формул в класс СФЭ.

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: lozhkinQcs.msu.su

2 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: nikvQpost.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы.

** Все логарифмы в данной работе берутся по основанию 2.

Через LÇE) будем обозначать сложность формулы или СФЭ S, т. е. число ФЭ "&" и "V" в ней. Будем обозначать через D(S) глубину формулы или СФЭ S, т.е. максимальное число ФЭ "&" и "V" этой схемы, лежащих на одной цепи. Формула, в которой все ФЭ "-i" присоединены к ее входам, называется формулой с поднятыми отрицаниями.

Напомним, что глубиной ФАЛ / называется величина D(f), равная минимальной глубине формул или СФЭ, реализующих эту ФАЛ. Легко видеть, что D(f) является также глубиной ФАЛ / в базисе из всех элементарных конъюнкций и дизъюнкций ранга 2.

Заметим (см., например, [6]), что для СФЭ S без "висячих" ФЭ и с одним выходом справедливо следующее неравенство:

£>(Е)^ riog(L(S) + l)l, (1)

а если S реализует ФАЛ, существенно зависящую от N БП, то

L(S)^JV-1. (2)

Следуя [7], будем говорить, что непустое подмножество U БП ФАЛ / забивает ее БП ж, ж ^ U, если подстановкой некоторых констант вместо БП множества U из ФАЛ / можно получить ФАЛ, не зависящую существенно от ж. Множество X, состоящее из БП ФАЛ /, будем называть незабиваемым, если |Х| ^ 2 и любая БП ж, х G X, не забивается множеством X \ {ж} или если |Х| = 1 и БП ж, ж G X, является существенной БП ФАЛ / (в этом случае будем называть множество X тривиальным незабиваемым множеством). Переменная, принадлежащая некоторому нетривиальному незабиваемому множеству БП ФАЛ /, считается незабиваемой БП этой ФАЛ. Заметим, что информационные БП образуют незабиваемое множество переменных ФАЛ /хп.

Из определений следует, что если U — незабиваемое множество БП ФАЛ / и U' С U, \U'\ ^ 1, то при любой подстановке констант вместо БП из множества U \ U' в ФАЛ / получается ФАЛ /', для которой множество U' является незабиваемым множеством БП. Если при этом СФЭ S реализует ФАЛ /, то, как следует из теоремы 7.4 [7, ч. 2, § 7] и ее доказательства, найдется такая подстановка констант вместо БП из U\U\ что СФЭ S', которая реализует ФАЛ /' и получается из S в результате этой подстановки и последующих эквивалентных преобразований на основе стандартных тождеств

О = 1, 1 = 0, ж • 0 = 0, ж V 1 = 1, ж • 1 = ж, ж V 0 = ж, (3)

удовлетворяет неравенству

L(S') < L(E) -2- |J7\J7'|. (4)

Пусть ФАЛ ¿4 получена из ФАЛ /хп в результате подстановки констант вместо некоторых ее информационных БП у0,..., y2n-i- Из сказанного выше следует, что оставшиеся БП этой группы образуют незабиваемое множество БП ФАЛ ц'п.

Легко убедиться в том, что для ФАЛ /хп справедливо представление

Мп(ж,у)= \/ Ka{x)yv{(7), (5)

а£В'п

где ж = (ж1,... ,жп) — набор адресных БП, у = (у0,... ,y2n-i) — набор информационных БП, и для набора а = (ci,...,ап) G И". где В = {0,1}, формула Ка{ж) — ЭК вида* ж^Жд2 ■■■х^п от БП ж,

п

обращающаяся в 1 на наборе сг, а число ь>{а) = ^ Oiln~% — номер набора а при лексикографическом

г= 1

упорядочении наборов куба В".

Лемма 1. Для любой формулы jFn, реализующей мулътиплексорную ФАЛ порядка п, п ^ 2, справедливо

D(Tn) ^п + 2.

Доказательство. Пусть п ^ 2 и пусть формула Тп — минимальная по глубине формула, реализующая ФАЛ цп(х, у), a S — соответствующая ей СФЭ. Положим U = {уо,..., y2n-i} и U' = {у 1,... ,у2п-\}. Подставим константы вместо БП из множества U' и выполним соответствующие эквивалентные преобразования СФЭ S с помощью тождеств (3) так, чтобы для полученной СФЭ S' выполнялось неравенство (4). Тогда

L(£) ^ 2(2™ - 1) + L(S') = 2n+1 - 2 + L(E').

* Для БП х полагаем, как обычно, что х° = х и х1 = х.

Обозначим через /'(жi,..., хп, уо) ФАЛ, которую реализует СФЭ S'. Заметим, что /'(0,..., 0, уо) = = у о и что для любого ненулевого набора а = (а\,..., о„) значений адресных БП xi,...,xn ФАЛ /'(ci, • • • ,ап,уо) равна значению той константы, которая была подставлена вместо соответствующей БП у„(о-). Отсюда вытекает, что ФАЛ /'(жi,... ,жп,уо) существенно зависит от всех своих БП, и поэтому в силу (2) имеет место неравенство

L(S') ^ п,

из которого следует, что

L(E) ^ 2п+1 ^2 + п. Таким образом, учитывая неравенство (1), при п ^ 2 получим

D(fin) = D(£) ^ \log(L(Z) + I)] = [~log(2n+1 + п - I)] ^ п + 2. Лемма доказана.

3. Верхняя оценка глубины мультиплексорной функции. Докажем теперь верхнюю оценку для глубины мультиплексорной ФАЛ в стандартном базисе Ба при условии, что ФЭ "&" и "V" имеют единичную глубину, а ФЭ "-i" — нулевую.

Лемма 2. Для мультиплексорной ФАЛ выполняются следующие соотношения-.

D(fii) = 2, D(/in)^n + 2, n = 2, 3,4, 5.

Доказательство. Мультиплексорная ФАЛ порядка 1 в силу (5) может быть представлена формулой (ж1у0) V (Ж1У1), и поэтому D(/i 1) ^ 2. С другой стороны, ФАЛ /¿i существенно зависит от трех переменных, и поэтому в силу (1) и (2)

2+1)1=2. (6)

Следовательно, £>(¿¿1) = 2.

Произвольную ФАЛ ¿¿„(ж,у) можно представить в виде

Vn(x,y)= \/ ж

После оптимизации по глубине (см. [6, гл. 2, § 2]) получим, что

Dixl1 ...xannSi) = riog(n- 1)"|. Следовательно, D(х\г ... x^nSi ) ^ 2 при и 2. 3.1. 5 ц

D(fin) < (п - 1) + 1 + maxp«1 ... ж^1); £>(¿¿1)} = п + 2

при любом из указанных значений п. Лемма доказана.

Напомним некоторые определения и факты, связанные с разбиением куба И". где п = 2fc, к € {1, 2,...}, на непересекающиеся единичные сферы. Эта конструкция основана на кодах Хэмминга (см., например, [8]) и использовалась О. Б. Лупановым (см. [9]).

Обозначим через р(а, /3) расстояние Хэмминга между наборами а и ¡3. Для набора а, а € И". и целого г ^ 0 будем называть множество Sr(a) = {fi\ р(а, /3) = г} сферой радиуса г с центром а. Сферу радиуса 1 будем называть единичной сферой.

Следующий факт может быть найден, например, в [1].

Лемма 3. Единичный куб В". где п = 2fc, к € {1, 2,...}, может быть разбит на 2 п/п непересекающихся единичных сфер.

Заметим, что если x(xi— характеристическая ФАЛ единичной сферы с центром то

1; • • • ) ^% 1 • • • X^_X^ \ ''' ^I 1 1 ^ £ ^ / • ^^^

Данное соотношение показывает, что любую элементарную конъюнкцию, соответствующую точке сферы с центром (/?!,...,/3^), можно "выщепить" умножением ФАЛ x(xi, ■ ■ ■ ,xi) на некоторую БП или ее отрицание.

Докажем теперь верхнюю оценку глубины характеристической функции единичной сферы. Лемма 4. Если xixi-, ■ ■ ■-,Х]) — характеристическая ФАЛ единичной сферы с центром (/Зь ...,/Зг), то

D(X(xu...,Xl)) < [log/] + [loglogI] + 1. (8)

Доказательство. Для доказательства неравенства (8) рассмотрим монотонную симметрическую ФАЛ с порогом 2

$l(xi, . . . ,Xt) = \f XiXj

и докажем, следуя [10], что ее можно реализовать формулой с глубиной, не превосходящей [log/] + + [log log/].

Рассмотрим матрицу Л /. состоящую из [log/] строк и / столбцов, которые представляют собой попарно различные наборы длины [log/]. Через M{i, j) будем обозначать элемент матрицы Л /. стоящий на пересечении г-ш строки и j-го столбца.

Поставим в соответствие каждому столбцу г, 1 ^ i ^ /, БП ж*. Для каждой строки j, 1 ^ j ^ [log/], построим две элементарные дизъюнкции:

Ni= \f xk и Pi = \f xk. k: M(i,k) = 0 k: M(i,k) = l

Докажем, что формула

Rogfl

$t(x i, ...,xt)= \f Nj ■ I) i= 1

реализует ФАЛ Si- Действительно, если среди БП х\,... хотя бы две равны 1, то по построению формулы найдется такой номер г, 1 ^ % ^ [log/], для которого одна из этих БП войдет в ЭД Щ, а другая — в ЭД Pi. В этом случае формула обращается в 1. Если же среди БП

х ^«»»»«х i не более

одной равны 1, то все произведения Щ ■ Pi, 1 ^ i ^ [log/], обращаются в 0 и, следовательно, формула равна 0.

Заметим, что, так как в каждой строке матрицы М содержится не

более 2Г1оеП-1 нулей и не более 2Г^еП —1 единиц, то ранг любой ЭД iVj и Pj, 1 ^ i ^ [log/], не превосходит 2Г1°ёГ1~1, и поэтому

£>(&)< [log/] + [loglog/].

Обозначим Ji = x\ V ... V x\. Легко видеть, что D( Ji) ^ [log/]. Тогда характеристическая ФАЛ x единичной сферы с центром в точке (0,..., 0) может быть реализована следующей формулой:

X(xi,...,xt) =щ ■ Jh

и следовательно,

D(XK [log/] + [loglog/] +1.

Таким образом, лемма доказана для случая, когда центром единичной сферы является точка (0,...,0).

Пусть теперь в наборе (/3i,..., /31) равны 1 компоненты с номерами ii,..., ip из множества {1,..., / }. Тогда характеристическая ФАЛ единичной сферы с центром в точке (/3i,..., fit) получается из характеристической ФАЛ сферы <Si(0,..., 0) в результате замены БП с номерами ii,..., ip на их отрицания. Глубина характеристической ФАЛ при этом не меняется. Лемма доказана.

Замечание. Используя оптимизацию по глубине (см. [6, гл. 2, § 21), указанное выше представление характеристической ФАЛ единичной сферы можно умножить на 2 Г1об г1 + n°g 1ое П _ 2 Г1об г1 БП или их отрицаний так, что глубина итоговой формулы не превысит правой части (8). Сформулируем основную теорему. Теорема. Для мультиплексорной ФАЛ справедливо: D{ni{x,y)) = 2;

D(fj,n(x, у)) = п + 2, если 1 < п ^ 5 или п ^ 20; п + 2 ^ D(fj,n(x, у)) ^ п + 3, если 5 < п < 20.

Доказательство. Нижняя оценка вытекает из леммы 1 и неравенства (6), а верхняя оценка для п = 1,..., 5 следует из леммы 2. Рассмотрим случай п > 5.

Пусть т — максимальное натуральное число, такое, что т)2и

2'" + 2т~2 <: п. (9)

Легко видеть, что такое т всегда существует, если п > 5.

Разделим набор адресных БП мультиплексорной ФАЛ порядка п на три части следующим образом:

(жЬ ...,Хп)= (жЬ . . . ,Ж2та,Ж2та + 1, • • • ,Ж2та + с,Ж2та + с+1, • • • >Ж»)> ^-v-' >-у-' >-у-'

2™ С 2т—2

где с = 71 — 2!in — 2'" 2 и 0 sg с sg 5 • 2'" как следует из (9) в соответствии с выбором т и его максимальностью. Обозначим q = 2™ + с и

X = (Ж1, . . . , Xq), X = (Жд_|_ 1, • • • , Хп).

Разобьем единичный куб В2"1 от БП xi,..., ж2т на 22™~то непересекающихся единичных сфер в соответствии с леммой 3. Заметим, что, как следует из (7), произвольная ЭК, обращающаяся в единицу ровно в одной точке сферы, совпадает на этой сфере с некоторой БП или ее отрицанием.

Далее для каждой сферы S разбиения и для каждого набора 7, 7 € Вс, добавим 7 к каждому набору сферы S, построив таким образом разбиение куба Bq, состоящее из 22 ~т • 2е = 2q~m компонент Si, 1 < i < 2«"то.

Чтобы получить характеристическую ФАЛ x,Si компоненты Si, 1 ^ г ^ 2q~m, умножим представление характеристической ФАЛ единичной сферы из леммы 4 на соответствующую ЭК Kst от БП ж2т+1,..., ж2т+с следующим образом:

XSi = 5г™ • (</2™ • KSi).

Заметим, что, так как 0 ^ с ^ 5 • 2'" то D(Kst) ^ т + 1 и, следовательно, в соответствии с замечанием к лемме 4,

D(xSi) ^ т + |~logm] + 1, если т ^ 4,

и, кроме того,

D(xSi) ^ т + |~logm] + 2, если т ^ 2.

Из свойств построенного разбиения следует, что для функции /хп справедливо следующее представление:

2 «-«

где дсг'(х') — БП из набора х\,... , ж2т (или ее отрицание), которая совпадает с ЭК х^1 .. . ж^Г на единичной сфере, a Jan{x") = ж^1 V ... V хапп. Для m ^ 2 представление (10) имеет глубину

q — m + 1 + max{m + flog m] +2;n^ç+l + max{m ^ 2; m + 1}} = n + 3,

и следовательно, D(^n(x,y)) ^ n + 3, если n > 5.

Рассмотрим случай n ^ 20. При этом т)4и D(xSi) ^ m + [log m] + 1, но глубина представления (10) по-прежнему равна (п + 3).

Чтобы получить формулу требуемой глубины, выполним следующие преобразования. Сначала для каждого i, 1 ^ i ^ 2q~m, выберем последние 2т~3 набора из компоненты Si при их лексикографическом упорядочении и обозначим множество таких наборов через S*. Отбросим слагаемые, соответствующие наборам S* из дизъюнкции

V 9а'(х') ■ Уи(<т',<т"),

a-'eSi

и объединим элементарную дизъюнкцию Ja" (ж") с оставшейся частью. Полученная подформула имеет глубину m + 1.

Заметим, что первые 2™ ^2ТО_3 компонент наборов множества Si\S*, 1 ^ i ^ 29_то, представляют собой единичную сферу, а оставшиеся части этих компонент являются одинаковыми наборами длины 2ТО_3 + с. Обозначим через Kgt\s* соответствующую ЭК от БП х2т_2т-з+ъ ...,х2™+с- Тогда

Xsi\s* = $2™_2т-з ' {-hm-2т~3 • KSi\s*)-

Следовательно, при т ^ 4

D(xsi\sr) < max{m + [logm]; maxjm; [log(2TO~3 + с)]} + 1} + 1 <

^ max{m + [logm~|;m + 2} + 1 = m + [logm] + 1.

Аналогично наборы множества 5*, 1 ^ i ^ 2q~n\ различаются только в компонентах с номерами с 2™ — 2™~3 + 1 по 2™ включительно, которые образуют единичную сферу размерности 2ТО_3. Обозначим через К$* соответствующую ЭК от БП х\,..., х2т_2т-з, x2m+i, • • • , жг^+с- Тогда

Х5* = (S2m-3 ■ J-,.., ::) • /\>

и, следовательно,

D(xs*) < max{max{m - 3 + [log(m - 3)];m - 3} + 1; [log(2TO - 2TO"3 + с)]} + 1 sC

sC max{m - 3 + [log(m - 3)] + 1; [log(17 • 2TO"3)]} + 1 = max{m - 3 + [log(m - 3)] + 1; m + 2} + 1.

Если m)4, rora + 2^m + [logm] и, следовательно,

D(xs*) ^ m + [logm] + 1.

Сгруппируем отброшенные слагаемые в новую формулу Т}% аналогично представлению (10) следующим образом:

2"-™ ? / \ ?п= V XS*(x')t k [Ja»(x")V \/ да'(х')-Уи(а',а")]-i=i <г»ев»-А a,ls. )

Легко видеть, что

D(^) ^ q — т + 1 + maх{т + [logm] + 1;п — q + 1 + (т — 2)}.

Если т ^ 4, то

т + [logт] + 1 < Т" '2 + т^1 = п^д + 1 + (т^2)

и D(J^) sC п.

Выберем далее 2Г1об™1 последних наборов куба Bn~q от БП х" при их лексикографическом упорядочении и обозначим это множество через Н*. Заметим, что характеристическая ФАЛ множества Н* равна

Хн* = Xq-ы • • -a;e+|-iogml

и

D{XH-) < [log([logm])]. Отбросим сомножители, соответствующие наборам //'. из конъюнкции

(ja»(x")V \/ да'(х')-Уи(а',а")]

^ гг'СЯЛЯ* '

&

at,£Bn-q

О" G¿>г\э,

в формуле, полученной из (10) после предыдущего преобразования. Объединим характеристическую ФАЛ XSi\s* (х') с оставшейся частью этой конъюнкции. Так как мы отбросили часть сомножителей из конъюнкции, полученная ФАЛ увеличилась. Чтобы избежать этого, умножим XSi\s*(x') на отрицание характеристической ФАЛ хн* следующим образом:

XSi\S* = S2m_2m-3 ■ ((J2m_2m-3 ' Хя*) ' KSi\S*) и заметим, что глубина полученной ФАЛ по-прежнему не превосходит величины m + [log m] + 1.

Рассмотрим формулу следующего вида:

2«

?п= V •XSASii®')) & & [Ja»(x")y \/ 9а'(х')-Уи(а',а"))-

г=1 4 a'eSi\S*

Легко видеть, что

Если m > 4, то

D(^) s$g^m + l + m + [logm] + 1. m + |~logm] + 1 < 2'" -

< п.

В результате построим формулу Тп, реализующую мультиплексорную ФАЛ порядка п, следующим образом:

г2 «"

п —

V XSAS?(®')& & V V V^2]

г=1 х 4 <7'eSi\Sr

Следовательно, если m ^ 4, то

< 1 + max{l + тах{£>(^); д^т + п^д + т + 1}^п + 2,

и при n ^ 20

D(nn(x,y)) 5$ п + 2.

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лу панов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Коровин В. В. О сложности реализации универсальной функции схемами из функциональных элементов // Дискретная математика. 1995. 7. Вып. 2. С. 95-102.

3. Румянцев П. В. О сложности реализации мультиплексорной функции схемами из функциональных элементов // Проблемы теоретической кибернетики: Тезисы докладов XIV Международной конференции. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2005. С. 133.

4. Ложкин С. А., Власов Н.В. О сложности мультиплексорной функции в классе -?г-схем // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2009. 151. Кн. 2. С. 98-106.

5. Ложкин С. А. О синтезе формул, сложность и глубина которых не превосходят асимптотически наилучших оценок высокой степени точности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Мех. 2007. № 3. С. 20-26.

6. Ложкин С. А. Лекции по основам кибернетики. М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004.

7. Алексеев В. Б., Ложкин С. А. Элементы теории графов, схем и автоматов. М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2000.

8. Hamming R. W. Coding and information theory. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1986.

9. Л y панов О. Б. Об одном методе синтеза схем // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. 1. № 1. С. 120-140.

10. Ложкин С. А. О минимальных 7г-схемах для монотонных симметрических функций с порогом 2 // Дискретная математика. 2005. 17. Вып. 4. С. 108-110.

Поступила в редакцию 13.10.10

ON THE DEPTH OF THE STORAGE ACCESS FUNCTION

Lozhkin S.A., Vlasov N. V.

We consider the synthesis problem for the storage access function, which often appears as a component of integrated circuits and is also used in theoretical investigations. The precise value of the depth of the storage access function depending on n address variables, where 1 ^ n ^ 5 or n ^ 20, is established in the standard basis under the assumption that the conjunction and disjunction gates have the depth 1 and that the negation gates have the depth 0. For the rest of the values of n the upper and the lower bounds for the specified depth are proven.

Keywords: storage access function, depth, formulas, individual complexity.