Улучшенная оценка сложности реализации произвольной булевой функции схемами из функциональных элементов в стандартном базисе, вложенными в единичный куб Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 201-207

УДК 519.714

УЛУЧШЕННАЯ ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ СХЕМАМИ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В СТАНДАРТНОМ БАЗИСЕ, ВЛОЖЕННЫМИ В ЕДИНИЧНЫЙ КУБ

© 2012 г.

О.А. Садовников

Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова

oleg.a.sadovnikov@gmail.com

Поступила в редакцию 10.09.2012

Рассматривается модель схем из функциональных элементов в стандартном базисе, вложенных в «-мерный единичный (булев) куб. В качестве способа размещения схемы в кубе выбирается обобщенный вид гомеоморфного вложения - т.н. квазигомеоморфное вложение. Устанавливается поведение функции Шеннона для размерности единичного куба, допускающего вложение схемы, реализующей произвольную функцию алгебры логики.

Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, геометрическая реализация, гомеоморфное вложение, единичный куб, функция Шеннона.

Введение

В данной статье исследуется модель схем из функциональных элементов, связанная с их геометрической реализацией в единичном (булевом) кубе. В качестве способа геометрической реализации схем выбирается специальное обобщение гомеоморфного вложения - т.н. ква-зигомеоморфное вложение, а под сложностью схемы понимается минимальная размерность единичного куба, допускающая её реализацию указанным способом.

Ранее эта модель была исследована, в частности, в работе [4], где была получена верхняя оценка функции Шеннона R(") сложности реализации произвольной функции алгебры логики от n булевских переменных (БП) схемами из функциональных элементов в стандартном базисе {&, v, —і}:

R(ri) <n-[_loglognJ + 8.

Основным результатом статьи является улучшенная по сравнению с [4] верхняя оценка:

R{n) < n - [log log n\ + 6.

Отметим, что при доказательстве основной теоремы применяется метод, основанный на работах [1, 2]. Указанный метод ранее был применен в работе [3] при вложении в единичный куб двоичных решающих диаграмм (BDD) для получения аналогичной верхней оценки.

Основные определения и описание модели1

Единичным (булевым) кубом размерности п называется множество В" = {0,1}” всевозможных двоичных наборов длины п. Как известно, кубу размерности п можно сопоставить граф,

ТУП

множество вершин которого совпадает с В , а множество ребер составляют всевозможные

пары соседних2 наборов из Вп. В рамках данной статьи не будем делать существенных различий между единичным кубом и соответствующим графом.

Под квазигомеоморфным вложением ориентированного графа О без петель и параллельных дуг в неориентированный граф Н понимается инъективное отображение множества максимальных по включению пучков исходящих дуг графа О во множество т.н. транзитных деревьев графа Н, таких, что:

1) начальная вершина каждого такого пучка отображается в корень, а конечные вершины его дуг - в листья соответствующего транзитного поддерева;

2) различные транзитные деревья не имеют общих внутренних, то есть отличных от корня и листьев, вершин.

Отметим, что указанное вложение является обобщением известного гомеоморфного вложения.

В рамках данной работы под схемой из

функциональных элементов (СФЭ) будем подразумевать СФЭ в стандартном базисе Б0 = {&,v, Определим функционал сложности R(H) для схемы Z как минимальную размерность единичного куба, допускающего ква-зигомеоморфное вложение Z. Как обычно, определим сложность R(f) реализации функции

алгебры логики (ФАЛ) f как R( f) = minR(£)

среди всех СФЭ Z, реализующих ФАЛ f Также стандартным способом введем функцию Шеннона как максимальную сложность ФАЛ f среди всех ФАЛ от п булевских переменных:

R(n) = max R(f).

f еР>(п)

Вспомогательные схемы и вложения графов в куб

Напомним, что полным двоичным п-ярусным деревом называется ориентированное корневое дерево с ориентацией рёбер от корня к листьям, такое, что полустепень исхода каждой его вершины равна 2, длина пути от корня до каждого листа равна n.

Лемма 1. Полное двоичное п-ярусное дерево допускает квазигомеоморфное вложение в единичный куб размерности (п + 2) так, чтобы выполнялось условие параллельности поддеревьев:

1) любые два полных двоичных поддерева глубины d, корни которых лежат на одном ярусе исходного дерева, целиком содержатся в параллельных подкубахразмерности (d + 2);

2) если при этом корни указанных поддеревьев лежат на расстоянии 2 (имеют общую вершину-«предка» в исходном дереве), то эти поддеревья лежат в соседних подкубах.

Напомним, что мультиплексорной ФАЛ порядка п называется ФАЛ

V-п =^п(X1,K, хп; .Уl,..., у2п) =

V Кс(Xl,...,Хп)л^)^

<3sBq

где Vct = (ct1,k,стп) еВп :

1) KCT(x1, ..., хп) - элементарная конъюнкция

О п

вида х 1...хпп ;

2) v(o) - натуральное число, двоичную запись которого задаёт набор ст.

Иногда вместо натуральных чисел мы будем сопоставлять информационным входам мульти-плексорной функции ^п двоичные наборы длины п. Тогда множество входов ФАЛ цп принимает вид Уп = {уа|сте Вп}, а саму ФАЛ можно представить более удобным способом:

Ця(xl,•••,хп,У„) = V Ка(х15к,хп)уа .

аєБп

Лемма 2. Справедливо неравенство Л(цп) <

< п + 4.

Доказательство. Требуемая СФЭ для реализации ФАЛ цп(х1;...,хп;у^...,у2п) строится на

основе моделирования схемами полного двоичного контактного дерева от переменных (х1;..., хп) с заменой рёбер полного двоичного дерева на цепочки длины 2. Ориентация рёбер в дереве задаётся от листьев к корню. В концевых вершинах указанных цепочек располагаются элементы дизъюнкции. В серединах указанных цепочек на і-м ярусе дерева (для всех і є [1, п])

располагаются элементы конъюнкции, на свободный вход которых подаётся входная переменная хі. Указанное дерево реализует ФАЛ вида Кст(х1, ..., хп). Входы переменных

(у1,к, У2„) располагаются в листьях дерева.

Вложение дерева в куб размерности (п + 3) легко осуществить с помощью двух полных двоичных деревьев глубины п, параллельно вкладываемых в подкубы размерности (п + 2). Увеличивая размерность на 1, мы добавляем соседний подкуб размерности (п + 3), где для всех і є [1, п] входы переменной хі , задействованные

в дереве, можно соединить цепью за счёт условия параллельности поддеревьев из леммы 1.

Замечание 1. Отметим, что при вложении из леммы 2, за счёт условия параллельности поддеревьев, в указанном кубе Бп+3 можно выделить два соседних подкуба размерности п, один из которых будет содержать все входы (у1,...,у2„), а другой целиком не будет задействован во вложении.

Вентильной звездой порядка п называется ориентированный граф с (п + 1) вершиной

z0,к,2п+1 и п дугами (їг,zo), і =1 п .

Лемма 3. Вентильную звезду порядка п можно квазигомеоморфно вложить в куб размерности п так, чтобы вершины звезды г0,...,zn+1 отобразились в любые заданные попарно различные вершины а0, ., ап+1 куба Бп.

Лемма 4. Для всех п > 3 и т, таких, что п > > 2т + 2, существует специальная раскраска куба К размерности п в 2т цветов, такая, что:

- куб К можно разбить на подкубы

К1,...,Кц, ц = 2п-2 +1, размерности (2т -1), раскрашенные одинаковым (специальным) образом в 2т цветов;

- пусть К’ - куб размерности (п + 1), со-

держащий К как подкуб. Пусть К|,...,К8 -подкубы К', параллельные Кь...,К8. Тогда в

подкубах К{,...,К8 существует система из 2т непересекающихся деревьев, таких, что каждое дерево связывает все вершины какого-либо

из 2т указанных цветов.

Лемма 5. Пусть задан куб Бп+2, п > 1, и пусть в его подкубе К размерности п задана специальная раскраска в т цветов ( т < п), а в параллельном ему подкубе К', находящемся от К на расстоянии 2, задана произвольная раскраска в те же цвета.

Тогда в кубе Бп+2 для каждой вершины под-куба К’ существует цепь, ведущая в вершину подкуба К того же цвета, такая, что указанные цепи, соответствующие вершинам разных цветов, не пересекаются.

Доказательство лемм 3, 4 и 5 можно найти, например, в [3, 4].

Основная теорема

Теорема. Справедливо оценка Я(п) < п --|_1о§1о§ п\ + 6 .

Доказательство. Для произвольной ФАЛ от п переменных построим СФЭ Е, допускающую квазигомеоморфное вложение в единичный куб размерности (п - |_1о§ 1о§ п_ + 6).

При построении будем использовать технику регулярных разбиений булева куба. Подробное описание указанной техники вместе с иллюстрациями можно найти, например, в [1, 2].

Пусть 5 и т - целочисленные параметры, такие, что 5 < 2т, а 9 - число, которое можно

'">5-1 I I

представить в виде 9 = 2 + т + р, где р =

= |_2т5 + 1. Произведем разбиение единичного куба Б9 от БП (х1, ., х9) на построенные специальным образом множества наборов 8г-, і є є и 29_|.

Рассмотрим матрицу Н с 2 строками и 9 столбцами (см., например, [2]), строки которой состоят из наборов множества 81, выписанных в порядке возрастания их номеров. Заметим, что строки ее подматрицы, состоящей из столбцов значений БП (х1, ..., хт), образуют все 2т различных наборов значений этих БП, разделенных на р групп по 5 наборов в каждой, за исключением последней группы, содержащей 5 наборов, где 5 < 5. При этом столбец значений переменной хт+і, і є|_1, 25 _ , состоит из наборов столбцов (а1, ..., ар), где а. при . _ 1,(р-1) -набор длины 5, содержащий двоичную запись

числа (і - 1), а ар - набор длины 5', содержащий первые 5 символов двоичной записи числа (і - 1). В столбце значений переменной х + ^+.

при і є [1, р - 1] значения в строках с номерами (і - 1)5 + 1, ..., і5 равны 1, а в остальных строках равны 0. При і = р, соответственно, значения в строках с номерами (р - 1)5 + 1, ..., (р - 1)5 + 1 + 5' равны 1, а в остальных строках равны 0.

Заметим, что для любой ФАЛ g от переменных х’ = (х1, ., х9) найдутся такие числа]1, ., Нр є |_т + 1, т + 25-1_ и такие двоичные константы ст1, ..., стр, для которых ФАЛ g(1)(х') =

1 х°' совпадает с ФАЛ g(x') на мно-

= V х -^. .

і _1 і + т+2 ]

жестве наборов 81.

На основе множества 81 построим т-ре-гулярное разбиение (см., например, [2]) Д = _ (81,...,829-т) куба Б9. Как следует из свойств

построенного разбиения, при всех к є = |_1, 29 т_ для любой ФАЛ g(x') найдутся такие числа ]1 к, ...,]рк є |_т + 1, т + 25 1_ и такие двоичные константы сти, ..., орк, т1,к, ., Трк, для готорьгс

ФАЛ

g(1)(х') _ V хс'

1 і+т+25 1 и

совпадает с ФАЛ g(x') на множестве наборов 8к.

Пусть Хк - характеристическая функция множества 8к. Тогда для любой ФАЛ /(х') найдутся такие числа]1к, ]Рк е \-т + 1, т + 2 J

и такие двоичные константы ст1к, стрк, т1к,

..трк, что эта ФАЛ может быть представлена в виде

2#-т

/(х') _ у Хк\ V х

к _1

сті к Ті к

. х 'к 5-1 х 'к

=1 і+т+2 Н ,к

(1)

Замечание 2. Поскольку |8к| = 5, то, очевидно, характеристическая ФАЛ Хк множества 8к может быть представлена совершенной дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) %к дли-

3

ны 5 .

Известно [2], что для любой ФАЛ /(х) є є Р2(п), где х = (х1, ..., хп), справедливо представление:

/ (х) _ V хд+9І1... х1"/(. X1,..., х9 , ст).

СТ_(СТ9 +1.ап)

Выражая остаточные функции/(х1, ..., х9, ст) с помощью равенства (1), получаем окончательное представление для ФАЛ /:

2 ч -

/ _ V X

к , к\ ( V )х9+1 ...

к_1 I ст_(ст9+1. .стп )

>9 +1

Т

і,к

x?n| v Xaa slX>к-

' ■ ' i+m+2 Л',к,a

(2)

Будем строить искомую СФЭ Е на основе следующих подсхем.

1. Подсхема 5, состоящая из 2п-т подсхем 5кст , к е[1,2д-т], сте Бп-д. Каждая подсхема 5к ст реализует ФАЛ

р ст т

шкст = у хст'-к ,-1 хТ'-к-ст.

к ,ст ^=1 1+т+2 Л',к ,ст

2. Подсхема Е', состоящая из подсхем

Еь...,Е2,-и . Каждая подсхема Ек, к е[1,2д-т],

реализует мультиплексорную ФАЛ порядка (п -д) от адресных переменных (хд+1,....хп).

Пусть уПкд = { )| сте Б"-д} - множество ин-

формационных входов подсхемы Ек. Для всех стеБп-д и к е [1,2"-д] к каждому входу уСТ) присоединим выход подсхемы 5к ст из предыдущего пункта. Построенная таким образом подсхема Е' в совокупности с подсхемой 5 реализует в представлении (2) все подформулы вида

(

( v a=K+l--a.

л+і

lq+l

,.x4 v xaa s—lx^"

' i=l i+m+2 Л,к,a

Л

к є [l,2n—q ].

З. Подсхема S0 , состоящая из последовательно соединённых подсхем S0 и S0. При этом подсхема S0 реализует мультиплексорную ФАЛ |aq от адресных переменных (xlv..,xq).

Обозначим информационные входы подсхемы S0 через у1,к, у q. Подсхема S0 представляет

собой систему из 2q—m вентильных звёзд Z1,k,Z2q—m , таких, что каждая звезда Zk имеет

s стоков, присоединенных к входам подсхемы S0, соответствующим слагаемым совершенной ДНФ хк (см. замечание 2), а её исток присоединен к выходу подсхемы Sk, к є [l,2q—m ]. Очевидно, что такая подсхема S0 реализует

2q-m

«внешнюю» дизъюнкцию v Хк (к) из представления (2).

Опишем размещение описанных выше подсхем в единичном кубе размерности (n - m + [log p] + 5). Разобьём указанный куб на 4 параллельных подкуба G00, G01, Gl0, G11 размерности (n - m + flogp] + 3). В подкубе G00

будем размещать подсхему S, в подкубе G01 -подсхемы Е0 и Е', а в остальных подкубах -транзитные поддеревья для общих входных переменных указанных подсхем.

Сначала опишем вложение подсхем Е0 и Е' в куб G01. Указанный куб разобьём на параллельные подкубы H и Q размерности (п - m + [ log p\ + 2) и в каждом из них выделим

по 2q-m кубов размерности (п - q + 3):

H1,K,H2q-m и Q1,K,Q2q-m соответственно, так,

чтобы Vk е [1,2q-m ] кубы Нк и Qk были соседними. Это можно сделать, поскольку (п - q + 3) + (q - m) = п - m + 3 < п - m + [log p\+ 2 при p > 1, что, по условию, выполняется.

Потребуем выполнения условия q + 3 < п -

- q + 3 и приступим к размещению подсхем СФЭ Е . В кубе H1 размерности (п - q + 3) разместим подсхему Е0 так, как это сделано в лемме 2 - это можно сделать, поскольку для размещения подсхемы Е'0 без учёта входных

адресных переменных требуется куб размерности (q + 3) и q + 3 < п - q + 3. Указанные входы

разместим в параллельном подкубе G10 параллельно соответствующим элементам конъюнкции.

Далее, согласно замечанию 1, в кубе H1 можно выделить подкуб L1 размерности q, в котором окажутся размещены все входы подсхемы Е0, а также соседний с ним подкуб M1, не задействованный при вложении схемы. Выделим в кубах H 2,..., H2q-m подкубы размерности q , параллельные подкубам L1 и M1 и обозначим их L2,k,L24_m и M2,...,M2q-m соответственно.

В кубах M1,...,M2q_m параллельным образом (см. лемму 3) разместим вентильные звёзды Z1,...,Z24_m так, чтобы стоки звезды Z1 были

соседними с соответствующими им входами подсхемы Е0. Остальные входы Е0 продублируем в кубе L2 (соседнем с L1), соединив их рёбрами с исходными вершинами куба L1 . Это возможно сделать, поскольку соответствующие вершины будут соседними. Аналогичным образом разместим вентильные звёзды в кубах M2,...,M24_m , так же подключая требуемые

входы подсхемы Е0 и дублируя неподключённые входы в следующих подкубах L2,...,L24_m .

Таким образом, мы окончательно разместим подсхему Е0.

Далее, укажем вложение для подсхемы Е' . Для всех к е [1,2д-т ] разместим подсхему Ег- в кубе Qk так, чтобы выход Ек был размещён в вершину, соседнюю с истоком соответствующей вентильной звезды Хк в кубе Ек, и, соответственно, их можно было соединить ребром. Вложение схем осуществляется аналогично схеме Е0.

Перейдём к описанию подсхемы 5. Каждая из составляющих её подсхем 5к ст , к е [1,2д-т ],

- р ст т

ст е Б" д, реализует ФАЛ фк ст = V х 'к . 1 х'к ст.

г хк ,ст ' =1 '+т+2 1 }' к ,ст

Для построения Бк ст рассмотрим последовательность формул фкст1,...,фкстр, которую определим следующим рекуррентным соотношением:

фк,a,i = фк,a,i—1 v Х^+2*—1U ф = rai,k r%hk

фк,a,i X1+m+ 2s—1 '

• : є [2,P],

(3)

Ст' к = 0 разместим элемент отрицания. Аналогично, в вершине (011) при Т'кст = 0 разместим элемент отрицания для реализации подформулы х%.-к,ст . В вершине (010) разместим элемент

Ji,k ,ст

конъюнкции и подведём к его входам цепи, проходящие через вершины ((100), (110), (011)) и ((111), (011), (010)). Таким образом, в вершине (010) будет реализована подформула

x

:,к -V- :,к

i+m+2s 1 h ,к

1 x‘•к•". Для реализации оставшейся под-

Опишем размещение подсхем, реализующих подформулы фк ст i, в подкубе G001. Разобьём

этот подкуб на 2q-m подкубов W1,...,W m размерности (п - q + [log p\+ 3) так, чтобы для каждого подкуба Wk, к е [1,2q-m ], параллельный ему подкуб Wk в кубе G000 целиком содержал в себе подкубы Hk и Qk - это условие потребуется для последующего соединения общих с подсхемой Е0 входных переменных. Далее,

каждый подкуб Wk, k е [1,2q-m ], разобьём на 211-11 подкубов (Wka | сте Вп-q} размерности ([log p\+ 3). Наконец, в каждом подкубе WkCT выделим цепь из p подкубов Wkст1,...,Wkp

размерности 3 - нетрудно показать, что это всегда можно сделать.

Рассмотрим некоторый подкуб WkCTi размерности 3. Закодируем его вершины двоичными наборами длины 3: (000),(001),...,(111). В этом кубе размещается подсхема, реализующая формулу фk CTi из представления (3). Опишем её

размещение. Вершину (100) выделим под «вход» для переменной x m+2,-1 , а вершину (111) - для переменной XjkCT. Для реализации

подформулы XCTa s-1 в вершине (110) при

i+m+2

формулы фк>а, =фк>а,_! V х+кт+2^-1 х!**а при І * 1 поместим в вершину (000) элемент дизъюнкции, на один из входов которого подадим выход из конъюнкции в вершине (010), а на другой -выход аналогичного элемента в вершине (000) подкуба Wk ст І-1, где реализуется предыдущая подформула фк ст І-1. В случае І = 1 просто проведём цепь из вершины (000) подкуба ^к а 1 в вершину (000) подкуба ^ка2. Таким образом, мы указали размещение подсхемы Бко в кубе Wko для всех к є [1,29-т ] и стє Б"-4, а следовательно - и для всей подсхемы 5.

Для завершения построения квазигомео-морфного вложения схемы Е необходимо построить деревья, связывающие все вершины подсхем, являющиеся истоками для входных переменных. В самих подсхемах Е0 и Е1,к, Е2,-т указанные соединения уже построены, поэтому остаётся построить такие соединения между подсхемами. Для каждой переменной хт+2^_1+1,...,хт+2^-1+р из формулы (3)

выходы расположены в подкубах Wkai параллельным образом, поэтому их можно соединить цепью, проходящей через все подсхемы Бк ст.

Кроме того, для всех І, т + 26’-1 +1 < І <

< т + 2х-1 + р , достаточно провести соединение входа переменной х, + + 2,-1 в подсхеме Е0 со входом только одной из подсхем Бк ст, например - подсхемы 51,(0к0). Отобразим все р входов для переменных х + ^ в куб Єп, а затем

- в куб 010. В кубе Є10, по построению, содержатся входы для тех же р переменных из подсхемы Е0. Таким образом, в кубе 010 размещено 2р вершин, соответствующих входам пере-

менных X , 1 , к, x , 1 - по две вершины

m+2 Чі’ ’ m+2 1+p ^

на каждую пометку. Необходимо соединить цепью каждую пару вершин с одинаковой пометкой. Расстояние между вершинами в каждой такой паре не превышает размерности куба G10, равной (n -|_loglognJ+ 4), причём p < q <n -

-[loglognJ+ 4, поэтому несложно показать, что существует способ построить указанные цепи с длиной не больше, чем (n - |_loglog nJ+ 4). Следовательно, общее число вершин куба G10, занятых указанными соединениями, не превзойдёт p(n -|_loglognJ+ 4). Кроме того, из условия p < q < n -|_loglognJ + + 4 , очевидно, следует, что в кубе G001 найдётся подкуб G' размерности (n -|_loglognJ + 2), вершинні которого не участвуют в указанном соединении. Наконец, не ограничивая общности рассуждений, можно потребовать, чтобы вершины куба G10, соседние с истоками входных

переменных вида x}^: , jik ".є^ +1, m + 2s-1 ],

также не были заняты в указанных соединениях и попали в куб G'. Так мы построим соединения для входных переменных Xm2S—1+1,к,

x 1 .

m+2 + p

Перейдём к описанию соединений для группы переменных вида x]t , jik "є^ +1,

m + 2s-1 ]. Обозначим входы переменных x^,..., xm+2s—1 в подсхеме SQ, принадлежащие, по построению, кубу G10, через vm+1v..,vm+2s—1 .

Из построения также следует, что указанные вершины содержатся в кубе G'. Напомним, что при вложении подсхемы S в подкубах Wk a:

входы переменных указанной группы располагались в вершине с координатами (111). В кубе G10 указанные вершины, очевидно, образуют подкуб размерности (n -|_loglog nJ). Обозначим все аналогичные подкубы куба Gy, у є B2, образованные вершинами с координатами a = (a1, a2, a3 )є B3, через Tya . Входы подсхемы S для переменных из группы Xj t лежат в

подкубе T01111. Отобразим их параллельно в подкуб T11111, задавая там, таким образом, некото-

2S—1

цветов, соответствующих

указанным переменным. «Сведём» эту раскраску к специальной раскраске из леммы З в кубе

'V'001 г1 '7_,011 '7_,101

Tii через вспомогательные кубы 1и и 1п -мы можем это сделать согласно лемме 4. Из свойств специальной раскраски следует, что при достаточно больших значениях параметров n и s (с учетом их взаимных соотношений) мы

можем выделить в кубе Til01 подкуб размерности (2s-1 -1), специальным образом раскрашенный в 2s-1 цветов, такой, что в кубе G10 найдётся соседний с ним подкуб T' размерности (2s-1 -1), целиком лежащий в кубе G' и не содержащий вершин vm+b...,vm+2s—1. Соединение вершин куба T' с вершинами vm+b..., v „s—1 строится так же, как это было сделано

m+2

для переменных xm+ 2s—1 +1,., xm+2s—1 + p •

Построенное вложение СФЭ S для ФАЛ f, по определению, является квазигомеоморфным вложением в единичный куб размерности (n — _log log nJ + 6) .

Теорема доказана.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №12-01-00964а.

Примечания

1 Все понятия, которые используются в работе, но здесь не вводятся, строго определены, например, в [2].

2 Вершины a и р куба Bn называются соседними, если расстояние Хэмминга между ними равно 1.

3 Напомним, что длиной ДНФ называется количество её элементарных конъюнкций (слагаемых).

Список литературы

1. Ложкин С.А. О сложности реализации функций алгебры логики схемами и формулами, построенными из функциональных элементов с прямыми и итеративными входами // Труды III конференции «Дискретные модели в теории управляющих систем». М.: Диалог-МГУ, 1998. С. 72-73.

2. Ложкин С. А. Лекции по основам кибернетики. ВМиК МГУ, 2QQ4.

3. Седелев О.Б. О реализации функций алгебры логики BDD, вложенными в единичный куб // Вестник Московского университета, сер. ІЗ. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 4. С. 29-3З.

4. Седелев О.Б. Рализация функций алгебры логики схемами из функциональных элементов, вложенных в единичный куб // Вестник Московского университета, сер. ІЗ. Вычислительная математика и кибернетика. 2008. № 1. С. 44-З0.

IMPROVED UPPER BOUND ON THE COMPLEXITY OF REALIZING AN ARBITRARY BOOLEAN FUNCTION BY SCHEMES OF FUNCTIONAL ELEMENTS FROM THE STANDARD BASIS EMBEDDED INTO A UNIT CUBE

O.A. Sadovnikov

A model of schemes of functional elements from the standard basis embedded into an n-dimensional Boolean cube (hypercube) is considered. Quasihomeomorphic embedding is chosen to place the schemes into the hypercube. The behavior of the Shannon function is established for the unit cube dimension. The unit cube can be embedded by the scheme realizing an arbitrary Boolean function.

Keywords: schemes from functional elements, geometric realization, homeomorphic embedding, unit cube, Shannon function.