CC BY
41
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 156, кн. 3 Физико-математические науки
2014
УДК 519.95
О РЕАЛИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННЫМИ а-ФОРМУЛАМИ
Л.Н. Сысоева
Аннотация
Рассмотрена задача о реализации булевых функций обобщенными а-формулами. Введено понятие обобщенной а-формулы. Определено понятие универсального множества обобщенных а-формул для заданного множества булевых функций. Введено понятие двойственных обобщенных а-формул, сформулирован принцип двойственности. Показано, что для каждого n > 2 для множеств T0(n) и Ti(n) всех булевых функций от переменных xi,x2,...,xn , сохраняющих константы 0 и 1 соответственно, существуют универсальные множества.
Ключевые слова: булева функция, формула, реализация функций формулами.
Множество всех функций к-значной логики обозначим через Pk, к > 2. Следуя [1], определим индуктивно понятие а-формулы над системой A, A С Pk . Символ переменной является а-формулой над A; такие формулы называются тривиальными. Выражение вида и(Ф), где Ф - а-формула над A, а и - символ одноместной функции из A, является а-формулой. Выражение вида д(Ф, xi2,..., xim), где Ф - а-формула над A, а xi2,...,xim - символы переменных, m > 2, и д -символ m-местной функции из A, также является а-формулой. Предполагается при этом, что других а-формул над A нет. Множество всех функций, реализуемых нетривиальными а-формулами над A, называется а-пополнением системы A и обозначается через [A]a. Система A С Рк называется а-полной, если Pk = [A]a. Известно, что в Р2 не существует конечных а-полных систем; при этом в Рк при всех к > 3 конечные а-полные системы существуют [1-3]. В работах [4, 5] свойства а -формул изучены с точки зрения теории сложности.
Введем необходимые определения. Положим Е2 = {0,1}. Обозначим через Е2 множество всех наборов длины n, компоненты которых принадлежат Е2 . Наборы (0,0,..., 0) и (1,1,..., 1) длины n обозначим через 0 и 1 соответственно. Пусть /3,7 € Е22. Будем говорить, что набор /3 больше или равен набору 7 (обозначение 7 > 7), если для каждого i такого, что 1 < i < n, выполнено неравенство Д > Yi; набор 3 строго больше набора 7 (обозначение 3 >7), если в > 7 и 7 = = 7. Функция f (xi, x2,..., xn) € P2 называется монотонной, если для любых двух наборов 7, 7 € ЕП таких, что 3 > 7, верно неравенство f (3) > f (7). Пусть
7, 7 € ЕП. Будем говорить, что набор 7 противоположен набору 7, если 7i = Yi для всех i = 1, 2,... ,n. Пусть f (xi, x2,. .., xn) € P2 , функция f (xi,x2,. .. ,xn) называется двойственной к функции f (обозначение f * ). Через To(n) обозначается множество всех булевых функций, сохраняющих константу 0 и зависящих только от переменных xi, x2,... ,xn, n > 1.
Пусть D С P2. Формулу над D, множество переменных которой совпадает с множеством {xi, x2,..., xn}, обозначим через ФД1, x2,... ,xn). Значение формулы Ф на наборе 7 обозначим через Ф(7). Графическое равенство формул Ф и Ф
116
О РЕАЛИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННЫМИ а-ФОРМУЛАМИ 117
будем обозначать через Ф = Ф. Пусть Ф -формула над D вида f Ф2, ■ ■ ■, Фп),
где Ф1, Ф2, ■ ■ ■, Фп - формулы над D. Внешним функциональным символом формулы Ф назовем символ f(п). Пусть функция f двойственна к функции g, тогда соответствующие им функциональные символы назовем двойственными. Обозначим через Ф* формулу, полученную заменой каждого функционального символа, входящего в формулу Ф, на двойственный ему функциональный символ.
Пусть Vq = (A, В, Q, F, G, q) - конечный инициальный автомат, где A, В и Q -конечные множества входных символов, выходных символов и символов состояний соответственно; F и G - функции выхода и перехода соответственно; q - начальное состояние, q G Q. Пусть fvq - автоматная функция, вычисляемая конечным инициальным автоматом Vq. Состояниями автоматной функции fvq называются состояния автомата Vq. Определения автомата, инициального автомата и автоматной функции можно найти в [6, 7]. Далее будут рассматриваться только такие автоматные функции, которые в каждом состоянии реализуют некоторую функцию алгебры логики.
Пусть C - некоторое множество булевых функций, а A - конечное множество автоматных функций, реализующих в каждом состоянии некоторую функцию из множества C. По аналогии с понятием а-формулы над множеством функций из Pk определяется понятие а-формулы над множеством A. Пусть y>(xi,x2, ■ ■ ■ ,xn) -а-формула над множеством A, а C = (pi, р2, ■ ■ ■ , р2п) - последовательность всех двоичных наборов длины n, n > 1. Рассмотрим последовательно значения формулы р на наборах pi, i = 1, 2, ■ ■ ■, 2п . Таким образом, зададим последовательность р(pi), р(р2),■■■, р(р2п) значений формулы р на всех двоичных наборах длины n. Формуле р сопоставим функцию f (xi,x2, ■ ■ ■ ,xn) алгебры логики такую, что выполнены равенства f (РР) = р(pi) для всех i = 1, ■ ■ ■, 2п . Обобщенной а-формулой F над множеством A назовем пару (р,С), где р - формула над A, а С - последовательность всех двоичных наборов длины n. Значение формулы F на наборе р обозначается через F\^ и определяется равенствами F\^ = р(р) =
= f (Р), Р G ЕП, где f - функция алгебры логики, реализуемая формулой F. В момент времени t, где 1 < t < 2п + 1, каждая автоматная функция, входящая в формулу р, находится в состоянии, отвечающем некоторой функции из множества C. Заменим все символы автоматных функций, входящих в р, на символы соответствующих функций из множества C. Получим некоторую а-формулу Ф( над C. Таким образом, в каждый момент времени t обобщенной а-формуле F над множеством A поставлена в соответствие а-формула Ф4 над C, 1 < t < 2п + 1. Назовем Ф! начальной формулой обобщенной а-формулы F.
Пусть B - некоторое множество булевых функций. Множество A обобщенных а-формул называется универсальным для B, если для любой функции f из B существует формула F из множества A такая, что F реализует функцию f .
Пусть Vqi - конечный инициальный автомат с двумя входами и одним выходом такой, что {qi,q2} - множество его состояний, при этом в состоянии qi автомат реализуют функцию xi Vx2 , в состоянии q2 - функцию 0(xi, x2) и в момент времени t автомат переходит из состояния qi в состояние qj тогда и только тогда, когда входные символы в этот момент времени совпадают и равны 0, i = j. Обозначим через fv и fvq2 автоматные функции, реализуемые инициальными автоматами Vqi и Vq2 соответственно. Пусть п - фиксированный порядок переменных xl,x2,■■■,xn. Через рП обозначим а-формулу над {fvqi}, в которую каждая переменная xi,x2^■■pxn входит ровно один раз, и вхождения этих переменных соответствуют порядку п. Обозначим через ВП множество и{(рП ,С)}, где объединение берется по всевозможным последовательностям всех двоичных наборов длины n .
118
Л.Н. СЫСОЕВА
Основным результатом настоящей работы является следующая
Теорема 1. Для любого n > 2, для любого порядка п переменных xi, Х2,. .. ,xn множество обобщенных а -формул Bn является универсальным для множества To( n).
Аналогичная теорема для множеств Toi(n) булевых функций, сохраняющих константы 0 и 1, где n > 2, была доказана в работе [8].
Доказательство теоремы 1 опирается на несколько вспомогательных результатов (леммы 1-3).
Лемма 1. Пусть р - формула из автоматных функций над {fvqi, fvq2} с n входами, а а - двоичный набор длины n. Тогда если на р подать последовательность (а, а), то формула р на наборе а оба раза примет одинаковые значения.
Доказательство. Эту лемму нетрудно доказать индукцией по глубине формулы р.
База индукции. Пусть глубина р равна единице. Рассмотрим два случая. Первый случай, пусть а = (0, 0). Тогда в силу выбора функций, реализуемых автоматом V в обоих его состояниях, формула р на наборе а оба раза примет значение
0. Второй случай, пусть а G {(0,1), (1, 0), (1,1)}. Тогда в силу выбора функции перехода для автомата V верно равенство Фх = Ф2, а значит, формула р на наборе
а оба раза примет одинаковые значения.
Индукционный переход. Пусть утверждение доказано для всевозможных формул р глубины m. Докажем его для формулы р глубины m +1. На внешний функциональный символ формул Фх и Ф2 подаются одинаковые наборы в силу предположения индукции. Значит, возможны два случая. Первый случай, когда на внешний функциональный символ формул Фх и Ф2 подается набор (0,0). Тогда в силу выбора функций, реализуемых автоматом V в обоих его состояниях, формула р на наборе аа оба раза принимает значение 0. Второй случай, когда на внешний функциональный символ подается набор из множества {(0,1), (1,0), (1,1)}. Тогда в силу выбора функции перехода для автомата V верно равенство Фх = Ф2 ,
а значит, формула р на наборе а оба раза примет одинаковые значения. Лемма доказана. □
Везде далее рассматриваются обобщенные а-формулы над множеством {fv } с начальными формулами следующего вида: х\ V (х2 V ... (xn_2 V (xn_i V xn))...).
Лемма 2. Пусть F = (р,С) - обобщенная а-формула над {fvqi}, С = = (0i, Р2, .. ., р2п), существует такое i, 1 < i < 2n — 1, что набор /32 имеет в лексикографическом порядке меньший номер, чем набор 0i+i, и верно равенство F= 1. Тогда верно равенство F\^ + = 1.
Доказательство. Эту лемму нетрудно доказать индукцией по глубине формулы р .
База индукции. Пусть глубина р равна единице. Пусть верны равенства О = = (в), в2) и Oi+i = (в\+\ в2+1). Поскольку F\р = 1, то формула Фi имеет вид xi V Х2 и верно одно из равенств в) = 1 или [32 = 1. Значит, в силу правил смены формула Ф)+! имеет вид xi V x2. Если верно равенство в\ = 1, то = 1, и,
следовательно, верно F\^ + = 1. Если верно в2 = 1, то [3l^i = 1, и, следовательно,
верно F|;§.+1 =1.
Индукционный переход. Пусть верны равенства 0 = (в), в2,..., в2) n) и
0i+i = (в2+1, el2+i,..., в2+i). Поскольку F\р = 1, то формула Ф2 имеет вид
О РЕАЛИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННЫМИ а-ФОРМУЛАМИ 119
xi V Ai(x2, Х3,..., xn) и верно одно из равенств в\ = 1 или Ai(в2, в3, • • •, вгп) = 1. Значит, в силу правил смены формула Ф2+1 имеет вид xi VBi(x2, Х3,..., xn). Если верно равенство в2 = 1, то А2+1 = 1, и, следовательно, верно F+ = 1. Если
верно Ai (в2, в3, • • •, вП) = 1 и в\+1 = 0, то доказываемое утверждение следует из индукционного предположения. Лемма доказана. □
Лемма 3. Пусть F = (щ,С) - обобщенная а-формула над {fv }, С = = (/?i, в2, • • •, р2п) и существует такое i, 1 < i < 2n — 1, что набор в2 имеет в лексикографическом порядке больший номер, чем набор At+i, и верно равенство F\р = 0 . Тогда верно равенство F\^ + = 0 .
Доказательство. Поскольку набор At имеет в лексикографическом порядке больший номер, чем набор At+i, то верны равенства
и
At = ( в2, в2,..., ej, 1, ej+2,..., в2п) 32+i = (в2, ej, о, ej+2,..., в2+1)
для некоторого 0 < j < 2n — 1 .То есть первые j символов наборов At и At+i совпадают, (j + 1) -й символ набора At равен 1, а (j + 1) -й символ набора At+i равен 0, где 0 < j < 2n — 1. Рассмотрим формулы Ф2 и Ф2+1 . Поскольку F\^ = 0,
то Ф2( At) = 0 .В силу леммы 1 верно равенство Ф2+1( At) = 0 .В силу монотонности и симметричности по переменным функций, реализуемых автоматом V в обоих состояниях, и вида наборов At и At+i верно неравенство 0 = Ф2+1(At) > Ф2+1(At+i). А значит, Ф2+1(At+i) = 0. Лемма доказана. □
Докажем теорему 1.
Доказательство. Пусть ВЩ - такое множество обобщенных а-формул, что начальная формула формулы имеет вид
xi V (x2 V • •• (xn-2 V (xn-i V xn)) ... ).
Пусть f (xi,x2, • • •, xn) - произвольная функция из множества To(n), где n > 2. Опишем процесс построения такой последовательности С всех двоичных наборов длины n, что обобщенная а-формула F = (щ, С) над {fv } реализует функцию f. В дальнейшем предполагаем, что длина всех двоичных наборов равна n.
Сначала записываем все наборы с первым нулевым разрядом, на которых функция f принимает значение 1 , в лексикографическом порядке. Предположим, что число таких наборов равно ki, 0 < ki < 2n-i — 1. На первом наборе обобщенная а -формула F принимает значение 1 в силу того, что начальная формула имеет вид xi V (x2 V ... (xn-2 V (xn-i V xn))...), и набор не является нулевым.
На наборах со второго по ki -й формула F принимает значение 1 в силу леммы 2. При этом на внешний функциональный символ всех формул Ф2 при 1 < i < ki будет подаваться набор (0, 1) , поэтому в силу выбора функции перехода автомата V формула Ф^+i будет иметь вид xi V В(x2,x3,... ,xn), где B(x2, x3,..., xn) - некоторая формула над {x V y, 0(x, y)}.
Затем записываем все наборы с первым единичным разрядом, на которых функция f принимает значение 1 , в произвольном порядке. Предположим, что число таких наборов равно k2, 0 < k2 < 2n-i. Поскольку формула Фд^ + i имеет вид xi VB(x2, x3,... ,xn), где В (x2, x3,... ,xn) - некоторая формула над {x V y, 0(x, y)},
120
Л.Н. СЫСОЕВА
то на (k* + 1)-м наборе обобщенная формула F принимает значение 1. При этом на внешний функциональный символ всех формул Ф* при ki + 1 < i < ki + k2 будет подаваться набор (1,а), где a € {0,1}, поэтому в силу выбора функции перехода автомата V все формулы Ф* при ki + 2 < i < ki + k2 + 1 будут иметь вид x* VB(x2, хз,... ,xn), где B (x2, хз,... ,xn) - некоторая формула над {x V y, 0(x, y)}. Следовательно, на всех наборах с ki + 1 по ki + k2 формула F принимает значение 1 .
Далее записываем набор 0. Поскольку все булевы функции, реализуемые автоматной функцией fv в любом состоянии, принадлежат классу То, то на наборе 0 формула F принимает значение 0. В силу выбора функции перехода для автомата V формула Фкг+к2+2 имеет вид 0(xi, B(x2, x%,... ,xn)), где B(x2 ,x3,..., xTl) -некоторая формула над {x V y, 0(x, y)}.
После этого записываем все наборы с первым единичным разрядом, на которых функция f принимает значение 0, в произвольном порядке. Число таких наборов равно 2n-i — k2 . Поскольку формула Фк1+к2+2 имеет вид 0(xi, B(x2, x3,..., xn)), где B(x2 ,x3,...,xn) - некоторая формула над {x V y, 0(x,y)}, то на первом наборе этого множества обобщенная формула F принимает значение 0. При этом на внешний функциональный символ всех формул Ф* при ki + k2 +2 < i < ki + + 2n-i + 1 будет подаваться набор (1, a), где a € {0,1}, поэтому все формулы Ф* при ki + k2 +2 < i < ki + 2n-i + 2 будут иметь вид 0(xi, B(x2, x3,.. ., xn)), где B(x2, x3,..., xn) - некоторая формула над {x V y, 0(x, y)}. Следовательно, на всех наборах с ki + k2 + 2 по ki + 2n-i + 1 формула F принимает значение 0.
Наконец, записываем все наборы с первым нулевым разрядом, на которых функция f принимает значение 0, в обратном лексикографическому порядке. Число таких наборов равно 2n-i — ki — 1. На первом таком наборе обобщенная а-формула F принимает значение 0 в силу того, что формула Ф^+2^-1+2 имеет вид 0(xi, B(x2, x3,..., xn)), где B(x2, x3,..., xn) - некоторая формула над {x V y, 0(x,y)}. На остальных наборах формула F принимает значение 0 в силу леммы 3.
Теорема доказана. □
Следует отметить, что если булева функция f (xi,x2,... ,xn) не принадлежит множеству То(п), то ни для какого порядка п переменных xi,x2,... ,xn не существует обобщенной а-формулы из множества Bn, реализующей эту функцию для п > 2.
Введем теперь понятие двойственных обобщенных а -формул. Пусть fi , f2 -булевы функции такие, что fi = f 2 . Пусть F - автоматная функция с множеством состояний {si,S2}, реализующая в состоянии s* функцию f*, такая, что функция перехода удовлетворяет следующему условию: равенство G(s*, 3) = Sj выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство G(sj ,3) = s*, где 3 - набор, противоположный набору 3, и i,j € {1, 2}. Пусть Fi = (<p,C) и F2 = (ф,В) -обобщенные а-формулы над {F}, где C = (3i,32,... ,32™), D = (31,32,... ,32^), а Ф1 и Ф* - начальные формулы обобщенных а-формул Fi и F2 соответственно. Формулы F1 = (p, C) и F2 = (ф, D) над {F} будем называть двойственными, если выполнено равенство Ф1 = Ф* и для каждого i, 1 < i < 2n, набор 3* противоположен набору 3* .
Следующую лемму нетрудно доказать индукцией по глубине начальных формул.
Лемма 4. Двойственные обобщенные а -формулы реализуют двойственные функции.
О РЕАЛИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННЫМИ а-ФОРМУЛАМИ 121
Из леммы 4 следует, что для обобщенных а-формул выполнен принцип двойственности.
Докажем теорему, двойственную к теореме 1.
Пусть Wqi - конечный инициальный автомат с двумя входами и одним выходом такой, что {qi, q2 } - множество его состояний, при этом в состоянии qi автомат реализует функцию Х1&Х2 , в состоянии q2 - функцию 1(xi, Х2), и в момент времени t автомат переходит из состояния q2 в состояние qj тогда и только тогда, когда входные символы в момент t совпадают и равны 1, i = j . Обозначим через fwqi и fwq2 автоматные функции, реализуемые инициальными автоматами Wqi и Wq2 соответственно. Пусть п - фиксированный порядок переменных xi, Х2,... ,xn. Через фп обозначим а-формулу над {fwqi}, в которую каждая переменная xi,x2,...,xn входит ровно один раз, и вхождения этих переменных соответствуют порядку п. Обозначим через D£ множество ^{(фп,С)}, где объединение берется по всевозможным последовательностям всех двоичных наборов длины n.
Теорема 2. Для любого n > 2, для любого порядка п переменных xi, x2,. .. ,xn множество обобщенных а-формул Dn является универсальным для множества Ti( n).
Следует отметить, что если булева функция f (xi,x2,... ,xn) не принадлежит множеству Ti(n), то ни для какого порядка п переменных xi,x2,... ,xn не существует обобщенной а-формулы из множества Dn, реализующей эту функцию, n > 2.
В заключение автор выражает искреннюю признательность А.Б. Угольникову за постановку задачи и О.С. Дудаковой за обсуждение результатов работы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00598) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения» (проект «Задачи оптимального синтеза управляющих систем»).
Summary
L.N. Sysoeva. On the Problem of Implementation of Boolean Functions by Generalized a-Formulas.
In this paper, we consider the problem of implementation of Boolean functions by generalized a-formulas. The notion of a generalized a-formula is introduced. For a given set of Boolean functions, we define the notion of a universal set of generalized a-formulas. We also propose the notion of dual generalized a -formulas and formulate the principle of duality for generalized a-formulas. The presence of universal sets of generalized a-formulas is proved for every n > 2 for the sets To (n) and T1(n) of 0-preserving and 1-preserving Boolean functions of the variables x1,x2,... ,xn .
Keywords: Boolean function, formula, implementation of functions by formulas.
Литература
1. Глухов М.М. Об a -замкнутых классах и a -полных системах функций k-значной логики // Дискретная матем. - 1989. - Т. 1, № 1. - С. 16-21.
2. Чернышев А.Л. Условия a-полноты систем функций многозначной логики // Дискретная матем. - 1992. - Т. 4, № 4. - С. 117-130.
3. Шабунин А.Л. Примеры a -полных систем k-значной логики при k = 3, 4 // Дискретная матем. - 2006. - Т. 18, № 4. - С. 45-55.
122
Л.Н. СЫСОЕВА
4. Трущин Д.В. О глубине а-пополнения систем булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. - 2009. - № 2. - С. 72-75.
5. Трущин Д.В. Об оценках глубины а -пополнений систем функций трехзначной логики // Проблемы теоретической кибернетики: Материалы XVI Междунар. конф. -Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2011. - С. 484-487.
6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.: Высш. шк., 2006. - 384 с.
7. Конспект лекций О.Б. Лупанова по курсу «Введение в математическую логику» // Отв. ред. А.Б. Угольников. - М.: Изд-во ЦПИ при мех.-матем. фак. МГУ имени
М.В. Ломоносова, 2007. - 191 с.
8. Сысоева Л.Н. О некоторых свойствах обобщенных а-формул // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. - 2013. - № 4. - С. 51-55.
Поступила в редакцию
06.08.14
Сысоева Любовь Николаевна - аспирант кафедры дискретной математики, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва, Россия. E-mail: [email protected]
