Максимальные коммутативные подалгебры функций на двойственных пространствах к алгебрам Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.745.82

МАКСИМАЛЬНЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ ПОДАЛГЕБРЫ ФУНКЦИЙ НА ДВОЙСТВЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ К АЛГЕБРАМ ЛИ

М. М. Деркач1, А. С. Тен2

В работе исследуется вопрос об отыскании максимальных коммутативных наборов функций на двойственном пространстве к алгебре Ли вида полупрямой суммы. Показывается, что если первое слагаемое полупрямой суммы является компактной алгеброй Ли, то искомый набор функций может быть явно описан. Этот результат применяется к конкретным алгебрам Ли.

Ключевые слова: скобка Ли-Пуассона, теорема Лиувилля, гипотеза Мищенко-Фоменко, полные инволютивные наборы полиномов.

The problem of searching the maximal commutative sets of polynomial functions on the dual space to the semidirect sum of a Lie algebra and a vector space is studied. It is proved that if the first component of the semidirect sum is a compact algebra, then the set of functions can be described explicitly. This result is applied to some particular Lie algebras.

Key words: Lie-Poisson bracket, Liouville theorem, Mishchenko-Fomenko conjecture, complete commutative sets of polynomials.

1. Введение. Пусть g — произвольная вещественная конечномерная алгебра Ли, g* —двойственное пространство к g. Тогда на пространстве гладких функций C^(g*) определена естественная скобка Пуассона {•, •}, задаваемая равенством {f,g}(x) = (x, [df(x),dg(x)]), где (x, £) — значение функционала x Е g* на £ Е g. Говорят, что две функции коммутируют, если их скобка Пуассона равна нулю.

Подалгебра функций F С C^(g*) называется полной, если в точке общего положения пространство Df , порожденное дифференциалами функций f EF, является коизотропным относительно скобки Пуассона. В терминах функциональной размерности и дифференциального индекса (см. [1, с. 89]) условие полноты имеет вид

ddimF + dindF = dim g + ind g. (1)

Аналогично полноту подалгебры A в F можно определить таким образом:

ddim A + dind A = ddim F + dind F.

Алгебра Ли g называется интегрируемой, если существует полная коммутативная подалгебра A С C~(g*), состоящая из полиномов. Согласно доказанной С. Т. Садэтовым [2] гипотезе Мищенко-Фоменко [3, 4], любая конечномерная алгебра Ли над полем характеристики нуль интегрируема. Оказалось, что алгоритм нахождения полного инволютивного набора полиномов, предложенный А.С.Теном в 2002 г. в дипломной работе, является частным случаем общего алгоритма Садэтова. В данной работе будет описана общая конструкция алгоритма Тена, а также показано ее применение на примерах.

2. Необходимые сведения. В данной работе рассматривается случай, когда алгебра g = h +х V является полупрямой суммой полупростой компактной алгебры Ли h и коммутативной алгебры V по представлению %: h ^ gl(V). Без ограничения общности можно положить V = Rn, h С gl(n, R), т.е. элементы h будут представляться кососимметрическими матрицами n х n, а векторы из V — вектор-столбцами с n координатами. Тогда представление % принимает вид %(A)a = Aa, A Е h, а Е V.

Отождествим g с g* при помощи скалярного произведения

(£, п) = ((A, a), (B, в)) = -Tr AB + атв.

Тогда для представления %*: h ^ gl(V*), двойственного представлению %, будем иметь соотношение (%*(A)a, в) = -(a, %(A)e) = -aT(Ae) = -(ATa)Tв, откуда %*(A)a = -ATa.

1 Деркач (Жданова) Мария Михайловна — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: m.m.derkach@gmail.com.

2 Тен Алексей Сергеевич — программист ООО "Яндекс", e-mail: alexeyten@gmail.com.

16 ВМУ, математика, механика, № 1

Пусть £ = (A, а) — элемент алгебры g, x = (M,v) Е g*, P = (Х, y) — элемент группы G, соответствующей алгебре. Нетрудно показать, что тогда формулы для присоединенного и коприсоединенного действия соответственно имеют вид [5]

Adp£ = (XAX-1, -XAX-1y + Ха), Adp x = [ХМХ-1 - prh(7vTХ-1), Х-lTv) ,

где через pr^: gl(n, R) ^ h обозначена ортогональная в смысле формы Tr проекция произвольного элемента gl(n, R) на алгебру h. В случае, когда p = (E, 7), где E — единичная матрица, действия Adp£ и Adpx запишутся так:

Adp £ = (A, -Ay + а), Adp x = (М - pr h (7vT), v). (2)

Опишем метод цепочек подалгебр, который используется для построения полной коммутативной подалгебры.

Пусть требуется построить коммутативную подалгебру алгебры F. Возьмем подалгебру LcF. Предположим, что в L мы умеем строить полную коммутативную подалгебру A. Рассмотрим функции из F, коммутирующие с L. Подалгебру таких функций естественно обозначить через Ann^ (L). Иногда в Ann^-(L) легко выбрать полную коммутативную подалгебру B, и тогда подалгебра A + B будет полной коммутативной подалгеброй в F (см. [1, с. 95]). С помощью этого метода доказана следующая теорема.

Теорема 1 (А.С. Тен). Пусть набор функций на g = h + V состоит из функций вида fk,ß(A,a) = Tr (prst a(A + \B))k, где B Е h, А Е R, а prstaA — проекция элемента A Е h на стационарную подалгебру St а элемента а. Эти функции совместно с базисом пространства V, рассматриваемым как набор линейных функций на V*, образуют полный инволютивный набор функций на g* = g.

3. Построение полного коммутативного набора. Как было сказано выше, для построения полного коммутативного набора используется метод цепочек подалгебр. В качестве подалгебры L возьмем алгебру V. Требуется найти все функции, коммутирующие с V. Эти функции удовлетворяют условию

{f, Y}(x) = 0 (3)

для любого y Е V, но условие (3) равносильно следующему:

{f,Y}(x) = (x, [dfx, y] ) = (ad7 dfx,x) = {dfx, ad* x) = 0,

откуда f (Ad*xp7x) = f (x). Таким образом, мы ищем все V-инвариантные функции на g* (т.е. функции, инвариантные относительно коприсоединенного действия идеала на двойственном пространстве g*: Ad*|y: V ^ gl(g*)). С другой стороны, равенство (3) можно переписать в виде

{f,Y}(x) = (x, [dfx, Y]) = (v, [prh fx, Y]) = (v, X(prh ^f'x)Y) = -(X* (prh dfx)v, Y) = ° (4)

где pr^: g ^ h — естественная проекция.

Обозначим через St v стационарную подалгебру элемента v относительно представления X*: St v = {A Е h|x*(A)v = 0}. Из (4) следует, что pr^dfx лежит в Stv. Обозначим через F множество функций, удовлетворяющих этому условию, т.е.

F= {f Е C~(g*):prh dfx Е St v}.

Для функциональной размерности множества F, являющегося по очевидным соображениям подалгеброй в алгебре Fract(g) рациональных функций на g*, имеем соотношение ddim F = dim V + dim St v. Требуется найти центр Z(F) алгебры F.

Лемма 1. V-инвариантная функция f (x) = f (M, v) лежит в центре V-инвариантных функций тогда и только тогда, когда при любом фиксированном v ограничение дифференциала dfx на h удовлетворяет условию

(М, [prh dfx, St v]) = 0, (5)

т.е. когда функция f(M, v), рассматриваемая при фиксированном v как функция от M, является инвариантом коприсоединенного представления подалгебры St v.

Доказательство. Функция ¡' должна удовлетворять условию {¡, д} =0 для любой функции д ЕТ. Перепишем это условие следующим образом:

0 = {¡, д}(х) = (х, [¿¡х, йдх}) = (И, [рг^ рг^ йдх}) + (у, [рг^ ргу йдх})+ + (у, [рг^ йдх, ргу ¿¡х}) = (И, [рг^ $х, рг^ Сдх}).

В конце цепочки равенств мы воспользовались тем, что ¡ и д — V-инвариантные функции. Поскольку д — любая V-инвариантная функция, а значит, рг^Сдх — любой элемент V, условие (И, [рг^Ух, рг^Сдх}) = 0 равносильно формуле (5). <

Все рассуждения, проведенные с начала этого пункта, справедливы для любой полупрямой суммы алгебры Ли. Если теперь воспользоваться тем, что подалгебра [) компактна, то получим, что подалгебра а редуктивна как подалгебра компактной алгебры. Это позволяет доказать следствие из леммы 1.

Следствие 1. Имеет место соотношение ёшё Т = ё1ш V+тё а, где а — регулярный элемент V.

Доказательство. По определению ёшё Т = ёё1ш 2(Т). Размерность 2(Т) — это размерность подпространства, порожденного дифференциалами функций, лежащих в 2(Т). В 2(Т) лежат все функции на V*, и подпространство, порожденное их дифференциалами, — это все пространство V. Также в 2(Т) лежат инварианты коприсоединенного представления подалгебры а, и размерность подпространства, порожденного их дифференциалами, равна шё а (ввиду редуктивности алгебры а). Таким образом,

ёшё Т = ёё1ш 2(Т) = ё1ш V + шё а. <

Компактность алгебры [), а также отождествление д с д*, которое можно провести, позволяет нам построить функции из центра в наглядном виде. Результат вытекает из следующих лемм.

Лемма 2. Функция ¡'(£) = ¡(А, а) = Н(р^ аА), где Н: [) ^ М — произвольная функция, лежит в пространстве V-инвариантных функций на д*.

(Еч\

Доказательство. Проверим, что ¡(Аё*хр7 £) = ¡(£). Поскольку ехр7 = ( о ^, пользуясь формулами (2), получаем

¡(Аё*хр7 О = ¡(А — рг^ (7аТ), а) = Н (рга а (А - рг^ 7аТУ) = Н(рг81 а А); (6)

последний переход следует из того, что рг81 а(рг^(7аТ)) = 0: действительно, поскольку а — подалгебра в [), композиция ортогональных проекций рг^: gl(u, М) ^ [) и рг81 а: [) ^ а есть не что иное, как ортогональная проекция рг: gl(u, М) ^ а. Далее, для любого элемента В Е а имеем (^аТ, В) = —Тг 7аТВ = 0. Поэтому матрица 7аТ ортогональна подалгебре а. Отсюда рг81 а(рг^(7аТ)) = 0. Из сделанного замечания и соотношения (6) следует утверждение леммы. <

Следствие 2. Функция ¡'(А, а) = Тг [(рг81 аА)п} лежит в центре V-инвариантных функций.

Доказательство. Из леммы 2 следует, что нам достаточно доказать равенство (5) для функции У(А, а) = Тг [(рг81 аА)га}. Найдем рг^сУД. Для этого необходимо понять, как действует СД Е д на элементы (В, 0) Е ^ Имеем

В) = Ит ПЛ + £В> а) = цт ^ + еВ))п\ - Тг [(рг^А)»]

Иш Тг

^ о

е—>о е е—о е

• ((ргав(А + еВ))п~1 + (рг8^(А + еВ))п~2 (ргавА) + ... + (рг^А)»"1)

= Тг [и рг81 аВ • (рг81 аА)П-1 ] = П Тг [рг81 а(рг81 аА)П-1 В] .

Следовательно, рг^У(А, а) = р^ а [(pг8t аА)п *]. Возьмем теперь произвольную матрицу В Е а. Левая часть соотношения (5) примет вид (А, [р^а ((pг8tаА)га-1) , В}). Преобразуем ее, используя ортогональность проекции р^ а в смысле формы (А, В) = Тг АВ, а также то, что ([Х,У],2) = (X, [У, 2}) = — ([X, 2},У) для любых Х,У,2 Е Н:

(А, [(рг^ а(pГ8t аАТ-1) ,В}) = (pГ8t а А, [pГ8t Л (pГ8t а А " ) , В ) = —(^ аА, В}, pГ8t ^ (pГ8t аА " ) ) =

17 ВМУ, математика, механика, №1

= - «А, В], (prst « А)п 1) = ( «А, (prst « А)п Ч В) = 0 УВ е St а. <

Для получения результата основной теоремы применим метод сдвига аргумента. Лемма 3. Функции ¡п,\,в(О = Тг а(А + ХВ)п] и линейные функции на V* порождают полную

коммутативную подалгебру в Т.

Доказательство. Для доказательства коммутативности набора проверим, что функции ¡п,\,в и ¡т, ц, Б коммутируют. Действительно,

{¡п,х,Б, ¡т^Б}(А, а) = (А, [п prstа(prst а(А + ХВ))п-1, т prstа(prstа (А + ¡В))т-1]). Если л = Х, то найдутся такие числа а и Ь, что а(А + ХВ) + Ь(А + лВ) = А для всех Х и Тогда

{/п,Х,Б, ¡т,^,Б}(A, а) =

= пт(а(А + ХВ) + Ь(А + ¡В), ^а(А + ХВ))п-1, prstа(А + ¡В))т-1]) = = пта((А + ХВ), [prstа(А + ХВ))п-1, prstа(prstа(А + ¡В))т-1])+ +птЬ((А + ¡В), ^а(А + ХВ))п-1, prstа(А + ¡В))т-1 ]) = 0.

Последний переход следует из соотношения (5), выполняющегося для каждого слагаемого. Докажем теперь полноту рассматриваемого набора. Зафиксируем регулярную точку а в V. Какова размерность пространства, порожденного дифференциалами функций /п,\,в? При фиксированном а функции ¡п(А, а) принимают вид ¡п(А) = Тг Ап, где А е St а. В силу компактности алгебры St а сдвиги этого центра ¡пх Б

на вектор В = prst аВ дают полный коммутативный набор на алгебре St а. Следовательно, ddim{¡n,д,в} = St а + ind St а)/2. Таким образом, размерность набора функций, описанных в лемме 3, равна

dim V + ^т St а + М St а)/2 = ^т Т + dind Т)/2,

откуда и следует утверждение леммы 3. <

Лемма 4. Алгебра Т полна в С

Доказательство. По определению Т полна в Сте(д*), если выполняется равенство (1). По теореме

Раиса [6] ind д = ind St а + ind х*. Обозначим через О (А) орбиту элемента общего положения при действии

*

X , получим соотношение

ind х* = dim V — dim О(А) = dim V — ^т § — dim St а).

Отсюда dim д + ind д = 2dim V + dim St а + ind St а = ddim Т + dind Т, что и требовалось доказать. <

Следствие 3. Набор функций ¡п \ в и линейных функций на V* является полным коммутативным набором функций на д*.

Доказательство теоремы 1. Набор, описанный в теореме 1, является инволютивным согласно следствию 2, а из следствия 3 получаем полноту этого набора, что и доказывает теорему 1. <

4. Примеры: явные формулы для проекций на St V. Рассмотрим полупрямую сумму алгебры 8о(п) с к экземплярами пространства Мп по представлению рк, ограничение которого на каждый экземпляр Мп есть представление минимальной размерности р: 8о(п) ^ gl(Rn). В этом случае элементы 8о(п) будут представлены матрицами размера пк х пк, в которых по диагонали стоят одинаковые кососиммет-рические блоки размера п х п, а остальные элементы — нули.

Алгебры дпк = 8о(п) (Мп)к рассматривались в работе [7]. Там же была найдена формула для проекции на стационарную подалгебру элемента V = (V!,..., Vk) е (Мп)к, ^ е Кп. Пусть элементы эо(п) представляются кососимметрическими матрицами п х п, а V е (Кп) — набор из п векторов ^1,... ,Ик) е Кп. Тогда условие N е St V переписывается в виде Nvl = N1^ = ... = Хик = 0. Рассмотрим ортогональный базис в натянутом на векторы Vl, ...^к пространстве, который построен по правилу: пусть Vl,...,Vk' — линейно независимые векторы из пространства ,... ^к), тогда базис имеет вид

) V1 К ,^г) ■Ш1 = =У2- 7-Г-Ш1, . . . , и)к> = Ук' - У J -г-*-ги)г. (7)

(^1,^1) = ('Ши'Шг)

Используя (7), формулу для ортогональной проекции на стационарную подалгебру можно переписать следующим образом:

к' к' к'

N = prst {vi,...,Vk)M = M~Y,rK1 (-Mwг ® wj + E E ® wi- (8)

i=1 i=1j=1 j

Здесь шт Е (Мп)* — ковектор, двойственный вектору ш Е Кп (т.е. при матричном представлении шт — это вектор-строка, равная транспонированному вектор-столбцу ш). Поскольку формула (8) рациональна

по V, для получения полиномиальных функций следует функции из теоремы 1 домножить на Л1 . В результате получим следующий набор полиномов на 8о(п) (Мга)к.

Теорема 2 [7]. Пусть набор полиномиальных функций на д* состоит из базиса П\,..., ипу пространства V = (Мп)у, рассматриваемого как линейные функции на V*, и функций

¡г,в(М, V) = Тг (([] Ы2) рг81^ )(М + \Б))1,1 = 2, 4,..., 2 • [те/2],

где проекция рг81 ьМ и векторы —г заданы формулами (8), (7), а Б — регулярный элемент 8о(п), выступающий в качестве параметра. Тогда эти функции находятся в инволюции и образуют полный набор на двойственном пространстве к алгебре дпу = 8о(п) (Мп)у при к < п — 1. При к ^ п — 1 полный коммутативный набор образуют функции щ,..., ипк.

Замечание. Формула (8) задает проекцию на подпространство в 8о(п), которое выделяется условием [К= ... = Мшу =0}. Отсюда следует, что N—1 = 0 для любого вектора ш, лежащего в подпространстве ,..., шу), натянутом на векторы —1,..., шу. Поэтому формула (8) не должна меняться при замене базиса ш,..., шу другим базисом подпространства (ш1,..., шу). Иными словами, сама проекция зависит только от подпространства, натянутого на векторы Vl,...,Vk, а не от набора векторов, его порождающего. Пусть Р — ортогональная проекция вдоль подпространства {ш1,... ,шу) = V,... ). Оказывается, что с ее помощью формулу (8) можно задать в очень простом виде.

Пусть М Е 8о(п) представляется кососимметрической матрицей п х п (а не блочно-диагональной матрицей пк х пк, как было описано раньше), а Р — такая симметрическая матрица п х п, что Pvl = ... = Pvk =0 и Ри = и для любого и из ортогонального дополнения к ^1,...,^,). Тогда рг81 ь М также кососимметрическая матрица п х п, равная произведению РМР.

Действительно, во-первых, так как (РМР)Т = Рт МТРТ = —РМР, то матрица РМР является кососимметрической. Во-вторых, РМРиг = 0, поскольку Pvг = 0 для всех г = 1,...,к. Отсюда уже следует, что матрица РМР лежит в V. Осталось проверить, что эта проекция является ортогональной, т.е. что выполнено условие Тг (рг81 уМ(М — рг81 уМ)) = 0. Но поскольку Р2 = Р, а Тг АБ = Тг БА для любых матриц А и Б, то имеем

Тг (рга „М(Мрг81 „М)) = Тг (РМР(М — РМР)) = = Тг РМРМ — Тг РМР2МР = Тг РМРМ — Тг Р2МР2М = Тг РМРМ — Тг РМРМ = 0,

что и требовалось показать.

В работе [7] были также получены формулы для проекций на V в случае алгебр 8и(п) + (Сп)у, которые тоже являются рациональными по V.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болсинов А.В. Полные инволютивные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах: доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 26. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2005. 87-109.

2. Садэтов С.Т. Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко // Докл. РАН. 2004. 397, № 6. 751-754.

3. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Изв. АН СССР. 1978 . 42, № 2. 396-415.

4. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Интегрирование гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 20. М.: Изд-во МГУ, 1981. 5-54.

5. Трофимов В.В., Фоменко А. Т. Алгебра интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал; Ижевск: Просперус, 1995.

18 ВМУ, математика, механика, № 1

6. Rais M. L'indice des produits semi-directs E xp g // Comp. rend. Acad. sci. Paris. 1978. 287, N 4. 195-197.

7. Жданова М.М. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы на полупрямых суммах алгебр Ли // Матем. сб. 2009. 200, № 5. 3-32.

Поступила в редакцию 16.06.2010

УДК 519.95

О ПОЛНОТЕ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ ДЛЯ КЛАССОВ РАСШИРЕННОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ

Я. В. Акулов1

Рассмотрена задача о реализации булевых функций формулами специального вида. Введено понятие пополнения систем булевых функций. Получены критерии полноты для рассматриваемых функциональных систем.

Ключевые слова: булева функция, формула, суперпозиция, полнота, выразимость.

A problem of realisation of Boolean functions by formulas of special type is considered. A notion of supplement of systems of Boolean functions is defined. Criteria of completeness of the considered functional systems are obtained.

Key words: Boolean function, formula, superposition, completeness, expressibility.

В работе рассматривается задача о реализации булевых функций формулами специального вида. Вводится понятие пополнения систем булевых функций. Устанавливаются критерии полноты для рассматриваемых функциональных систем (см. также [1]).

Э. Пост [2, 3] получил полное описание семейства замкнутых (относительно операции суперпозиции) классов функций двузначной логики (см. также [4-6]). Как показал Пост, мощность этого множества является счетной. Напротив, известно [7], что семейство всех замкнутых классов функций k-значной логики при k ^ 3 имеет континуальную мощность. В связи с этим исследование множества замкнутых классов многозначной логики сопряжено со значительными трудностями. В ряде работ рассматриваются другие операции замыкания, позволяющие получить "более просто" устроенное семейство замкнутых классов (обзор некоторых результатов, полученных в этом направлении, см., например, в [8]). Данная работа относится к этому направлению исследований. Вводится понятие операции расширенной суперпозиции и рассматриваются множества булевых функций, получаемые путем пополнения замкнутых классов с помощью этой операции. Необходимые определения можно найти в [5, 6, 9]. Обозначения для замкнутых классов булевых функций соответствуют работам [5, 6].

Обозначим через X счетное множество символов переменных, а через P2 — множество всех булевых функций. Пусть F С P2. Обозначим через F(n) множество всех функций, принадлежащих F и зависящих только от переменных Х\,..., xn, n ^ 1. Положим E = {0,1}. Обозначим через En множество всех наборов а = (ai,..., an), таких, что ai, ...,an Е E, n ^ 1. Пусть a = (ai,..., an) Е En, (3 = (вь ..., вп) £ En, n ^ 1. Будем говорить, что a ^ 3, если для любого i, 1 ^ i ^ n, выполнено неравенство ai ^ fa. Функцию f (xi,..., xn) Е P2 будем называть селекторной, если существует такой номер i, 1 ^ i ^ n, что для любого набора а = (ai,..., an) из En выполняется равенство f (а) = ai. Будем обозначать эту функцию через Xi. Будем называть функцию f(xi,...,xn) Е P2 константой нуль (соответственно константой единица), если она принимает значение 0 (соответственно 1) на всех наборах из En, n ^ 1, и обозначать через

0 (соответственно 1). Функцию f(x\, Х2, ■ ■ ■, хп) будем называть двойственной к функции f(x\,..., хп) (обозначение f *(xi,... ,xn)). Пусть B С P2. Обозначим через B* множество всех функций g Е P2, таких, что g* Е B. Пусть f (xi,..., xn) Е P2, а П = Ki + ... + Kr — полином Жегалкина этой функции. Здесь Ki,

1 = 1,...,r, — м,оно.м,ы, т.е. различные выражения вида x^ xj2 ...xjt, 0 или 1, 1 ^ ji < j < ... < ji ^ n, 1 ^ l ^ n, причем выражение может быть равным 0, если только функция является константой нуль. Рангом монома xj1 xj2 .. .xjk, k ^ 1, будем считать k, а рангом мономов 0 и 1 будем считать 0. Назовем рангом

1 Акулов Ярослав Викторович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: smileyarik@yandex.ru.