CC BY
86. Rais M. L'indice des produits semi-directs E xp g // Comp. rend. Acad. sci. Paris. 1978. 287, N 4. 195-197.
7. Жданова М.М. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы на полупрямых суммах алгебр Ли // Матем. сб. 2009. 200, № 5. 3-32.
Поступила в редакцию 16.06.2010
УДК 519.95
О ПОЛНОТЕ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ ДЛЯ КЛАССОВ РАСШИРЕННОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ
Я. В. Акулов1
Рассмотрена задача о реализации булевых функций формулами специального вида. Введено понятие пополнения систем булевых функций. Получены критерии полноты для рассматриваемых функциональных систем.
Ключевые слова: булева функция, формула, суперпозиция, полнота, выразимость.
A problem of realisation of Boolean functions by formulas of special type is considered. A notion of supplement of systems of Boolean functions is defined. Criteria of completeness of the considered functional systems are obtained.
Key words: Boolean function, formula, superposition, completeness, expressibility.
В работе рассматривается задача о реализации булевых функций формулами специального вида. Вводится понятие пополнения систем булевых функций. Устанавливаются критерии полноты для рассматриваемых функциональных систем (см. также [1]).
Э. Пост [2, 3] получил полное описание семейства замкнутых (относительно операции суперпозиции) классов функций двузначной логики (см. также [4-6]). Как показал Пост, мощность этого множества является счетной. Напротив, известно [7], что семейство всех замкнутых классов функций k-значной логики при k ^ 3 имеет континуальную мощность. В связи с этим исследование множества замкнутых классов многозначной логики сопряжено со значительными трудностями. В ряде работ рассматриваются другие операции замыкания, позволяющие получить "более просто" устроенное семейство замкнутых классов (обзор некоторых результатов, полученных в этом направлении, см., например, в [8]). Данная работа относится к этому направлению исследований. Вводится понятие операции расширенной суперпозиции и рассматриваются множества булевых функций, получаемые путем пополнения замкнутых классов с помощью этой операции. Необходимые определения можно найти в [5, 6, 9]. Обозначения для замкнутых классов булевых функций соответствуют работам [5, 6].
Обозначим через X счетное множество символов переменных, а через P2 — множество всех булевых функций. Пусть F С P2. Обозначим через F(n) множество всех функций, принадлежащих F и зависящих только от переменных Х\,..., xn, n ^ 1. Положим E = {0,1}. Обозначим через En множество всех наборов а = (ai,..., ап), таких, что ai, ...,an Е E, n ^ 1. Пусть а = (ai,..., an) Е En, (3 = (fii,..., (3n) Е En, n ^ 1. Будем говорить, что а ^ 3, если для любого i, 1 ^ i ^ n, выполнено неравенство ai ^ fa. Функцию f (xi,..., xn) Е P2 будем называть селекторной, если существует такой номер i, 1 ^ i ^ n, что для любого набора а = (ai,..., an) из En выполняется равенство f (а) = ai. Будем обозначать эту функцию через Xi. Будем называть функцию f(xi,...,xn) Е P2 константой нуль (соответственно константой единица), если она принимает значение 0 (соответственно 1) на всех наборах из En, n ^ 1, и обозначать через
0 (соответственно 1). Функцию f(x\, Х2, ■ ■ ■, хп) будем называть двойственной к функции f(x\,..., хп) (обозначение f *(xi,... ,xn)). Пусть B С P2. Обозначим через B* множество всех функций g Е P2, таких, что g* Е B. Пусть f (xi,..., xn) Е P2, а П = Ki + ... + Kr — полином Жегалкина этой функции. Здесь Ki,
1 = 1,...,r, — м,оно.м,ы, т.е. различные выражения вида x^ xj2 ...xjt, 0 или 1, 1 ^ ji < j < ... < ji ^ n, 1 ^ l ^ n, причем выражение может быть равным 0, если только функция является константой нуль. Рангом монома xj1 xj2 .. .xjk, k ^ 1, будем считать k, а рангом мономов 0 и 1 будем считать 0. Назовем рангом
1 Акулов Ярослав Викторович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
функции наибольший ранг среди всех рангов мономов из ее полинома Жегалкина. Пусть ш ^ 2. Будем говорить, что функция /(х\,..., хп) удовлетворяет условию < 0т > (соответственно < 1т >), если любые ш наборов, на которых функция / равна 0 (соответственно 1), имеют общую нулевую (соответственно единичную) компоненту. Будем говорить, что функция /(х1,...,хп) удовлетворяет условию < > (соответственно < >), если все наборы, на которых функция / равна 0 (соответственно 1), имеют общую нулевую (соответственно единичную) компоненту.
Следуя работам [5, 6], перечислим множества булевых функций: Т — множество всех функций, сохраняющих константу 1; То — множество всех функций, сохраняющих константу 0; 5 — множество всех самодвойственных функций; М — множество всех монотонных функций; Ь — множество всех линейных функций; К — множество всех конъюнкций; В — множество всех дизъюнкций; От — множество всех функций, удовлетворяющих условию < 0т >, ш = 2,...,с; 1т — множество всех функций, удовлетворяющих условию < 1т >, ш = 2,..., с; V — множество всех функций, существенно зависящих не более чем от одной переменной; С — множество всех функций, не имеющих существенных переменных. Для классов То и Т1 будем использовать также обозначения 11 и О1 соответственно. Нетрудно показать, что все перечисленные множества булевых функций являются замкнутыми классами относительно операций суперпозиции и введения несущественных переменных.
Положим Т01 = То П Т1. Обозначим через М1, Ь1, К1, В1, V!, С1, 1т пересечения Т1 с классами М, Ь, К, В, и, С, 1т соответственно, через Мо, Ьо, Ко, Во, Цо, Со, О0™ — пересечения То с классами М, Ь, К, В, V, С, От соответственно, через 5о1, Мо1, Ьо1, Ко1, Во1, Цц — пересечения Тл с классами 5, М, Ь, К, В, и соответственно, через МОт, М1т, МОт, МЦ^, МЦ — пересечения М с классами От, 1т, От, 1т, V соответственно, ш = 2, 3,..., с. Положим 5М = 5 П М, 5Ь = 5 П Ь, БЦ = 5 П V.
Пусть Е — множество булевых функций, содержащее все селекторные функции и замкнутое относительно операций введения несущественных переменных и переименования (включая отождествление) переменных. Будем называть такие множества инвариантными классами. Равенство функций будем понимать с точностью до несущественных переменных. Поэтому операцию введения несущественных переменных в определении инвариантного класса можно опустить. Обозначим через Т семейство всех инвариантных классов булевых функций. Очевидно, что всякий замкнутый класс булевых функций, отличный от классов С, Со и С1, является инвариантным классом. Необходимо подчеркнуть, что это понятие отличается от понятия инвариантного класса, введенного С.В.Яблонским [10,11]. Отметим также, что инвариантный класс в описанном выше смысле является частным случаем инвариантного класса в терминах работы [12].
Пусть Е ЕТ, А С Р2. Пару таких множеств (Е, А) будем называть типом булевых функций. Определим индуктивно понятие формулы над типом V = (Е, А).
1. Выражение вида д(х^ ,Х12,...,Хгп), где д Е Е, хг1,...,Хгп — символы переменных из X, п ^ 1, является формулой над V. Такие формулы будем называть тривиальными.
2. Пусть Ф1, Ф2,. ..,Фп — формулы над V, / (х1,... ,хп) € А, п ^ 1. Выражение Ф вида / (Ф1, Ф2,..., Фп) является формулой над V. Будем называть Ф1,..., Фп подформулами формулы Ф. Формулу Ф и все подформулы формул Ф1,..., Фп будем также называть подформулами формулы Ф.
Формулу Ф, содержащую символы переменных х1 ,...,хп и не содержащую других символов переменных, будем обозначать через Ф(х1,... ,хп).
Заметим, что всякая формула над типом (Е, А) является формулой над множеством Е и А и поэтому реализует некоторую булеву функцию. Способ реализации булевых функций формулами указанного вида будем называть операцией расширенной суперпозиции. Формулы Ф и Ф, реализующие равные функции, будем называть эквивалентными (обозначение Ф = Ф).
Пусть А С Р2, Е ЕТ. Пополнением системы А относительно класса Е назовем множество всех булевых функций, реализуемых нетривиальными формулами над типом (Е, А) (обозначение [А]^). Отметим, что если Е состоит только из селекторных функций, то [А]^ = [А]. Будем называть тип (Е, А) полным (в Р2), если [А]^ = Р2.
Пусть (Е, А) — тип булевых функций, А = [А]. Отметим следующие простые свойства множества [А]Р:
1) для любого типа (Е, А) выполнено равенство [А]^ = [А]^;
2) пусть Н(х1,х2,..., хп) Е [А]^ ,п ^ 1. Тогда существуют функция д(у1,..., ук) из А, к ^ 1, и попарно различные функции /1(х1,х2,..., хп),..., /к (х1,х2,..., хп) из Е, такие, что
Н(х1 ,х2, ...,хп)= д(/1(х1 ,х2,.. .,хп),..., /к(х1 ,х2,.. .,х,п));
3) для любого типа (Е, А) выполнено равенство [А]^ = ([А**)* (принцип двойственности).
Из первого свойства следует, что при исследовании пополнений систем булевых функций достаточно
рассматривать только пополнения замкнутых классов функций. В дальнейшем при рассмотрении какого-либо типа (F, A) будем подразумевать, что A — замкнутый класс. Пусть A — замкнутый класс, n,k ^ 1. Рассмотрим набор
Qn,k = (e\...,9k), где вг = К,...,< ,вг) е En+l,i = 1,...,k.
Пусть аг = (а\,..., агп), i = 1,...,k. Положим
A(Qnk) = (в1,..., ак), B (Qnk) = (в1,..., вк).
Будем называть наборы <вг, i = 1,...,k, поднаборами набора A(Qn,k). Набор Qn,k называется допустимым, если для любых i и j, 1 ^ i < j ^ k, таких, что аг = a1, выполнено равенство вг = в1. Набор Qn, к называется согласованным с замкнутым классом A, если он удовлетворяет следующему свойству: существует функция f (xi,..., xn) е A, такая, что f (аг) = вг для всех i = 1,...,k. Эту функцию будем называть связующей для набора Qn,k и класса A. Очевидно, что набор Qn,k может быть согласованным с каким-либо замкнутым классом только тогда, когда он является допустимым. Отметим, что связующих функций для заданных набора и класса может быть несколько.
Пусть h(xi,...,xn) е P2, n > 1, F е F, F(n) = {fi,...,fi}, l > 1, и пусть En = {71 ,в2,...,72"}. Рассмотрим набор
Ri, 2п = (в1,...,^), где вг = (Д(вг),..., f0),h(e)) е El+1,i = 1,...,2n.
Назовем Ri,2n главным набором функции h относительно инвариантного класса F.
Докажем следующую лемму, в которой формулируется критерий выразимости функций в терминах расширенной суперпозиции.
Лемма 1. Пусть A — замкнутый класс, F е F, h(x1,... ,xn) е P2, n ^ 1. Тогда h е [A]^, если и только если главный набор функции h относительно F является согласованным с классом A.
Доказательство. Пусть h(x1 ,...,xn) е [A]^, Ri,2™ — главный набор функции h относительно F. Пусть F(n) = {f1 ,...,fi}, l ^ 1. Согласно второму свойству пополнения, существуют некоторая функция g(y1,..., yk) е A (k ^ 1) и различные функции ^, ...,fj^k е F(n), такие, что формула
g(fгl (x1,..., xn),..., hk (x1,..., xn))
реализует функцию h. Очевидно, что k ^ l. Рассмотрим функцию A(z1, ...,zi), такую, что для любых a.1,... ,ai ,в1, ...,ek е E, где о^ = в1 ,...,агк = ek, выполнено равенство A(ab ...,ai) = д(в1,... ,ek). Легко видеть, что А е A. Рассмотрим формулу
A(f1(x1,... , xn ),...,fi (x1,...,xn )).
Она также реализует функцию h(x1,..., xn) и является формулой над типом (F, A). Следовательно, функция А — искомая связующая функция для главного набора Ri,2™ функции h и класса A. Потому набор Ri,2n является согласованным с классом A.
Докажем утверждение леммы в другую сторону. Пусть главный набор Ri,2™ функции h является согласованным с классом A. Пусть g(x1,..., xi) — соответствующая функция из A, связующая для набора Ri,2". По определению формула g(f1(x1,..., xn),..., fi(x1,..., xn)) над типом (F, A) реализует функцию h(x1,..., xn). Лемма доказана.
В содержательном смысле описываемые наборы представляют собой некоторую "неполную" таблицу булевой функции, т.е. частичную функцию, определенную на некотором подмножестве En. Эту таблицу можно "достроить" различными способами до "полной" и доопределить таким образом частичную функцию до различных булевых функций. Если частичную функцию можно доопределить до некоторой функции из заданного замкнутого класса, то это означает, что набор (частичная функция) согласован с этим классом.
Сформулируем следующие критерии согласованности.
Утверждение 1. Набор Qn,k является согласованным с классом M тогда и только тогда, когда для любых i и j, таких, что 0г ^ 01, выполняется неравенство вг ^ в1, где 1 ^ i,j ^ k.
Утверждение 2. Набор Qn,k является согласованным с классом S тогда и только тогда, когда для
любых i и j, таких, что о1 = a\,...,0n = ajn, выполняется равенство вг = в1, где 1 ^ i,j ^ k.
Утверждение 3. Пусть т ^ 1. Набор Qn,k является согласованным с классом От тогда и только тогда, когда для любого д ^ т и любых д наборов ап,..., а%ч, являющихся поднаборами набора Л^пк) и таких, что /З4 = ... = /Згд = 0, найдется такое ] (1 ^ ] ^ п), что аг1 = ... = а-1 = 0.
Утверждение 4. Набор Qn,k является согласованным с классом Ор тогда и только тогда, когда для любого д ^ 1 и любых наборов ап,...,агч, являющихся поднаборами набора Л^пк) и таких, что /З4 = ... = в%ч = 0, найдется такое ] (1 ^ ] ^ п), 'что а— = ... = а-" = 0.
Пусть ¥ е Обозначим через С00, т ^ 1, множество всех булевых функций д(х\,... ,хп), п ^ 1, удовлетворяющих следующему условию: для любых т наборов, на которых функция д(х1,... ,хп) принимает нулевое значение, существует функция /(х1,... ,хп) е ¥, также принимающая на этих наборах нулевое значение. Обозначим через СрР множество всех булевых функций д(х1,... ,хп),п ^ 1, удовлетворяющих следующему условию: для любых д, д ^ 1, наборов, на которых функция д(х1,..., хп) принимает нулевое значение, существует функция /(х1,... ,хп) е ¥, также принимающая на этих наборах нулевое значение.
Имеет место следующее
Утверждение 5. Для любого инвариантного класса ¥ и любого т, т = 1,2,..., ж, выполнено равенство [От]* = Ст.
Имеет место следующая лемма о пополнениях пересечений некоторых замкнутых классов.
Лемма 2. Для любого инвариантного класса ¥ выполнены следующие утверждения.
1. Для любого замкнутого класса Л из множества {Т1, От, МОт, Б, М, М1} выполняется равенство
[Л П То]р = [Л]р П [То]*..
2. Для любого замкнутого класса Л из множества {От,То,Тл} выполняется равенство
[Л п м]Р = [Л]* п [М]*.
3. Справедливы следующие равенства:
[БМ]р = [МО2]Р П [МТ2]Р, [Би]р = [Б]* П [и]Р.
Обозначим через D множество всех отличных от константы 0 булевых функций, для которых выполнено равенство
fln. rv \ — I г., М i W ,
cnxn
f (xi, ...,xn) = (ci xI1) V (C2x^2 ) V ... V (Cnxn ),
где а1,...,ап е Е,С1 ,...,Сп е С = {0,1},п ^ 1.
Пусть ЭТ С Т — некоторое семейство инвариантных классов. Обозначим через ЭТ* семейство всех инвариантных классов ¥, таких, что ¥ * е ЭТ. Будем называть это семейство двойственным к семейству ЭТ.
Приступим теперь к формулировке и доказательству теоремы о полноте пополнений замкнутых классов булевых функций. С этой целью для каждого замкнутого класса Л введем некоторое семейство ЭТ(Л) инвариантных классов.
Положим: ЭТ(То) — семейство всех инвариантных классов ¥, таких, что или 1 е ¥, или БП С ¥; ЭТ(Б) — семейство всех инвариантных классов, содержащих 0 или 1; ЭТ(М) — семейство всех инвариантных классов, содержащих функцию ж; ЭТ(1^о1) — семейство всех инвариантных классов ¥, таких, что {1} и^ С ¥; ЭТ(К) — семейство всех инвариантных классов ¥, таких, что V С ¥; ЭТ(¥) — семейство всех инвариантных классов ¥, обладающих следующим свойством: для любого п ^ 1 класс ¥ содержит некоторую функцию /(х1,... ,хп) ранга п; ЭТ(П) — семейство всех инвариантных классов ¥, таких, что для любой функции д £ Р2 \ {0,1} множество ¥ содержит по крайней мере одну из функций д, д\ ЭТ(От),т ^ 1, — семейство всех инвариантных классов ¥, таких, что для любого п ^ 1 и для любых т наборов а1,..., ат е Еп существует функция / (х1,..., хп) е ¥, такая, что / (аг) = 1 для всех г = 1,... ,т; ЭТ(Ор) — семейство всех инвариантных классов ¥, таких, что для любого п ^ 1 и для любых т, т ^ 1, наборов й1,..., йт е Еп существует функция /(х1,..., хп) е ¥, такая, что /(аг) = 1 для всех г = 1,... , т.
Положим ЭТ(МП) = ЭТ(^) = ЭТ(По) = ЭТ(По1) = {Р2}.
Обозначим через ЭТ(То1), ЭТ(Мо), ЭТ(От) пересечение семейства ЭТ(То) с семействами ЭТ(Т1), ЭТ(М), ЭТ(От) соответственно, через ЭТ(МОт), ЭТ(МО0), ЭТ(Мо1) — пересечение семейства ЭТ(М) с семействами ЭТ(От), ЭТ(О0т), ЭТ(То1) соответственно, через ЭТ(Бо1) и ЭТ(БП) — пересечение семейства ЭТ(Б) с семействами ЭТ(Тл) и ЭТ(П) соответственно, через ЭТ(Б¥), ЭТ(¥о) — пересечение семейства ЭТ(¥) с семействами ЭТ(Б), ЭТ(То) соответственно.
Положим = ЭТ(5Ь) П ЭТ(Г01), ЩБЫ) = ЭТ(М) П П ЭТ(О2). Положим ЭТ(Ко) = ЭТ(Ко1),
ЭТ(К) = ЭТ(К1).
Пусть А е {Т1,М1,В01,В1 ,Бо, Б, Ь1}. Положим ЭТ(А) = ).
Теорема. Пусть А С Р2, А ^ С, Е е Т, А = [А]. Тогда равенство [А]^ = Р2 выполняется, если и только если Е е ЭТ(А).
Доказательство. Пусть А — произвольное множество булевых функций, а Е — произвольный инвариантный класс, такой, что [А]^ = Р2. Положим А = [А]. В силу первого свойства пополнения [А]^ = Р2. Доказательство теоремы проведем путем разбора возможных случаев.
1. Пусть А = 5 и Е е *Л(Б). Тогда Е содержит константу. Следовательно, [5]^ = Р2, так как 5 является предполным классом булевых функций.
Пусть [5]^ = Р2. Докажем, что Е содержит 0 или 1. Пусть Е(1) = {/1(х),...,/г(ж)}, г ^ 1. Рассмотрим наборы во = (/1(0),..., /г(0)) и 01 = (/1(1),..., /г(1)). Предположим, что эти наборы противоположны. Рассмотрим функцию Н(х), тождественно равную константе 1. Главный набор этой функции относительно Е, согласно утверждению 2, не согласован с 5. Следовательно, в силу леммы 1 функция Н не лежит в множестве [5, и равенство [5= Р2 не выполняется. Из полученного противоречия следует, что предположение неверно и наборы во и 01 не являются противоположными. Предположим, что Е не содержит ни одну из констант. Тогда либо Е(1) = {х,х}, либо Е(1) = {ж}. В таком случае очевидно, что наборы во и в1 противоположны, что, как было показано, невозможно. Из этого следует, что предположение неверно и Е содержит по крайней мере одну из констант. Таким образом, Е е
2. Пусть А = М и Е £ £Н(М). Тогда Е содержит функцию х. Заметим, что в этом случае любая совершенная дизъюнктивная нормальная форма является формулой над типом (М,Е). Следовательно,
[М]Р = Р2-
Пусть [М]р = Р2. Докажем, что х € Е. Пусть Е(1) = {/\(х),...,/Г(х)}, г ^ 1. Рассмотрим наборы во = (/1(0),..., /г(0)) и 01 = (/1(1),... , /г(1)). Предположим, что эти наборы сравнимы. Пусть, например, во ^ в\. Рассмотрим функцию Н(х) = х. Ее главный набор относительно Е в силу утверждения 1 не согласован с М. Следовательно, функция Н не лежит в множестве [М]^ и равенство [М]^ = Р2 не выполняется. Из полученного противоречия следует, что предположение неверно и наборы во и в1 несравнимы. Предположим, что в Е(1) содержится только селекторная функция и, возможно, некоторые из констант. Тогда, очевидно, наборы во и 01 будут сравнимы, что, как было показано, невозможно. Следовательно, предположение неверно, и Е содержит функцию х. Таким образом, Е £ £Н(М).
3. Пусть А = Ко1 и Е е ЭТ(Ко1). Тогда {1} и^ С Е. Заметим, что в этом случае любая совершенная конъюнктивная нормальная форма является формулой над типом (Ко1,Е). Следовательно, [Ко^ = Р2.
Пусть [Ко1 = Р2. Докажем, что {1} и'П С Т. Рассмотрим произвольную функцию Н(ж1,... ,хп) е V, существенно зависящую от всех переменных, п ^ 1. Заметим, что эта функция принимает нулевое значение на одном наборе и единичное значение на всех остальных наборах из Еп. Рассмотрим некоторую формулу над типом (Ко1, Е), реализующую функцию Н. Пусть эта формула имеет вид
/1 (ж 1, . . .,Жп)& ...&/к (Х1, . . .,Хп),
где / е Е, к ^ 1. На всех 2п — 1 наборах, на которых функция Н принимает единичное значение, функции /1,...,/к также принимают единичное значение. На оставшемся наборе хотя бы одна из этих функций принимает нулевое значение. Эта функция, очевидно, совпадает с Н. Следовательно, Е содержит любую функцию из V. Аналогично показывается, что Е содержит константу 1. Таким образом, Е е ЭТ(Ко1).
Критерии для случаев А = Ко,К1 ,К доказываются аналогичным образом. Утверждения теоремы для случаев А = Б, Бо, Б1, Бл следуют из принципа двойственности.
4. Пусть А = Ь и Е е ЭТ(Ь). Тогда для любого п ^ 1 существует функция /(ж1,... ,хп) е Е ранга п. Докажем, что [Ь]^ = Р2. Индукцией по числу переменных докажем, что формулами над типом (Ь, Е) можно реализовать произвольную булеву функцию. При п =1 это утверждение очевидно. Предположим, что формулами над типом (Ь, Е) можно реализовать все булевы функции не более чем от п — 1 переменной, п ^ 2. Докажем, что можно реализовать все булевы функции от п переменных. Пусть /(х1,...,хп) — произвольная булева функция. Рассмотрим полином Жегалкина функции /. По предположению индукции мы можем выразить все мономы, ранг которых не превосходит п — 1. Пусть в полиноме Жегалкина функции / нет монома ранга п. Тогда сумма всех мономов, входящих в этот полином, реализует функцию /. Это и будет искомой формулой над типом (Ь, Е). Пусть теперь полином Жегалкина функции / содержит моном ранга п, т.е. моном х^2 ... хп. Поскольку Е е ЭТ(Ь), существует функция д(х1,... ,хп) е Е, полином Жегалкина которой содержит моном ранга п. Рассмотрим функцию
h(xi,..., xn) = f (xi,..., xn) + g(xi,..., xn). Очевидно, что полином Жегалкина функции h не содержит моном ранга n, и, следовательно, функция h может быть реализована некоторой формулой Ф над типом (L, F). Тогда функция f реализуется формулой Ф+ g, которая является формулой над типом (L, F), что и требовалось доказать. Следовательно, [L]^ = P2.
Пусть [L]^ = P2. Докажем, что для любого n ^ 1 существует функция f(xi,...,xn) G F ранга n. Рассмотрим некоторое n ^ 1 и функцию f (x1,... , xn) — xix2 ... xn.
Пусть Ф — формула над типом
(L, F), реализующая функцию f. Тогда формула Ф представляет собой сумму нескольких функций из F. Очевидно, что полином Жегалкина хотя бы одной из них содержит моном xi x2 ...xn. Таким образом, F G R(L).
5. Пусть A = SL и F G R(SL). Тогда для любого n ^ 1 существует функция f (xi,..., xn) G F ранга n и F содержит хотя бы одну из констант. Заметим, что подстановкой констант в функции из SL можно получить любую функцию из L. Тогда в силу п. 4 имеем [SL]^ = P2.
Пусть [SL]^ = P2. Тогда заметим, что [L]^ = P2 и [S= P2. Значит, в силу пп. 1 и 4 для любого n ^ 1 существует функция f (xi,..., xn) из F ранга n и F содержит хотя бы одну из констант. Для случаев A = Lo,Li,Loi утверждения теоремы доказываются аналогичным образом. Утверждения теоремы для случаев A = To, Ti, Om, Im (m = 2,..., то) следуют из утверждений 3, 4 и принципа двойственности, для случаев A = T0i, OJJ1, MOm, МОЦ1, If1, MIm, MI]?, S0i, SM, M0, Mi, Moi, SU (m = 2,..., то) — из леммы 2 и принципа двойственности, для случаев A = U, MU, Ui, Uo, Uoi утверждение очевидно. Теорема доказана.
Автор выражает благодарность профессору А. Б. Угольникову за постановку задачи и внимание к работе, а также О. С. Дудаковой за ряд полезных замечаний.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863), программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-4437.2010.1) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акулов Я.В. Критерии полноты для классов расширенной суперпозиции // Мат-лы X Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения" (Москва, МГУ, 1-6 февраля 2010 г.). М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2010. 167-169.
2. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43, N 3. 163-185.
3. Post E.L. Two-valued iterative systems of mathematical logic // Ann. Math. Stud. Vol. 5. Princeton: Princeton Univ. Press, 1941.
4. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966.
5. Угольников А.Б. Классы Поста. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2008.
6. Угольников Л.Б. О замкнутых классах Поста // Изв. вузов. Математика. 1988. № 7 (314). 79-88.
7. Янов Ю.И., Мучник А.А. О существовании fc-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. 127, № 1. 44-46.
8. Тарасова О.С. Классы функций трехзначной логики, замкнутые относительно операций суперпозиции и перестановок // Матем. вопросы кибернетики. 2004. 13. 59-112.
9. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2006.
10. Яблонский С.В. Об одном семействе классов функций алгебры логики, допускающих простую схемную реализацию // Успехи матем. наук. 1957. 12. 139-196.
11. Яблонский С.В. Об алгоритмических трудностях синтеза минимальных контактных схем // Проблемы кибернетики. Вып. 2. М.: Физматгиз, 1969. 75-121.
12. Кузнецов Ю.В. О классах булевых функций, инвариантых относительно отождествления переменных // Докл. АН СССР. 1986. 290, № 4. 780-785.
Поступила в редакцию 18.06.2010
