О сложности реализации функций многозначной логики формулами специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

g3,i = gi,3 d=f —(u ■ v' — u' ■ v) ■ (-4 ■ (w')2 ■ v' + 3 ■ w ■ w'' ■ v' + 3 ■ w' ■ w2 ■ v),

g2,2 = 18 ■ w4 ■ u2 + 12 ■ w' ■ w2 ■ u ■ u' + (u')2 ■ (18 ■ w3 + 6 ■ w'' ■ w — 8 ■ (w')2), def -- „4 „,2

gl>l = 18 ■ и4 ■ V2 + 12 ■ и/ ■ ад2 ■ V ■ V' + (V')2 ■ (18 ■ и3 + 6 ■ и'' ■ ад - 8 ■ (ад')2),

§2,1 = g1)2 = -(18 ■ и4 ■ и ■ V + 6 ■ и' ■ и2 ■ (и ■ у' + и' ■ у) + и' ■ у' ■ (18 ■ и3 + 6 ■ и'' ■ и — 8 ■ (и')2)). Следующее утверждение показывает, что из центрально-квадратичного хаоса все мыслимые модели центральных полей с квадратичной динамикой извлекаются факторизацией локализаций алгебры Декарта-Уоттона по первичным радикальным идеалам.

Теорема. Алгебра целостности ^[и-1 ] и тензор Н обладают следующими свойствами: (г) Н'2 = • Н2 (в частности /•</ — /'• <7 = 0, (//<?)' = 0 для любых элементов /7 д матрицы Н2)', (гг) §1,1 ■ и2 + 2 ■ §1,2 ■ и ■ V + §2,2 ■ V2 + 2 ■ §1,3 ■ и + 2 ■ §2,3 ■ V + §3,3 = 0 (§1,3 ■ и + §2,3 ■ V + §3,3 = —9 ■ ^0,1 (и, V) ■ и3, ёв^^- | г,; = 1,2,3) = —729 ■ ст^и^) ■ и10); (ггг) для любого собственного дифференциального идеала I в ^2 [ст—(и, V)] в факторалгебре среди элементов + I есть ненулевые, т.е. свойства (г), (гг) переносятся без вырождения на любую фак-торалгебру (^2[ст—(и, V)])/! без делителей нуля.

Следствие. Любой однородный первичный идеал подалгебры К| г,; = 1, 2, 3] поднимается до радикально первичного дифференциального идеала всей алгебры ^[ст- (и, V)].

Следствие. Для любых решений в степенных 'рядах и(£)^(£),и(£) € К[[¿]] (и' ■ V'' — и'' ■ V' = 0) системы дифференциальных уравнений

и'' = —и ■ и, V'' = —и ■ V, 9 ■ и''' = и-2 ■ (45 ■ и'' ■ и' ■ и — 40 ■ (и')3 — 9 ■ и' ■ и3)

имеют место равенста ёг,^(¿)/*и;3(¿) = • где а^ € ^ (г,= 1, 2, 3).

Последнее утверждение объясняет, почему присоединение к дифференциальной алгебре ^[ст — (и, V)]

иррационального элемента адз погружает квадратичный хаос Тихо Браге в универсум Хука (см. п. 1.6).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М.: ИЛ, 1947.

2. Размыслов Ю.П. Роллинг и соизмеримость симплексов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 5. 55-58.

Поступила в редакцию 11.01.2012

УДК 519.95

О СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ ФОРМУЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Д. В. Трущин1

Рассматривается задача о реализации функций многозначной логики формулами специального вида. Для каждого простого k, k = 2, установлены верхние оценки сложности вида kn для произвольной функции k-значной логики.

Ключевые слова: функция многозначной логики, формула, сложность, глубина.

A problem of implementation of multiple-valued logic functions by special form formulas is considered. For each prime k, k = 2, upper exponential estimates of complexity of an arbitrary k-valued logic function are obtained.

Key words: function of multiple-valued logic, formula, complexity, depth.

Рассматривается задача о реализации функций многозначной логики а-формулами, т.е. такими формулами, в которых каждая подформула содержит не более одной нетривиальной главной подформулы. В качестве меры сложности формул используется глубина. В работе для каждого простого k, больше-

1 Трущин Дмитрий Владимирович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

го двух, получены верхние оценки сложности произвольной функции k-значной логики над системой, состоящей из всех бинарных операций с правым сокращением.

Пусть k ^ 2. Обозначим через Pk множество всех функций k-значной логики. Положим Ek = {0,1,... ,k — 1}. Пусть n ^ 1, A — конечная система функций из Pk. Формулу над A, не содержащую символов переменных, за исключением xi,..., xn, обозначим через Ф(ж1,..., xn). Значение формулы Ф на наборе а = (ai,... , an) G E^" обозначим через Ф(а). Сложность и глубину формулы Ф обозначим через £(Ф) и ^(Ф) соответственно. Две формулы Ф1 и Ф2 называются эквивалентными (обозначение Ф1 = Ф2), если они реализуют равные функции (т.е. такие функции, которые существенно зависят от одного и того же набора переменных и при любых значениях переменных из этого набора принимают одинаковые значения). Через [A] обозначим замыкание системы A (относительно операций суперпозиции и введения фиктивной переменной). Сложность и глубину над системой A произвольной функции f из [A] обозначим через L^(f) и D^(f) соответственно. Необходимые определения можно найти в [1, 2].

Известно [3], что для любой полной конечной системы A булевых функций и любой булевой функции f(xi,...,xn) выполнено соотношение < —. В работах [4, 5] показано, что для произвольной

конечной системы A булевых функций и любой функции f(xi,...,xn) G [A] справедливы неравенства L^(f) ^ r™ и D^(f) ^ Г2П, где ri и Г2 — некоторые константы, зависящие от A.

Следуя [6], определим индуктивно понятие a-формулы над конечной системой A функций алгебры логики. Символ переменной является элементарной a-формулой. Символ нульместной функции из A является a-формулой. Выражение вида и(Ф), где Ф — a-формула над A, а u — символ одноместной функции из A, является a-формулой. Наконец, выражение вида д(Ф,Жг2,...,Xim), где Ф — а-формула над A, m ^ 2, g — символ m-местной функции из A, а Xi2, ...,Xim G X, также является a-формулой. Отметим, что каждая a-формула является формулой над A. Множество всех функций, реализуемых a-формулами над A, будем называть a-пополнением системы A и обозначать через [A]a. Система A С Pk называется a-полной, если [A]a = Pk. Известно [7], что в P2 не существует конечных a-полных систем. При этом в Pk при k ^ 3 конечные a-полные системы существуют [6-8].

Пусть A — конечная система функций из Pk, f G [A]a. Положим DA(f) = min ^(Ф), LA(f) = min £(Ф), где минимум берется по всем a-формулам Ф над A, реализующим f. Отметим, что справедливы неравенства

riDA(f) < LA(f) < r2DA(f),

где ri и Г2 — положительные константы, зависящие от A. Формулу Ф назовем минимальной (для функции f), если Ф реализует f и D^) = DA(f). Положим DA(n) = max DA(F), где максимум берется по всем n-местным функциям F(xi,... ,xn) G [A]a.

В работе [9] показано, что для любой конечной системы A булевых функций существует многочлен P(n), такой, что DA(n) ^ P(n). Из этого результата следует, что в P2 нет конечных а-полных систем.

Везде ниже под сложением, вычитанием и умножением элементов Ek будем понимать соответственно сложение, вычитание и умножение по модулю к. Двухместную функцию g(x, z) G Pk мы будем называть бинарной операцией с правым сокращением, если для любых элементов b, c G Ek существует, и при том ровно один, элемент a G Ek, такой, что g(a, b) = c. Множество всех бинарных операций с правым сокращением из Pk обозначим через Bk. В работе [10] автором построены примеры последовательностей функций, имеющие порядок роста глубины 2n над системой B3. Основным результатом данной работы является

Теорема 1. Пусть k — простое число, k = 2. Пусть n ^ 1, f (xi,... ,xn) G Pk. Тогда f G [Bk]a и выполняется неравенство

Прежде чем доказать теорему 1, приведем несколько вспомогательных утверждений. Легко видеть, что имеет место

Лемма 1. Пусть к — простое число. Пусть функцию д(х, г) С РД можно представить в следующем виде: х ■ ^1(2) + ^2(2), где и^г),^(г) € РД, причем функция ^1(2) не принимает значения 0. Тогда д является бинарной операцией с правым сокращением.

Для любых к и п, к ^ 2, п ^ 1, определим индуктивно функцию Тд(п). Положим Тд(1) = 1. Для каждого п ^ 2 положим Тд(п) = к(Тд(п — 1) + 1).

Лемма 2. При каждом к ^ 2 и каждом п ^ 1 справедливо равенство

Ти{п) = к

k(k — 1) k — 1'

Лемму 2 нетрудно доказать индукцией по п.

Теорема 2. Пусть к — простое число, к = 2. Пусть 1 ^ т ^ п, В = Тд(т), /(ж1,... , жт) € Рд. Тогда существуют функции д1(ж,ж^),... , дд(ж,жгл) € Вд (.здесь 1 ^ г^- ^ т при 1 ^ j ^ В), такие, что для любой функции Н(ж1,..., жп) € Рд формула

? жп); жгх ) • • • ? жг_о — 1) ? )

реализует функцию Н + /.

Доказательство. Докажем утверждение индукцией по т. При т = 1 имеют место следующие равенства: В = Тд(1) = 1. Положим д1 (ж,ж1) = ж + /(Ж1). В силу леммы 1 эта функция является бинарной операцией с правым сокращением. Тогда для любой функции Н(ж1,... , жп) € Рд имеет место равенство

д(Н(ж1. .,жп),ж1) = Н(ж1, ...,жга) + /(Ж1),

т.е. функция д1 является искомой. Тем самым база индукции доказана.

Пусть далее 2 ^ т ^ п. Положим й = Тд(т-1). Предположим, что для любой функции и(ж1,..., жт_1) из Рд существуют бинарные операции с правым сокращением д1 (ж, ж^1),..., да(ж, ж^) (здесь 1 ^ г^- ^ т — 1 при 1 ^ j ^ й), такие, что для любой функции Н(ж1,..., жп) € Рд формула

да (д^_1...(д1(Н(ж1,... , жп), жг1) ..., 1), жга )

реализует функцию Н + и.

Для каждого г, 0 ^ г ^ к — 1, определим функции р^(жт) и фг(жт) из Рд следующим образом. Положим Ро(жт) = 1, Р1(жт) = жт + жт и для любого I, 2 ^ I ^ к — 1, положим р(ж т) — жт жт. Для каждого ^ 1 ^ j ^ к — 1, функция р принимает значение 0 по меньшей мере на двух наборах, т.е. не принимает некоторого значения с^ € Ед. Для любого j, 1 ^ j ^ к — 1, положим ^ (жт) = р (жт) — с^. Положим также 9о(жт) = 1. Тогда при любом г, 0 ^ г ^ к — 1, функция ^ не принимает значения 0 ни на одном наборе.

Для любого г, 0 ^ г ^ к — 1, и любого элемента с € Ед элемент ^¿(с) отличен от нуля, поэтому в силу простоты к существует обратный по умножению элемент (^¿(с))-1. Положим 1(с) = (^¿(с))-1. Тем самым определены функции д_1(жт),... , фГ_1(жт) € Рд, такие, что для любого г, 0 ^ г ^ к — 1, имеет

место равенство ^ ■ q,

_1

= 1.

Для каждого j, 1 ^ j ^ к — 1, через щ(ж,жт) обозначим функцию ж■ (жт) ■ ф___1(жт). По лемме 1 каждая из рассматриваемых функций является бинарной операцией с правым сокращением. Кроме того, через Що(ж,жт) обозначим функцию ж ■ _1(жт). По лемме 1 эта функция также является бинарной операцией с правым сокращением.

Обозначим через X (жт) вектор-функцию (1,жт, ж (^ьф^, ...,фо). Положим

2

т, жт,

,жт 1), а через ^(жт) — вектор-функцию

(-

А =

сй_1 — сй_2 —сй_э .. . —сз -с2 -с1 1

-1 -1 — 1 .. . —1 -1 1 0

0 0 0 .. . 0 1 1 0

0 0 0 .. . 1 0 0 0

0 1 0 .. . 0 0 0 0

1 0 0 .. . 0 0 0 0

(В матрице А по столбцам записаны коэффициенты многочленов фд_1,... ,фо.) Несложно убедиться, что столбцы матрицы А линейно независимы, откуда следует, что ёе! А = 0, т.е. матрица А обратима. Кроме того, легко видеть, что ХА =

Для каждого Ь € Ед положим

.1, если жт = Ь; шжт) = < п

0 иначе.

Через С(жт) обозначим вектор-функцию (^о,... ,^/с_1).

Положим

^-2 ад-1 х0 а0 д-2 ^ д-1 1 а1

В =

1 ао ао • • а

1 а1 а21 • • • а

1 а2 а22 • • • а

1 Л, п2 пк-2 г,Д-1 /

V1 ^-1 ад-1 ••• ад-1 ай-1/

где ао = 0, а1 = 1 ,.••, ад^ = к — 1, ао, »1, •••, ад- € Ед. Определитель этой матрицы является определителем Вандермонда, который, как известно (см., например, [11]), равен

П (а3 — а)

Поскольку каждый из сомножителей отличен от нуля, а произведение ненулевых элементов Ед в силу простоты к не равно нулю, то det В = 0, т.е. матрица В обратима. Кроме того, легко видеть, что для любого Ь € Ед имеет место равенство С(Ь)В = (1,6, Ь2,•••, Ьд-1) = X(Ь). Отсюда следует, что СВ = X.

Для каждого элемента Ь € Ед обозначим через /¿(х^^^х,^) функцию /(х^^х^^Ь). Через Е(х1, •••, хт-1) обозначим вектор-функцию (/о, /д^). Для каждого Ь € Ед справедливы равенства

С(Ь)ЕТ (хь • • •,хт-1) = /ь(х1, • • •,хт-1) = / (х1, • • •, х,-1,Ь). Отсюда следует, что СЕТ = /.

Определим вектор-функцию С(х1, • • • ,хт-1) следующим образом. Положим С = (А-1 В-1ЕТ)т. Компоненты вектор-функции С обозначим через ио(х1, •••, хт-1), •••, ид-1(х1, •••, хт-1) соответственно.

По предположению индукции для каждого 0 ^ ] ^ к — 1, существуют бинарные операции с правым сокращением

д^,1(х,хЪМ),д^,2(х,хг^,2), • • • ^О^х^) (здесь 1 ^ г^ ^ т — 1 при 1 ^ I ^ такие, что для любой функции 1>(х1, • • • , хп) € Рд формула

д^(д^-1( • • • дздСЧх, • • • л^хд) • • • ),х^)

реализует функцию V + и.

Пусть Н(х1, • • • , хп) € Рд. Через Ф- обозначим формулу Н(х1, • • • , хп). Для каждого 0 ^ ] ^ к — 1, через Фз- обозначим формулу

д^(д^-1( • • • дзд(^ Оз-ъхДхд) • • • ,х^_1 ),х^) • Индукцией по ], 0 ^ ] ^ к — 1, нетрудно показать, что формула Фз- реализует функцию

/ з \

-1

Н + и ' 9д-1-з ■ 9д-1-з •

V «=о

Таким образом, формула Фд-1 реализует функцию д-1 ч д-1

(д-1 \ д-1

Н + ^ и ■ дд-1-Л ■ 9-1 = Н + ^ и ■ дд-1-в = Н + <£Ст = Н + ХАСТ = Н + СВАСт = Н + СЕт = Н + / •

«=о ' «=о

Кроме того, ДФд-1) = ^(Фд-2) + ^ + 1 = £(Фд-3) + 2(^ + 1) = • • • = ^(Ф-1) + к(^ + 1) • Заметим, что к(^ + 1) = к(Тд(т — 1) + 1) = Тд(т) = ^ • Тогда набор бинарных операций с правым сокращением

^о,до,1, • • • ,до,^1 ,дм, • • • ,дм, • • • ,-шд-1,дд-1;1, • • • ,дд-1,^

является искомым. Тем самым доказательство перехода индукции завершено. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 1. По теореме 2 существует формула Ф, которая реализует функцию х1 + (/ — х1) и имеет вид

дд (дД_1 • • • (д1(х1 , хг1) •••, хгд —1), ),

где В = Тд(п) и для каждого j (1 ^ j ^ В) справедливы неравенства 1 ^ г^- ^ п, а функция д.,- (ж,ж^ ) принадлежит Вд. Легко видеть, что указанная формула является а-формулой над Вд глубины Тд (п) и реализует /. Отсюда следует, что / € [Вд]а и

2к — 1 к

к(к — 1) к — 1

(последнее равенство выполнено в силу леммы 2).

Следствие. Пусть к — простое число, к = 2, п ^ 1. Тогда система Вд является а-полной и имеет место неравенство

В заключение приведем нижнюю оценку для функции Шеннона В^к (п). Утверждение. Пусть к ^ 3. Имеет место асимптотическое неравенство

кп

тк(п) >

logfc(n) '

Автор выражает искреннюю признательность профессору А. Б. Угольникову за постановку задачи и обсуждение результатов работы, а также профессору Р. М. Колпакову за внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 11-01-00508, и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2006.

2. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

3. Лупанов О.Б. О сложности реализации функций алгебры логики формулами // Проблемы кибернетики. Вып. 3. М.: Физматгиз, 1960. 61-80.

4. Угольников А.Б. О глубине формул в неполных базисах // Матем. вопросы кибернетики. 1988. Вып. 1. 242-245.

5. Угольников А.Б. О глубине и сложности формул, реализующих функции из замкнутых классов // Докл. АН СССР. 1988. 298, № 6. 1341-1344.

6. Глухов М.М. Об а-замкнутых классах и а-полных системах функций k-значной логики // Дискретн. матем. 1989. 1, вып. 1. 16-21.

7. Чернышов А.Л. Условия а-полноты систем функций многозначной логики // Дискретн. матем. 1992. 4, вып. 4. 117-130.

8. Шабунин А.Л. Примеры а-полных систем k-значной логики при k = 3,4 // Дискретн. матем. 2006. 18, вып. 4. 45-55.

9. Трущин Д.В. О глубине а-пополнений систем булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 2. 72-75.

10. Трущин Д.В. О сложности реализации функций из одного класса трехзначной логики формулами специального вида // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 4. 20-25.

11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.

Поступила в редакцию 13.04.2012