CC BY
11
УДК 519.714
С. А. Ложкин, Б. Р. Данилов2
О ЗАДЕРЖКЕ СХЕМ В МОДЕЛИ, УЧИТЫВАЮЩЕЙ ЗНАЧЕНИЯ НА ВХОДАХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ*
В работе изучается модель задержки схем из функциональных элементов в произвольном конечном полном базисе Б, в которой задержки базисных элементов задаются произвольными положительными действительными числами для каждого входа и каждого входного набора переменных, поступающих на остальные входы. В рассматриваемой модели для задержки мультиплексорной функции порядка п получены асимптотические оценки вида ten±0(logn), где те — константа, зависящая только от базиса Б. На основе этих оценок в рамках данной модели установлены асимптотические оценки вида теп ± O(logn) для соответствующей функции Шеннона, т. е. для задержки самой "плохой" функции алгебры логики, зависящей от заданных п переменных.
Ключевые слова: задержка, глубина, схемы из функциональных элементов, мультиплек-сорная функция.
1. Введение. Рассматриваются формулы и схемы из функциональных элементов (СФЭ) над произвольным конечным полным базисом Б, Б = {£i,£2, ■ ■ ■, £ь}, где функциональный элемент (ФЭ) 1 ^ % ^ Ь, имеет ki, ki ^ 1, входов и реализует функцию алгебры логики (ФАЛ) <pi(xi,..., ж^), которая в случае ki ^ 2 существенно зависит от всех своих булевых переменных (БП). При этом, как обычно,
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: lozhkinQcs.msu.su
2 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: brdanilovQgmail.com
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-00964-а).
13 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
формулами считаются те одновыходные СФЭ, в которых выход любого ФЭ либо поступает на вход ровно одного (другого) ФЭ, либо является выходом схемы.
Рассмотрим модель M задержки СФЭ над Б, введенную в [1], и обобщающую модель, рассмотренную в [2]. Будем называть модель M основной и будем связывать с ней модель М' для задержки СФЭ над Б типа [2], которую будем считать дополнительной моделью к М. В основной модели для каждого ФЭ Si, 1 ^ г ^ Ь, при любом j, 1 ^ j ^ кг, и произвольном булевом наборе a, a G Bki_1 (для натурального п через И" обозначена n-кратная декартова степень множества В, В = {0,1}),
а = (ai,..., Oj-i, Oj+i,...,aki),
таком, что ФАЛ (pi(a i,... ,aj-i,xj, oy+i, • • •, а*-) отлична от константы, определена положительная задержка Т^ ФЭ Si по входу Xj на наборе а. При этом наименьшую из задержек Т^ по всевозможным указанным наборам а будем трактовать как задержку ФЭ Si по входу Xj в дополнительной модели М'.
Дадим определение задержки произвольной СФЭ в модели Л /. которое обобщает определение задержки СФЭ в дополнительной модели М' [2]. Будем называть цепью длины d, d ^ 0, такую СФЭ, которая составлена из d последовательно соединенных ФЭ. Цепь с выделенным входом ее первого ФЭ назовем инициальной цепью. Пусть инициальная цепь ш СФЭ S, состоит из последовательно соединенных ФЭ ... ,Sid и пусть a, a G И". — набор значений входных БП х = (xi,... ,хп) СФЭ S. Тогда задержкой инициальной цепи ш на наборе значений а входных БП СФЭ S назовем сум-
му задержек ФЭ Si1 по выделенному входу и ФЭ ¿-¿2,..., Sid по входам, соединяющим эти элементы между собой, в предположении, что на невыделенные входы цепи ш поступают значения, реализуемые СФЭ S на наборе а. По аналогии с определим величину (ш), для которой в соответству-
ющую сумму включим только слагаемые, отвечающие ФЭ с более чем одним входом. Инициальную цепь СФЭ S, выделенный вход которой является входом S, а выход — одним из выходов S, будем называть главной цепью СФЭ S. Главную цепь ш СФЭ S будем считать существенной на наборе а, если ш реализует существенную ФАЛ от выделенного входа своего первого ФЭ, при рассмотрении ш в качестве самостоятельной схемы, невыделенным входам которой приписаны значения, поступающие на эти входы на наборе а в содержащей ш схеме S. Множество существенных на наборе а главных цепей СФЭ S обозначим через Qa(S).
Определим задержку T(S) схемы S в основной модели равенством
Т(Е) = max max T(a)(w), аев^ше fia(£)
в котором значение max
(ш) равно нулю, когда fia(S) = 0. Величину T(S) определим по ана-
шепа(Е) логии с T(S) на основе
Т(")(ш). Задержка ТБ(/) ФАЛ /
и функция Шеннона Тб(п) для задержки ФАЛ от п БП в классе СФЭ над Б в основной модели определяются обычным образом. Для аналогичных величин в модели М' будем использовать обозначения T'(S), Т^(/), Т^(п). Из определения следует, что для любой СФЭ S выполняется неравенство T'(S) ^ T(S).
В основной модели, подобно [2], поднятие ветвлений выходов ФЭ к входам схемы не изменяет ее задержки. Отсюда аналогично [3] следует, что для каждой СФЭ найдется эквивалентная ей формула (система формул) в том же базисе, задержка которой равна задержке исходной СФЭ. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением формул в базисе Б, множество которых обозначим через U®.
Рассмотрим непустое (в силу полноты Б) множество Б, состоящее из ФЭ базиса Б, имеющих не менее двух входов. Без ограничения общности предположим, что Б = {Si,..., Sa}. Для каждого ФЭ Si, 1 ^ г ^ а, определим его характеристическое уравнение как уравнение вида
+ . . . + = 1 (1)
относительно неизвестной величины к и обозначим через % > 1, единственный корень указанного уравнения, рассматриваемого на положительной полуоси. Для каждого ФЭ Si, 1 ^ г ^ а, определим его приведенную задержку т^ равенством* = 1/ logа затем введем приведенную задержку тб базиса Б
*3десь и далее, когда основание логарифма не указано явно, имеется в виду логарифм по основанию 2.
равенством тб = min Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что т\ = тб, т.е. 1
приведенная задержка базиса Б достигается на ФЭ £\.
Из вида характеристического уравнения (1) следует, что приведенная задержка ФЭ Е%, а также приведенная задержка тб базиса совпадают в основной и дополнительной моделях. При этом из [2] следует, что в дополнительной модели для функции Шеннона Т^(п) справедливы соотношения*
Т» = твп ± O(logn)
и что для почти всех ФАЛ в этой модели возможно построение схем асимптотически оптимальных как по сложности, так и по задержке. Из этой же работы следует, что в дополнительной модели для задержки стандартной мультиплексорной ФАЛ ßn порядка п, имеющей п "адресных" БП, 2" "информационных" БП и совпадающей с той своей информационной БП, номер которой в двоичной системе счисления задается набором значений ее адресных БП (см. п. 2), справедливы оценки вида
тв (Мп) = твп ± O(logn).
В данной работе на основе результатов [2] указанные соотношения распространяются на основную модель задержки СФЭ в базисе Б, т. е. доказываются следующие утверждения.
Теорема 1. Для задержки ФАЛ цп в базисе В с произвольным распределением задержки по входам и входным наборам справедливы соотношения
Тб(Мп) = ± O(logn).
Теорема 2. Для функции Шеннона Тв(п) в базисе Б с произвольным распределением задержки по входам и входным наборам выполняются соотношения:
Тв(п) = твп ± O(logn).
2. Некоторые определения, обозначения и вспомогательные результаты**. Нижние оценки задержки стандартной мультиплексорной ФАЛ и функции Шеннона для задержки в основной модели. Так как в доказательствах мы опираемся на результаты, полученные в [2], напомним используемые там основные обозначения. Под сложностью (глубиной) формулы Т, Т € 11®, понимается число ФЭ (соответственно максимальная длина цепей) в ней, которое обозначается через Ь{Т) (соответственно При этом глубина -С>б(/) ФАЛ / в базисе Б определяется как минимальная глубина реализующих ее формул из II®.
Пусть базис Б0 состоит из ФЭ £-,, которые реализуют ФАЛ х\ • жг, х\ V жг, х\ соответ-
ственно и задержка которых по каждому входу на каждом наборе равна 1. Заметим, что в базисе Б0 задержка Т(Е) СФЭ I! и задержка Тб0(/) ФАЛ / совпадают с их глубиной .О(Е) и 1?б(/) соответственно.
Число, двоичной записью которого является набор а, а е В", будем обозначать через г/(а), а набор длины п, который является записью целого числа а, двоичной системе счисления, —
через и~1(а). Назовем альтернированием аЙ(а) булева набора а минимальное число отрезков постоянства, на которые он распадается, уменьшенное на единицу, а альтернированием аЙ(/) ФАЛ / — альтернирование набора, составленного из значений ФАЛ /, взятых на наборах значений ее аргументов, расположенных в порядке возрастания задаваемых ими с помощью ^-нумерации чисел.
Приведем формулировку леммы 1, которая доказана нами в [2].
Лемма 1. Для целого п, п ^ 2, и любой ФАЛ д(х\,... ,хп), отличной от константы, в классе формул, над базисом Б0 найдется формула реализующая функцию д, для которой справедливы неравенства
Б&д) < 2 Г1о8п] + [1о8(аВД)] + 1, (2)
3
< 2 'п Г^п] аЦд).
*Равенство к(п) = Ь(п) ± 0(д(п)) означает, что \Н(п) — Ь(п)| = 0(д(п)), где д(п) ^ 0.
**Те понятия, которые в данной работе не определяются, могут быть найдены в [3].
Рассмотрим разбиение А, А = (<51,..., 6Р), куба В" от БП х, х = (х\,... ,хп), на попарно непересекающиеся непустые подмножества 8\,... ,8Р (компоненты разбиения А), объединение которых равно Вп. Мультиплексорная ФАЛ /хд, соответствующая разбиению А, задается равенством
р
Мл(х,Щ, ...,ир)= \f Xäi(x)ui i= 1
где Хёг — характеристическая ФАЛ компоненты <5^, 1 ^ г ^ р. При этом БП х считаются адресными, а БП и, и = («1,...,%), — информационными БП ФАЛ /хд. Заметим, что стандартную мультиплек-сорную ФАЛ порядка п, т. е. ФАЛ вида
цп(х,и0,...,и2п-1) = х^1 ■ ... ■ х^п ■
<т=(<т1,...,<тп)£Вп
можно рассматривать как мультиплексорную ФАЛ /хд, связанную с тривиальным разбиением А, таким, что 5„(о-) = {с} для каждого а, а € Вп.
Для формулы Т определим ее ранг ЩУ7) как число дуг, исходящих из входов Т, или, иначе, как число вхождений БП в запись Т. Очевидно, что для любого г, 1 ^ % ^ а, формула Т, состоящая только из ФЭ Е%, удовлетворяет соотношению
Д(Я = 1{Т){кг - 1) + 1. (3)
Переменная х считается существенной переменной формулы Т, если она является существенной БП реализуемой ею ФАЛ. Формула Т называется абсолютной (бесповторной), если каждая ее БП (соответственно каждая ее существенная БП) входит в Т ровно один раз.
Наряду с формулами будем рассматривать так называемые метаформулы, т. е. формулы, входам которых вместо БП приписаны (входные) ФАЛ. При этом считается, что БП х поступает в мета-формулу по входам, которым приписаны ФАЛ, зависящие от х. Задержка метаформулы определяется аналогично задержке формулы в предположении, что задержка реализации ее входных ФАЛ нулевая.
Леммы 2 и 3 являются аналогами соответствующих лемм из [2] и устанавливаются без существенных изменений в доказательстве.
Лемма 2. Для любой формулы Т над базисом Б выполняется неравенство
< 2?(^)/тв, (4)
а для любого действительного Т, Т > 0, существует абсолютная формула 0, состоящая из ФЭ Е\, такая, что
и D(g) <
(5)
где 11 = min Т,' ,, причем для любой ее входной БП х найдется такая подстановка констант вместо всех остальных БП, при которой соответствующая метаформула Q'x реализует одну из ФАЛ х, х и удовлетворяет неравенству
T{g'x)^T + t 1, (6)
где 11 = max Т[ . l^Kfci '3
Замечание. В случае Т = тб log г для построенной в лемме формулы Q из (3)-(5) следуют соотношения
ГТБ
r^R(g)^K1r, D(g) <
logr ti
Щ < ^
где К\ = к*1 — константа, зависящая только от базиса Б, а для любого ее входа х полученная в лемме метаформула д'х удовлетворяет в силу (6) неравенству
Т(д'х) <твк^г + *1.
Лемма 3. Для любого действительного Т, Т ^ 0, и любого натурального п число попарно неэквивалентных формул, над базисом Б, которые зависят от БП х\,... ,хп и задержка которых не больше Т, не превосходит* (с\п)2 1 Б.
Нижняя оценка функции Шеннона получается на основе леммы 3 из обычных мощностных соображений подобно тому, как это делается, например, в [3].
Теорема 3. Для всех натуральных п выполняется неравенство
Тв(п) тв(п- log log п) - с2.
3. Обобщенное разложение мультиплексорных функций. Дадим еще несколько необходимых определений. Максимальную из задержек (глубин) главных цепей, начинающихся на входах формулы J7, по которым поступают БП группы ж, будем называть задержкой (соответственно глубиной) формулы Т по переменным х и обозначать ТХ{Т) (соответственно DX{T)). Обозначим величину, равную задержке (глубине) формулы Т по ее существенным БП, через Тсущ{Т) (соответственно DcymiJ7)). Определения задержки и глубины метаформулы по группе БП вводятся аналогично.
Подобно введенным выше величинам t\, К\ (см. лемму 2) для каждого i, 1 % о, обозначим через ti (ti) максимальную (соответственно минимальную) из задержек по входам ФЭ £i в дополнительной модели, а через Ki — величину к\1. Пусть, далее, tB — максимальная из задержек по входам всех ФЭ базиса Б на всевозможных входных наборах, кв — максимальное число входов у элементов базиса Б, а Кв — величина Заметим, что из (1) вытекают неравенства Кв ^ кв ш Ki ^ ki при любом г, 1 ^ г ^ а.
Из полноты базиса Б следует (см., например, [4]), что существуют формулы над Б, реализующие константы с глубиной не более 3. Поэтому для любой формулы Т над Б найдется эквивалентная ей такая формула Т' в базисе Б, что
D{T') < Dcyux{T) + 3 и Т{Т') < Тсущ(Я + Шв.
Из полноты Б также вытекает, что для некоторых булевых констант од, 02 и операции о, о е {&, V}, в классе формул над Б найдутся бесповторные формулы и J7^, реализующие ФАЛ ж^1 охи xi
соответственно, причем глубина и сложность этих формул удовлетворяют соотношениям
£>сущ(^) < 1, ¿W^o1'"2) < 1, (7)
(8)
Следующие ниже леммы 4-7 сформулированы для рассматриваемой нами основной модели задержки и в некоторой степени повторяют аналогичные леммы из [2], где они были рассмотрены нами в применении к дополнительной модели.
Лемма 4. Для любой существенной ФАЛ <p(yi, ■ ■ ■, ур) и любого разбиения А, А = (8\,..., 84), d ^ р, куба В" от БП ж, ж = (xi,... ,жп), существуют ФАЛ дг(х,щ), 1 ^ г ^ d, которые монотонно или антимонотонно зависят от БП щ,... ,u<i, а в случае d < р найдутся дополнительно такие ФАЛ gs{ ж), d + 1 < s < р, что ср(д!, ...,др) = .. .,ud).
Доказательство. Рассмотрим случай, когда d = р. Существенность ФАЛ ср означает, что для любого i, 1 i р, найдутся такие булевы константы ск^д, ■ ■ ■, что
<р(щд,... ,aiA-i,yi,aiA+i,... ,aitP) = yi Ф aiti. Значит, определив для каждого указанного г ФАЛ gi так, что
, п . 1 «г если ¡3 € 8j при некотором j ф г,
9АР,щ) = < „ / (9)
1«г©«г,г; если р € di,
для любого /3, /3 € 8i, имеем
(р(д1(/3,и1),..., дг(Р,щ), gi+1(P,ui+1),.. .,gp(fi,up)) =
= • • 1,Щ © «¿,¿,«¿,¿+1, • • • ,Щ,р) = (Щ Ф «г,г) Ф «г,г = Щ = /Хд(/3,«1, . . . ,%).
*Буквой с с индексами обозначаются различные константы, зависящие от базиса Б. Одноименные константы из этой работы и работы [2] друг с другом напрямую не связаны.
Из (9) следует, что для каждого i, 1 ^ г ^ р, ФАЛ gi зависит от БП щ только на компоненте <5j, на которой gi = щ ф Следовательно, ФАЛ gi либо монотонна, либо антимонотонна по БП щ.
Случай, когда d < р, сводится к уже рассмотренному, если формально считать недостающие компоненты А пустыми = ... = 8Р = 0. Соответствующие пустым компонентам БП Ud+i, ■ ■■,ир в силу (9) оказываются фиктивными БП ФАЛ gd+i, ■ ■ ■ ,др и, следовательно, ФАЛ /хд.
Лемма доказана.
Лемма 5. Если в условиях леммы 4 ФАЛ ср реализуется абсолютной формулой Ф над базисом Б, то найдется такая бесповторная формула Ф(и, w) над Б, в которой и = (и\,..., u(i) uw = (w\,..., wp+(i), что для некоторых ФАЛ§j(x), х = (xi,..., хп), 1 ^ j ^ р + d, метаформула Ф', Ф' = Ч?(и, §i(x),... ,gp+(i(x)), реализует ФАЛ /хд(х,и) и для нее выполняются соотношения
Ти(Ф'КТ'(Ф) + 5гБ, ТЖ(Ф') ^ СБ • Т'(Ф) + 4iß, (Ю)
в которых константа Сб зависит только от выбора базиса Б и задана отношением Сб = = ¿Б/ min ti.
Доказательство. Рассмотрим разложение ФАЛ gi(x, щ), 1 ^ i ^ d, из условия леммы 4 по БП щ, которое в силу специфики ее зависимости от щ записывается в виде gi(x, щ) = gi(x, (Ji)v°l V V gi(x,Wi), где Cj € В. Тогда формулу Ф достаточно определить равенством
ф = Ф^!^1 V W2, ■ ■ ■ , Wid-lU7/ V W2 d, W2d+1, ■■■,Wp) и положить для j, 1 ^ j ^ р + d,
{_gi(x, cTj), если j = 2i — 1 и 1 ^ i ^ d, gi(x,äi), если j = 2i и 1 < i < d, gi(x), если j = d + imd+l^i^p.
Заметим, что, как вытекает из (7) и (8), для любого а, а € В, в классе формул над Б всегда найдется такая формула Q, реализующая ФАЛ yiy% V что
Dyuy3(g)^4, Dy2(g) ^ 5, L(g)^6kl
Кроме того, произвол в выборе констант «¿д,..., при определении ФАЛ gi(x, щ) из доказательства леммы 4 используется для достижения оптимальной задержки метафор мулы Ф' по входам группы и. В таком случае задержка по остальным входам Ф' отличается не более чем в Сб раз.
Лемма доказана.
Л е м м а 6. Пусть в условиях леммы 4 функция (р реализуется абсолютной формулой Ф(уь ..., ур) над Б, в записи которой БП yi появляется левее БП y:j тогда и только тогда, когда г < j, а А — разбиение куба В" от БП х, х = (х\,... ,хп), на последовательные отрезки. Тогда компоненты построенных в лемме 4 ФАЛ gj(x,Uj), т.е. ФАЛ вида gj(x,a) = gji(T(x), где 1 ^ j ^ d и а £ В, а также ФАЛ gs(x), где d + 1 ^ s ^ р, изменяют свои значения только на грамицах отрезков А и делают это не более чем кв • -С(Ф) раз.
Доказательство леммы 6 проводится индукцией по глубине формулы Ф и существенно не отличается от доказательства аналогичной леммы из работы [2].
Лемма 7. В условиях леммы 6 в классе формул, над Б найдется бесповторная формула Ф(u,w), и = (u\,..., v,d) и w = (w\,..., wp+d),, что при некоторых ФАЛ gj(x), 1 ^ j ^ р + d, таких, что alt(g:j) ^ кв • -С(Ф); метаформула Ф', Ф' = Ф(и, gi(x),..., gp+d(x)), реализует ФАЛ /хд(ж, и) и для нее выполняются соотношения (10).
Доказательство леммы 7 проводится по аналогии с доказательством леммы 5.
Лемма 8. В базисе Б существует бесповторная формула Ф(u,w), и = (и\,...,«2™) и w = = (w\,..., Wd), такая, что для некоторого d, которое удовлетворяет неравенствам ^ d ^
^ Сз2то + O(logm), и некоторых ФАЛ gi(x), х = (х\,... ,хт), 1 ^ г ^ d, удовлетворяющих при любом указанном i неравенству alt(f?j) ^ с^т, метаформула Ф', Ф' = &(u,gi(x),... ,gd(x)), реализует ФАЛ ßm(x,u) и для Ф' выполняются соотношения
Ти{Ф') < твпг + O(logm), Тх(Ф') ^ твпг + O(logm). (И)
р
Доказательство. Пусть задано р натуральных чисел т*, 1 ^ г ^ р, таких, что ^ тг = т-
г=1
Пусть для каждого г, 1 ^ г ^ р, г г целое из диапазона 2т* ^ г^ ^ 2TOi + — 1. Для каждого к, 1 ^ к ^ р,
к
определим вспомогательную величину А (к) равенством А (к) = т — ^ тг и введем сокращенные обо-
г=1
значения для групп БП:
%к = (х\(к)+1, ■ ■ -,хт), XI = XI, Хк+1 = (хХ(к +1) + 1, • • • , ХХ(к)), йк,3 = + ■ ■ ■ ) и82 т-Х(к)), 5=1,..., 2Х(~к\
йк = Оь • • •,тк), йк = (п)Лк_1+1,... к
в которых (¿о = 0, а с1к задано равенством с1к = X) (гг + 2ТО4).
i=l
Для каждого из указанных к построим по замечанию к лемме 2, положив в нем г равным 2т'к, абсолютную формулу Тк ранга г к- Согласно этому замечанию, для глубины формулы Тк справедливо неравенство
ТВ
—тк к 1
(12)
Пусть формула Тк реализует ФАЛ Д(уь ... ,уГк)- Пусть число г, 1 ^ г ^ г^, такое, что начинающаяся с БП уг инициальная цепь определяет задержку Т'(Тк). Из определения величины Т'(Тк) следует, что для метафор мулы полученной из формулы Тк путем подстановки любых булевых констант а^, \ ^ з ^ гк — 1, на места всех ее входов, отличных от у^ справедливо соотношение Т'{Тк) ^ Т(Гк). С другой стороны, из указанного замечания следует, что найдутся такие булевы константы ау, 1 ^ з ^ гк — 1, что Т(Т'к) ^ т-&тк + ¿1, поэтому Т'(Тк) ^ т-&тк + 1,\. Кроме того, для задержки Т'{Тк) справедливо неравенство, аналогичное (4) (см. лемму 3 из [2]). Из сказанного следует, что задержка Т'{Тк) удовлетворяет соотношениям
твтк < Т'(Тк) < твтк +1,1.
Опишем последовательный процесс построения формулы Ф. Рассмотрим шаг с номером к, 1 ^ к ^ р. Применим лемму 7 к формуле Тк, ФАЛ /к и тривиальному разбиению куба В"н от БП хк, положив в нем й = 2тк шр = гк. Получим формулу Нк (у, и;к), у = {уъ .. .,у2™к), и ФАЛ д^хк), 4-1 + 1 < % < йк, для которых, согласно (12), аЙ(^) ^ с^т^ и такие, что метаформула Н'к, заданная равенством
К'к{у,Як) = Ш (у,5^-1+1 (£к), • • • ,9<1к(хк)),
реализует мультиплексорную ФАЛ {хк, у). Определим для каждого Зк, 1 ^ Зк ^ форму-
лу Як,зк равенством
9к,]к {йк,и,йк) = Ик{0к-1,ик-1)2тк+1, • • • ,0к-1,и2тк, и!к),
в котором при к = 1 надо считать (?о,в = из- Метаформула Я'к определенная для каждого указанного Зк равенством
У'к,Зк {йк,зк1%к) = И'к {^к-1,ик-1)2тк+17 •••■> 0'к-1^к2тк ; Хк),
в котором при к = 1 надо, как прежде, считать 8 = и3, реализует мультиплексорную ФАЛ Ит-\(к)(хк,йк,зк) и при условии
удовлетворяет соотношениям
(14)
г= 1
I
Кз,) < + " + - (15)
г= 1
при I = к, если (в случае к ^ 2) этим соотношениям при I = к —1 удовлетворяют метафорулы 0'к_1 ,
1 ^ Зк—1 ^ 2х(к~1\ построенные на предыдущем шаге. На последнем шаге при к = р получаем искомые формулу Ф, Ф = Яр,!-, метаформулу Ф', Ф' = Яр 1, и ФАЛ дг(х), 1 ^ г ^ (I = с1р, для которых при условии
р = 0{\о$т) (16)
из (14) и (15) вытекает (16).
Заметим, что на первом шаге построения формулы Ф (т.е. при к = 1) неравенства (14) и (15) для I = 1 вытекают непосредственно из (10). Таким образом, для завершения доказательства необходимо при достаточно большом т выбрать величины р, то;, 1 ^ г ^ р, так, чтобы удовлетворить соотношению (16) и неравенству (13) для каждого к, 2 ^ к ^ р. Заметим, что для указанных к выполняются неравенства
к
Кп) < СВТ'{Ъ) + Мв и Тйл^к {Я'к^ >
1=1
поэтому для выполнения (13) достаточно потребовать, чтобы
к
свт'(тк) + мв (1?)
1=1
Если Св = 1, то мы выполним (17), положив т\ = |~5£б/тб~|- При Св > 1 условие (17) переписывается в виде
тк < А • 5(А; - 1) - В, (18)
где
* I, — I тв СБ - 1 ^
Из (18) при к = 2 в силу того, что все то;, 1 ^ I ^ р, — натуральные числа, следует, что
т 1 ^ \(В + 1)/А\ . (19)
Чтобы удовлетворить требованиям (18) и (19), рекуррентно определим числа тк при помощи равенств т\ = |(В + 1)/А] +1, тк = [_А ■ Б (к — 1) — Б], рассматривая целые к, к ^ 2, для которых 3(к — 1) < т. Число р положим равным наименьшему целому к, для которого Б(к) ^ т, после чего определим тр равенством тр = т — Б(р — 1). Для величин Б(к), 2 ^ к ^ р — 1, имееют место соотношения
Б(к) > (А + I)*"1 (ш! - (В + 1 )/А) + (В + 1 )/А, (20)
8(к)^(А+1)к~1(т1^В/А)+В/А, (21)
второе из которых верно и при к = р. Из соотношений (20) и (21) следует, что
]о^(А-т-В) - 1/2) ]о^(А-т-(В + 1)) +2 + \о%А
1оё(А +1) <Р< 1оё(А +1) '
т.е. условие (16) также выполнено. Лемма доказана.
4. Реализация мультиплексорных ФАЛ формулами. Поведение функции Шеннона для задержки ФАЛ.
Теорема 4. Для любого натурального п ФАЛ цп(х\,..., хп, уо,..., У2п-\) можно реализовать формулой Л4п в базисе Б, для которой выполняется соотношение
Т(Мп) <тбп + 0(1<^П). (22)
Доказательство. Выберем по лемме 8 формулу Ф(у,го), зависящую от БП у = (у0,... 1) и ш = (го1,..., ииа), для некоторого й. По этой же лемме получим ФАЛ дг(х), х = {х\,..., хт), 1 ^ г ^ й,
альтернирование которых alt(gj) не превосходит с^п. При помощи леммы 1 реализуем ФАЛ gi формулой Qi, для которой (см. (2)) выполняется неравенство T{Gi) ^ c§\ogn + Согласно заключению леммы 8, формула Л4п(х, у) = Ф(у, Gi, ■ ■ •, G<i) является искомой и ее задержка удовлетворяет (22). Теорема доказана.
Теорема 5. Для натурального п и любой ФАЛ f(x\,..., х„) существует реал,изуюш,ая ее такая формула Т в базисе Б, что Т(Т) ^ т-^п + O(logn).
Доказательство. Искомая формула Т получается при помощи представления ФАЛ / в виде совершенной ДНФ и определяется равенством Т = Mn(xi, ■ ■ ■, хп, Go, ■ ■ •, G2n-i), где формула Gi, О ^ i ^ 2п — 1, реализует константу /(^1(г)), а Мп — формула, которая по теореме 4 реализует ФАЛ цп.
Теорема доказана.
Из теорем 3-5 вытекают теоремы 1, 2, которые описывают поведение функции Шеннона для глубины формул в произвольном базисе и задержку стандартной мультиплексорной ФАЛ в основной модели на уровне асимптотических оценок с точностью до слагаемого вида O(logn).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ложкин С. А., Данилов Б. Р. Поведение функции Шеннона для задержки в одной модели схем из функциональных элементов // Проблемы теоретической кибернетики. Мат-лы XVI Междунар. конф. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 2011. С. 277-280.
2. Ложкин С.А., Данилов Б.Р. О задержке схем из функциональных элементов в модели с произвольным распределением задержек элементов базиса по входам // Прикладная математика и информатика. № 39. М.: МАКС Пресс, 2011. С. 107-129.
3. Ложкин С. А. Лекции по основам кибернетики. Учебное пособие. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004.
4. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа., 2003.
Поступила в редакцию 13.03.13
ON THE CIRCUITS DELAY IN A MODEL ALLOWING FOR INPUT VALUES AT GATES' INPUTS
Lozhkin S. A., Danilov B. R.
The article investigates a model of delays in a network of functional elements (a gate network) in an arbitrary finite complete basis B, where basis elements delays are arbitrary positive real numbers that are specified for each input and each set of boolean variables supplied on the other inputs. Asymptotic bounds of the form tbu ± 0( 1), where tb is a constant that depends only on the basis B, are obtained for the delay of a multiplexer function of order n. These bounds are used in the given model to obtain asymptotic bounds of the form tbu ± O(l) for the corresponding Shannon function, i.e., for the delay of the "worst" Boolean function of the given n variables.
Keywords: delay, depth, networks of functional elements, multiplexer function.
