CC BY
7РНП-2.1.1.3704), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (контракты 02.740.11.5213 и 14.740.11.0794).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.
2. Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. 22, вып. 4. 38-51.
3. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем // Функц. анализ и его прил. 1978. 12.
4. Болсинов А.В., Матвеев В.С., Фоменко А.Т. Двумерные римановы метрики с интегрируемым геодезическим потоком. Локальная и глобальная геометрия // Матем. сб. 1998. 189, № 10. 5-32.
5. Zhilinskii B. Interpretation of quantum Hamiltonian monodromy in terms of lattice defects // Acta Appl. Math. 2005. 87. 281-307.
6. Орел О.Е., Такахаши Ш. Траекторная классификация интегрируемых задач Лагранжа и Горячева-Чаплыгина методами компьютерного анализа // Матем. сб. 1996. 187, № 1. 95-112.
Поступила в редакцию 27.04.2011
УДК 519.716
О ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, ПОРОЖДЕННЫХ СИСТЕМАМИ, СОДЕРЖАЩИМИ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
А. В. Михайлович1
Изучаются замкнутые классы функций трехзначной логики, порождающие системы которых содержат немонотонные симметрические функции, принимающие значения из множества {0,1}. Показано, что в некоторых случаях задачи о базируемости и о конечной порожденности для таких классов сводятся к аналогичным задачам для классов, порождающие системы которых являются подмножествами порождающих систем исходных множеств.
Ключевые слова: функции многозначной логики, замкнутые классы, порождающие системы, базис.
Closed classes of three-valued logic functions whose generating systems include nonmonotone symmetric functions taking values in the set {0,1} are studied. It is shown that in some cases the problems of existence of a basis and of existence of a finite basis can be reduced to similar problem for reduced generating systems.
Key words: multi-valued logic functions, closed classes, generating systems, basis.
В работе рассматривается задача о существовании базисов для некоторых семейств замкнутых классов функций трехзначной логики. Э. Л. Пост [1, 2] описал все замкнутые классы булевых функций и показал, что каждый такой класс имеет конечный базис. На случай k-значных логик при k ^ 3 этот результат не распространяется. В [3] показано, что при всех k ^ 3 в Pk (где Pk — множество всех функций k-значной логики) существуют замкнутые классы как со счетным базисом, так и не имеющие базиса. Следует отметить, что порождающие системы классов из этих примеров состоят из симметрических функций, принимающих значения только из множества {0,1} и равных нулю на единичном наборе и наборах, содержащих хотя бы одну нулевую компоненту. В [4, 5] рассматривались некоторые семейства классов, порожденных симметрическими функциями такого вида. В данной работе рассматривается вопрос о сведении задачи
1 Михайлович Анна Витальевна, — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей математики ф-та ЭСТ Московского государственного университета леса, e-mail: [email protected].
базируемости для некоторых семейств классов, содержащих функции с указанными свойствами, к аналогичной задаче для классов, порождающие системы которых являются подмножествами порождающих систем исходных множеств. Все необходимые определения можно найти в [3-7].
Пусть Е = {0,1, 2}. Обозначим через Еп множество всех наборов а = (а\,а2 ,...,ап), таких, что а\, а2,. ..,ап € Е, п ^ 1. Число единиц в наборе а обозначим через \а\. Набор из Еп, все компоненты которого равны а, будем обозначать через ап. Обозначим через Z+ множество всех целых неотрицательных чисел.
Пусть А С Рз, Ф — некоторая формула над А. Будем обозначать через Ф(х\,... ,хп) такую формулу, которая содержит символы переменных х1,...,хп и не содержит символов других переменных. Значение формулы Ф на наборе а = (а1,...,ап) обозначается через Ф(й). Символы переменных будем называть тривиальными формулами. Формулу Ф над А будем называть простой, если она имеет вид д(х^,... ,хп), где д € А, а х,...,хгп — символы переменных, п ^ 1. Множество всех функций, функциональные символы которых используются при построении формулы Ф, обозначим через в(Ф). Очевидно, что в(Ф) С А.
Обозначим через И, множество всех функций трехзначной логики, принимающих значения только из множества {0,1} и равных нулю на единичном наборе и на всех наборах, содержащих хотя бы одну нулевую компоненту. Легко видеть, что для функций из множества И выполняется следующее утверждение.
Утверждение 1. Пусть Ф — некоторая формула над И; Ф1 — произвольная нетривиальная подформула формулы Ф; а,Д — произвольные наборы из Еп, такие, что Ф1(5) = 0, Ф(/3) = 1. Тогда Ф(а) = 0 и Ф1 (Д) = 1.
Функции / и д из И называются конгруэнтными, если одна из них получается из другой переименованием переменных без отождествления.
Пусть /(х1,...,хп) € И. Будем обозначать через Nf множество всех наборов из Е'п, на которых функция / принимает значение 1.
Множество всех наборов из Еп, которые получаются друг из друга перестановкой компонент, будем называть слоем. Слой из {1, 2}п, содержащий е единиц и й двоек, обозначим через С(е,й), где 0 ^ е ^ п, 0 ^ й ^ п, е + й = п. Функция /(х1,..., хп) € И называется симметрической, если для любого слоя С С Е™ и для любых наборов а, Д € С выполняется равенство /(а) = /(/0). Множество всех симметрических функций из И обозначим через Я. Будем называть функцию монотонной, если она монотонна относительно порядка 0 < 1 < 2 на множестве Е3. Множество всех немонотонных симметрических функций из И обозначим через N8.
Пусть / (х1,... ,хп) € И. Обозначим через ef наибольшее число единиц в наборах из Nf.
Пусть С С Е С Р3, Е = [Е]. Будем называть множество А базисом класса Е относительно множества С, если [С и А] = Е и для любого А С А, А = А, выполняется соотношение [С и А'] = Е.
Докажем следующие вспомогательные утверждения.
Утверждение 2. Пусть /(х1,...,хп) € 8; ef > 0; Ф — формула над И, реализующая функцию /; Ф1 — подформула формулы Ф, имеющая вид д(В1,..., Вт), где д € И, В1,..., Вт — формулы над И. Тогда выполняются неравенства ед ^ ef и т > е^, причем если ед = ef, то формула Ф1 простая, п ^ т и среди подформул В1,..., Вт символ каждой переменной из х1,...,хп встречается не более одного 'раза.
Для доказательства утверждения достаточно рассмотреть значение формулы Ф1 на наборе из слоя С(ef, п — ef), в котором максимальное число компонент, соответствующих тривиальным формулам из В1,..., Вт, принимает значение 1.
Утверждение 3. Пусть Е С 8, п € Ъ+, Н — множество функций из И, такое, что число существенных переменных у каждой функции из множества Н не превосходит п, С = [Е и Н], Е+ = {/ € Е \ ef ^ п}, Сп = [Е+] и С имеет базис. Тогда Сп имеет базис.
Доказательство. Пусть А — базис класса С. При Е+ = 0 утверждение очевидно. Пусть Е+ = 0. Если п = 0, то нетрудно показать, что С = С п. А значит, С п имеет базис.
Пусть п > 0. Для каждой функции / из Е зафиксируем некоторую формулу Yf над А, реализующую функцию /. Определим множество Ап. Положим Ап = Uв(Yf), где объединение берется по всем функциям / € Е+. Очевидно, что Сп С [Ап].
Так как Ап С А, то Ап С С. Покажем, что Ап С Сп. Предположим, что существует функция д € Ап\Сп. Так как д € А,п, то существует функция / из Е+, такая, что д € в(Yf). Пусть Ф формула над ЕиН, реализующая функцию д. Поскольку д € Сп, то существует функция Н(х1,..., х^) € в(Ф). Заменим в формуле Yf каждое вхождение функции д на формулу Ф. Полученную формулу над (Е и Н и А)\{д} обозначим через Фf. Очевидно, что в(Фf) = (в(Ф)\{д}) и в(Ф). Поскольку Н € в(Ф), то Н € в(Фf). В силу неравенств ef ^ п > 0 и утверждения 2 выполняется соотношение t>ef. Поэтому Ь > п. А значит,
Н £ (Е и Н)\Еп. Получили противоречие. Следовательно, Ап С Оп. А значит, Оп = [Ап]. Поскольку множество А является базисом класса О и Ап С А, то Ап является базисом класса Оп.
Утверждение 4. Пусть Е — множество попарно неконгруэнтных функций из Я и существует функция / £ Е, такая, что > 0. Пусть п £ Z+, Н — конечное множество функций из И,, такое, что число существенных переменных у каждой функции из множества Н не превосходит п, О = [Н и Е], Е+ = {/ £ Е | ef ^ п}, Оп = [Е+] и Оп имеет базис. Тогда О имеет базис.
Доказательство. Обозначим через Ап базис класса Оп. Для каждой функции f из Е+ зафиксируем некоторую формулу Yf над Ап, реализующую функцию /. При п = 0 нетрудно показать, что О = Оп. А значит, О имеет базис.
Пусть п > 0. Определим множества Ео,..., Еп_1. Положим Е\ = {/ £ Е | ef = г}, г = 0,...,п — 1. Поскольку Ап — базис класса Оп, Оп — [Е+ ], то
О = [Н и Е] = [Н и Е+ и Ео и ... и Еп_1 ] = [Н и Ап и Ео и ... и Еп _1].
(1)
Определим множества А, г = 1,...,п — 1, ' = г + 1, г + 2,..., следующим образом. Обозначим через Аг 2 множество всех '-местных функций из множества Е.1 ^ г ^ п — 1, ' ^ г + 1. Очевидно, что для всех г = 1,
, п — 1 выполняются равенства
Ег = и Аи.
2=г+1
(2)
Пусть Ь — произвольное число, такое, что 0 < Ь < п. Для всех г = Ь + 1,Ь + 2,... определим множества Вг,г и Сг,г, а также множества Сг,г, Аг, Вг на основе множеств Аг+1, Аг,г и Н. Пусть множество Аг+1 уже построено. Положим
Сг,г = Н и Аг+1, С,г = Сг,г_1 и Аг, г, г ^ Ь + 1. (3)
Поскольку множество Аг, г конечно, то существует подмножество множества Аг, г, которое является базисом класса [Сг,г] относительно множества Сг,г_1, г ^ Ь +1. Обозначим это подмножество через Вг,г. Положим
Вг = и Вгг, А = Аг+1 и Вг. г=г+1
(4)
Нетрудно показать, что для всех г > Ь выполняются равенства Сг,г = Сг,г и Аг,г+1 и ... и Аг,г и [Сг,%] = [Сг,г и Вг,г+1 и ... и Вг,г]. Следовательно, для всех г ^ Ь имеем
Сг,г и У Аг.
з=г+1
Сг,г и У Вг,:
з=г+1
(5)
Положим В = В1 и ... и Вп_1. Легко видеть, что выполняются равенства
Аг = Ап и Вп_1 и ... и Вг, А1 = Ап и В. Кроме того, из соотношений (3), (2), (5) и (4) следуют равенства
(6)
[Н и Аг+1 и Ег] =
Сг,г и У Аг,г г=г+1
= [Сг,г и Вг] = [Н и Аг+1 и Вг] = [Н и Аг].
А
значит,
[Н и Ап и Еп_1 и ... и Е1] = [Н и Ап_1 и Еп_2 и ... и Е1] = ... = [Н и А1].
(7)
Определим множество Во. Если Ео С [Н и А1 ], то положим Во = 0. Если существует функция д £ Ео\[Н и А1], то положим Во = {д}. По условию существует функция / £ Е, такая, что ef > 0. Поэтому Н и А1 = 0. Нетрудно показать, что [Н и Ео и А1] = [Н и Во и А1]. Тогда из соотношений (1), (7) и (6) следуют равенства
О = [Н и Ап и Ео и ... и Еп_1] = [Н и А1 и Во] = [Н и Во и Ап и В] .
(8)
Отметим, что для всех г = 0,...,п — 1 выполняется соотношение Вг С Ег. Поскольку множество Н конечно, то существует подмножество множества Н, которое является базисом класса С относительно множества Во и Ап и В. Обозначим это подмножество через Н. Положим
В = Н и Во и Ап и В. (9)
Покажем, что В является базисом класса С. Из равенств (8), (9) и определения множества Н следует, что С = [В]. Покажем, что для любой функции / € В выполняется соотношение / € [В\{/}]. Рассмотрим четыре случая.
1. Пусть /€Н. Тогда [В\{/}] = [В]. Поэтому / € [В\{/}].
2. Пусть теперь / € В0. Тогда В0 = {/} и / € [Н и А1]. Следовательно, / € [В\{/}].
3. Пусть / € Ап. Поскольку Ап — базис класса Сп и Сп = [Е+], то существует функция д € Е+, такая, что / € в^д). Предположим, что / € [В\{/}]. Пусть Ф — формула над В\{/}, реализующая функцию /. Заменим в формуле Yg каждое вхождение функции / на формулу Ф. Полученную формулу над В\{/} обозначим через Фд. Пусть Н(х1 ,...,х€ в(Фд). Покажем, что Н € Ап\{/}. Поскольку Н € в(Фд) и в(Фд) С В\{/}, то достаточно показать, что Н € Н и для каждого г = 0,...,п — 1 выполняется соотношение Н / Вг. В силу утверждения 2 выполняется неравенство Ь > ед. Поскольку число переменных у каждой функции из множества Н не превосходит п и Ь > ед ^ п, то Н / Н. А значит, Н / Н. В силу утверждения 2 получаем, что е^ ^ ед ^ п. Поэтому Н € Ег, г = 0,...,п — 1. Таким образом, Н / Вг для всех г = 0,. ..,п — 1. Следовательно, Н € Ап\{/}. А значит, Фд является формулой над Ап\{/}. Поэтому Ф является формулой над Ап\{/}. Таким образом, / € [Ап\{/}]. Это противоречит тому, что Ап — базис класса Сп. Следовательно, / € [В\{/}].
4. Пусть, наконец, / € В. Тогда существуют числа Ь,т, 1 < Ь < п, Ь < т, такие, что / € Вг,т. Предположим, что / € [В\{/}]. Пусть Ф — формула над В\{/}, реализующая функцию /. Пусть д(х1 ,...,х3) € в(Ф). В силу утверждения 2 выполняется неравенство ед ^ Ь, причем если ед = Ь, то в ^ т. Поэтому д € Ео и ... и Е^1 и д / иАц, где объединение берется по всем г > т. Из соотношений Во С Ео, Вг^ С Аг^ С Ег, г = 1,... ,п — 1, ] = г + 1,г + 2,... , и равенств (9), (3) и (6) получаем соотношения
(п-1 т \ / т \
НН и Ап и и Вг ^ Вг^ ) \{/} С I Н и А+ ^ Вг ^ I \{/} С (Оь,т-1 и В,т) \{/}. г=ь+1 З=г ) V ]=ь )
Следовательно, / € [(Ог,т-1 и Вг,т)\{/}]. Поскольку / € Вг,т и / € Сг,т-1, то [0\,т-1 и (Вг,т\{/})] = [Сг, т-1 и Вг,т]. Это противоречит тому, что множество Вг,т является базисом класса [Сг, т] относительно множества Сг,т-1. Поэтому / € [В\{/}] .
Таким образом, получаем, что для любой функции / € В выполняется соотношение / € [В\{/}]. Следовательно, В является базисом класса С.
Основным результатом работы является следующее утверждение.
Теорема. Пусть Е — множество попарно неконгруэнтных немонотонных симметрических функций, Н — конечное множество функций из И, С = [Е], С = [Е и Н]. Тогда выполняются следующие утверждения:
1) класс С не имеет базиса тогда и только тогда, когда класс С не имеет базиса;
2) класс С имеет конечный базис тогда и только тогда, когда класс С имеет конечный базис;
3) класс С имеет счетный базис тогда и только тогда, когда класс С имеет счетный базис.
Доказательство. Для доказательства п. 1 достаточно показать, что класс С имеет базис тогда и
только тогда, когда класс С имеет базис.
Пусть Н = {/1(х1,... ,хп„)}, п = тах(п1,... ,п3). Определим множества Е+ и Сп.
Положим Е+ = {/ € Е \ ef > п}, Сп = [Е+]. Из утверждений 3 и 4 следует, что класс С имеет базис тогда и только тогда, когда класс Сп имеет базис. Аналогичным образом доказывается, что класс С имеет базис тогда и только тогда, когда класс Сп имеет базис. Следовательно, класс С имеет базис тогда и только тогда, когда класс С имеет базис.
Докажем п. 2. Покажем сначала, что класс С имеет конечный базис тогда и только тогда, когда множество Е конечно. Достаточность утверждения очевидна.
Докажем необходимость. Пусть С имеет конечный базис А = {д1(х1 ,...,хп1), ..., дг(х1,...,хпг)}, г ^ 1. Положим п = max(nl,... ,пг). Предположим, что множество Е содержит счетное число попарно неконгруэнтных функций. Рассмотрим два случая.
Пусть для любой функции f G F выполняется неравенство ef < n. Поскольку F — счетное множество попарно неконгруэнтных функций, существует функция f (x\,... ,xm) G F, такая, что m ^ 2n. Очевидно, что если ef = 0, то f является монотонной функцией. Поэтому ef > 0. Пусть L(e,d) Q Nf, e ^ 1. Пусть Ф — формула над A, реализующая функцию f. Покажем, что для произвольного набора <3 G L(e — 1,d + 1) и для произвольной подформулы Ф1 формулы Ф выполняется соотношение Ф1(й) G {1, 2}. Доказательство будем проводить индукцией по глубине l формулы Ф1.
При l = 0 утверждение очевидно. Пусть l ^ 1 и любая подформула формулы Ф, глубина которой меньше l, принимает значения из множества {1, 2} на всех наборах из L(e — 1,d + 1). Рассмотрим формулу Ф1, глубина которой равна l. Пусть формула Ф1 имеет вид g(Bi,..., Bt), где g G A, а Bi, . ..,Bt — формулы над A, глубина которых меньше l. Поскольку g G R, то среди B1,...,Bt есть хотя бы один символ переменной. Без ограничения общности будем считать, что B1,...,Br являются нетривиальными подформулами, а {Br+1,..., Bt} = {x1,..., xs}, s ^ m. Легко показать, что s < d.
Пусть а = (а1,..., am) G L(e — 1,d + 1). Положим a = |(а1,..., as)|. Очевидно, что a < e. Поскольку s < d, существует набор ß = (a1,...,as, 1e-a, 2d-s+a) g L(e,d). В силу соотношений ß G L(e,d) Q Nf получаем Ф(3) = 1. Из утверждения 1 следует, что выполняются равенства Bi(ß) = 1, i = 1,...,r. Тогда по предположению индукции Bi(a) = 1, i = 1,...,r. Поэтому Bi(a) = Bi(ß) = 1 для всех i = 1,...,r. Поскольку подформулы Br+1,. ..,Bt являются символами переменных из множества {x1,...,xs},
то Bi(a) = Bi(ß), i = r + 1,...,t. А значит, для всех i = 1,...,t выполняются равенства Bi(<3) = Bi(ß). Следовательно, Ф1( 33) = gB (3),..., Bt( 33)) = gB (ß),..., Bt(ß)) = Ф1Ф) = 1.
Таким образом, для любой подформулы Ф1 формулы Ф и для любого набора a G L(e — 1,d + 1) выполняется соотношение Ф1(<3) G {1,2}. Поскольку Ф — нетривиальная формула над R, то Ф(а) = f (а) = 1. Поэтому из соотношения L(e,d) Q Nf следует, что L(e — 1,d + 1) Q Nf. А значит, для любой пары чисел e1,d1, такой, что 0 ^ e1 ^ ef, m — ef ^ d1 ^ m, выполняется соотношение L(e1, d1) Q Nf. Следовательно, f — монотонная функция, что противоречит определению множества F.
Пусть теперь существует функция f G F, такая, что ef ^ n. Пусть Ф — формула над A, реализующая функцию f, а Ф1 — некоторая подформула формулы Ф, имеющая вид g(B1,..., Bs), где g G A, B1, ...,Bs — формулы над A. В силу утверждения 2 выполняется неравенство s > ef. Поскольку g G A, то s ^ n. Это противоречит тому, что ef ^ n.
Следовательно, класс G имеет конечный базис тогда и только тогда, когда множество F содержит лишь конечное множество попарно неконгруэнтных функций. Аналогичным образом можно показать, что G имеет конечный базис тогда и только тогда, когда множество F содержит только конечное множество попарно неконгруэнтных функций. Следовательно, Gl имеет конечный базис тогда и только тогда, когда G имеет конечный базис.
Доказательство п. 3 следует из пп. 1, 2.
Автор выражает благодарность профессору А. Б. Угольникову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43, N 3. 163-185.
2. Post E.L. The two-valued iterative systems of mathematical logic // Ann. Math. Stud. 1941. 5.
3. Янов Ю.И., Мучник А.А. О существовании fc-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. 127, № 1. 44-46.
4. Михайлович А.В. О замкнутых классах трехзначной логики, порожденных симметрическими функциями // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 4. 54-57.
5. Михайлович А.В. О классах функций трехзначной логики, порожденных монотонными симметрическими функциями // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 1. 33-37.
6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
7. Михайлович А.В. О свойствах замкнутых классов функций трeхзначной логики, порожденных симметрическими функциями // Мат-лы X Междунар. семинара "Дискретная математика и еe приложения" (Москва, МГУ, 1-6 февраля 2010 г.). М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2010. 193-196.
Поступила в редакцию 01.06.2011
