О замкнутых классах функций в p 3, порожденных периодическими симметрическими функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобаче вского, 2013, № 1 (1), с. 208-212

УДК 519.716

О ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ В P3, ПОРОЖДЕННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ СИММЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

© 2013 г. А.В. Михайлович

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва

avmikhailovich@gmail. com

Поступила в редакцию 15.02.2012

Изучаются замкнутые классы функций трехзначной логики, порожденные симметрическими функциями, принимающими значения из множества {0, 1}. Для некоторых классов, порожденных

элементарными периодическими симметрическими руемости и конечной порожденности.

Ключевые слова: функции многозначной логики,

В работе рассматривается задача базируемо-сти и конечной порожденности для классов функций трехзначной логики, порожденных симметрическими функциями.

Э. Пост [1] описал структуру всех замкнутых классов булевых функций. При этом он показал, что все эти классы имеют конечный базис. На случай k-значных логик при k>3 этот результат не распространяется. В работе Ю.И. Янова и А.А. Мучника [2] приведены примеры, которые показывают, что при всех k>3 в Pk (здесь Pk -множество всех функций k-значной логики) существуют как замкнутые классы со счетным базисом, так и классы, не имеющие базиса (см. также [3, 4]). Следует отметить, что порождающие системы замкнутых классов в этих примерах состоят из симметрических функций, которые принимают значения из множества {0, 1}, причем ненулевые значения принимаются на наборах, состоящих только из единиц и двоек.

В [5] рассмотрены семейства классов, порожденных немонотонными симметрическими функциями такого вида, принимающими значение 1 на фиксированном числе слоев, а в [6] -монотонными симметрическими функциями. Для этих классов приведены критерии базируе-мости и конечной порожденности. В данной работе рассматриваются семейства классов, порожденных периодическими симметрическими функциями с ограниченным периодом. Показано, что каждый такой класс имеет базис в том и только том случае, когда его порождающая система содержит лишь конечное число функций. Краткое изложение аналогичного результата для классов, порожденных периодическими симметрическими функциями с фиксированным периодом, содержится в [7]. Все необходимые определения можно найти в [4-6].

функциями такого вида, получены критерии бази-

замкнутые классы, порождающая система, базис.

Пусть £={0,1,2}. Обозначим через En, n>1, множество всех наборов а = (at,...,аn),таких, что aj,...an єE. Число единиц в наборе а из En обозначим через |а|. Обозначим через N

множество всех натуральных чисел, а через Z+ -множество всех целых неотрицательных чисел.

Пусть Ф - некоторая формула над P3. Множество всех функций, функциональные символы которых используются при построении формулы Ф, обозначим через 0(Ф). Символы переменных будем называть тривиальными формулами.

Обозначим через R множество всех функций трехзначной логики, принимающих значения только из множества {0, 1} и равных нулю на единичном наборе и на всех наборах, содержащих хотя бы одну нулевую компоненту. Легко видеть, что для функций из множества R выполняется следующее утверждение (см., напри-[5]).

Утверждение 1. Пусть Ф - некоторая формула над R, Фі - произвольная нетривиальная подформула формулы Ф, а, Р -произвольные наборы из En, такие, что Ф1 (а)= 0, ф(р)= 1. Тогда ф(а)= 0 и Ф1 (р)= 1.

Функции f и g из Р3 называются конгруэнтными, если одна из них получается из другой переименованием переменных без отождествления.

Пусть f (х1,..., xn) є R. Будем обозначать через Nf множество всех наборов из En, на которых функция f принимает значение 1.

Множество всех наборов из En, которые получаются друг из друга перестановкой компонент, будем называть слоем. Слой, содержащий e единиц, d двоек и не содержащий нулей, обозначим через L(e,d). Функция f(x1,.,xn) из R

является симметрической, если для любого слоя L с Еп и для любых наборов а , Р из L выполняется равенство f (а) = f (р) .

Пусть t е N. Функция f (х,,...,хп) из R называется элементарной периодической симметрической функцией с периодом t, если для некоторых е и ^, удовлетворяющих условиям e+d=n, 0<с1^, выполняется соотношение

Nf = UL(e - it,d + it),

n - d

и Nf Ф 0. Будем обозначать че-

рез tf период функцииf а через ef и df- соответственно число единиц и двоек в слое из Nf с наибольшим числом единиц. Множество всех элементарных периодических симметрических функций будем обозначать через PS, множество всех элементарных периодических симметрических функций с периодом t - через PS, а множество всех элементарных периодических симметрических функций, у которых период не превосходит t - через PS(Í).

Обозначим через in (x^..., xn), n>1, функцию из R, принимающую значение 1 на всех наборах из {1,2}n. Положим I = и». }, где объединение

берется по всем n>0. Легко видеть, что PSl=I. Отметим следующее свойство множества I.

Утверждение 2. Для любого n е N, n>1,

выполняется равенство I =[{in}] .

Докажем следующие вспомогательные ут-вреждения.

Утверждение 3. Пусть f(x1,., х.)е PS‘, t>1, и существует набор а е Nf, такой, что 0 < |а| < n; Ф - формула над R, реализующая функцию f Ф1 - подформула формулы Ф, имеющая вид g(B1,.,Bm ), где g е PSr, r е N, Bb...,Bm — формулы над R, и среди формул Bb...,Bm символы переменных хь...,х„ встречаются q1,...,qn раз соответственно, q1,...,qn е Z +. Тогда для любых i и j, 1<i, j<n,

существует l е Z+, такое, что |q; - q j = lr.

Доказательство. Пусть а — набор из Nf, такой, что 0 < |а| < n. Положим e = |а|. Поскольку f — симметрическая функция, то выполняется включение L(e, d)с Nf. Для произвольных i

и j, 1<i<j<n, рассмотрим наборы р1, Р2 из L(e,d), такие, что

Р1 =(р1,..., Р, _,,1, Р,+,,_, Р, _, ,2, Ру+1,., Рп ), р2 =(Р1,.,Р,_1,2,Р,+1,.,Р1 _1,1,Р 1+1,.,Рп) . Определим наборы р1 =(у1,., у1т ),

р 2 = (у;2,..., у т ) следующим образом. Положим

у к = В' (рк) , к = 1,2, I = 1,., т. Поскольку наборы Р1 и Р2 содержатся в Nf,

то в силу утверждения 1 наборы р 1 и р 2 содержатся в Пусть среди формул В,,...,Вт нетривиальные формулы встречаются 5 раз, 0<5<т. Поскольку g е PSr, то для некоторого I е 2 + выполняется равенство ||р11 _ |р21| = 1г. Кроме того,

для любой нетривиальной формулы Вк, 1<к<т, в силу утверждения 1 выполняется равенство

B,

(~p ) = 1,

= 1, Р=1,2.

Поэтому

Л (

s +

Z qk

k:1<k <n,

Pk=

s+

Z qk

k1<k <n,

P2=

= q>- q<

Следовательно, |д,. _ qj| = 1г.

Утверждение 4. Пусть f(х,,..., Хп )е PS‘,

t>1, и существует набор а е Nf, такой, что 0 < |а| < п; Ф — формула над R, реализующая функцию f Ф1 — подформула формулы Ф, имеющая вид g(В,,_,Вт), где g е PSr, г е N, В1,...,Вт — формулы над R. Если существуют такие ,, к, 1<,<п, к е 2 +, что среди формул В1,...,Вт переменная х, встречается кг раз, то формула Ф1 эквивалентна формуле

г (в,,...,В ).

т 1 т

Доказательство. Пусть для некоторых ,, к, 1<,<п, к е 2 +, среди формул Вь...,Вт переменная х, встречается кг раз, т.е. ц,=кг. Из утверждения 3 следует, что для каждого ], 1</<п, существует I е 2 +, такое, что выполняется равенство |qJ. _ qj| = 1г . Так как qг=kr, то для каждого j, 1</'<п, существует к1 е 2+, такое, что q]=kjГ.

Для произвольного набора а из Щ определим набор Р = (Р,,__, Рт ). Положим

Р, = В,(а), I = 1,_,т.

Из условия а е Nf с использованием утверждения 1 получаем, что Р е Ng. Кроме того,

для любой нетривиальной формулы Вк, 1<к<т, в силу утверждения 1 выполняется равенство

t

Вк(р)= 1. Пусть среди формул В,,., Вт нетривиальные формулы встречаются 5 раз. Тогда выполняются равенства

|р|=5 + Еqj=5+г Ек1.

j^■1< j<n, а ; =1

/1< j<n, а ; =1

Поскольку g е PSr, то для любого к,

п 7 т _ 5

0 < к <-----, выполняется включение

г

L(гk + 5,т _ (гк + 5 ))с ^. Обозначим формулу 1т(В,,_,Вт) через ¥. Покажем, что формулы Ф, и ¥ эквивалентны. Рассмотрим произвольный набор р из Еп. Так

как Ng с N, В1,...,Вт - формулы над R, то в силу утверждения 1 из равенства Ф, (р) = 1 следует равенство Т(Р ) = 1.

Пусть теперь ^(р) = 1. Покажем, что в этом случае Ф,(р ) = 1. В силу утверждения 1 для любой нетривиальной формулы В,, 1<,<т, выполняется равенство В1 (р) = 1. Определим набор

8=(8,,_,8т) следующим образом. Положим 8,- = В (р), г = 1,- , т. Очевидно, что

|р|=5 + Е qj=5+г Е кг

j■1< j<n, У j =1

/1< j<n,

У j =1

Положим

к = 2 kj■

j■1< j<n,

У j =1

Поскольку 5 < р| < т и к = -

то 0 < к <-

Поэтому выполняется включение

L(гk + 5,т - (гк + 5 ))е ^.

ния 2 следует, что f е PS ’, а это противоречит условию.

Следствие 2. Пусть f(х,,_, хп )е Р^ , t>1, G с PS,, f е[Щ] . Тогда f е [G+и /] и f г[с~и I] , где Щ+^(х,,..., хт ) е Щт > п}

Щ ~ ={? (Х1,_, хт )е Щт < п}

Действительно, пусть формула Ф над множеством Щ реализует функцию f. В силу следствия 1 из утверждения 4 существует такая подформула ¥, имеющая вид g(В,,_,Вт), что функция g содержится в множестве Щ+. Кроме того, в силу утверждения 4 любая подформула ¥', имеющая вид ^В,,...,В5), где h е Щ_, эквивалентна подформуле 1!: (В,,., В5).

Следствие 3. Пусть Щ - конечное множество функций из Р^. Тогда множество [G]П(PS\/) содержит лишь конечное число попарно неконгруэнтных функций.

В самом деле, если обозначить через п максимальное число переменных у функций из множества Щ, то для любой функции g(x1,_,хт) из множества [Щ]П(Р5\1) в силу следствия 2 из утверждения 4 выполняется неравенство т<п.

Утверждение 5. Пусть ,>1, f(x1,_,хп),

g(х,,_,хт)е PS‘, df=dg, и существует такое к е 2 +, что т-п=к,. Тогда f е [^}] .

Доказательство. Покажем, что выполняется равенство

(x1,_, хп ) = g (x1,_, xn_l, Хп ,-.-,х„).

к,+1

Поскольку т—п=к, и df=dg, то выполняется равенство е/+М=ег. Пусть а = (а,,_,ап) - произвольный набор из N Тогда для некоторого I,

Следовательно, Ф1 (р) = g (б)= 1.

Следствие 1. Пусть f(х^..., Хп )є РБ , ?>1, Ф - формула над РБ, реализующая функцию f. Тогда существует подформула ¥ формулы Ф, имеющая вид g(В1,...,Вт), где g є РБГ, г> 1, В1,...,Вт - формулы над R, среди которых символы переменных хь...,хп встречаются ц1,...,цп раз соответственно, щ,...,цп є 2+, такая, что для всех /=1,...,п справедливы неравенства ц>0 и ц, не кратно г.

В самом деле, если таких подформул нет, то в силу утверждения 4 получаем, что функция f реализуется формулой над РБ1. Из утвержде-

0 < I <

п - d,

, выполняется соотношение

а є L(є f — Ы, d^ + Ы) .

Определим набор Р из множества Ет. Положим

Р = (аl,_, а n_1, Х ,-,ап ).

4---V----'

к,+1

Если а п = 1, то

Р е ь(е/ + к, _ /,, df +1,) . Поскольку е-+к,=ег, df=dg, то

Р е _ /,,dg + и)с Ng.

Если а = 2, то

г

г

Р е ь(е/ _ /,, df +1, + к,) . Поскольку е+к,=еЫ, ,-=,Ы, то

Р е ь(еы _ I, _ к,, dg +1, + к,) с Ng.

Аналогичным образом можно показать, что если набор Р содержится в множестве ^, то набор а принадлежит множеству N

Следствие 1. Пусть , е N, О - множество попарно неконгруэнтных функций из PSt, |О| >,2. Тогда существуют функции f, g е О, такие, что f е [Ы] .

В самом деле, поскольку множество О содержит более чем ,2 попарно неконгруэнтных функций, то для некоторого d, 0<,<,, множество

О, ={g е = d} содержит более , функций.

Поскольку |О,| >,, то для некоторого к е N существуют функции f(х,,_,хп), g(х,,_,хт) из

множества О,, такие, что т—п=к,. В силу утверждения 5 функцияf содержится в классе [{ы}] .

Следствие 2. Пусть , е N, О - множество попарно неконгруэнтных функций из PS<'t\

Ю > ,(t +l)(2t + 1). Тогда существуют функции 6

f, g е О, такие, что f е [Ы].

Действительно, поскольку

G >

t(t + l)(2t +1) _ 1

6

_ l2 + 22 + ... +12

то существует 5, 1<5<,, такое, что |Оп PSs| >,2. В силу следствия 1 из утверждения 5 существуют функции f, ы е (о п PSs) с О, такие, что f

содержится в классе [{ы}] .

Перейдем к доказательству основного результата.

Теорема. Пусть ,>1, О - множество попарно неконгруэнтных функций из PS<'t\ £=[О]. Следующие условия эквивалентны:

1. Множество О конечно.

2. Класс F имеет конечный базис.

3. Класс F имеет базис.

Доказательство. Очевидно, что из условия 1 следует условие 2, а из условия 2 — условие 3. Покажем, что из условия 3 следует условие 1.

Пусть F имеет базис А. Покажем, что множество О конечно. Для каждой функции f из А зафиксируем некоторую формулу над О, реа-

лизующую функцию f. Обозначим через В множество всех таких функций ы из множества О, что для любой функции h из множества О\{ы}

выполняется соотношение Ы$[{И}]. В силу следствия 2 из утверждения 5 множество В ко-

нечно. Тогда существует конечное множество AB œ A, такое, что B œ[Ab ] .

Рассмотрим множество F n I. В силу утверждения 2 существует конечное множество

Aj œ A, такое что F n I œ [a, ] .

Положим

A _ Ab и Ai, G _ У 0(^)

heA

Покажем, что множество A содержится в множестве A. Предположим, что существует функция f(*!,...,xn) из множества A\A. Обозначим через П максимальное число существенных переменных у функций из множества

G u0(Tf ). Пусть g(x1,., xm) - функция из 0(^f ). Если существует функция g1 из множества B, такая, что g e [{gj], то g e [{gj] œ [Ab] .

Пусть теперь для любой функции g1 из множества B соотношение g e [{g1}] не выполняется. Тогда существует функция g2(x1,.,xs)e G, такая, что g e [{g2}] и s > П. В силу следствия 2 из утверждения 4 выполняется соотношение g2 g [G и 0(Tf )]. Поскольку

A и {f }œ [G u0(Tf )],

то g2 g [A и {f}]. Следовательно, g2 e [A\ (A и и{ f})]. А значит, f e [A\ {f}], что противоречит определению базиса. Поэтому A œ A и множество A конечно. В силу следствия 3 из утверждения 4 множество G содержит лишь конечное число попарно неконгруэнтных функций.

Автор выражает благодарность проф. А.Б. Угольникову за обсуждение результатов работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения».

Список литературы

1. Post E.L. The two-valued iterative systems of mathematical logic // Annals of Math. Studies. Princeton Univ. Press, 1941. 122 p.

2. Янов Ю.И., Мучник А.А. О существовании А>значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. Т. 127. № 1. С. 44-46.

3. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Berlin, Heidelberg: Springer, 2006. 668 p.

4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2008. 384 с.

5. Михайлович А.В. О замкнутых классах трехзначной логики, порожденных симметрическими функциями // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2008. № 4. С. 54-57.

6. Михайлович А.В. О классах трехзначной логики, порожденных монотонными симметрическими функциями // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2009. № 1. С. 33-37.

7. Михайлович А.В. О замкнутых классах функций трехзначной логики, порожденных периодическими симметрическими функциями // Материалы XVI Междунар. конференции «Проблемы теоретической кибернетики» (Нижний Новгород, 20-25 июня 2011 г.). Н. Новгород: Изд-во Нижегородского гос-университета, 2011. С. 319-323.

ON CLOSED CLASSES OF FUNCTIONS IN P3 GENERATED BY PERIODIC SYMMETRIC FUNCTIONS

A V. Mikhailovich

Closed classes are considered of three-valued logic functions generated by symmetric functions taking values in the set {0, 1}. Criteria for existence of bases and for existence of finite generating systems are obtained for some classes generated by elementary periodic symmetric functions.

Keywords: multi-valued logic functions, closed classes, generating system, basis.