CC BY
7где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \в\ ^ 1м
0 < а < 30; 30 ^ а ^ gЬлА^Щ)] 2< а ^ jr lnlnp,
(. а±2 о20 2 1 ( ln Р \ \ ^
а j ^з=23. г (i+1) еХр .
Доказательство. Пусть h = lnр. Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2, получим, что существует такое ро, что при р > ро и г ^ \J(lnр)1/2 верно равенство
где \в\ ^ 1.
Положим р = Поскольку ln (lnp)1/4] + 1 < ln(lnp)1^8 + 1 ^ \J(ln p)1/2, то можно применить теорему 1 из работы [4].
В нашем случае 02V = v!, 5 = 1 и f (p) = (ln p)1/4, откуда получаем требуемое утверждение. Теорема доказана.
В заключение автор приносит благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. Р. Н. Бояринову за постановку задачи и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карацуба А.А. Аналоги сумм Клостермана // Изв. РАН. Сер. матем. 1995. 59, № 5. 93-102.
2. Жимбо Э.К., Чубариков В.Н. О распределении арифметических функций по простому модулю // Дискретн. матем. 2001. 13, вып. 3. 32-41.
3. Бояринов Р.Н. О скорости сходимости распределений случайных величин // Докл. РАН. 2010. 435, № 3. 295-297.
4. Бояринов Р.Н. О дробных моментах случайных величин // Докл. РАН. 2011. 436, № 3. 299-301.
Поступила в редакцию 10.10.2012
УДК 511
О НЕКОТОРЫХ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ РАВНОМЕРНОСТИ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
П. Б. Тарасов1
Для произвольной конечной системы A функций k-значной логики, принимающих значения из множества Es = {0,..., s — 1} k ^ s ^ 2, такой, что замкнутый класс, порожденный ограничением функций из A та множество Es, содержит мажоритарную функцию, доказано существование констант c и d, таких, что для любой функции f G [A] глубина Da(I) и сложность LA{f) функции f в классе формул над A связаны соотношением DA(f ) < clog2 LA(f )+ d.
Ключевые слова: равномерность конечных систем, многозначная логика, полиномиальная эквивалентность, мажоритарная функция.
A k Es =
{0,1,..., s — 1} k > s > 2, such that the closed class generated by restriction of functions from A Es c
1 Тарасов Павел Борисович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tarasov.p.b®gmail.com.
Rp =
and d such that for an arbitrary function f e [A] the depth DA(f) and the complexity LA(f) of f in the class of formulas over A satisfy the relation DA(f) < c log2 LA(f) + d.
Key words: uniform systems, many-valued logic, polynomially equivalent, near-unanimity function.
В работе рассматривается задача о реализации функций k-значной логики из замкнутых классов формулами в конечных базисах, состоящих из функций, принадлежащих этим же классам. Все необходимые определения можно найти в работах [1-3].
Обозначим через Pk множество всех функций k-значной логики, а через Pk>s множество всех функции k-значной логики, принимающих значения из множества Es = {0,1,...,s — 1} k ^ s ^ 2. Пусть A — конечная система функций из P^. Через [A] обозначим замкнутый класс, порожденный системой A. Пусть Ф — формула над A. Обозначим через L($) (сложность формулы Ф) число символов переменных и констант, входящих в Ф, а через ^(Ф) глубину формулы Ф. Пусть f e [A]. Положим D^(f) = min^(Ф), L^(f) = min£(Ф), где минимум берется по всем формулам Ф над A, реализующим f. Конечную систему функций A будем называть равномерной, если существуют такие константы c и d (зависящие только от A), что для любой функции f e [A] выполнено неравенство
DA(f) < clogLA(f) + d.
В работах [4, 5] доказана равномерность всех конечных полных систем булевых функций (см. также [6]). В [7] установлена равномерность всех конечных систем, порождающих класс M всех монотонных булевых функций. В работах [3, 8] доказана равномерность всех конечных систем булевых функций (см. также [9, 10]).
Ряд публикаций посвящен задаче о соотношении глубины и сложности формул над конечными системами функций многозначной логики. Известно (см. [3]), что не все конечные системы функций многозначной логики равномерны. В работах [11-14] изучается вопрос о равномерности конечных систем, порождающих предполные классы bP^ k ^ 3.
Известно следующее описание множества всех предполных классов Pk (см., например, [15, 2]): классы линейных функций — классы типа L; классы функций, сохраняющих разбиения множества Efc, — классы типа E; классы функций, сохраняющих сильно гомоморфные прообразы элементарных отношений, — классы типа B; классы функций, сохраняющих центральные отношения, — классы типа C; классы самодвойственных функций — классы типа P; классы монотонных функций — классы типа O.
Пусть р — отношение частичного порядка на Efc, такое, что для любых двух элементов a и b из Ek существуют sup(a, b) и inf(a, b) относительно частичного порядка р. Будем называть класс всех функций, сохраняющий отношение р, классом типа O#. Будем называть конечно-порожденные предполные классы функций, монотонных относительно частично упорядоченного множества ширины 2, классами типа O2 (см. [16]). Классы типа C, сохраняющие унарные и бинарные центральные отношения, будем называть классами типа Ci и C2 соответственно (см. [13]).
Равномерность всех конечных систем, порождающих предполные классы P3, анонсирована в работе [11]. Равномерность любых конечных систем, порождающих предполные классы типов L, E, B, P, O#, Ci и C2 в Pk, установлена в работа [13, 14]. Кроме того, в них для любого k ^ 3 доказано существова-
C
конечных порождающих систем для классов типа O при k ^ 7. Для некоторых классов типа O2 в [16] показано существование в этих классах функции выбора. Из данного результата применением метода из работ [5, 6] нетрудно установить равномерность всех конечных систем, порождающих эти классы.
Пусть f (xi,..., xn) — функция из Pk,s, а g(xi,..., xn) — функция из Ps, такие, что для любого й e EП выполнено равенство f( й) = g( й). Функцию $ будем называть проекцией функции f на множество Ps и обозначать через prsf. Для произвольной системы A С Pks положим prsA = Uprs{f}, где объединение
fA
из Pk,2) проекция которых порождает класс M.
Определим некоторые классы булевых функций. Следуя работам [18, 19], через K, D и L будем обозначать классы конъюнкций, дизъюнкций и линейных булевых функций соответственно. Будем говорить, что булева функция f (xi,..., xn) обладает свойством < > (соответственно < >), если существует такое i, 1 ^ i ^ и, что для любого набора й, такого, что f(й) = 0 (соответственно f(й) = 1), выполнено равенство сц = 0 (сц = 1). Класс всех функций, обладающих свойством < >, будем обозначать через
а свойств ом < > — через
Обозначим через P^^!) множество всех наборов длины r, которые состоят из одноместных функций,
принадлежащих множеству Р^ и зависящих от ж. Пусть г ^ 3 1 ^ г < ^ г, а / = (У 1 (ж),/г (ж)) — произвольный набор функций из Р£8(1). Обозначим Д, формулу Д(/2(. • •, /г-1(/^(/,+1(- • • (/г(ж)))))...)). В частности, формула >/1>^ имеет вид /,(Д+Д.. (/г(ж)).. • )). Через жг будем обозначать набор переменных
(ж1,2 ч . ..) ж1,г I ж2,3 5 ж2,4 5 ...) ж2,г I . ..) жг-2,г-Ъ жг-2,г I жг-1,г)!
в котором индексы — это всевозможные упорядоченные пары элементов из множества {1,..., г}, упорядоченные по возрастанию сначала второго, а затем первого индекса. Например,
Ж4 = (жх,21 ж1,3, ж1;4, ж2,3, ж2,4, жз,4).
Заметим, что в наборе жг всего СГ переменных.
Функцию ^т(ж1,... ,жт) £ Р8, т ^ 3, будем называть мажоритарной, если выполнены равенства
¿т(ж 5 У5 ... 5 У) = ¿т(У 5 ж 5 У5 ... 5 У) = ... = ¿т(У 5 ... 5 У5 ж) = У. Имеет место следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть т ^ 3 к ^ 8 ^ 2 а ¿ш(жь ..^жт) — функция из Р^, такая, что рг8^т — мажоритарная функция из Р8. Тогда существ уют г ^ 2 и функц ия д(жг) £ [{^т}К т,акие, что для любого упорядоченного набора / = (/1 (ж)5.. .5 /г(ж)) функций из РкД1) выполнено равенство
/1 (/2(• • • (/г(ж))) •••)= ^/^••./г^Д (1)
г(9е формула Д, подставляется в функцию д вместо переменной ж, 1 ^ г < ^ ^ г.
Доказательство. Положим г = 8к(т-1) +2. Заметим, что утверждение леммы эквивалентно следующему утверждению: существует функция д £ [^т], такая, что равенство (1) выполнено на всех наборах
изР*у1).
Докажем индукцией по мощности £ = |В| множества В С ДД(1) существование функции д £ [{^т}], такой, что равенство (1) выполняется на всех наборах из В.
База индукции. Пусть £ = |В| ^ т — 1, В = {у1! •••5 /т-1}. Без ограничения общности будем считать, что £ = т — 1 (если £ < т — 1, то можно добавить т — 1 — |В| произвольных наборов из Р£8(1)). Пусть
Ж1 __Жт— 1 _ / ^т— 1 ^т—1\
У = (/1 5 • • • 5 Уг ^••^У = (/1 5 • • • 5 У г ).
Докажем, что существуют такие г1 ^ г < ^ ^ г, что для всех I, 1 ^ I ^ т — 1, выполнено равенство
/1 (/2 (...(/(ж)) •••)))=/г.
Пусть формула /1 , реализует функцию Л,(ж), где числа j51 таковы, что 1 < ^ ^ г, 1 ^ I ^ т — 1. Рассмотрим г — 1 набор из Рт-1(1)
Ж2 = (Ь1 5 ••• 5 ^-1) 5 Л = (^ ••• 5 ^Г1) ••• 5 ЖГ = (^ ••• 5 )•
Заметим, что |Р^т^-1 (1)| = 8к(т-1) = г — 2 Значит, существуют такие г2 ^ г < j ^ г, что Л = Я,. Но
тогда для всех I, 1 ^ I ^ т—1, формулы /1 ¿и /1 , эквивадентны. Следовательно, для всех I £ {1 5 • • • 5 т —1} выполнены равенства
/1 (/2 (• • • (/Г (ж)) •••)) = /1 (/2 (• • • 5 /¿-1(/1) •••)) = /1 (/2 (• • • ) •••)) = Д, •
Положим д(жг) = 5 • • • 5 ж^,). Очевидно, что для функции д равенство (1) имеет место на всех
В
Переход индукции. Пусть утверждение индукции выполнено для всех подмножеств, состоящих не более чем из ¿о ^ т — 1 наборов (функций). Пусть В — произвольное множество, такое, что В = {у1 5... 5 Д}, где / Д^Д — наборы из Р£8(1). По индуктивному предположению для множеств
{/25 Д5 •••5 Ж}5 {/ъ Д... ЛЬ • ••5 {/ъ...5 /т-Ъ /го+15 •
существуют такие функции gl(xr),..., дт(хг), что для каждого г, г € {1,...,ш], выполнено соотношение дг € [{^т}] и для всех j €{1,..., j = г выполнены равенства
/3 (/2 (... (/Г (х)) ...))= д*(Х';2, Х-1,г). (2)
Определим функцию д(Хг) следующим обр азом: д(Хг) = ^т(д1(Хг),..., дт(Хг)). Покажем, что данная функция искомая. Очевидно, что д € [{^т}]. Кроме того, равенство (2) выполнено для всех г, j € {1,... г € {1,... ,т}\{}. Так как — мажоритарная функция, то для функции д равенство (1) выполнено на всех наборах функций из множества В.
Таким образом, доказано, что существует функция д из множества [{¿т}], Для которой равенство (1) имеет место на всех наборах из Р£8(1). Лемма доказана.
Пусть А — конечная система функций из Р^, а Ф, Ф1 и Ф2 — формулы над А. Будем говорить, что формула Ф представляется в виде Ф1(Ф2), если выполнены следующие условия:
1) формулы Ф1 и Ф2 нетривиальные (т.е. отличные от переменных и констант);
2
3) в формулу Ф1 входят только те переменные, которые входят вФ,а также выделенная переменная у, причем ровно 1 раз;
4) формула Ф получается из формулы Ф1 заменой перемеиной у на формулу Ф2-
Аналогичным образом определяется представимость формулы Ф в виде Ф1(Ф 2(... (Фг)...)) г ^ 3.
Пусть А — конечная система функций из Рк^, г ^ 3 числа г,^^ что 1 ^ г < j ^ г, а
х = ( Ф1,..., Ф г) — произвольный упорядоченный набор нетривиальных формул над А. Обозначим через
х ¿¿формулу Ф1( Ф2(. . . Ф г—1 (Фз (Ф^+1(. . . (Ф г) . . .))) . . .).
Простым следствием леммы 1 является
Лемма 2. Пусть А — конечная система функций из Р(к ^ в ^ 2) такая, что множество [рг8А] содержит, мажоритарную функцию ^т(ж1,..., жт), т ^ 3, и пусть г = вк(т—1) + 2. Тогда существует, функция д(ХГ) € [А], такая, что для любой формулы Ф над А и любых формул Ф1,..., Ф г над А, т,аких, что Ф представляется в виде Ф1(Ф2(... (Ф г)...)), выполнено равенство
ф = д( Х 1,2,...,Х г—1,г),
где Х = ( Ф1,..., Ф г) и формула Х¿,3 подставляется в функцию д вместо переменной 1 ^ г < j ^ г.
Лемма 3. Пусть А — конечная система функций из Р^ (к ^ в ^ 2), такая, что каждая функция из А зависит не более чем от п перемениы,х (п ^ 1), а, Ф — формула над А, такая, что для некоторого г ^ 2 выполнено неравенет,во Р(Ф ) ^ 2(п+1)г. Тогда, существуют нетривиальные формулы Ф1,..., Ф г над А, такие, что Ф представляется в виде Ф1(Ф 2(... Ф г—1(Ф г)...) и для каждого г €{1,...,г} выполняется неравенство
1 ' (п + 1)г
Доказательство. Нетрудно показать, что если формула Ф такова, что Р( Ф) ^ 2(п + 1), то ее можно представить в виде Ф^Фг), где Ь(Ф») У Для ^ = 2 (см., например, [5, 6, 14, 17]). Утверждение
г
Теорема 1. Пусть А — конечная система функций из Р^ (к ^ в ^ 2), такая, что множество [рг^А] содержит мажоритарную функцию. Тогда, система А равномерна.
Доказательство этой теоремы, опирающееся на леммы 2 и 3, аналогично доказательству теоремы 1 из работы автора [17].
Следствие 1. Пусть А — конечная система функций из Рк,2> такая, что множество рг2А не содержится целиком ни в одном, из классов Р. Тогда система А равномерна.
Доказательство. Из результатов работы [20] (см. также [2, 18, 19, 21]) следует, что если рг2А не содержится целиком ни в одном из приведенных выше классов, то множество [р^А] содержит мажори-
А
Следствие 2. Пусть к ^ 3, Т — предполный класс Рк одного из типов Ь,Е, В, С,Р, 02,0#. Тогда, любая конечная система А, порождающая Т, равномерна.
Доказательство. Равномерность конечных порождающих систем для классов типа Ь, Е, В, Р и 0# доказана в [12, 13]. В работах [22] и [16] показано существование мажоритарной функции в классах типа
С и О2 соответственно. Поэтому в силу теоремы 1 конечные системы, порождающие эти классы, равномерны.
Следствие 3. Пусть Т — произвольный предполный класс Р^ 3 ^ к ^ 7, А — конечная система функций из Рк, такая, что [А] = Т. Тогда, А — равномерная система.
Доказательство. Для всех классов типов Ц Е5 В5 Р5 05 С15 С2 утверждение доказано в [12-14]. Для С
АВ
функций из Р&, такие, что [А] = [В]. Будем говорить, что эти системы полиномиально эквивалентны, если существуют константы С15 С2 5 ¿15 ¿2 ? зависящие от А и В, такие, что для любой / £ [А] выполнены неравенства
С1(£в(/))* < М/) < С2(РБ(/•
Прямым следствием теоремы 1 является
Теорема 2. Пусть Т — произвольный конечно-порожденный замкнутый класс функций из Рк,«, такой, что множество рг«Т содержит мажоритарную функцию. Тогда, любые две конечные системы, Т
Автор выражает искреннюю благодарность А. Б. Угольникову за постановку задачи и обсуждение результатов работы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №11-01-00508) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
2. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2006.
3. Угольников A.B. О глубине и полиномиальной эквивалентности формул для замкнутых классов двузначной логики // Матем. заметки. 1987. 42, вып. 4. 603-612.
4. Яблонский C.B., Козырев В.П. Математические вопросы кибернетики // Информационные материалы Научного совета по комплексной проблеме "Кибернетика" АН СССР. Вып. 19а. М., 1968. 3-15.
5. Spira P.M. On time-hardware complexity tradeoffs for Boolean functions // Proc. 4th Hawai Symp. on System Sciences. North Hollywood: Western Periodicals Company, 1971. 525-527.
6. Храпченко В.M. О соотношении между сложностью и глубиной формул // Методы дискретного анализа в синтезе управляющих систем. Вып. 32. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. 76-94.
7. Wegener I. Relating monotone formula size and monotone depth of Boolean functions // Inform. Procès. Lett. 1983. 16. 41-42.
8. Угольников A.B. О соотношении между глубиной и сложностью формул для замкнутых классов двузначной логики //IV Всесоюз. конф. "Применение методов математической логики": тез. докл. Таллин, 1986. 184.
9. Угольников A.B. О полиномиальной эквивалентности формул для замкнутых классов двухзначной логики // VII Всесоюз. конф. "Проблемы теоретической кибернетики": тез. докл. Часть 1. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1985. 194-195.
10. Ragaz М.Е. Parallelizable algebras // Arch, fur math. Log. und Grundlagenforsch. 1986/87. 26. 77-99.
11. Ахметова JI. И. О глубине формул для предполных классов трехзначной логики // Методы и системы технической диагностики. Вып. 18. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1993. 19-20.
k
Матем. Механ. 2000. №6. 65-68.
k
// Математические вопросы кибернетики. М.: Физматлит, 2004. 223-278.
14. Сафин Р. Ф. О равномерности систем монотонных функций // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. №2. 15-20.
15. Rosenberg L. La structure des fonctions de plusieurs variables sur un ensemble fini // C. r. Acad. sei. Paris. Ser. A. 1965. 260.3817-19.
k
Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. №1. 31-37.
17. Тарасов П. Б. О равномерности некоторых систем функций многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. №2. 61-64.
18. Угольников A.B. О замкнутых классах Поста // Изв. вузов. Математика. 1988. 7. 79-88.
19. Угольников А.Б. Классы Поста. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф.-те МГУ, 2008.
20. Post E.L. Two-valued iterative systems of mathematical logic // Ann. Math. Stud. 1941. 5.
21. Яблонский C.B., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966. 3-15.
22. Марченков С.С. Об id-разложениях класса Pk над предполными классами // Дискрет, матем. 1993. 5, № 2. 98-110.
Поступила в редакцию 22.02.2013
УДК 511
О ЯВНОМ ВИДЕ МЕТРИК БЕРТРАНА
О. А. Загрядский1, Д. А. Федосеев2
Исследуется задача о поиске явного вида метрики вращения на римановых многообразиях Бертрана в координатах определенного вида. Демонстрируется связь с более ранними результатами М. Сантопрете.
Ключевые слова: многообразие Бертрана, поверхность вращения, гамильтоновы системы.
The problem of explicit form of the metric of revolution on Bertrand's Riemannian manifolds in particular coordinates is solved. Connections with earlier results due to M. Santoprete are discussed.
Key words: Bertrand's manifold, surface of revolution, Hamiltonian systems.
1. Введение. В работе fl] было введено понятие римановых многообразий Берт,рана, возникающих как конфигурационное пространство задачи о движении точки по замкнутым траекториям в потенциальном поле. В общем случае под многообразием Бертрана понимается двумерное риманово многообразие S ~ I х S1, где I С R — интервал, снабженное такой метрикой вращения
1 0
0 f 2(r)
2^1 (1)
в координатах (r, ^ mod 2п), что на этом многообразии существует хотя бы один центральный потенциал (называемый бертрановским), обеспечивающий замкнутость определенного класса траекторий движения точки по поверхности в данном потенциальном поле. При этом указанные замкнутые орбиты, не являющиеся круговыми, задаются периодическими функциями r = r(^>) с минимальным положительным периодом Ф = где /3 £ Q>o — рациональная константа, называемая постоянной Берт,рама. В данной статье под римановыми многообразиями Бертрана понимается чуть более широкий класс многообразий, получающийся заменой требования замкнутости класса орбит требованием того, что некруговые орбиты этого класса задаются периодическими функциями r = r(^>) с минимальным положительным периодом Ф = Щ-, где /3 £ R>o — некоторая (не обязательно рациональная) константа.
В работе [1] было показано, что римановы многообразия Бертрана без экваторов (т.е. такие, что f '(r) = 0 на I) — это в точности те многообразия, риманова метрика которых может быть записана в
определенном явном виде (см. (3)) в некоторых координатах (в,^> mod 2п), таких, что в = 0(r), причем
1 2
fj, = ИЛИ fj, =
f
многообразия Бертрана без экваторов, должна удовлетворять определенному дифференциальному уравнению (см. (2) ниже), где в — постоянная Бертрана. Важность этого дифференциального уравнения
1 Загрядский Олег Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: grcpozagQmail.ru.
2 Федосеев Денис Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: denfedexQyandex .ru.
