Оценки числа булевых функций, реализуемых инициальным булевым автоматом с тремя константными состояниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, схема аксиом подстановки и аксиома бесконечности в ее традиционной формулировке не имеют места с точки зрения рассматриваемой семантики. С другой стороны, можно доказать существование такого объекта со, что высказывание аеш реализуемо тогда и только тогда, когда г А(а), т.е. для бесконечно многих а.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 14-0Ю0127).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гейтлтг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965.

2. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М.: Мир, 1972.

3. Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: ИЛ, 1957.

4. Иех Т. Теория множеств и метод форсинга. М.: Мир, 1973.

Поступила в редакцию 01.06.2016

УДК 519.716.32

ОЦЕНКИ ЧИСЛА БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ, РЕАЛИЗУЕМЫХ ИНИЦИАЛЬНЫМ БУЛЕВЫМ АВТОМАТОМ С ТРЕМЯ КОНСТАНТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ

Л. Н. Сысоева 1

Рассматривается задача о реализации булевых функций инициальными булевыми автоматами с константными состояниями и п входами, т.е. автоматами, такими, что в любом из состояний функция выхода совпадает с одной из булевых констант 0 или 1, зависящих от п переменных, п ^ 1. Получена точная оценка максимального числа булевых функций от п фиксированных переменных, реализуемых инициальным булевым автоматом с тремя константными состояниями, где п > 1.

Ключевые слова: булева функция, инициальный автомат, реализация булевых функций.

The problem of realization of Boolean functions by initial Boolean automata with constant states and n inputs is considered. Initial Boolean automaton with constant states and n inputs is an initial automaton with output such that in all states output functions are n-ary constant Boolean functions 0 or 1. The exact value of the maximum number of n-ary Boolean functions, where n > 1, realized by an initial Boolean automaton with three constant states and n inputs is obtained.

Key words: Boolean function, initial automaton, realization of Boolean functions.

Пусть P2(n) — множество всех булевых функций, зависящих от фиксированных переменных Х\, Х2, ■ ■ ■, хп, п ^ 1. Под булевым автоматом будем понимать автомат V = ({0,1}, {0,1}, Q, F, G) с произвольным числом входов, входным алфавитом {0,1}, выходным алфавитом {0,1}, алфавитом состояний Q, функцией перехода G и функцией выхода F. Определения автомата и инициального автомата можно найти в [1,2]. Пусть п — число входов автомата V. Без ограничения общности будем полагать, что входы автомата V занумерованы от 1 до п и на г-й вход автомата V подается значение булевой переменной Xi. Тем самым можно считать, что в каждый момент времени на входы автомата V подается некоторый двоичный набор значений переменных Х\,Х2, ■ ■ ■ ,хп и для любого состояния q € Q функция выхода F(q,x\,x2, ■ ■ ■ ,хп) является булевой функцией от переменных Х\,Х2, ■ ■ ■ ,хп. Булев автомат V будем называть булевым автоматом с константными состояниями, если для любого q € Q функция F(q, х\, Х2, ■ ■ ■, хп) является константной булевой функцией 0 или 1.

Пусть Vqi = ({0,1}, {0,1}, Q, F, G,q\) — инициальный булев автомат с начальным состоянием q\ и п входами. Пусть С = (/?i,/?2j • • • j/?2n) — упорядоченная последовательность всех двоичных наборов длины п, п ^ 1. Будем говорить, что автомат Vqi с последовательностью С реализует булеву

1 Сысоева Любовь Николаевна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: s-lubaQmail.ru. 10 ВМУ, математика, механика, № 2

функцию /(ад, Х2, • • •, хп), сс,ли при последовательной подаче на входы автомата наборов из С в каждый момент £ = 1, 2,... , 2" на выходе автомата выдается значение /(А). Будем также говорить, что функция / реализуется автоматом , если для некоторой последовательности наборов С автомат с последовательностью С реализует /. Последовательность С будем называть последовательностью подаваемых наборов. Обозначим через Р(Уд1) множество всех булевых функций, реализуемых автоматом УЯ1.

Под 0-еоетоянием булева автомата V будем понимать состояние с функцией выхода 0(ж1, Х2, • • •, хп), а иод 1-состоянием состояние с функцией выхода 1(ад, Х2, ■ ■ ■, хп). Без сущеетвен-но!'о ограничения общности мы будем рассматривать инициальные булевы автоматы, содержащие хотя бы одно 0-еоетояние и хотя бы одно 1-состояние, при этом начальным состоянием является 0-еоетояние. Множество всех таких автоматов с тремя константными состояниями и п фиксированными входами обозначим через 23з(?г).

В настоящей работе рассматривается задача получения точших) значения для максимальнохх) числа булевых функций от п фиксированных неременных, которые мемут быть реализованы одним инициальным булевым автоматом с тремя константыми состояниями. Получена точная оценка 22 — 2" максимальнохх) числа булевых функций от п фиксированных неременных, реализуемых автоматами из 53з(п), и описаны все автоматы, на которых эта оценка достигается, при п > 1. Аналогичная задача для инициальных булевых автоматов с двумя константными состояниями рассматривалась в работе [3], где было получено точное значение | • 22" для максимального числа булевых функций от п фиксированных неременных, которые могут быть реализованы одним инициальным булевым автоматом с двумя константыми состояниями, и описаны все автоматы, на которых это значение достш'ается. В работах [4, 5] исследовались вопросы реализации булевых функций формулами над автоматными функциями.

Автоматы из 23з(?г) очевидным образом разбиваются на два подмножества: множество всех инициальных булевых автоматов из 23з(?г), содержащих ровно одно 1-состояние (будем обозначать это множество через 23з(?г)), и множество всех инициальных булевых автоматов из 23з(?г), содержащих ровно одно 0-состояние, являющееся начальным (будем обозначать это множество через 53д(?г)). Автоматы из множеств 23з(?г) и 23з(?г) можно схематично изобразить с помощью диаграмм, представленных на рис. 1 и 2 соответственно, где А, В, К, М, Т,Е С {0,1}'г. В кружочках, обозначающих состояния, написаны символы, соответствующие функции выхода в этом состоянии, а на стрелках множества всех наборов, при подаче которых на вход автомата последний из состояния, из которого идет стрелка, переходит в состояние, на которое указывает стрелка. Звездочкой помечено начальное состояние автомата.

Следующее утверждение дает точную оценку снизу максимального числа булевых функций от п фиксированных неременных, реализуемых инициальным булевым автоматом из 23з(?г), где п > 1.

Утверждение 1. Для любого п ^ 2 существует инициальный булев автомат V из множества 53д(?г). такой, что |-Р(У")| = 22 —2п.

Доказательство. Рассмотрим инициальный автомат V из 53д(?г), определяемый множествами К = Т = {а}, В = Е = {/3}, А = {0,1}га\{й}, М = 0, где й,/3 некоторые различные двоичные наборы длины п, п ^ 2. Пусть /(х1,х2,---,хп) произвольная функция из Рг(??■)• Рассмотрим четыре случая.

1) Пусть /(й) = /(/3) = 0. Определим последовательность подаваемых наборов следующим образом: сначала подаем набор й, затем все наборы из множества {0,1}™\{й,/3}, на которых функция / принимает значение 0, потом набор /3 и, наконец, все наборы, на которых функция / принимает значение 1. Автомат V с такой последовательностью подаваемых наборов реализует функцию /. Таким образом, автомат V реализует все 22 ~2 функций, удовлетворяющих случаю 1.

2) Пусть /(й) = 0, /(/3) = 1. Если на всех наборах множества {0,1}'г\{й} функция / принимает значение 1, то автомат V не может реализовать /. Пусть теперь 7 набор из множества А, на котором функция / принимает значение 0. Определим последовательность подаваемых наборов еле-

дующим образом: сначала подаем набор 7, затем все наборы из множества {0,1}га\{/3}, на которых функция / принимает значение 1, потом набор /3, далее набор а и, наконец, все наборы из множества {0,1}га\{й}, на которых функция / принимает значение 0. Автомат V с такой последовательностью подаваемых наборов реализует функцию /. Таким образом, автомат V реализует 22 ~2 — 1 функций, удовлетворяющих случаю 2.

3) Пусть /(й) = 1, /(/3) = 0. Определим последовательность подаваемых наборов следующим образом: сначала подаем набор /3, затем все наборы из множества {0,1}га\{й}, на которых функция / принимает значение 1, потом набор а и, наконец, все наборы из множества {0,1}га\{/3}, на которых функция / принимает значение 0. Автомат V с такой последовательностью подаваемых наборов реализует функцию /. Таким образом, автомат V реализует все 22™-2 функций, удовлетворяющих случаю 3.

4) Пусть /(й) = /(/3) = 1. Если функция / принимает значение 0 меньше, чем на двух наборах множества {0,1}га\{й}, то автомат V не может реализовать /. Пусть теперь 71,72 — различные наборы из множества А, на которых функция / принимает значение 0. Определим последовательность подаваемых наборов следующим образом: сначала подаем набор 71, далее набор /3, затем набор 72, потом все наборы из множества {0,1}га\{й, /3}, на которых функция / принимает значение 1, далее набор а и, наконец, все наборы из множества {0,1}га\{7ъ72}) на которых функция / принимает значение 0. Автомат V с такой последовательностью подаваемых наборов реализует функцию /. Таким образом, автомат V реализует 22 ~2 — 1 — (2п — 2) = 22 ~2 — 2п + 1 функций, удовлетворяющих случаю 4.

Суммируя количество функций из каждого случая, которые может реализовать автомат V, получаем, что V может реализовать ровно 22 — 2п различных булевых функций от п переменных, п ^2. * * □

Таким образом, построенный в утверждении 1 пример автомата показывает, что в отличие от случая инициальных автоматов с двумя состояниями среди инициальных булевых автоматов с тремя константными состояниями существуют автоматы с п входами, такие, что доля реализуемых ими функций /(х\,х2, ■ ■ ■ ,хп) стремится к 1 с ростом п.

Следующая теорема дает оценку сверху максимального числа булевых функций от п фиксированных переменных, реализуемых автоматом из 53 3(п), где п > 1.

Теорема 1. Для любого п ^ 6 и любого автомата V из множества 53з (п) выполняется неравенство \Р(У)\ ^ 22" - 2п.

Доказательство теоремы 1 разбивается на два случая. Сформулируем их в виде независимых утверждений.

Теорема 2. Для любого п ^ 3 и любого автомата V из множества ?0\(п) справедлива оценка \Р(У)\^22" -2Т2".

Теорема 3. Для любого п ^ 6 и любого автомата V из множества (п) справедлива оценка \Р(У)\ < 22" — 2п.

Пусть /(х\,х2, ■ ■ ■, хп) — некоторая булева функция от п переменных. Пусть I) — некоторое подмножество множества {0,1}га. Обозначим через подмножество множества состоящее из всех

таких наборов /3, для которых выполнено равенство /(/3) = 0, а через И1^ подмножество множества

И, состоящее из всех таких наборов /3, для которых выполнено равенство /(/3) = 1. Таким образом, например, через обозначается множество всех наборов множества М, на которых функция /

принимает значение 0, а через М^ множество всех наборов множества М, на которых функция / принимает значение 1.

В отличие от случая инициального булева автомата с двумя константными состояниями, рассмотренного в [3], для автомата с тремя состояниями максимальная мощность множества реализуемых автоматом функций не может достигаться для любого п на автомате с фиксированной мощностью множеств А, В, К, М, Т, Е. В частности, верны следующие утверждения.

Утверждение 2. Для любого в автомата V из множества (п) имеет место нера-

венство

|Р(У)К шах (1, 22" - шах (22П-1АиХ1, 22"-1Аие1)).

Доказательство. Пусть верно одно из равенств А и Е = 0 или А и К = 0. В этом случае автомат V может реализовать только константу 0, а значит, выполнено неравенство

11 ВМУ, математика, механика, №2

\P(V)\ = 1^тах (l, 22" - max (V""^, 22П"Иие1)).

Пусть теперь A U Е ф 0 или A U К ф 0. Тогда автомат V не может реализовать функцию / которая принимает значение 1 на всех наборах множества А Li К или на всех наборах множества A U Е, значит, доказываемое неравенство верно. □

Следствие 1. Если п ^ 1 и автомат V из множества 5Jg(n) таков, что U ^ 2га — п — 1 или \А U 2п - п - I, то \P(V)\ < 22" - 2п.

Избегая двусмысленности, множества булевых функций из доказательств последующих утверждений будем обозначать одним и тем же символом 6.

Утверждение 3. Для любого и)1 в автомата V из множества 5J 1(п) верно неравенство

|P(F)Kmax(l,22n -max (г2""^, 22П-1БиМ1"1)).

Доказательство. Пусть A U К = 0. Тогда автомат V может реализовать только константу 0 и доказываемое неравенство верно. Пусть теперь АиК ф 0, и пусть функция / € -Рг(^) такова, что она принимает значение 1 на всех наборах множества A U К. Автомат V не может реализовать такую функцию /. Следовательно, верна оценка \P(V)\ ^ max

(1, 22" -22П~\АиК\). Для доказательства утверждения осталось показать, что |P(V)| ^ тах(1,22" — 22"~\ВиМ\~1). Пусть сначала |ylUK| = 1. Тогда имеет место неравенство 22™~\B[JM\~1 22П~\АиК\ = 22"-1 и утверждение верно в силу доказанного неравенства \P(V)\ ^ max

(1, 22" - 22П~\АиК\). Пусть теперь\АиК\ ^ 2. Обозначим через 6 множество всех функций из Р2(п), принимающих значение 0 на всех наборах множества BUM. Учитывая неравенство A U К ф 0, получаем, что если функция / из 6 реализуется автоматом V, то / принимает значение 0 ровно на одном наборе множества А Li К. Оценим число а функций, которые не может реализовать автомат V. Рассмотрим три случая. Пусть |(В U М) П (A U К)| ^ 2, тогда автомат V не может реализовать ни одну функцию из множества 6. Следовательно, а ^ 22"~\ВиМ\. Пусть | (В U М) П (A U К) | = 1, тогда автомат V не может реализовать все функции из 6, принимающие значение 0 по крайней мере на одном наборе множества (A U К)\(В U М). Следовательно, а ^ 22П-1БиМ1-1. Пусть, наконец, |(В U М) П {A U К)| = 0, тогда автомат V не может реализовать все функции из 6, принимающие значение 0 по крайней мере на двух наборах множества А Li К, a также функцию из 6, не принимающую значения 0 ни на одном наборе множества АиК. Учитывая, что | A U К\ ^ 2, получаем

а ^ 22"-\BUM\-\AUK\ . (2|ЖЖ| _ 1^4 у ^ 22™-|БиМ| . ^ _ lA^Äl j ^ 22П-|БиМ1"1.

Тем самым во всех случаях верно неравенство

|P(F)Kmax(l,22n -22П"1БиМ1"1),

что и завершает доказательство утверждения. □

При доказательстве теоремы 2 ключевую роль играет следующее утверждение. Утверждение 4. Для любого п ^ 1, любого автомата V из множества 5J 1(п) и любой реализуемой им булевой функции f(x\,x2, ■■■ ,хп) выполнено неравенство \(ALiK)^\ — 1 ^ |(UUM)j.|.

Доказательство. Пусть С = (/?i,/?2, • • •,/?2п) — последовательность всех двоичных наборов длины п, такая, что автомат V с последовательностью С реализует /. Тогда при последовательной подаче наборов из последовательности С на входы автомата V последний перейдет из 0-состояния в одно из 1-состояний ровно U К)® \ раз, а из 1-состояний в 0-состояние — не больше \(В U M)j-| раз. Число переходов из 0-состояния в 1-состояния не более чем на 1 превосходит число переходов из 1-состояний в 0-состояние, что и завершает доказательство. □

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим два случая. Пусть верно неравенство ^ \-2п.

Тогда в силу утверждения 3 имеет место оценка

\P(V)\ < max (l, 22" - 22"-l^l) < 22" - 22М'2П = 22" -

Пусть теперь |yl U ^ | • 2га + 1. Зафиксируем | • 2п + 1 наборов из множества \А U К\. Рассмотрим функции из Р2(п), такие, что они принимают значение 0 ровно на | • 2п из зафиксированных наборов множества А Li К. Обозначим множество всех таких функций через 6. Если функция / из 6

реализуется автоматом V, то в силу утверждения 4 верно неравенство U К)® \ — 1 ^ \{В U M)j-|. Следовательно, автомат V не может реализовать такие функции из 6, которые принимают значение 1 меньше чем на | • 2п — 1 наборе. Обозначим через а количество функций из &, которые не может реализовать автомат V. Тогда

а > ■ - С?,^ - Cj,^) = Q • 2» + l) ■ (г**""! - 1 - \ ■ 2» + l) =

= 2f 2П+™-2 + 2г2"-1 - 22'п~2 - 2п~1 = 2Г2" ■ (2п~2 + 2"1) - 22'га"2 - 2п~1. (1)

Заметим, что

2!.2« . 2 + 0 - 22'п~2 - 2я-1 ^ 2Г2" 2^2" • ^2га_2 - 0 ^ 22'п~2 + 2я-1

2^'2" ^ 2п + 4 +-j-- • 2п > log, (V + 4 +-j-^. (2)

^ 2'n-i - 1 2 V 2п~1 - 1J

Кроме того, при п ^ 3 выполняются неравенства

l--2n>n + l> log2 (2га + 6) ^ log2 (V + 4 + 2nJ_ J .

Из данных неравенств и соотношений (1), (2) вытекает неравенство

а > 2Т2П ■ ^2га_2 + ^ " 22'п~2 - 2й-1 > 2т2",

что и завершает доказательство теоремы. □

Сформулируем и докажем утверждения, необходимые для доказательства теоремы 3. Утверждение 5. Для любого п ^ 1, любого автомата V из множества и любой реа-

лизуемой автоматом V булевой функции f(x\,Х2, ■ ■ ■ ,хп) выполнено неравенство

\(AnE)°f\- 1 < \(BUT)}\ < \(AuE)°f\.

Доказательство. Пусть С = (/?i,/?2, • • •,/?2п) — последовательность всех двоичных наборов длины п, такая, что автомат V с последовательностью С реализует /. Тогда при последовательной подаче наборов из последовательности С на входы автомата V последний перейдет из 1-состояния в одно из 0-состояний ровно \{В U раз, а из 0-состояний в 1-состояние — не больше U Е)® | раз. Кроме того, автомат V перейдет из 0-состояний в 1-состояние не меньше П Е)® | раз. Число переходов из 0-состояний в 1-состояние либо совпадает с числом переходов из 1-состояния в 0-состояния, либо на единицу больше этого числа, что и завершает доказательство. □

Утверждение 6. Для любого п ^ 1 и любого автомата V из множества имеет место

неравенство

|P(F)Kmax(l,22n -2\кпм\).

Доказательство. Пусть A U Е = 0. Тогда автомат V может реализовать только функцию, тождественно равную нулю. Следовательно, доказываемое неравенство верно. Пусть теперь АиЕф$. Обозначим через 6 множество всех функций из Р2(п), принимающих значение 1 на всех наборах множества {0,1}га\(1^ П М). Поскольку A U Е С {0,1}га\(1^ П М), то функции из & принимают значение 1 на всех наборах множества АиЕ. Отметим, что любая функция, отличная от константы 0 и реализуемая автоматом V, принимает значение 1 хотя бы на одном наборе из A U Е. Поэтому из соотношения АиЕ ф 0 следует, что ни одна функция из 6 не может быть реализована автоматом V. Значит, в этом случае верно \P(V)\ < 22" -2\кпм\. □

Следствие 2. Для любого n ) 1 и любого автомата V из множества 5Jg(n); такого, что \К П М\ > п, верно неравенство |-P(F)| < 22" — 2п.

[22.] —1

Утверждение 7. Для любого т ^ 1 имеет место неравенство ^¿Jo &'т ^ 2т~2.

12 ВМУ, математика, механика, № 2

Доказательство. Пусть т ^ 1 нечетное. Тогда

Г?!"1

Е Сгт = 2т~1 > 2т~2

г=0

Пусть теперь т ^ 1 четное. Тогда Г?!"1

£_!_ 1 т 1

Е Сгт = 2т~1---СД ^ 2т~1---2т~1 = 2т~2. □

г=0

Утверждение 8. Для любого п ^ 1 и любого автомата V из множества (п) имеет место неравенство

\Р(У)\ ^ 22" - 21БиТ1"2.

Доказательство. Пусть В и Т = 0. Поскольку автомат V из (п) не может реализовать по крайней мере одну функцию, равную константе 1, то доказываемое неравенство верно. Пусть теперь |БиГ| 1. Обозначим через (5 множество всех функций из Р2(п), принимающих значение 1 на всех наборах множества {0,1}га\(!ЗиТ). Если функция из (5 может быть реализована автоматом V, то в силу утверждения 5 верно неравенство \(ВиТ)^\ ^ Следовательно, автомат V не может

реализовать все функции из (5, которые принимают значение 0 меньше, чем на наборах.

Используя утверждение 7, оценим количество а функций из (5, которые не может реализовать автомат V:

даы

о Е ит|^|БиТ|"2-

г=0

Тем самым верно искомое неравенство ^ 22™ — 2\ВиТ\~2. □

Следствие 3. Для любого п ) 1 и любого автомата V из множества такого, что

\В и Т\ ^ п + 3; верно неравенство \Р(У)\ < 22" - 2п.

Утверждение 9. Для любого п ^ 1 и любого автомата V из множества такого, что

\AC\E\ ^ 2, имеет место неравенство \Р(У)\ ^ 22" — 22П-1БиТ1-2.

Доказательство. Обозначим через (5 множество всех функций из Р2(п), принимающих значение 0 на всех наборах множества В и Т и хотя бы на двух наборах множества А П Е. Ни одна функция из (5 не может быть реализована автоматом V. Значит, верно неравенство |Р(У)| ^ 22П _"— \BUT\-2 [-]

Следствие 4. Если п ^ 4 и автомат V из множества таков, что \А П Е\ ^ 2, то

\Р(У)\ < 22" — 2п.

Доказательство. Предположим противное. Пусть |Р(У)| ^ 22" — 2п, п ^ 1. Тогда из следствия 3 вытекает, что \В и Т\ <п + 3, а из утверждения 9 следует, что

22" - 2п < \Р(У)\ < 22" - 22"-1БиТ1-2 < 22" - 22Т

—га—5

Отсюда получаем неравенство 2п ^ 22П_га_5. Последнее неравенство неверно при всех п ^ 4. Данное противоречие завершает доказательство следствия. □

Утверждение 10. Если п ^ 4 и автомат V из множества таков, что \B\JT\ ^ 3, то

\Р(У)\ < 22" — 2п.

Доказательство. Если и ^ 2га — п — 1, то утверждение верно в силу следствия 1. Пусть \А и Е\ ^ 2п — п. Обозначим через (5 множество всех функций из Р2(п), принимающих значение 1 на трех фиксированных наборах множества В и Т. В силу утверждения 5 для любой функции / из 6, реализуемой автоматом V, верны неравенства 3 ^ \(ВиТ)^\ ^ Следовательно,

автомат V не может реализовать функцию из (5, принимающую значение 0 меньше, чем на трех наборах множества А и Е. Оценим число а булевых функций из (5, которые не может реализовать автомат V:

а ^ С|Аи£;|-з + ^|Лие|-з + ^|Лие|-з ^ ^2п-п-з + + С|"-га-з =

(2п — п — 3)(2га — п — 4) = 1 + 2—п — 3 + --^-- =

= Т - п - 2 + 22'п~1 - п ■ 2п - 7 • 2п~1 + --п2 + --П + 6 = 22'п~1 - п ■ 2п - 5 • 2П_1 + - • п2 + - • п + 4.

2 2 2 2

Заметим, что

22'п~1 - п ■ 2п - 5 • 2п~1 + --п2 + --п + 4>2п^ (2га"1 -п--)-2п + --п2 + --п + 4>0.

2 2 2 2 2

Кроме того, для всех п ^ 4 выполнено 2га-1 — п — | 0. Из приведенных неравенств следует, что

а ^ 22'п~1 -п- 2га - 5 • 2га"1 + ^ • п2 + ^ • п + 4 > 2га

Таким образом, \Р(У)\ < 22" - 2п. □

Утверждение 11. Если п ^ 6 и автомат, V из множества (п) таков, что ^ 2п~1, то \Р(У)\ < 22" — 2п.

Доказательство. Если верно хотя бы одно из неравенств \А и К\ ^ 2п — п — 1 или \А и Е\ ^ 2п — п — 1, то утверждение верно в силу следствия 1. Пусть \А и К\ )2"-пм \А и Е\ ^ 2п — п. Если \В и Т\ ^ 3, то доказываемое утверждение верно в силу утверждения 10. Пусть \В и Т\ ^ 2. Учитывая, что А(1 К = 0, оценим мощность множества К П Е:

\КпЕ\ = \АиК\- \А\ - \K\E\ >\АиК\- \А\ - |{0,1}га\(Аи Е)\ ^

^ 2п - п - 2п~1 - (2п - (2п - п)) = 2п~1 -2 -п.

Обозначим через (5 множество всех функций из Р2(п), принимающих значение 1 на всех наборах множества {0,1}га\(1^ П Е). Поскольку АиМ С {0,1}га\(1^ П Е), то функции из (5 принимают значение 1 на всех наборах множества АиМ. Тем самым для любой функции / из (5 верно = 0

и | = 0. Пусть С = (/?1, /?2, • • •, Р2п) — последовательность всех двоичных наборов длины п, такая, что автомат V с последовательностью С реализует функцию / из 6. Тогда при последовательной подаче наборов из последовательности С на входы автомата V последний перейдет из 1-состояния в одно из 0-состояний ровно |(БиТ)|.| раз, а из 0-состояний в 1-состояние — не менее раз.

Число переходов из 0-состояний в 1-состояние либо совпадает с числом переходов из 1-состояния в 0-состояния, либо на единицу больше этого числа. Следовательно, \{КР\Е)®\ ^ 2• (\(ВиТ)^\ +1) +1. В силу условия \ВиТ\ ^2 имеем \(К Г\Е)® \ ^ 7. Значит, автомат V не может реализовать функции из (5, принимающие значение 0 больше, чем на семи наборах множества К П Е. Оценим число а функций из (5, которые не может реализовать автомат V:

\КПЕ\ 2п-1-2-п

а ^ ^ С\КПЕ\ ^ ^ Сг2п-1_2.П.

г=8 í=8

При всех п ^ 6 справедливо неравенство 2п~1 — 2 • п ^ 20, значит,

2П~1 —2-га

„ \ " гп ^ 1 02"-1-2-п _ о2п~1-2-п-1

а ^ ^ Ь2"-1-2-п ^ о ' 1 - 1

2

г=8

Заметим, что верны следующие эквивалентности:

22»-1-2-П-1 >2п^ 2п~1 -2-П-1>П4* 2п~1 >3-72+1.

Последнее неравенство выполнено при всех п ^ 6. Следовательно, а > 2п, поэтому

\Р(У)\ < 22" -2п. □

Утверждение 12. Если п ^ 6 и автомат V из множества (п) таков, чт,о \К П Т\ = 0; то \Р(У)\ <22" — 2п.

13 ВМУ, математика, механика, № 2

Доказательство. Если \BLiT\ ^ 3, то доказываемое утверждение верно в силу утверждения 10. Пусть \В U Т\ ^ 2. Если |yl U ^ 2п — п — 1, то доказываемое утверждение верно по следствию 1. Пусть U > 2п — п — 1. Если ^ 2п~1, то доказываемое утверждение верно в силу утверждения 11. Пусть |у!| > 2п~1. Заметим, что |Т| ^ \В UT\ ^2. Обозначим через S множество всех функций из Р2(п), таких, что они принимают значение 1 на всех наборах множества К и значение 0 на всех наборах множества Т. Пусть С = (/?i, /?2, ■ ■ ■, h

п j последовательность всех двоичных наборов длины п, такая, что автомат V с последовательностью С реализует функцию / из S. В силу условий \К®\ = \Tj\ = 0 автомат V не переходит в 0-состояние, отличное от начального. При последовательной подаче наборов из последовательности С на входы автомата V последний перейдет из начального 0-состояния в 1-состояние ровно раз и из 1-состояния в начальное 0-состояние ровно \Bj\ раз. Число переходов из 0-состояний в 1-состояние либо совпадает с числом переходов из 1-состояния в 0-состояния, либо на единицу больше этого числа. Значит, верно одно из равенств \А®\ — 1 = \Bj\ или = \Bj\. Поскольку \В\ ^ \В U Т\ ^ 2, то верно неравенство ^ 3. Следовательно, автомат V не может реализовать функции из S, принимающие значение 0 больше, чем на трех наборах множества А. Учитывая, что п ^ 6, |Т| ^ 2 и > 2п~1 ^ 32, оценим число а функций из S, которые не могут быть реализованы автоматом V:

а > 2W-* - - Сщ_2 - - = 2^ > 2™

Следовательно, |P(F)| < 22" — 2п. □

Следствие 5. Если п^ 6 и автомат V из множества таков, что |Т| = 0; то |P(V)| <

22" -2п.

Утверждение 13. Если п ^ 1 и автомат V из множества таков, что \ВиТ\ = 2, то

\P(V)\ < 22" — 2п.

Доказательство. Если |_К"ПТ| = 0, то доказываемое утверждение верно в силу утверждения 12. Пусть |_К"ПТ| ф 0. Обозначим через & множество всех функций из Р2(п), таких, что они принимают значение 1 на обоих наборах множества В U Т. Если функция / из 6 может быть реализована автоматом V, то в силу утверждения 5 верно неравенство ^ |(!3UT)j-| = 2. Следовательно,

автомат V не может реализовать функции из б, принимающие значение 0 меньше, чем на двух наборах из {0,1}п. Оценим число а функций из б, которые не может реализовать автомат V:

а ^ С2п_2 &2п_2 = 1 + 2 2 = 2 1.

Покажем, что автомат V не может реализовать по крайней мере еще одну функцию из Р2(п). Поскольку |_К"ПТ| ф 0, можно рассмотреть произвольный набор а из КПТ. Заметим, что если функция, реализуемая автоматом V, принимает значение 0 на наборе а, то такая функция должна принимать значение 0 хотя бы еще на одном наборе. Значит, автомат V не может реализовать такую булеву функцию д, которая принимает значение 0 только на наборе а. Отметим также, что поскольку а € В U Т, то д ф б. Следовательно, автомат V не может реализовать по крайней мере 2п булевых функций, т.е. верно неравенство |P(V)| ^ 22" — 2п. □

Утверждение 14. Если п ^ 6 и автомат V из множества 53з(и) таков, что \BUT\ = 1, то \P(V)\ < 22" — 2п.

Доказательство. Если \А П Е\ ^ 2, то доказываемое утверждение верно в силу следствия 4. Пусть \А П Е\ ^ 1. Если К П Т = 0, то доказываемое утверждение имеет место согласно утверждению 12. Пусть К П Т ф 0. Тогда из равенства \В U Т\ = 1 вытекает, что В = 0, |Т| = 1 и Т С К. Обозначим через а единственный набор множества TDK. Обозначим через 6i множество всех функций из Р2(п), таких, что они принимают значение 1 на всех наборах множества (К U М U и значение 0 на наборе а. Пусть С = (/?i,/?2j • • •,/32п) — последовательность всех двоичных наборов длины п, такая, что автомат V с последовательностью С реализует функцию / из Si. Поскольку В = 0 и \Tj\ = 0, если автомат V в момент времени t, где t ^ 1, переходит в 1-состояние, то во все последующие моменты времени V находится в том же 1-состоянии. В 0-состояние, отличное от начального, автомат может перейти только из начального 0-состояния при подаче набора а. Так как \{{К U М U = 0, если автомат V в момент времени t переходит в отличное от на-

чального 0-состояние, то во все последующие моменты времени V находится в том же 0-состоянии, где t ^ 1. В силу условия f(a) = 0 автомат V в некоторый момент времени переходит в отличное от начального 0-состояние. Следовательно, автомат V при подаче на него последовательности С не

переходит в 1-состояние. Значит, если функция из Si может быть реализована автоматом V, то она равна тождественному нулю. Учитывая, что Af]K = 4>ma^iK, оценим число а функций из Si, которые не может реализовать автомат V:

а > 22"-lA:uMueu{«}l — 1 > 2lA\(Mue)l — 1 > 2lA\Ml-1 — 1

Если |А\М| ^ п + 2, то автомат V не может реализовать по крайней мере 2ra+1 — 1 булевых функций и утверждение доказано. Пусть |А\М| ^ п + 1. Если ^ 2п~1, то доказываемое утверждение верно в силу утверждения 11. Пусть > 2га-1. Тогда |А П М\ = — \A\M\ > 2п~1 — п — 1. Обозначим через S2 множество всех функций из Р2(п), таких, что они принимают значение 1 на всех наборах множества {0,1}п\(АГ\М). Пусть С = (/?i, /?2, •••,/?2

п j последовательность всех двоичных наборов длины п, такая, что автомат V с последовательностью С реализует функцию / из &2-Поскольку Т С К С {0,1}га\(А П М), то \Tj\ = 1 и \К®\ = 0. Следовательно, при последовательной подаче наборов из последовательности С на входы автомата V последний перейдет из 1-состояния в одно из 0-состояний ровно \Tj\ = 1 раз. Если автомат V находился в 0-состоянии, не являющемся начальным, и на него подали набор из множества А П М, то V перейдет в начальное 0-состояние; если же автомат V находился в начальном 0-состоянии, то V перейдет в 1-состояние. Учитывая вышеприведенное рассуждение и равенство \К®\ = 0, получаем, что V перейдет из 0-состояний в

1-состояние не менее 1 + • (\(АПМ)®\ — 1)J раз. Число переходов из 0-состояний в 1-состояние либо совпадает с числом переходов из 1-состояния в 0-состояния, либо на единицу больше этого числа. Следовательно, 2 ^ 1 + • П | — 1)J. Из данного неравенства вытекает, что 5 ^ П М)°|. Значит, автомат V не может реализовать функции из 62, принимающие значение 0 больше, чем на пяти наборах множества An М. Учитывая неравенство \А П М\ > 2n~1 — п — 1, оценим число b функций из &2, которые не может реализовать автомат V:

Ь > 2|АПМ| " ЕС1апЩ > 22" 1_га_1 - ¿С^^.

г=0 г=0

При всех n ^ 6 верны неравенства 2n~1 — п — 1 ^ 25 и 2П~1 — п — 2 > n + 1, значит, имеет место оценка

b > 22"~1~п~1 - ¿С^-!.^! > - • 22" 1_ra_1 = 22"-1-™-2 > 2га+1 > 2га

г=0

Следовательно, |P(F)| < 22" — 2П. □

Доказательство теоремы 3. Доказательство теоремы разбивается на четыре случая в зависимости от мощности множества BUT. Если \В UT| ^ 3, то теорема верна в силу утверждения 10, если \В U Т\ = 2, то в силу утверждения 13, если \В U Т\ = 1, то в силу утверждения 14, если \В U Т\ =0, то в силу следствия 5. □

Можно описать все автоматы из 23з(п), на которых достигается полученная верхняя оценка числа булевых функций от п переменных, реализуемых такими автоматами. Приведем здесь соответствующий результат без доказательства. Квазиуниверсальным будем называть автомат из 23з(п), на котором достигается полученная в теореме 1 верхняя оценка числа булевых функций от п переменных, реализуемых автоматами из 23з(п).

Теорема 4. При n ^ 9 asm,ом,am, V из множества 53з(п) является квазиуниверсальным тогда и, только тогда, когда он принадлежит 5Jg(n) и, задается одним из следующих наборов условий:

1) А = {0,1Г\{Й}; К = {й}; В = т, Т = {й}; Е = m, М С {¡г, а};

2) А = {0,1}»\{а}, К = {й}; В = {Д}; Т = {й}; Е = {а, Д}; М С

3) А = {0,1}га\{а, х}, К = {а}, В = {,в}, Т = {а}, Е = {Д, х}, М С {Д, а};

4) А = {0,1}га\{а, х}, К = {а}, В = {,в}, Т = {а}, Е = {а, Д, х}, М С {Щ;

Ъ) А = {0,1}п\{а, я}, К = {а, х}, В = {Д}; Т = {й}; Е = {Д, х}, М С {¡г, а}, где a,/3,x,Jl — различные наборы из {0,1}га.

14 ВМУ, математика, механика, № 2

Автор выражает искреннюю признательность P.M. Колпакову за постановку задачи и обсуждение результатов работы и О. С. Дудаковой за ценные советы и замечания.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 14-01-00598 ("Вопросы синтеза, сложности и контроля управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2006.

2. Конспект лекций О. Б. Лупанова по курсу "Введение в математическую логику" / Отв. ред. А. Б. Угольников. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2007.

3. Сысоева JI.H. О реализации булевых функций обобщенными «-формулами // Уч. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2014. 156, № 3. 116-122.

4. Сысоева Л.Н. Максимальное число булевых функций, порождаемых инициальным автоматом с двумя константными состояниями // Труды IX Междунар. конф., Москва и Подмосковье, 20-22 мая 2015 г. / Отв. ред. В.Б. Алексеев, Д.С. Романов, Б.Р. Данилов. М.: МАКС Пресс, 2015. 239-241.

5. Сысоева Л.Н. О некоторых свойствах обобщенных а-формул // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 4. 51-55.

Поступила в редакцию 03.06.2016