CC BY
36
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 156, кн. 3 Физико-математические науки
2014
УДК 519.714
О ДИНАМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ПОСТРОЕНИИ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО СЛОЖНОСТИ СХЕМ С ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТЬЮ
С.А. Ложкин, М.С. Шуплецов
Аннотация
Для схем из функциональных элементов введено понятие их динамической активности, которая дополняет исследованную ранее статическую активность, или мощность, и моделирует энергопотребление интегральных схем, связанное с возникающими в них переходными процессами.
Для динамической активности функций алгебры логики от n переменных при их реализации схемами из функциональных элементов получена линейная по n верхняя оценка функции Шеннона в произвольном конечном полном базисе. Кроме того, предложены методы синтеза, позволяющие строить для указанных функций такие схемы из функциональных элементов в стандартном базисе {&, V, -i} , сложность которых асимптотически не больше чем 2n/n, а динамическая и статическая активности имеют линейный относительно n порядок роста, причём их статическая активность удовлетворяет новым более точным оценкам.
Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, сложность, динамическая активность, статическая активность, функция Шеннона.
Введение
Оценка энергопотребления интегральных схем является одной из важных задач проектирования сверхбольших интегральных схем. В современных интегральных схемах, построенных на основе КМОП-технологий, выделяют как статическое энергопотребление, связанное с рассеянием тепла и поддержанием заданного потенциала в узлах схемы, подключенных к источнику питания, так и динамическое энергопотребление, возникающее при изменении потенциалов в узлах схемы.
Одной из основных моделей комбинационных интегральных схем, предназначенных для решения различных задач анализа и синтеза, в том числе для анализа энергопотребления, является модель схем из функциональных элементов (СФЭ). Первые подходы к анализу статического энергопотребления для СФЭ были предложены в [1]. Основные теоретические результаты в этом направлении были получены О.М. Касим-Заде в [2, 3]. В указанных работах исследовался функционал сложности СФЭ, характеризующий статическое энергопотребление, так называемая мощность СФЭ. При этом был установлен порядок роста соответствующей функции Шеннона в произвольном конечном полном базисе. Оказалось, в частности, что существуют базисы как с линейным, так и с экспоненциальным поведением указанной функции Шеннона. Кроме того, для «типичной» функции алгебры логики (ФАЛ) была показана возможность построения такой реализующей её СФЭ, сложность которой асимптотически оптимальна, а мощность оптимальна по порядку роста.
84
О ДИНАМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СФЭ
85
В свою очередь, различные подходы к оценке динамического энергопотребления схем на основе модели СФЭ были предложены в [7]. В [8] была изложена вероятностная модель для оценки среднего энергопотребления СФЭ. При этом исследования в области анализа динамического энергопотребления схем были направлены в основном на разработку эффективных алгоритмов расчёта и оценки динамического энергопотребления конкретных схем. Обзор указанных результатов можно найти в [9].
В настоящей работе введен функционал динамической активности СФЭ, который моделирует их динамическое энергопотребление. Установлен линейный порядок роста функции Шеннона для динамической активности СФЭ в произвольном полном конечном базисе. Доказано, что для произвольной ФАЛ от n переменных можно построить такую реализующую её СФЭ в стандартном базисе, сложность которой асимптотически не больше чем 2n/n, а её динамическая активность и мощность асимптотически не превосходят 5n и 3n соответственно. Заметим, что последняя оценка улучшает оценки мощности из работы [2].
1. Основные определения и формулировка полученных результатов1
Под сложностью L (У) СФЭ У будем, как обычно, понимать число её функциональных элементов (ФЭ). Пусть У - произвольная СФЭ в базисе B, имеющая n входов, которым сопоставлены булевы переменные (БП) набора (xi,... ,xn) = x и к = L (У), причём на выходе ФЭ с номером i в У реализуется ФАЛ ^i(x), i = = 1,...,к.
Для набора а = (ai,...,an) G Bn, где Bn - единичный n-мерный куб, и указанной выше СФЭ У величина
к
Е(У,а) = ^ П(а) (1)
i=1
называется статической активностью схемы У на наборе а. Данная величина характеризует число ФЭ СФЭ У, на выходах которых сформировалось значение 1 при подаче на входы схемы набора а. Статической активностью, или мощностью, Е(У) СФЭ У называется максимум величины Е(У,а), взятый по всем наборам а G Bn. Для произвольной ФАЛ f статической активностью E&(f) этой ФАЛ будем называть минимальную статическую активность СФЭ в базисе B, реализующих ФАЛ f.
Введём теперь понятие динамической активности рассматриваемой СФЭ У . Для произвольных наборов а и /3 из Bn - наборов значений переменных x, приписанных входам СФЭ У, - определим величину
к
Б(У,а,]3) = ^2(tfi(a) 0 <fiф)), (2)
i=1
которую назовем динамической (переключательной) активностью СФЭ У на паре наборов (а, 3). Заметим, что введенная величина характеризует число ФЭ СФЭ У , на выходах которых происходит изменение значения при смене набора значений на входах СФЭ с набора а на набор а или обратно. При этом динамической активностью S(У) СФЭ У назовем максимальное значение величины Б(У, а, а), взятое по всем парам наборов (а, а) из Bn х Bn. Для произвольной ФАЛ f её динамическую активность S&(f) определим как минимальную динамическую активность СФЭ в базисе B, реализующих ФАЛ f.
1 Понятия, которые в настоящей работе не определяются, можно найти, например, в [4, 5].
86
С.А. ЛОЖКИН, М.С. ШУПЛЕЦОВ
Пусть P2(n) - множество всех ФАЛ от n переменных xi,x2,... ,xn. Функцией Шеннона E&(n) (S&(n)) для статической (динамической) активности СФЭ в базисе В будем, как обычно, называть максимальное значение соответствующей активности среди всех ФАЛ f, f G P2 (n), то есть
Eb(I) = max E&(f), S&(n) = max Sb(D.
f eP2(n) f eP2(n)
Как уже отмечалось [1, 3], функция Шеннона E&(n) для различных конечных полных базисов может при n = 1, 2,... иметь разные, в том числе и экспоненциальные, порядки роста. В отличие от неё, функция Шеннона S&(n) в любом конечном полном базисе В имеет не более чем линейный относительно n, n =1, 2,..., порядок роста.
Теорема 1. Если В - конечный полный базис, то существует такая положительная константа с\, зависящая только от базиса В, что2
S&(n) ^ ci • n
при любом n = 1, 2,. ...
Напомним также, что в [2] была установлена возможность построения для произвольной ФАЛ f, f G P2 (n), такой реализующей её СФЭ Ef в стандартном базисе Во = {&, V, -}, для которой её сложность L(Ef) и статическая активность E(Ef) при n = 1, 2,... асимптотически не больше чем 2n/n и 4n соответственно. В настоящей работе указанный результат уточняется и дополняется следующим утверждением.
Теорема 2. Существует неотрицательная и стремящаяся к нулю последовательность действительных чисел е(1), е(2),.. . такая, что для любого n, n = = 1, 2,. .., любая, ФАЛ f, f G P2 (n), может быть реализована некоторой СФЭ Ef над базисом Во, удовлетворяющей неравенства,.м
2n
L(Ef) < (1 + e(n)) — , E(Ef) < (1 + e(n))3n, S(Ef) < (1 + e(n))5n. (3)
Из теоремы 2, в частности, вытекает неравенство ci ^ 5 для константы ci из теоремы 1 в случае базиса Во .
2. Верхние оценки функции Ш^еннона для динамической активности СФЭ в произвольном базисе
Для произвольной СФЭ E и некоторого её входа, определим операцию подстановки константы как замену символа переменной, приписанного данному входу, на константу 0 или 1. Схему, получающуюся из СФЭ E в результате конечного числа операций подстановки констант, будем называть СФЭ с константными входами. При этом вход СФЭ E будем называть константным, если ему приписана константа 0 или 1 , и неконстантным - иначе.
Лемма 1. Пусть В - произвольный конечный полный ба,зис и E - СФЭ с константными входами в базисе В, реализующая функцию f. Тогда существует СФЭ E' в базисе В, реализующая функцию f, така,я, что множество входов СФЭ E' совпадает с множеством неконстантных входов СФЭ E и выполняется следующее нера,венство:
S (E') < S (E) + С2. (4)
2 Буквой c с различными индексами обозначаются константы, зависящие только от базиса.
О ДИНАМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СФЭ
87
Доказательство. Из полноты базиса B следует, что в нём можно построить схемы So и Si, реализующие ФАЛ 0 и 1 соответственно.
Пусть Xo (Xi) - множество всех входов СФЭ S с константными входами, которым была приписана константа 0 (соответственно 1). Построим схему S' следующим образом:
1) отождествим входы схем So и Si с некоторыми входами схемы S, которым не были приписаны константы;
2) каждый вход из множества Xo (из множества Xi) присоединим к выходу указанной схемы So (соответственно Si), удаляя при этом пометку константы, приписанной данному входу.
Нетрудно видеть, что результирующая СФЭ S' эквивалентна СФЭ S, то есть реализует ФАЛ f, и не содержит константных входов, а множество её неконстантных входов совпадает с множеством неконстантных входов СФЭ S.
Далее, рассмотрим два произвольных набора а и 3 значений входных переменных схемы S'. Так как на любом наборе значений входных переменных схемы S' на выходах её подсхем So и Si реализуются константы 0 и 1 соответственно, то выполняются следующие неравенства:
S (s', а, 3 = S (s, а, 3 + S ^So, а, 3^ + S ^Si, а, 3 3
< S (S) + S (So) + S (Si) < S (S) + C2. (5)
Из неравенств (5) следует неравенство (4).
Лемма доказана. □
Пусть сT = {(xI1 V x%2 )аз |(<гь 02, 03) е B3}, T& = {xi-Х2, xi-Х2, xi-X2, xi^x^} и Tv = T \ T& . Произвольный конечный полный базис B назовем конъюнктивным (дизьюнктивным), если при помощи операции подстановки булевых констант из ФЭ этого базиса можно получить ФЭ, реализующий некоторую функцию из множества T& (из множества Tv). Отметим, что из леммы о нелинейной функции [6] следует, что любой конечный полный базис является конъюнктивным или дизъюнктивным (при этом не исключается возможность, что базис может одновременно быть как конъюнктивным, так и дизъюнктивным).
Лемма 2. В произвольном конечном полном конъюнктивном базисе B существует СФЭ S& с константными входами, реализующая функцию xi ■ x2 и такая, что S (S&) ^ 2, причём для некоторого набора 3 из B2, где ||3\\ = 1,
3
выполняется равенство
S (s&,о2, 3 =0. (6)
Доказательство. Так как базис B является полным, то по лемме о немонотонной функции [6] из ФЭ указанного базиса при помощи операции подстановки констант и отождествления переменных можно получить СФЭ S^ с константными входами, реализующую ФАЛ x. Из конъюнктивности базиса B следует, что из его ФЭ при помощи операции подстановки констант можно получить ФЭ E, который реализует ФАЛ f (xi, x2) е T& .
Пусть f (xi, x2) = xi ■ x2. Тогда СФЭ S& с константными входами положим равной ФЭ E. Если f (xi, x2) = xi"rx2, то СФЭ S& с константными входами получается в результате присоединения входа переменой x схемы S^ к выходу ФЭ E. Нетрудно видеть, что в обоих случаях при любом наборе 3, | 3| = 1 , значение на выходе ФЭ E будет равно 0 при подаче на вход схемы S& любого из наборов
3 Для набора а, а = (ai,...,an) Е Bn, через ||й|| обозначается его «вес», то есть число
+ ••• + ап .
88
С.А. ЛОЖКИН, М.С. ШУПЛЕЦОВ
О2 и в, то есть равенство (6) в случаях f (xi, Х2) = x\ • Х2 и f (xi, X2) = x\ • X2
выполняется.
Рассмотрим, далее, случай, когда f (xi, x2) = xi • x2. Тогда искомая СФЭ S& с константными входами получается в результате присоединения выхода схемы S-, к входу переменной xi ФЭ E, а соответствующий ей набор 3 равен (О, 1). Действительно, при подаче наборов О2 и 3 на входы схемы S& значение на входе её подсхемы £_, будет равно О и, следовательно, активность этой подсхемы тоже будет равна нулю. При этом значение на входе переменной xi ФЭ E в указанных случаях будет равно 1. Таким образом, активность ФЭ E в данном случае тоже будет равна нулю. Случай, когда f (xi, x2) = xi • x2, рассматривается аналогично. При этом набор 3 нужно будет положить равным (1, О).
Остаётся отметить, что во всех рассмотренных случаях СФЭ S& с константными входами содержит не более двух ФЭ базиса B, откуда следует, что S (S&) 3 2.
Лемма доказана. □
Заметим, что в ряде случаев, рассмотренных в доказательстве леммы 2, только один из входов схемы S& при подаче на него нулевого значения обладает требуемым свойством отсутствия активности в схеме S& при изменении значения на другом входе данной схемы. В связи с этим вход xi, i = 1, 2, схемы S& будем называть выделенным, если в условиях леммы 2 указанный в ней набор 3 = (3i, З2), ||3|| = 1, таков, что 3i = О. При этом из леммы 2 следует, что в схеме S& существует хотя бы один выделенный вход (не исключается возможность того, что оба входа указанной схемы являются выделенными).
Для произвольного набора <3 = (ai,..., an) G Bn обозначим через Ka (xi,..., xn) элементарную конъюнкцию x^1 •..., •x'O™ от переменных xi,... ,xn . Систему ФАЛ Q n, состоящую из всех упорядоченных в соответствии с лексикографическим порядком наборов их степеней элементарных конъюнкций вида Ka, a G Bn, от переменных xi,... ,xn будем, как обычно, называть дешифратором порядка n.
Лемма 3. В произвольном конечном полном конъюнктивном базисе B существует СФЭ , реализующая дешифратор Q n порядка n, такая, что
S (S&)) 3 С3 • n, (7)
где сз 3 С2 +9.
Доказательство. Так как базис B является полным, то в нём существует СФЭ £_,, состоящая из одного ФЭ базиса Bи реализующая ФАЛ x (см. доказательство леммы 2). Нетрудно видеть, что указанная схема реализует дешифратор
Q i = {xi, xi}, откуда следует, что S 3 С3, то есть для n =1 утверждение
леммы верно.
По лемме 2 в базисе B существует СФЭ S& c константными входами, реализующая ФАЛ xi • x2 . При этом найдётся такой набор 3 = (3i, З2), I/3! = 1, значений входных переменных схемы S& , что S(S&, О2, 3) = О. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что переменная xi схемы S& является выделенной, и, следовательно, набор 3 можно положить равным (О, 1).
Предположим, что неравенство (7) верно для всех n, не превосходящих некоторое к, к 3 1, и докажем, что оно верно для n = к +1. По предположению индукции в базисе B существует СФЭ £к&), реализующая дешифратор Q к, для которой выполняется неравенство (7). При этом будем считать, что входам схемы £к&) сопоставлены БП xi,... ,xk, а через y = (yi,..., ^) обозначены выходы указанной схемы. Тогда искомую СФЭ Sk+i построим следующим образом:
О ДИНАМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СФЭ
89
1) объединим схему Xk&) со схемой X—, входу которой приписана переменная
Xk + 1 ;
2) к каждому выходу y, i G [1, 2k], подсхемы Xk&) присоединим вход выделенной переменной двух копий схемы X& , второй вход которых подсоединим к входу Xk+i и к выходу схемы X— соответственно;
3) выходы всех 2k+1 копий схемы X& объявим выходами схемы ;
4) удалим все константные входы согласно процедуре, описанной в доказательстве леммы 1.
Заметим, что построенная таким образом схема xk+1 реализует дешифратор Q k+i. Оценим динамическую активность указанной схемы.
Пусть а и 3 - два произвольных набора значений входных переменных схемы Xk+i. Так как подсхема Xk&) реализует дешифратор Q k , то на любом наборе значений входных переменных только один выход i G [1, y2fc], принимает значение 1, а значения всех остальных выходов равны 0. Следовательно, при подаче на входы схемы различных наборов а и 3 не более двух выходов подсхемы Xk&) могут иметь разные значения, а значения всех остальных выходов указанной подсхемы будут равны 0 .
Рассмотрим активность подсхем X& схемы Xk+i на паре наборов а и /. Нетрудно видеть, что подсхема Х& будет неактивна на указанной паре наборов, если ее выделенный вход подключен к выходу схемы Xk , на котором значение 0 имеется на любом наборе данной пары. Таким образом, только 4 из 2k+1 копий схем Х& могут быть активны в рассматриваемом случае. Следовательно, активность схемы Xk'+i можно оценить следующим образом:
S (X{k%a,3) 3 S (Xk&)) + 4S (Х&) + S (Х-) + С2 3 сз(п - 1) + С2 +9 3 С3 • п. (8)
Лемма доказана. □
Следствие 1. В базисе Во существует СФЭ Xi&), реализующая дешифратор Q n порядка п, такая, что
L(X(n&)) = 2n+1 + п - 4, E(ХП&)) =2п - 1, S(Xn&)) = 3п - 2.
Обозначим через Dn монотонную элементарную дизъюнкцию X1 V ... V xn .
Лемма 4. В произвольном конечном полном конъюнктивном базисе В существует СФЭ xnv), реализующая ФАЛ Dn, такая что для любых наборов а, ||а|| 3 1, и 3, II/3У 3 1, выполняется неравенство
S (Xv,3,3^ 3 С4 •[log п] . (9)
Доказательство. Нетрудно видеть, что при п =1 СФЭ X1v), состоящая из изолированного полюса переменной X1, реализует ФАЛ D1 = X1 и для указанной схемы выполняется неравенство (9). Рассмотрим случай п = 2. Из полноты базиса В следует, что в нем существует СФЭ x2V), реализующая ФАЛ D2 = = X1 V X2 . Нетрудно видеть, что неравенство (9) для схемы X2V) выполняется при С4 > S (X2V)) .
В случае п > 2 построим из схемы X2V) схему XnV) так, чтобы структурно она представляла собой полное [log п] -ярусное двоичное корневое дерево с 2 Tlog n
90
С.А. ЛОЖКИН, М.С. ШУПЛЕЦОВ
листьями, соответствующими входам схемы, в котором все нелистовые вершины являются схемами e2V), а корень связан с выходом схемы еП'. При этом еП' = = ЕП , если n - степень двойки, а в случае, когда число листовых вершин строго больше чем n, схема еП' получается из построенной схемы ЕП') с нулевыми последними 2^°®п — n входами по лемме 1.
Нетрудно видеть, что схема еП) реализует ФАЛ Dn . Зафиксируем произвольные наборы а, ||а|| ^ 1, и /3, 11(31 ^ 1, и пусть I, I С [1, n] и \I\ ^ 2, - множество номеров тех и только тех переменных xi,..., xn, значения которых в наборах 5 и / различны. Заметим, что при переходе от 5 к (3 в схеме еП) изменяются значения на выходах тех и только тех схем Е2 , которые лежат на одной из цепей,
соединяющей вход x^, i G I, с выходом схемы еП'). Следовательно, активность схемы еП') на наборах 5 и [3 можно оценить следующим образом:
S (еП) 5, 3 < 2S (е') ■ [logn\ + С2 < С4 ■ [logn\ .
Лемма доказана. □
Следствие 2. В базисе Bo существует СФЭ ЕП), реализующая диъюнк-цию Dn, такая, что
1) L((П)) = n — 1;
2а) Е(ЕП), 0п) = 0;
2б) если 5 G Вп и ||5|| = 1, то Е(еП), 5) = S(En), 0,5) ^ [logn\(
3) если 5 G Вп, [ G Вп, 5 = (3 и ||5|| = ||в|| = 1, то S(En), 5, [) ^ 2([log— 1).
Напомним [6], что ФАЛ f *(xi,..., xn) = f (xi,..., xn) называется двойственной к ФАЛ f (xi,..., xn). Базис B*, который получается из базиса B заменой всех ФЭ указанного базиса на двойственные ФЭ, то есть ФЭ, реализующие двойственные функции, будем называть двойственным к базису B. Для произвольной СФЭ Е в базисе B СФЭ Е* в базисе B*, которая получается из схемы Е заменой всех её ФЭ на двойственные им элементы базиса B* , будем называть двойственной к СФЭ Е.
Из принципа двойственности, а также из определений конъюнктивного и дизъюнктивного базисов следует, что базис B* , двойственный к конъюнктивному (дизъюнктивному) базису B, будет дизъюнктивным (конъюнктивным). Кроме того, для произвольной СФЭ Е в базисе B, двойственной ей схемы Е* в базисе B* и двух произвольных наборов 5 и /3 значений входных переменных этих схем выполняется следующее равенство:
S (Е,5,/3) = S (Е*,а,/) . (10)
Доказательство теоремы 1. Рассмотрим, сначала, случай, когда B - конечный полный конъюнктивный базис. Пусть еП&) - СФЭ, построенная по лемме 3 и реализующая дешифратор Qп, а e2V) - СФЭ, построенная по лемме 4 и реализующая ФАЛ D2n . Возьмём произвольную ФАЛ f, f G P2(n), и построим схему Ef в базисе B, которая реализует ФАЛ f и представляет собой суперпозицию схем еП&) и E2V, моделирующую совершенную дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) этой ФАЛ. Из лемм 3 и 4 следует, что динамическую активность S (Ef) схемы Ef можно оценить следующим образом:
S (Ef) < S (еП&)) + S (e2V)) < сз ■ n + C4 [log 2n\ < ci ■ n.
О ДИНАМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СФЭ
91
Случай дизъюнктивного базиса В сводится к рассмотренному случаю путём перехода к двойственному конъюнктивному базису В* и использованию равенства (10).
Теорема доказана. □
3. Построение асимптотически оптимальных по сложности схем с линейной динамической активностью в стандартном базисе
Дополним следствия 1 и 2 из лемм 3 и 4 соответственно построением еще одной специальной СФЭ в базисе Во и оценками некоторых её параметров.
Лемма 5. (ср. [2]) В базисе Во для любых натуральных чисел d и t таких, что 0 ^ d ^ [logt\, существует СФЭ T(d&t’v), реализующая ФАЛ (yV • Vyt)yt+1, для которой:
1) L (Т& v)) < t + t • 2-d;
2а) E (Т(&4’v), l#,*)) = S
T
( & ’ v)
d’t ,
0(t+1), (V, 1
0, где * € B;
2б) если * € B, at € B*, /З* € B* и ||а^| = ||/?*Ц = 1, то
E (Ч&[v), a, 0)) = S (z(£ v), (&, 0) , 0(t+1)) < d:
S (Tf,v), {at, 0) , №, 0)) < 2d;
e (Tft v), (a.t, 1)) = S (Tft v), (at, 1), (V, *)) < [log11 +1, S (rd&t’v), (&, 1) , (в, *)) < (1 + *) [logt1 + (1 - *)(d + 1).
Доказательство. Искомая СФЭ структурно моделирует формулу
(У1 V • • • V y2d) • yt+1 V (y2d+i У •••У y2d+i) • yt+1 V ... V (yt+i У •••У yt) • yt+1,
где t = 2d([t/2d1 — 1), реализуя входящие в неё дизъюнкции БП y 1,... ,yt с помощью ([t/2d1 — 1) схем T2v) и одной схемы T(vl , конъюнктируя выходы этих схем с БП yt+1 с помощью [t/2d1 ФЭ &, а затем дизъюнктируя выходы указанных ФЭ & с помощью одной схемы Т^,^ .
Заметим, что при этом
L (г
(&’ v)
d’ t
t
2
1) + (i — 1) + 2
t
2
1
t
t +
2d
— 1 < t +1 • 2-d,
то есть первое неравенство леммы выполняется.
Для доказательств а остальных её соотношений достаточно рассмотреть все указанные в них случаи, в каждом из которых в построенной схеме возникает не более двух цепей из «активных» ФЭ длины d или [log11 + 1, причём цепи длины [logt] + 1 обязательно проходят через выходной ФЭ.
Лемма доказана. □
Вход yt+1 построенной схемы Т^&’v) будем в дальнейшем называть её выделенным входом.
Описанные в следствиях 1 и 2 из лемм 3 и 4 соответственно, а также в лемме 5 СФЭ над базисом Во будем использовать в качестве подсхемы СФЭ Tf , указанной в теореме 2. В связи с этим сделаем несколько замечаний, касающихся «учёта» того «вклада», который вносят в динамическую и статическую активность СФЭ её подсхемы.
92
С.А. ЛОЖКИН, М.С. ШУПЛЕЦОВ
Пусть £ - СФЭ от БП x = (xi,..., xn), £' - её подсхема, а V' - множество тех ФЭ СФЭ £, которые принадлежат £'. Для наборов а, /3 из Bn ту часть сумм (1) и (2), которая связана с вершинами из V', будем обозначать через E 33)
и S (х\Х', a, , а максимальные значения по всем 33, 3 из Bn этих величин -через E (Х^) и S (£\£') соответственно.
Заметим, что если множества ФЭ подсхем Xi,..., £к СФЭ £ от БП x = = (xi,..., xn) образуют разбиение множества ФЭ схемы £, то
к к
E (£,й) = ^2 E (£\£j, а), S (х, а, 3 = ^ S (££ 5, 3
i=1 i=1
для любых а € Bn, 3 € Bn. Из данных равенств следует, что при этом
кк
e (£) 3J2 e (£\£'), s (£) 3J2 s (£\£').
i=1 i=1
Заметим также, что если подсхема £' - входная подсхема СФЭ £, то есть все входы £' являются входами £, то
E = E (£'), S (^) = S (£').
Доказательство теоремы 2. Применяемый здесь метод синтеза существенно опирается на асимптотически оптимальный метод синтеза О.Б. Лупанова (см., например, [4, 5]), а также на конструкцию работы [2].
Возьмём произвольную ФАЛ f (xi,... ,xn) и разобъем набор 3 = (xi,... ,xn) её БП на поднаборы 3' = (xi,... ,xq), 3'' = (xq+i,... ,xn), где натуральный параметр q удовлетворяет неравенству q < n. Выберем также натуральный параметр s, s 3 2q, и положим p = |"2q/s\ .
Рассмотрим разбиение Д' = (Si,..., S'pi куба Bq от БП 3' на p последовательных лексикографических отрезков, каждый из которых, за исключением, возможно, последнего, имеет длину (мощность) s. При этом длина s' отрезка S'p будет, очевидно, удовлетворять неравенству s' 3 s. Обозначим через xi (3'), i € [1, p], характеристическую ФАЛ компоненты Si' .
Для каждого i, i € [1, p], рассмотрим, далее, разбиение куба Bn-q от БП 3'' на классы эквивалентности по отношению, согласно которому наборы 3'' и 3'' из Bn-q считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда ФАЛ f (x', а'') и f (x', Y'') совпадают на S'. Выберем натуральный параметр t, t 3 2s, и построим подразбиение Д'' = (S'1,..., S' ) указанного разбиения такое, что для всех j, j € [1, ri] выполняются неравенства
ti,j
Kj \ 31
ri 3 r = 2s +
2n-q
t
и
(11)
Заметим, что при этом
Vi
2n-q = Y. ti,j 3 t • r, (12)
j=i
и определим ФАЛ f'j (33'), где i € [1, p] и j € [1, ri], как характеристическую ФАЛ компоненты Si,j разбиения Д'.
Для каждого i, i € [1, p], и каждого j, j € [1, ri], обозначим через fi}j (3) ФАЛ, которая совпадает с f на множестве Si х Si' j и равна 0 вне его. При этом,
О ДИНАМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СФЭ
93
очевидно, ФАЛ f может быть представлена в виде
f (x)
V V fi,j (x),
i=l j=l
(13)
а каждая ФАЛ fi}j (x) представима в виде конъюнкций
fi,j (x) = fi,j (х)
f"j (x")
fi,j (x' ) • (Xi(x0 • fi, j (x"))
(14)
где ФАЛ fi}j (x') при любых i, 1 ^ i ^ p, и j, 1 ^ j ^ ri, совпадает на компоненте Si разбиения Д' с ФАЛ f (X' ,ст") при любом d", a" G Sij, и равна 0 вне этой компоненты. Из (13) и (14) следует, что
f (С, x")
v Ч fi,j (С) X (С) • п:j (г")) •
i=l j=l
(15)
Искомая СФЭ Sf, удовлетворяющая условиям теоремы 2, строится на основе представления (15). Она состоит из нескольких подсхем, для каждой из которых мы ниже опишем её структуру и функционирование, оценим значения параметров и укажем способ соединения с другими подсхемами.
В соответствии со следствием 1 из леммы 3 построим сначала подсхемы S' и S'' вида S' = Sg&) и S:: = от БП x' и x::, которые реализуют дешифраторы
Q ' (x') и Q (x::) соответственно. При этом в силу приведённых в указанном
следствии оценок будут выполняться неравенства
L (S') < 2q+i + q - 4, L (S'') < 2!-q+i + (n - q) - 4, (16)
E (S') < 2q, E (S'') < 2(n - q), (17)
S (S') < 3q - 2, S (S'') < 3(n - q) - 2, (18)
Теперь построим подсхему S' от БП x', которая содержит СФЭ S' в качестве подсхемы и реализует на своём выходе с номером i, i G [1, p], характеристическую ФАЛ xi (x') на основе её совершенной ДНФ, а на выходе с номером (р +1) -константу 0. При этом для реализации каждой из ФАЛ xi (x'), i G [1, p], используется одна построенная согласно следствию 2 из леммы 4 СФЭ вида sSV), если i < р, и вида S(V•*, если i = р, входы которой присоединены к выходам СФЭ S' соответствующим образом, а константа 0 реализуется формулой xi • Xi.
Заметим, что в силу ортогональности ФАЛ дешифратора Q q (x') и характеристических ФАЛ компонент разбиения Д' из следствия 2 леммы 4 вытекает, что
L S' < L (S')+ р • s,
(19)
E[S') < E (S')+ (log s) , (20)
S(S') < S (S') + 2 (log s) , (21)
Искомая СФЭ Sf строится в соответствии с (13)—(15) следующим образом:
1) реализуем сначала ФАЛ fitj = xi (x') • f'j (x'') на выходе подсхемы S^ j вида S V) из леммы 5 (значение параметра d будет выбрано позже), выделенный
вход которой присоединён к выходу подсхемы S' с номером i, первые titj, ti,j ^ t, входов этой схемы — к тем выходам подсхемы S '', на которых реализуются t^ j
94
С.А. ЛОЖКИН, М.С. ШУПЛЕЦОВ
элементарных конъюкций от БП X", являющихся слагаемыми совершенной ДНФ ФАЛ f/j , а её остальные входы - к последнему выходу схемы £/;
2) реализуем, далее, ФАЛ fi}j в соответствии с (14) на выходе подсхемы £i,j вида £0j, где mi,j, mi,j ^ s, - число единичных наборов ФАЛ f/ j (x/), присоединением выделенного входа данной схемы к выходу подсхемы £i,j, а mi,j её невыделенных входов - к тем выходам подсхемы £/, на которых реализуются mi,j элементарных конъюнкций от БП х/, являющиеся слагаемыми совершенной ДНФ ФАЛ fi,j (х/);
3) реализуем, наконец, ФАЛ f в соответствии с (13) путём присоединения R входов подсхемы £ вида £(/), где
p
R = ^000 ri ^ p • Г, (22)
i=1
к выходам подсхем £i,j для всех i, i G [1, p] и j, j G [1, ri].
Определим подсхемы £ и £ СФЭ £f как объединение по всем i, i G [1, p], и j, j G [1, r^, подсхем £i,j и £i,j соответственно. При этом для сложности схем
£, £ и £ с учётом оценок следствия 2 из леммы 4 и леммы 5, а также (22) будут выполняться неравенства
L Г£^ ^ p • r • t (1 + 2-d) , L ( £) ^ p • r • 2s, L (£ J ^ p • r. (23)
Заметим, что на любом наборе значений БП X на входы подсхемы £ СФЭ £ поступает набор с весом, не большим единицы, и поэтому в силу следствия 2 из леммы 4
E (£f | £) < (log R-\ , £f | £) < 2 (log R) . (24)
Для оценки «вклада» подсхем £ и £ в статическую активность СФЭ £f возьмём произвольный набор а = (а/, а"), где а! и а" - наборы значений БП Х/ и X" соответственно, и пусть а/ G Si, а" G 5/ j .
Заметим, что на наборе а на выделенный вход любой подсхемы £ а ь, где (a, b) = (i, j), поступают 0, и, следовательно, в силу особенностей её структуры (см. лемму 5)
E (£f I £ а, ь, а) = fa, ь (а) = 0.
Из полученных равенств с учётом того, что на невыделенные входы подсхемы i, j на наборе а поступает набор с весом не больше единицы, и оценок леммы 5 вытекают соотношения
E (£f I£, х) = E (£f I £i,j, а) < (log s) + 1, из которых в силу произвольности а следует, что
E (£f | £) < (log s) + 1. (25)
Для указанного выше набора а = (а/, а") оценим теперь величину E ^£f |£, .
Заметим, что на наборе ах при любом a, a G [1, p], только одна из схем £a, ь, где b G [1, ra], получает на своих невыделенных входах набор с весом 1, в то время
О ДИНАМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СФЭ
95
как остальные схемы указанного вида имеют на своих невыделенных входах нулевой набор. При этом значение 1 появляется на выделенном входе и одновременно на выходе только одной из р отмеченных схем - схемы E^j. Следовательно, согласно лемме 5 выполняется неравенство
E (Ef |E, 3 (р — 1) d + [log t\ + 1,
из которого в силу произвольности выбора набора а вытекает оценка
E (r,f |^ 3 (р — 1) d + [log t\ +1. (26)
Аналогичным образом оценим «вклад» подсхем E и S в динамическую активность СФЭ Ef на произвольной паре наборов (^а, 3^ значений БП x, где а = (а/, а"),
/3 = (/', £") и S' е Si, ,(3' е S'k, 5" е S"j, (3" е 5k l для некоторых i, k е [1, р],
j е [1, Ti], l е [1, rk]. Для этого оценим соответствующий «вклад» подсхем вида E а,ъ и Еа,ь, где а е [1, р], b е [1, ra], используя отмеченные выше особенности их функционирования.
Из данных особенностей, в частности, следует, что S ^Ef |E а,ь, а, 5^ =0 только тогда, когда (a, b) е {(i, j), (k, l)}. Поэтому с учётом оценок леммы 5 будут выполняться соотношения
S (Ef |E, а, 3 3 S (Ef |Ei,j, а, 3 + S (Ef |EM, а, 3 3 2 [logs\ + 2, если i = k или i = k , но j = l , и соотношения
S (Ef | E, а, 3 3 S (Ef | Ei,j, а, 3 3 2 [log s\ , если (i, j) = (k, l). Из полученных соотношений вытекает неравенство
S (Ef | E, а,Щ 3 2 [log s\ + 2,
которое в силу произвольности выбора а и 5 даёт первую искомую оценку
S (Ef | E) 3 2 [log s\ +2. (27)
Для получения оценки величины S ^Ef |Е, а, 3^ заметим, что в случае i = k
при любом а, а е [1, р], среди схем Еа, 1,..., Еа,Га только те, не более чем две, схемы Еа, ъ, для которых либо 73" е S1' ь, либо 0" е S1' ь, имеют ненулевую активность S ^Ef |Еа, ь, а, 3^ , не превосходящую согласно лемме 5 величины 2d, если
а е {i, k}, и величины d + [log t\ + 1, если а е {i, k}. Из данных соотношений аналогично тому, как это было сделано для схемы , выводится оценка
S ^Ef |Е^ 3 (р — 2) 2d + 2 (d + [log t \ + 1) . (28)
В случае i = k и j = l аналогичным образом доказывается неравенство
S (Ef |Е^ 3 (р — 1) 2d + [logt\ + 1,
(29)
96
С.А. ЛОЖКИН, М.С. ШУПЛЕЦОВ
а в случае i = к, j = l — неравенство
S ^Sf |sj < (p — 1) 2d + 2 [logt\ . (30)
Из (28)-(30) следует вторая искомая оценка вида
S (Sf |sj < 2pd + 2 [log t\ . (31)
Суммируя все установленные выше оценки (16)—(21), (23)-(27) и (31) для сложности, статической и динамической активностей подсхем СФЭ Sf, получим неравенства
L (Sf) < 2q+1 + 2n-q+1 + n + ps + pr(t (1 + 2-d) + 2s + 1) ,
E (Sf) < 2n + 2 [log s\ + [log R\ + (p — 1)d + [logt\ + 2,
S (Sf) < 3n + 4 [log s\ +2 [log R\ + 2pd + 2 [log t\ + 2,
из которых требуемые асимптотические оценки теоремы 2 получаются при следующих значениях параметров:
q = [log 2 (log n — log log n)\ , d = [log n \ , t = n2, s = [log n — 5 log n\ . Теорема доказана. □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-00694-a).
Summary
S.A. Lozhkin, M.S. Shupletsov. Switching Activity of Boolean Circuits and Synthesis of Boolean Circuits with Asymptotically Optimal Complexity and Linear Switching Activity.
The notion of switching activity is introduced for Boolean functions. It complements the previously studied static Activity, and models the power consumption associated with signal transition processes in integrated circuits.
An upper bound linear in n for the Shannon function is obtained for the switching activity of Boolean functions of n variables implemented by Boolean circuits in an arbitrary finite complete basis. Furthermore, methods for the synthesis of Boolean circuits are introduced, which make it possible to build Boolean circuits for arbitrary Boolean functions of n variables with an asymptotically optimal complexity of 2n /n, the dynamic and static activities linear with respect to n, and the static activity meeting new, more accurate estimates.
Keywords: Boolean circuits, complexity, switching activity, static activity, Shannon function.
Литература
1. Вайнцвайг М.Н. О мощности схем из функциональных элементов // Докл. АН СССР. - 1961. - Т. 139, № 2. - С. 320-323.
2. Касим-Заде О.М. Об одновременной минимизации сложности и мощности схем из функциональных элементов // Проблемы кибернетики. - М.: Наука, 1978. -Вып. 33. - С. 215-220.
3. Касим-Заде О.М. Об одной мере сложности схем из функциональных элементов // Проблемы кибернетики. - М.: Наука, 1981. - Вып. 38. - С. 117-179.
4. Ложкин С.А. Лекции по основам кибернетики. - М.: Изд. отдел фак. ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова, 2004. - 256 с.
О ДИНАМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СФЭ
97
5. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 136 с.
6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.: Наука, 1979. - 384 с.
7. Devadas S., Keutzer K., White J. Estimation of power dissipation in CMOS combinational circuits // Proc. Custom Integrated Circuits Conf. - 1990. - P. 19.7.1-19.7.6.
8. Ghosh A., Devadas S., Keutzer K., White J. Estimation of average switching activity in combinational and sequential circuits // Proc. 29th Design Automation Conf. - 1992. -P. 253-259.
9. Najm F. A survey of power estimation techniques in VLSI circuits (Invited paper) // IEEE Trans VLSI Syst. - 1994. - V. 2, No 4. - P. 446-455.
Поступила в редакцию
18.08.14
Ложкин Сергей Андреевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической кибернетики, заместитель декана по научной работе, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва, Россия.
E-mail: [email protected]
Шуплецов Михаил Сергеевич - кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры математической кибернетики, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва, Россия.
E-mail: [email protected]
