CC BY
12Следствие 4. Если гармоническая функция п(х) из класса М обладает свойством (А) в каждой точке £ £ Г и дополнительно существует такая постоянная К > 07 что константы К^ в свойстве (А) удовлетворяют неравенству К£ ^ К для всех точек ( 6 Г, то \г~а{и(х)}\ ^ пРи 0 < си < +оо.
Действительно, из утверждения теоремы 4 следует, что \и(г)\ ^ К всюду в единичном круге. Из представления (3), проведя такие же рассуждения, как и при доказательстве теоремы 3, получим неравенство \г~а{и(х)}\ ^ ПРИ 0 < а < +оо, что и требовалось доказать.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гаврилов В. И. Пределы по непрерывным кривым и по последовательностям точек нормальных мероморфных и обобщенных мероморфных в единичном круге функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1964. № 2. 30-36.
2. Гаврилов В.И., Захарян В.С. Некасательный рост и ограниченность нормальных голоморфных функций // ДНАН Армении. 1996. 96, № 2-4. 3-14.
3. Bagemihl F. Some boundary properties of normal functions bounded on nontangential arcs // Arch. math. 1963. 14, N 6. 399-406.
4. Берберян С.Л. О граничных свойствах субгармонических функций, порождающих нормальные семейства на подгруппах автоморфизмов единичного круга // Изв. АН АрмССР. 1980. 15, № 4. 395-402.
5. Гаврилов В.И. Нормальные функции и почти периодические функции // Докл. АН СССР. 1978. 240, № 4. 768770.
6. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966.
7. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев С. Интегралы и производные дробного порядка. Минск: Наука и техника, 1987.
8. Lappan P. Some results on harmonic normal functions // Math. Z. 1965. 90, N 1. 155-159.
Поступила в редакцию 18.06.2012
УДК 511
О РАВНОМЕРНОСТИ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
П. Б. Тарасов1
Рассматривается конечная система A функций многозначной логики, принимающих значения 0 и 1, причем проекция системы A порождает класс всех монотонных булевых функций. Показано, что найдутся константы c и d, такие, что для любой функции f из [A] глубина D(f) и сложность L(f) функции f в классе формул над A связаны соотношением D(f) < clog2 L(f ) + d.
Ключевые слова: равномерность конечных систем, многозначная логика, монотонные функции, полиномиальная эквивалентность.
For any finite system A of functions of many-valued logic taking values in the set {0,1} such that a projection of A generates the class of all monotone boolean functions, it is prooved that there exists constants c and d such that for an arbitrary function f G [A] the depth D(f) and the complexity L(f) of f in the class of formulas over A satisfy the relation D(f) ^ clog2 L(f) + d.
Key words: uniform systems, many-valued logic, monotone functions, polynomially equivalent.
В работе рассматривается задача о соотношении глубины и сложности реализации функций многозначной логики из замкнутых классов формулами в конечных базисах, состоящих из функций, принадлежащих этим же классам. Все необходимые определения можно найти в работах [1-3].
1 Тарасов Павел Борисович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tarasov.p.b@gmail.com.
Обозначим через Рк,2 множество всех функций к-значной логики, принимающих значения 0 и 1, к ^ 3, а через М класс всех монотонных булевых функций. Положим Ек = {0,...,к-1}, к ^ 2. Обозначим через Е'П множество всех упорядоченных наборов длинны п, состоящих из элементов множества Ек, к ^ 2, п ^ 1. Пусть А — конечная система функций из Рк,2, Ф — формула над А. Обозначим через Ь(Ф) число символов переменных и констант, входящих в формулу Ф (сложность формулы Ф), а через Б(Ф) глубину формулы Ф. Пусть / £ [А]. Положим
Бл(/) = шшБ(Ф), Ьл(/) = ш1пЬ(Ф),
где минимум берется по всем формулам Ф над А, реализующим /.
Конечную систему функций А будем называть равномерной, если существуют такие константы с и й, что для любой функции / £ [А] выполнено неравенство
Б л (/) < с 1о§2 Ьл(/) + й.
В работах [4, 5] доказана равномерность любой конечной полной системы булевых функций (см. также [6]). Равномерность всех конечных систем булевых функций, порождающих класс М, доказана в [7]. В работах [3, 8] доказана равномерность всех конечных систем булевых функций; аналогичный результат получен в [9]. Равномерность конечных систем, порождающих некоторые предполные классы в Рк, установлена в работах [10, 11], к ^ 3.
Пусть /(х\,..., хп) — функция из Рк,2, а д(х\,..., хп) — функция из Р2, такие, что для любого а £ ЕП выполнено равенство /(а) = д(5). Функцию д будем называть проекцией функции / и обозначать через рг/. Пусть А — конечная система функций из Рк 2. Положим ргА = У рг/.
¡ел
Будем говорить, что формула Ф представляется в виде Ф1(Ф2), если выполнены следующие условия:
1) формулы Ф1 и Ф2 нетривиальные;
2) в Ф2 входят только те переменные, которые входят в Ф;
3) в Ф1 входят только те переменные, которые входят в Ф, а также выделенная переменная у, причем ровно один раз;
4) формула Ф получается из формулы Ф1 заменой переменной у на формулу Ф2.
Лемма 1. Пусть Д(х), /г(х), /з(х) и д(х1,...,х7) — произвольные функции из Рк,2, к ^ 3, такие,
что
ргд = х1х2 V х1х3 V х2&(х4х5 V х4х6 V х5х7).
Тогда выполнено равенство
/1(/2(/з(х))) = д(/1 (1), /1 (0), /2(/з(х)), /1 (/2(1)), /1 (/2(0)), /з(х), /1(/з(х))).
Доказательство. Положим д'(х1,...,х7) = ргд. Так как /1, /2, /з £ Рк,2, то достаточно доказать, что для любых Л-1 (х), Ь,2 (х) £ Р2 имеет место равенство
(х)) = д'(Н1(1),Н1 (0), Л-2 (х),Ь (^2(1)),^1 Ь (0)),х, Ь (х)).
Обозначим через Ф формулу
Н1(Н2(1))кк1 Ь(0)) V Ь^(1))&х V Ь^(0))&Ь1(х).
Рассмотрим случаи. Пусть Ь1(х) = с. Тогда
д'(Ь1(1),Ь1 (0),Ь2(х),Ь1 (Ь2(1)),Ь1 (Ь2(0)),х,Ь1 (х)) = с V с&Ь2(х) V с&Ф = с = Ь1(Ь2(х)).
Пусть Ь1(х) = х. Тогда
д'(Ь1(1),Ь1 (0),Ь2(х),Ь1 (Ь2(1)),Ь1 (Ь2(0)),х,Ь1 (х)) = 1&0 V 1&Ь2(х) V 0&Ф = Ь2(х) = Ь1(Ь2(х)). Пусть ¡1\(х) = х. Тогда
д'(Ь1 (1), Ь1 (0),Ь2 (х), Ь1(Ь2(1)), Ь1 (Ь2 (0)),х, Ь1 (х)) =
= 0&1 V 0&Л,2(ж) V 1&(Л,2(1)&Л,2(0) V Л,2(1 )к,х V Л,2(0)&ж) =
= -.((Л2( 1) V /¿2(0))&(/*2(1) V ж)&(Л2(0) V ж)) = = -.(/&2(1)&Т&2(0) V к2{ 1)кх V Л,2(1)&ж&Л,2(0) V Л,2(0)&Л,2(1)&ж V Л,2(0)&ж) =
= -.(/&2(1)&Т&2(0) V Л,2(1)&ж V Л,2(0)&ж) = ¡12{х) = к1{к2{х)).
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть А — конечная система функций из Рк,2, к ^ 3, Ф — формула над А, такая, что Ф представляется в виде Ф1(Ф2(Фэ)), где Ф1, Ф2 и Ф3 — формулы над А, а д(х\,... ,Хт) £ Рк,2 такова, что
ргд = х1х2 V х1х3 V х2&(х4х5 V х4х6 V х5х7).
Тогда выполнено равенство
Ф = д(Ф1(1), Ф1(0), Ф2(Фз), Ф1(Ф2(1)), Ф1(Ф2(0)), Фз, Ф1(Фз)),
где Фг(с) обозначает формулу Ф^, в которой переменная у заменена на константу с, г £ {1, 2}, с £ {0,1}. Доказательство следует из леммы 1.
Имеет место следующее утверждение (см. также [5, 6, 11]).
Лемма 3. Пусть А — конечная система функций из Рк 2, такая, что каждая функция из А зависит не более чем от п переменных, к ^ 3, п ^ 1, а Ф — формула над А, такая, что Ь(Ф) ^ 2(п + 1). Тогда существуют нетривиальные формулы Ф1 и Ф2 над А, такие, что Ф представляется в виде Ф1(Ф2) и выполняются неравенства
У ' {п +1) ' У 21 (п +1)
Следствие. Пусть А — конечная система функций из Рк 2, такая, что каждая функция из А зависит не более чем от п переменных (п ^ 1), а Ф — формула над А, такая, что £(Ф) ^ 2(п + 1)2. Тогда существуют нетривиальные формулы Ф1, Ф2 и Ф3 над А, такие, что Ф представляется в виде Ф1(Ф2(Ф3)) и выполняются неравенства
для всех г £ {1, 2, 3}.
Теорема. Всякая конечная система А функций из Рк,2, такая, что рг[А] = М, равномерна, к ^ 3. Доказательство. Пусть п, п ^ 2, — максимальное число переменных, от которых зависят функции из А. Так как ргА = М, то существует функция д(х1,...,) £ [А], такая, что
ргд = х1х2 V х1х3 V х2&(х4х5 V х4х6 V х5х7).
Ввиду того что рг[А] = М, существует функция / (ж) £ [А], такая, что рг/ = 0. Тогда /(/(ж),..., /(ж)) = 0, следовательно, 0 £ [А]. Аналогично 1 £ [А]. Положим
2(п + 1)2 е
е = Б(д), и = тах(ЦО),¿(1)), д = 2и(п + I)2, т = 1с^2 ————с = —, й= тах £>(/).
2(п + 1)2 — 1 т / е[А]
Ц/
Докажем что для любой формулы Ф над А существует формула Ф над А, такая, что Ф эквивалентна Ф и D(Ф) ^ с 1о§2 Ь(Ф) + й. Утверждение будем доказывать индукцией по сложности формулы Ф.
База индукции. Пусть £(Ф) ^ д. Пусть Ф реализует функцию Н, а Ф — формула над А, реализующая Н, такая, что Ь(Ф) = Ь(Н). Тогда
Б(Ф) < тах Б(/) < й < с 1og2 Ь(Ф) + й,
где максимум берется по всем / £ [А], таким, что Ь(/) ^ д.
Пусть утверждение справедливо для всех формул сложности меньше N, N > д, докажем его для формулы Ф сложности N.
По следствию из леммы 3 формула Ф представляется в виде Ф1(Ф2(Фз)), где формулы Ф1, Ф2 и Фз таковы, что для всех г (г £ {1,2,3}) выполнено неравенство Ь{Ф^) ^ (ТУ + 1) ^^у! • Обозначим через Ф1,..., Ф7 формулы
Ф1(1), Ф1(0), Ф2(Фз), Ф1(Ф2(1)), Ф1(Ф2(0)), Фз, Ф1(Фз)
соответственно. Заметим, что для всех г, 1 ^ г ^ 7, выполнены неравенства
N + 1
j €{1,2,3} Л (n + 1)2
Следовательно, для формул Ф1,..., Ф7 выполнено предположение индукции. Пусть формулы Ф^,..., Ф7 таковы, что формулы Ф^ и Ф^ эквивалентны и D^i) ^ clog2 Ь(Ф^) + й для всех i g{1,..., 7}. Рассмотрим формулу д(Ф1,..., Ф7), обозначим ее через Ф. По лемме 2 формулы Ф и Ф эквивалентны. Тогда
Б(Ф) ^ D(g) + max D^i) ^ e + max c log2 Ь(Ф,) + d ^
ie{1,...,7} i€{1,..,7}
1 (n + 1)2 — 1 u(n + 1)2 — 1
^e + c\og2(N-(N + l)j-—^+u)+d^c\og2(N{in^i)2 + {{п + [)2 )+d + e<
< c\og2(N ^ / + ' ) + d + e = с log 2 N + d,
,(п + I)2 - 1 N/2 (п + I)2 + (^ТГ)2
следовательно, Ф — искомая формула.
Таким образом, если / £ [А], а Ф — формула над А, реализующая /, такая, что Ь(Ф) = Ь(/), то существует формула Ф над А, эквивалентная Ф, такая, что
Б(/) < Б(Ф) < с ^ Ь(Ф) + й = с ^ Ь(/) + й.
Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №11-01-00508) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
2. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2006.
3. Угольников А.Б. О глубине и полиномиальной эквивалентности формул для замкнутых классов двузначной логики // Матем. заметки. 1987. 42, вып. 4. 603-612.
4. Яблонский С.В., Козырев В.П. Математические вопросы кибернетики // Информационные материалы Научного совета по комплексной проблеме "Кибернетика" АН СССР. Вып. 19 а. М., 1968. 3-15.
5. Spira Р.М. On time-hardware complexity tradeoffs for Boolean functions // Proc. 4th Hawai Symposium on System Sciences, North Hollywood: Western Periodicals Company, 1971. 525-527.
6. Храпченко В.М. О соотношении между сложностью и глубиной формул // Методы дискретного анализа в синтезе управляющих систем. Вып. 32. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. 76-94.
7. Wegener I. Relating monotone formula size and monotone depth of Boolean functions // Inform. Proces. Let. 1983. 16. 41-42.
8. Угольников А.Б. О соотношении между глубиной и сложностью формул для замкнутых классов двузначной логики //IV Всесоюз. конф. "Применение методов математической логики": тез. докл. Таллин, 1986. 184.
9. Ragaz M.E. Parallelizable algebras // Arch. fur math. Log. und Grundlagenforsch. 1986/87. 26. 77-99.
10. Сафин Р.Ф. О глубине и сложности формул в некоторых классах fc-значной логики // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 6. 65-68.
11. Сафин Р.Ф. О соотношении между глубиной и сложностью формул для предполных классов fc-значной логики // Математические вопросы кибернетики. М: Физматлит, 2004. 223-278.
Поступила в редакцию 12.09.2012
