Максимальное число булевых функций, реализуемых инициальным булевым автоматом с двумя константными состояниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хелемский А. Я. Метрическая свобода и проективность для классических и квантовых нормированных модулей // Матем. сб. 2013. 204, № 7. 127-158.

2. Helemskii A. Ya. Extreme version of projectivity for normed modules over sequence algebras // Can. J. Math. 2013. 65. 559-574.

3. Helemskii A. Ya. Metric version of flatness and Hahn-Banach type theorems for normed modules over sequence algebras // Stud. Math. 2011. 206, N 2. 135-160.

4. Хелемский А.Я. Тензорные произведения и мультипликаторы модулей Lp на локально компактных пространствах с мерой // Матем. зам. 2014. 96, № 3. 450-469.

5. Богачев В.И. Основы теории меры. 2-е изд. М.; Ижевск: РХД, 2006.

6. Albiae F., Kalton N.J. Topics in Banach space theory. N.Y.: Springer Inc., 2006.

Поступила в редакцию 13.02.2015

УДК 519.716.32

МАКСИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ, РЕАЛИЗУЕМЫХ ИНИЦИАЛЬНЫМ БУЛЕВЫМ АВТОМАТОМ С ДВУМЯ КОНСТАНТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ

Л. Н. Сысоева 1

Рассматривается задача о реализации булевых функций инициальными булевыми автоматами с двумя константными состояниями и п входами, т.е. автоматами с двумя состояниями, такими, что в любом из состояний функция выхода совпадает с одной из булевых констант 0 или 1, зависящих от п переменных, п ^ 1. Найдена максимальная возможная мощность множества булевых функций, реализуемых булевым автоматом с двумя константными состояниями и п входами, где п > 1.

Ключевые слова: булева функция, инициальный автомат, реализация булевых функций.

The problem of realization of Boolean functions by initial Boolean automata with two constant states and n inputs is considered. Initial Boolean automaton with two constant states and n inputs is an initial automaton with output such that in all states output functions are n-ary constant Boolean functions 0 or 1. The maximum cardinality of set of n-ary Boolean functions where n > 1 realized by an initial Boolean automaton with two constant states and n inputs is obtained.

Key words: Boolean function, initial automaton, realization of Boolean functions.

Введем обозначения: B2 — множество {0,1}; -Рг(^) — множество всех булевых функций, зависящих только от переменных х\, Х2, ■ ■ ■, хп, п ^ 1. Под булевым автоматом будем понимать автомат V = (А, В, Q, F, G) с произвольным числом входов, входным алфавитом А = {0,1}, выходным алфавитом В = {0,1}, алфавитом состояний Q, функцией перехода G и функцией выхода F. Определения автомата и инициального автомата можно найти в [1,2]. Пусть п — число входов автомата V. Без ограничения общности будем полагать, что входы автомата V занумерованы от 1 до п и на г-й вход автомата V подается значение булевой переменной Xi. Тем самым можно считать, что в каждый момент времени на входы автомата V подается некоторый двоичный набор значений переменных Х\,Х2, ■ ■ ■ ,хп и для любого состояния q € Q функция выхода F(q, Х\,Х2, ■ ■ ■, хп) является булевой функцией от переменных Х\,Х2, ■ ■ ■, хп. Булев автомат V будем называть булевым автоматом с константными состояниями, если для любого q € Q функция F(q,x\,Х2, ■ ■ ■ ,хп) является константной булевой функцией 0 или 1.

Пусть Vqi = ({0,1}, {0,1}, Q, F, G,q\) — инициальный булев автомат с начальным состоянием q\

и п входами. Пусть С = (/?i, /З2, ■ ■ ■, /?2п) — упорядоченная последовательность всех двоичных наборов длины п, п ^ 1. Будем говорить, что автомат Vqi с последовательностью С реализует булеву

1 Сысоева Любовь Николаевна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: s-lubaQmail.ru.

функцию f(x\,Х2, ■ ■ ■ ,хп), если при последовательной подаче на входы Vqi наборов из С в каждый момент t = 1, 2,..., 2п из первых 2п моментов времени на выходе Vqi выдается значение f(ßt)- Будем также говорить, что функция / реализуема автоматом Vqi, если для некоторой последовательности наборов С автомат Vqi с последовательностью С реализует /. Обозначим через P(Vqi) множество всех булевых функций, реализуемых автоматом Vqi.

Пусть 21 С Р2(п). Автомат Vqi называется универсальным для множества 21, если P(Vqi) = 21. В данной работе рассматриваются вопросы, связанные с универсальностью булевых автоматов с константными состояниями. Аналогичные проблемы, касающиеся универсальности формул над автоматными функциями, исследовались в работах [3,4].

Заметим, что если F(qi,x\,x2, ■ ■ ■, хп) является булевой функцией f(x\,x2, ■ ■ ■, хп), то инициальный булев автомат Vqi не может реализовать функцию f(x\,Х2, ■ ■ ■ ,хп). Поэтому верно следующее утверждение.

Утверждение 1. Не существует инициального булева автомата, универсального для множества Р2 (jl) ■

Далее рассматривается задача построения инициальных булевых автоматов с двумя константными состояниями, универсальных для множеств булевых функций максимальной возможной мощности. Множество всех инициальных булевых автоматов с двумя константными состояниями и п входами обозначим через ^(п)- Пусть Vq — инициальный булев автомат с двумя константными состояниями q\ и q2 и начальным состоянием q € {q\, 52 }• Без ограничения общности будем считать, что F(q\,x\,x2, • • •, хп) = 0 и F(q2,X\,X2, ■ ■ ■, хп) = 1. Заметим, что такой автомат однозначно определяется множествами М С {0,1}га и N С {0,1}га, такими, что набор ß принадлежит множеству М тогда и только тогда, когда G(q\,ß) = q2, и набор ß принадлежит множеству N тогда и только тогда, когда G(q2, ß) = qi-

Приведем пример инициального булева автомата с двумя константными состояниями и одним входом и укажем все реализуемые им булевы функции. Рассмотрим автомат, определяемый множествами М = {0} и N = {1}. Автомат V с последовательностью (0,1) реализует селекторную булеву функцию ж, а с последовательностью (1,0) — булеву константу 0.

Верно следующее утверждение.

Утверждение 2. Для любого п ^ 1 существуют два автомата Vqi и Vq2 из такие,

что P(Vq\) U P(Vq22) = Р2(п).

Для доказательства этого утверждения достаточно для некоторого фиксированного двоичного набора ß длины п рассмотреть автомат Vqi, определяемый соотношениями М = {/?} и N = 0, и

автомат Vq2, определяемый соотношениями М = $ и N = {ß}.

Верна следующая теорема.

Теорема 1. Для любого а любого автомата Vq из мощность множества P{Vq)

не превосходит | • | -Р2 (i^) | •

Доказательство этой теоремы разбивается на три случая, при этом используются следующие вспомогательные утверждения.

с

Утверждение 3. Последовательность {ап}, где ап = —; не возрастает. Кроме того, о-п ^ | при п 2 и ап ^ | при п^А.

Доказательство. Рассмотрим отношение

п+1

' ^ 2 ^ I П+1 I I П + 1 I

fl L -¿ i I П+1 I I П + 1 I

Vi П1 2 J ora+l П1 2 J fra+2 "I

2" _ °ra+l z _ 2 ra+1 _ 2 . I 2 I > ^

an+1 с L^J 2n ~ П + 2

2n+i

Заметим, что

L 2 J ril q L 2 -I r~<2 с

_ _ °3 _ °3 _ á _ _ 5 _ °5 _ 0

22 -4~4' 24 - 16 ~ 8"

Значит, an ^ | при n ^ 2 и ara ^ | при n ^ 4. □

Для того чтобы сформулировать следующее утверждение, введем необходимые обозначения. Пусть Vq — некоторый булев автомат из 9?2(и), реализующий булеву функцию f(x\,Х2, ■ ■ ■ ,хп). Обозначим через подмножество множества М, состоящее из всех таких наборов /3, для которых выполнено равенство /(/?) = 0; через Mj подмножество множества М, состоящее из всех таких 7 ВМУ, математика, механика, №4

наборов /3, для которых выполнено равенство /(/3) = 1; через подмножество множества Ы, состоящее из всех таких наборов /3, для которых выполнено равенство /(/3) = 0; через Л^ подмножество

множества -/V, состоящее из всех таких наборов /3, для которых выполнено равенство /(/3) = 1.

Утверждение 4. Для любого п ^ 1, любого автомата УЯ1 из множества и любой

реализуемой им булевой функции /(х\,х2, ■ ■ ■ ,хп) выполнено |М°| = или |М°| = + 1.

Доказательство. Пусть С = (Рг, ■ ■ ■, $2™) — последовательность всех двоичных наборов длины п, такая, что автомат Уд1 с последовательностью С реализует /. Тогда при последовательной подаче наборов последовательности С на входы автомата Уд1 последний перейдет из состояния в состояние ровно |М°| раз, а из состояния в состояние ровно раз. □

Лемма 1. Для любого п ^ 1 и любого автомата Уд1 из ^2(12), такого, что \М\ ^ 1, мощность множества Р(Уд1) не превосходит \ • \Р2(п)\.

Доказательство. Если \М\ = 0, то автомат может реализовать только одну функцию, тождественно равную константе 0. Если \М\ = 1, то М = {/3} для некоторого двоичного набора /3. Поскольку функцией выхода для начального состояния автомата является булева константа 0, при подаче на его вход любой последовательности входных наборов этот автомат выдает значение 0 на наборе /3, тем самым любая реализуемая им функция принимает значение 0 на наборе /3. □ Лемма 2. Для любого п ^ 1 и любого автомата УЯ1 из ^2(12), такого, что ^ 1, мощность множества Р(УЧ1) не превосходит | • \Р2(п)\.

Доказательство. Пусть = 0 и автомат реализует булеву функцию /. В силу утверждения 4 выполнено неравенство |М°| ^ + 1^1. Если М = 0 или \М\ = 1, то утверждение верно по лемме 1. Пусть \М\ ^ 2. Поскольку равенство |М°| = 0 невозможно при непустом М, то |М°| = 1. Рассмотрим возможные значения функции / на множестве наборов из М. функция / принимает значение 0 ровно на одном наборе множества М, значит, таких функций не более С^щ ■ 22П-1М1 Следовательно, доля функций, которые может реализовать автомат не превосходит

\м\ _ \м\ _ т < 1

22" ~ 2\м\ ~ 2\м\ ^ 2'

Последнее неравенство выполнено в силу неравенства \М\ ) 2 и монотонности функции ф- при х > 1о§2 е.

Пусть {N1 = 1 и автомат реализует булеву функцию /. Если \М\ ^ 1, то утверждение верно в силу леммы 1. Пусть \М\ ^ 2. Рассмотрим два случая.

Пусть ]УСМ. Рассмотрим значения функции / на множестве наборов из М. По утверждению 4 выполнено неравенство |М°| ^ +1^2. Учитывая, что = 1 и N С М, получаем, что возможны два под случая:

a) если функция / принимает значение 0 на наборе множества -/V, то на остальных наборах множества М она принимает значение 1;

b) если функция / принимает значение 1 на наборе множества -/V, то она принимает значение 0 на одном или двух наборах множества

Функций, удовлетворяющих хотя бы одному из этих под случаев, не более

(1 + ^мм + С\м\-1) ' 22"-|М| = (1 + \М\ - 1 + (|М|"1)2(|М|"2)) • 22"-!м! =

(2-|М|+(|М|-1)(|М|-2))-22П"1м1-1 = (2-|М| + |М|2-3-|М|+2)-22П-1м1"1 = (|М|2-|М|+2)-22П-1м1"1.

Доля таких функций не превосходит

(|М|2 - |М| +2) •22"-1м1~1 _ |М|2 - |М| +2 1 22" _ 21м1+! "" 2'

последнее неравенство верно в силу того, что \М\ ^ 2 и функция хмонотонна при х > 3.

Пусть N ^ М. Рассмотрим значения функции / на множестве наборов из М и№. По утверждению 4 выполнено неравенство |М°| ^ + 1^2. Учитывая, что =1 и N Г) М = получаем, что возможны два под случая:

a) если функция / принимает значение 0 на наборе множества -/V, то она принимает значение 0 ровно на одном наборе множества М;

b) если функция / принимает значение 1 на наборе множества -/V, то она принимает значение 0 на одном или двух наборах множества М.

Функций, удовлетворяющих хотя бы одному из этих под случаев, не более

(2 ■ С(щ + С2М|) • 22"-1МиЛ^ = (2 • \М\ + |М|(|^|"1)) • 22""|ми^| =

= (4 • \М\ + |М|2 - |М|) • 22П-1МиМ1"1 = (|М|2 + 3 • |М|) • 22П-1МиМ1"1. Доля таких функций не превосходит

(|М|2 + 3-|М|)-22"-|мыу|-1 ^ |м|2 + 3|М| _ |М|2 + 3|М| 5

_ 21м1+1м1+1 _ 21м1+2 ^ 8'

последнее неравенство верно в силу того, что \М\ ^ 2 и функция монотонна при х ^ 5. □

Из лемм 1, 2 получаем

Следствие 1. Для любого и ) 1 в любого автомата УЯ1 из ^2(12), такого, что ^ 1 « N С М, мощность множества Р(УЯ1) не превосходит \ ■ \Р2{п)\.

Следующие утверждения необходимы для доказательства теоремы 1.

Лемма 3. Для любого п ^ 1 и любого автомата УЯ1 из ^2(12), такого, что М П N = 0; выполнено неравенство \Р(УЯ1)\ ^ | • \Р2(п)\.

Доказательство. Если \М\ ^ 1, то утверждение следует из леммы 1. Если ^ 1, то утверждение следует из леммы 2. Поэтому будем считать, что \М\ ^ 2 т ^ 2. Пусть автомат УЯ1 реализует булеву функцию /. Тогда в силу утверждения 4 выполнено одно из равенств |М°| = или |М°| = + 1. Пусть |М°| = к, тогда выполнено одно из равенств = к или = к — 1, к ^ 1. Поэтому количество различных функций, которые может реализовать автомат УЯ1 с учетом соотношения М П N = 0, не превосходит

1шп(|М|,|М| + 1) 1шп(|М|,|М|+1)

к=0 к=0 тт(|М|,|ЛГ| + 1)

_ 02п-\М\-\М\ ^ (Пк ^ с)2п-\M\-\N\ г<\Щ + 1

~ А ' ^ 1М1 ' 1^1 + 1 > ^ ' °|М| + |ЛГ|+Г

к=0

Последнее неравенство верно в силу свертки Вандермонда. Доля таких функций не превосходит

I 1М1 + 1ЛМ + 1 I

о2п —|М| —|ЛП + 1 Л 'а \ __' °|М|+|7У|+1 °|М| + |7У| + 1 5

22" 21м1+1^1 "" 8'

Последнее неравенство верно по утверждению 3, поскольку \М\ + |Л/"| ^ 4. □

В доказательстве следующих лемм используется несложный комбинаторный факт. Утверждение 5. Для любого п ^ 1 верны следующие равенства:

Еп2к _ \ " п2к+1 _ 0г

_ ~)П— 1

^п '

к=0 к=0

Лемма 4. Для любого п ^ 1 и любого автомата УЯ1 из ^2(12), такого, чт,о М С N или N С М, выполнено \Р(УЯ1)\ ^ \ ■ \Р2(п)\.

Доказательство. Если \М\ ■ 1, то утверждение следует из леммы 1. Пусть \М\ • 2. Тогда если = 1, то верно включение N С М, а значит, утверждение верно в силу следствия 1. Пусть \М\ ^ 2 и ^ 2. Рассмотрим два случая.

Пусть ^ |М|. Оценим количество различных функций /, которые может реализовать автомат УЯ1. Пусть = к, тогда = — к и = и Поскольку в силу утверждения 4 выполнено одно из равенств |М°| = или |М°| = + 1, то |(М\Ж)°| = |М°| — =

к - (|ЛГ| - к) = 2к- |ЛГ| или |(М\ЛГ)}| = |М°| - = к + 1 - (|ЛГ| - к) = 2к - |ЛГ| + 1. Значит, функций, которые может реализовать автомат Уд1, не более

|ЛГ| \м\

г)2п — \М\ пк (п2к-щ ,п2к-\М\ + и 02п-\М\ п2к-\М\ + 1 ,

к=0 к=0 \М\

^ 02"-\М\ + 1 ^ 02"-\М\ 9|М|-|М| _ 02"-\Щ

к=0

Последнее неравенство верно в силу утверждения 5. Доля таких функций не превосходит

I ¡N1 , , -/V ,

92п-\М\ . М-1 Г1—1 .

22" 21^1 ^ 22 ^ 2'

Предпоследнее неравенство верно в силу утверждения 3 и неравенства ^ 2.

Пусть {N1 ^ |М|. Оценим количество различных функций /, которые может реализовать автомат УЯ1. Пусть |М°| = к, тогда = \М\ — к и Щ = М^ и Поскольку в силу утверждения 4 выполнено одно из равенств |М°| = или |М°| = + 1, то |(Ж\М)|.| = — = к - (|М| - к) = 2к- \М\ или |(ЛГ\М)}| = - |М}\ = к - 1 - (|М| - к) = 2к - \М\ - 1. Значит, функций, которые может реализовать автомат не более

|М| |М|

г2к-\М\~и 02п-\Щ (гк Г2к-\М\ ,

z ' \М\' • / , • |/У|—|м\+~\) ^

I |М| , . , |М| , , |М| ,

<ГГ>2П-\И\ ГА—1 г2к-\м\ . 02П-|М| ^<1-—] 9|М|-|М| _ 02П-|М| ^<1-—] ^ ^ ' °|М| ' — ^ '°|М| ' * ~ Z |М| •

к=0

Последнее неравенство верно по утверждению 5. Доля таких функций не превосходит

I \М\ , , \м\ , о2п-|М| Г<1—\ Г<1—\

2 = С\ 1

22" 21м1 "" 22 ^ 2'

Предпоследнее неравенство верно в силу утверждения 3 и неравенства \М\ ^ 2. □

Лемма 5. Для любого п ^ 1 и любого автомата УЯ1 из Я32(п), такого, что М П N ф 0; М\ЛГ /0м ЛГ\М ф 0, выполнено \Р{УЯ1)\ < ± • |Р2(и)|.

Доказательство. Заметим, что неравенства |М| ^ 1 и ^ 1 невозможны в силу условий МП N ф Ч>, М\И ф 0 и ф 0. Значит, выполнены неравенства |М| ^ 2 и ^ 2. Пусть автомат

реализует некоторую булеву функцию /. Согласно утверждению 4 выполнено одно из равенств |(Ж\М)]-| = |М°| — |(МПЛ/")уг| или |(Ж\М)]-| = |М°| — |(МПЛ0}| — 1- Обозначим через А; количество наборов из множества (М П ^0/, а через г количество наборов из множества . Тогда

|(ЛГ\М)}| = - |(МП АО/1 = |(М\ЛГ)^| + |(М П - |(М П =

= г + к - (\М П N1 - к) = 2 • к + г - \М П

или

|(ЛГ\М)}| = Щ\ - I(М П ЛГ)}| - 1 = |(М\А0° I + I(м П АО/1 - |(м П ЛГ)}| - 1 =

= г + к - (\М П N1 - к) - 1 = 2 • к + г - \М П - 1. Поэтому количество различных функций, которые может реализовывать автомат не более

|МПЛГ| \M\N\

г)2п — \MUN\ \ " (пк \ " (пг in2k+r-\M(lN\ n2k+r-\MnN\-U y,

Z ■ ^IMfWI • Z^ У^\М\М\ ■ \^\N\M\ +U|W\M|

k=0 r=0

|MrW| \M\N\

^ i-)2" — \MUN\ \ " /^ifc \ " ^r ^fc+r-IMfliVkN _

^ z ■ ' Z^ ' |jv\M|+I >> -

k=0 r=0

|MnJV| \M\N\

_ r)2" — \MUN\ \ " /^ïfc \ ^ r,|iV\M|+l-2fc-r+|MniVL _

~ Z ' V°|MnW| ' Z^ V°|M\W| ' °|W\M|+1 II -

k=0 r=0

|MrW| |M\JV|

_ i-)2" — \MUN\ ST^ tr<k sh (Пг ^IWI^fc-r+KN _

- z ' v°|Mnw| • Z^ • °|JV\M| + 1 II -

k=0 r=0

|MfW|

_ 02"-\MUN\ ST^ (f^k r\N\-2k+l ч _

~~ Z VU|MnW| ' и|М\ЛГ| + |ЛГ\М| + 1^ —

k=0

|MrW| nJV |AfnJV|

_ 02n-|MUN| \ " (nk n\N\-2k+l, . 02n-|MUJV| ^iL-2—J \ " n\N\-2k+l .

~ Z ' V°|MnW| ' ^\MAN\ + ll ^ Z ' U|MrW| ' |MAJV|+1 ^

k=0 fc=0

I MnJV I I MnJV I I MnJV I

^ r>2" — \MUN\ rV—2—J 0\MAN\ _ 02n+\MAN\-\MUN\ rA—2—J _ 92n-|MrW| rA—2—J ^ Z ' U|MnW| ' Z "" Z ' °|MrW| "" Z ' °|MrW| '

где через MAN обозначается симметрическая разность множеств M и N. Последнее неравенство верно по утверждению 5. Доля таких функций не превосходит

I IMnJVI I I IMnJVI I

r\2n — \MC\N\ rl-2-J -2-J „n

Z_• U|MnjV| _ u|Mrw| Cl 1

22" ~ 2lMnWl ^ 21 ^ 2'

Предпоследнее неравенство верно в силу утверждения 3 и неравенства \М П N\ ^ 1. □

Доказательство теоремы 1. Пусть Vq — произвольный автомат из 9?2(и). Без ограничения общности будем полагать, что q = q\. Тогда доказательство теоремы разбивается на три случая. Если M П N = 0, то утверждение теоремы следует из леммы 3. Если M С N или N С M. то утверждение теоремы следует из леммы 4. Если M П N ф 0, M\N ф 0 и N\M ф 0, то утверждение теоремы следует из леммы 5. □

Кроме того, может быть доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть Vqi — инициальный автомат из (п), где п ^ 2. Тогда равенство \P{Vqi)\ = | • 22" достигается в том и только в том случае, когда \М\ = 2, |iV| = 1 и M П N = 0.

Основным результатом данной работы является следующее утверждение, непосредственно вытекающее из теорем 1 и 2.

Следствие 2. Для любого п ^ 2 максимальная мощность множества P{Vq) для, автомата Vq из %32(п) равна | • \Р2{п)\.

Автор выражает искреннюю признательность P.M. Колпакову за постановку задачи и обсуждение результатов и О. С. Дудаковой за интерес к работе и ценные советы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 14-01-00598 ("Вопросы синтеза, сложности и контроля управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2006.

2. Конспект лекций О. Б. Лупанова по курсу "Введение в математическую логику" / Отв. ред. А. Б. Угольников. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2007.

3. Сысоева JI.H. О некоторых свойствах обобщенных а-формул // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 4. 51-55.

4. Сысоева JI.H. О реализации булевых функций обобщенными «-формулами // Уч. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2014. 156, № 3. 116-122.

Поступила в редакцию 10.06.2015