О некоторых свойствах обобщенных альфа-формул Текст научной статьи по специальности «Математика»

откуда в силу произвольности 7 и Y следует, что min 11 ^ 0 : vfN(t) ^ h j —> т,n,h) при e — 0.

В результате имеем требуемое утверждение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцелъ А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

2. Gitterman М. The noisy oscillator. Singapore: World Scientific Publishing Co. Re. Ltd., 2005.

3. Лыков А.А., Малышев В.А., Музычка С.А. Линейные гамильтоновы системы с микроскопическим случайным воздействием // Теория вероятн. и ее примен. 2012. 57, № 4. 794-799.

4. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1. М.: Наука, 1971.

5. Ширяев А.Н. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением // Современные проблемы математики. Вып. 8. М.: МИЛИ. 2007. 3-78.

6. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2004.

7. Ethier S.N., Kurtz T.G. Markov processes, characterization and convergence. Hoboken, New Jersey: John Wiley and Sons, 1986.

8. Вентцелъ А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука: Физматлит, 1996.

Поступила в редакцию 13.02.2012

УДК 519.95

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ а-ФОРМУЛ

Jl. Н. Сысоева1

Рассматривается задача о реализации булевых функций обобщенными а-формулами. Вводится понятие универсального множества обобщенных а-формул для заданного множества булевых функций. Для множества булевых функций, сохраняющих константы 0 и 1, строятся универсальные множества.

Ключевые слова: булева функция, формула, реализация функций формулами.

а

а

а

functions.

Key words: Boolean function, formula, realization of functions by formulas.

Множество всех функций k-значной логики обозначается через Pfc, k ^ 2. Следуя [1], определим индуктивно понятие а-формулы над системой A, A С Pk. Символ переменной является а-формулой над A; такие формулы называются тривиальными. Выражение вида и(Ф), где Ф — а-формула над A, a u — символ одноместной функции из A, является а-формулой. Выражение вида д(Ф,х^,... ,Xim), где Ф — а-формула над A, a Xi2,... ,Xim — символы перемеиных, m ^ 2, и д — символ m-местной функции из A, также является а-формулой. Предполагается при этом, что других а-формул над A нет. Множество всех функций, реализуемых нетривиальными а-формулами над A называет ся а-пополнением сис темы A и обозначается через [А]а. Система A С Pk называет ся а-полной, если Pk = [A]a. Известно, чт о в P2 не существует конечных а-полных систем; при этом в Pk при всex k ^ 3 конечные а-полные системы

а

Введем необходимые определения. Положим E2 = {0,1}. Обозначим через Е? множество всех наборов длины и, компоненты которых принадлежат Е^. Наборы (0, 0,..., 0) и (1,1,... , 1) длины n обозначим

через 0 и 1 соответственно. Пусть 7,7 € Е?. Будем говорить, что набор /3 больше или равен набору 7 (обозначение 3 ^ 7), если для каждого г, такого, что 1 ^ i ^ и, выполнено неравенство 3i ^ jf, набор 3 строго больше набора 7 (обозначение 3 > 7), если 3 ^ 7 й 3 = 7- Функция f (x1,x2,..., xn) € P2

1 Сысоева Любовь Николаевна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: s-lubaQmail.ru.

называется монотонной, если для любых двух наборов 3,3 € Е?, таких, что 3 ^ 7, верно неравенство /(/?) /(7)- Пусть /3,7 € Е<2 ■ Будем говорить, что набор /3 противоположен набору 7, если Зг = ^у.^ для всех г = 1, 2,... , п. Пусть /(х\,х2, ■ ■ ■, хп) € функция /(х\,х2, ■ ■ ■ ,хп) называется двойственной к функции / (обозначение /*). Через То1(п) обозначается множество всех булевых функций, сохраняющих константы 0 и 1 и зависящих только от переменных х1, х2,..., хп, п ^ 1.

Пусть Э С Р2- Обозначим через Ф(х1, Х2,..., хп) формулу над Э, множество переменных которой совпадает с множеством {х1, х2,..., хп}. Значение формулы Ф на таборе 3 обозначим через Ф(3) Графическое равенство формул Ф и Ф будем обозначать через Ф = Ф. Пусть Ф — формула над Э вида

/(п)(Ф1, Ф2,..., Фп), где Ф1, Ф2,..., Фп — формулы над Э. Внешним функциональным символом формулы Ф назовем сим вол /(п). Пусть функ ция / двойственна к функции д, тогда соответствующие им функциональные символы назовем двойственными. Обозначим через Ф* формулу, полученную заменой каждого

Ф

Пусть Уя = (А, В, С, д) — конечный инициальный автомат, где А, В и ^ — конечные множества входных символов, выходных символов и символов состояний соответственно; ^ и С — функции выхода и перехода соответственно; д — начальное состояние, д € Пусть /у — автоматная функция, вычисляемая конечным инициальным автоматом Уя. Состояниями автоматной функции /у называются состояния автомата Уя. Необходимые определения можно найти в [6, 7]. Далее будут рассматриваться только такие автоматные функции, которые в каждом состоянии реализуют некоторую функцию алгебры логики.

Пусть С — некоторое множество булевых функций, а А — конечное множество автоматных функций, реализующих в каждом состоянии некоторую функцию из множества С. По аналогии с понятием а-формулы над множеством функций из определяется понятие а-формулы над множеством А. Пусть ^(х1, х2,..., хп) — а-формула над множеством А, а С = (31,32,..., 32п) _ последовательность всех двоичных наборов длины п, п ^ 1. Рассмотрим последовательно значения формулы ( на наборах 3г, г = 1, 2,..., 2п. Таким образом, зададим последовательность ((31), ((32),..., ((32") значений формулы ( на всех двоичных наборах длины п. Формуле (сопоставим функцию / (х1, х2,..., хп) алгебры логики, такую, что выполнены равенства / (3г) = ((3г) для всех г = 1,..., 2п. Обобщенной а-формулой ^ над множеством А назовем пару ((, С), где ( — формула над А, а С — последовательность всех двоичных наборов длины п. Значение формулы ^ на таборе 3 обозначается через ^|д и определяется равенствами ^|д = ((3) = /(3) 3 € Еп, где / — функция алгебры логики, реализуемая формулой В момент времени где 1 ^ Ь ^ 2п + 1, каждая автоматная функция, входящая в формулу находится в состоянии, отвечающем некоторой функции из множества С. Заменим все символы автоматных функций, входящих в на символы соответствующих функций из множества С. Получим некоторую а-формулу Ф^ над С. Таким образом, в каждый момент времени Ь обобщенной а-формул е ^ над множеством А поставлена в соответствие а-формула Ф^ над С, 1 ^ Ь ^ 2п + 1 Назовем Ф1 начальной формулой обобщенной а-формулы

Пусть В — некоторое множество булевых функций. Множество А обобщенных а-формул называется универсальным для В, если для любой фу нкции / из В существует фор мула ^ из множества А, такая, что ^ реализует функцию /.

Пусть — конечный инициальный автомат с двумя входами и одним выходом, такой, что {д1, ^2} — множество его состояний, при этом в состоянии д1 автомат ревизует функцию х1&х^, в состоянии д2 — функцию х1 V х2 и в момент времени Ь автомат переходит из состояния дг в состояние д^ тогда и только тогда, когда входные символы в этот момент времени совпадают, г = ^ И пусть У^2 — конечный инициальный автомат, отличающийся от У^1 только начальным состоянием. Обозначим через /у и /у автоматные функции, реализуемые инициальными автоматами У^ и У^2 соответственно. Пусть п — фиксированный порядок переменных х1, х2,..., хп. Через (П обозначим а-формулу над {/у? }, в которую каждая переменная х1, х2,..., хп входит ровно один раз и в которой вхождения этих переменных соответствуют порядку п, г = 1, 2. Обозначим через В^ множество и{(С, С), ((П, С)}, где объединение берется

п

Вп (для всевозможных порядков п переменных х1,х2,..., хп) обозначим через Ап.

Основным результатом данной работы является следующая теорема (см. также [8]).

Теорема. Для любого п ^ 2 каждое множество обобщенных а-формул из семейства Ап является ■универсальным для множества Т01(п).

Доказательство теоремы опирается на несколько вспомогательных утверждений. Введем еще несколько понятий.

Пусть /1, /2 — булевы функции, такие, что /1 = /|. Пусть Т — автоматная функция с множеством состояний {$1, £2}, ревизующая в состоянии вг функцию /¿, такая, что функция перехода удовлетворяет следующему условию: равенство С(вг, 3) = вj выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство G(вj, 3) = вг, где 3 — набор, противоположный набору 3) и г, € {1, 2}. Пусть Е1 = (р, С) и Е2 = (0, Б) —

обобщенные а-формулы над {Т}, где С = (3ъ32, • • • , 32п) Б = (31,32,... ,32" ) а Ф1 и Ф1 — начальные формулы обобщенных а-формул Е1 и Е2 соответственно. Формулы Е1 = (р, С) и Е2 = (0, Б) над {Т} будем называть двойственными, если выполнено равенство Ф1 = ФЦ и для каждого г, 1 ^ г ^ 2п, набор 3г

противоположен набору 3г-

Следующее утверждение нетрудно доказать индукцией по глубине начальных формул. Утверждение 1. Двойственные обобщенные а-формулы реализуют, двойственные функции. Из этого утверждения следует, что для обобщенных а-формул выполнен принцип двойственности. Определим разбиение множества Еп\{0,1} на пары. Запишем все двоичные наборы длины п в лексикографическом порядке, занумеруем их числами от 1 до 2п (при этом набор 0 имеет номер 1) и разобьем их на пары следующим образом. Парой будем называть множество, состоящее из двух наборов, имеющих в лексикографическом порядке номера 2п и 2п +1, где 1 ^ п ^ 2п-1 — 1. Введем отношение частичного порядка на множестве пар двоичных наборов длины п. Пара наборов {31, 32} меньше пары наборов {31,32}) если оба набора 31 и 32 имеют в лексикографическом порядке меньшие номера, чем наборы 31 и 32-

а над множеством {/уЧ1, /у?2} с начальными

формулами следующего вида: ж151(ж252 ... (жп-2£п-2(жп-1£п-1жп))...), где 51, £2,..., £п-1 € {V, &}. Утверждение 2. Пусть Е = (р, С) — обобщенная а-формула над {/у?1 , /уЧ2}, С = (31, 32,..., 32")

и существует такое г, 1 ^ г ^ 2п — 1, что наборы 3г и 3г+1^ принадлежат, одной паре. Тогда, обобщенная а-формула Е принимает, на этих наборах одинаковые значения, и верно равенство Фг = Фг+2.

Приведем схему доказательства этого утверждения. Достаточно доказать, что для обобщенной а-формулы Е1 = (р, Б), где Б = (31,32,... ,32") а 31 = 3г и 32 = 3г+ъ верны равенства Е = Е 1|^2 и Ф1 = Фэ- Заметим, что существует такое т, 2 ^ т ^ п, чт0 наборы 3г и 3г+1 отличаются только последними т символами. То есть эти наборы имеют вид 3г = (30,31) и 3г+1 = (30,32) где 3о € Еп-2 и 31, 32 € Е22, причем один из наборов 31, 32 имеет вид (1, 0,..., 0) а другой — вид (0,1,... , 1). Для доказательства утверждения достаточно сделать два наблюдения. Во-первых, автоматные функции /у и /у в любом состоянии реализуют булевы функции, принадлежащие классу Т01. Во-вторых, если на вход любой из автоматных функций /у и /уЧ2 подать последовательно наборы вида (а, Ь) и (Ь, а) или (а, а) и (Ь, Ь) либо два одинаковых набора, то состояние автоматной функции не изменится, а, Ь € {0,1} и а = Ь. Более того, если последовательно подать наборы вида (а, Ь) и (Ь, а) где а, Ь € {0,1} и а = Ь, или два одинаковых набора, то соответствующие выходные символы автоматной функции будут равны.

Утверждение 3. Пусть Е = (р, С) — обобщенная а-формула над {/у , /уЧ2} С = (31, 32,..., 32п) м

существует такое г, 1 ^ г ^ 2п — 1, что наборы 3г и /3г+1 принадлежат, различным парам,. Тогда, значение обобщенной а-формулы Е на наборе меньшей пары не превосходит, значения Е на наборе большей пары.

Это утверждение нетрудно доказать следующим образом. Предположим для определенности, что набор Зг+1 принадлежит большей паре. Тогда существует такое ш, 1 ^ ш ^ п, что 3г = (3ъ32) и /3г+1 = (31,32), где 31,31 € Е2-и 32,32 € Е^"-2, а 31 < 31) и доказываемое утверждение следует из того, что все булевы функции, реализуемые автоматными функциями /у и /у в каждом состоянии, монотонны.

Лемма. Пусть / — функция из множества Т01(п); такая, ч то / (1, 0,..., 0) = 0 ил и / (0,1,... , 1) = 0 п ^ 2. Тогда существует обобщенная а-формула (р,С) над {/уЧ2} реализующая функцию /, такая,

что начальная формула формулы р имеет вид ж1 V (ж2 V ... (жп-2 V (жп-1 V Жп))...).

/

такой последовательности С всех двоичных наборов длины п, что обобщенная а-формула Е = (р, С) над

{/уЧ2} ревизует функцию /. В дальнейшем предполагается, что длина всех двоичных наборов равна п.

/

значение 1, в лексикографическом порядке. На первом наборе обобщенная а-формула Е принимает значение 1 в силу того, что начальная формул а имеет вид Ж1 V Ф, где через Ф обозначена формула

Х2 V (Жэ V ... (Жп-2 V (Жп-1 V Жп))...).

На остальных наборах формула F принимает знач ение 1 в силу утверждений 2, 3. Затем записываем набор 0. Поскольку все булевы функции, реализуемые автоматной функцией fvq2 в любом состоянии,

принадлежат классу Toi, то та наборе 0 формула F принимает знач ение 0. Далее записываем все наборы

f0

ческому порядке. Наборы 0 и (0,1,..., 1) являются подряд идущими в построенной последовательности. Предположим для определенности, что набор (0,1,..., 1) находится в построенной последовательности после набора 0. Пусть набор 0 имеет в построенной последовательности номер i, 1 ^ i ^ 2n-i — 1. Из утверждений 2, 3 следует, что на внешние функциональные элементы формул Ф. 1 ^ j ^ i — 1 и i + 1 ^ j ^ 2n-i, подается набор (0,1). Следовательно, внешние функциональные символы а-формул Ф. соответствующих обобщепной а-формул е F в моменты времени t = j, 1 ^ j ^ i, являются дизъюнкциями. А внешние функциональные символы а-формул Ф. соответствующих формуле F в моменты времени t = j, i + 1 ^ j ^ 2n-i, являются конъюнкциями. А значит, на наборах, имеющих в построенной последовательности номера с i + 1 по 2n-i, формула F принимает знач ение 0.

После этого записываем набор (1, 0,..., 0). В силу утверждения 2 набор (1, 0,..., 0) подается на формулу ж 1&Ф. Поэтому на данном наборе обобщенная а-формул а F принимает знач ение 0. Затем записыва-

f0

лексикографическому порядке. Первый из этих наборов подается на формулу Ж1&Ф1, где Ф1 — формула, двойственная к Ф. Поэтому на нем фо рмула F принимает знач ение 0. На всех остальных наборах обобщенная а-формул а F принимает знач ение 0 в силу утверждений 2, 3. Далее записываем набор 1. Поскольку все булевы функции, реализуемые автоматной функцией fvq2 в любом состоянии, принадлежат классу Toi,

то на наборе 1 формула F принимает знач ение 1. Наконец, записываем все наборы с первым единичным разрядом, на которых функция f принимает знач ение 1, в лексикографическом порядке. Пусть набор 1 имеет в построенной последовательности номер i, 2n-i + 1 ^ i ^ 2n. Если i = 2n, то лемма доказана. Пусть i = 2n. Тогда внешний функциональный символ а-формулы соответствующей обобщенной

а-формуле F в момент времени t = i + 1, является дизъюнкцией. А значит, формула F принимает на

1

F1

Доказательство теоремы. Пусть ВП — такое множество из семейства An, что начальные формулы формул (П и (2 имеют вид

XiS(X2S . . . (Жп-2S(Xn-iSXn)) ... ),

где S € {V, &}. Пусть f (xi, Ж2,..., xn) — произвольная функция из множества Toi(n), где n ^ 2. Ес-f(1, 0, . . . , 0) = 0 f(0, 1, . . . , 1) = 0 f(1, 0, . . . , 0) = 1 f(0, 1, . . . , 1) = 1

ства An доказательство аналогично. Теорема доказана.

Следует отметить, что если булева функция f (xi, Ж2,..., xn) не принадлежит множеству Toi(n), то не существует обобщенной а-формулы из семейства Л^ реализующей эту функцию, n ^ 2.

В заключение автор выражает искреннюю признательность A.B. Угольникову за постановку задачи и обсуждение результатов работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глухое М.М. Об а-замкнутых классах и а-полных системах функций k-значной логики // Дискретн. матем. 1989. 1, вып. 1. 16-21.

а

117-130.

3. Шабунин А.Л. Примеры а-полных систем k-значной логики при k = 3,4 // Дискретн. матем. 2006. 18, вып. 4. 45-55.

а

72-75.

5. Трущин Д-В. О сложности реализации функций из одного класса трехзначной логики формулами специального вида // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 4. 20-26.

6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2006.

7. Конспект лекций О. Б. Лупанова по курсу "Введение в математическую логику" / Отв. ред. А. Б. Угольников. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2007.

8. Сысоева Л.Н. Универсальные множества обобщенных формул // Дискретная математика и ее приложения: Мат-лы XI Междунар. семинара. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2012. 218-220.

Поступила в редакцию 18.02.2013

УДК 539.214; 539.374

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ

ЛИНИЙ СДВИГА ПРИ НЕУПРУГОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ

H.A. Веклич1, A.M. Локощенко2

Получено выражение для плотности вероятности случайных направлений линий сдвига на продольных шлифах растягиваемых образцов в неупругой области. При этом использованы различные предположения о случайных наклонах плоскостей сдвига. Проведено сравнение результатов расчета с известными экспериментальными данными.

Ключевые слова: пластичность, ползучесть, растяжение, плоскость сдвига, шлифы, линия сдвига, плотность вероятности.

An expression for the probability density of random slip line directions on longitudinal cuts of inelastic extended specimens is obtained. Various hypotheses on random slopes of slip planes are used. The numerical results are compared with experimental data.

Key words: plasticity, creep, tension, slip plane, cuts, slip line, probability density.

Важным методом исследования механизма развития начальной фазы неупругой деформации поликристаллических твердых тел является анализ направлений линий сдвига, возникающих на плоскости шлифа при растяжении образцов [1-4]. Угол наклона ф линии сдвига к перпендикулярному к оси образца направлению, определяемый на плоскости продольного шлифа, есть случайная величина.

Впервые четкая постановка задачи о количественном описании случайного угла наклона ф была дана в работе [2], где была найдена плотность вероятности распределения угла ф в предположении, что угол а наклона плоскостей сдвига к оси образца при растяжении в некотором диапазоне изменения этого угла может принимать любые значения с одинаковой возможностью.

Цель настоящего исследования — теоретическое описание случайных направлений линий сдвига с помощью функции распределения и сравнение теоретического распределения с результатами построения экспериментальных распределений.

Для получения необходимой функции распределения рассмотрим взаимное расположение произвольной плоскости сдвига М, плоскости шлифа N и плоскости Q, перпендикулярной оси образца. Угол между плоскостями М и N обозначим а. Плоскости М и N пересекаются по прямой q, называемой линией сдвига. Кроме прямой q рассмотрим на плоскости N прямую r, перпендикулярную оси образца. Угол ф между прямыми q и r есть уже упоминавшийся выше угол наклона линии сдвига. Введем еще прямую l, по которой плоскость М пересекается с плоскостью Q, и пусть ф — угол между прямой l и плоскостью N

а ф ф

п

tg ф = tg a cos ф, 0 (1)

аф

О ^ а, ф ^ п/2. Следовательно, угол ф на плоскости шлифа также будет случайной величиной, подлежащей теоретико-вероятностному описанию.

1 Веклич Николай Александрович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. ползучести h длительной прочности НИИ механики МГУ, e-mail: vna4985®yandex.ru.

2 Локощенко Александр Михайлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зам. директора НИИ механики МГУ, e-mail: loko® imec. msu .ru.