CC BY
29ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
25
ми матрицами размерности d, происходит меньшее число обращений к данным на медленных носителях (оперативной памяти и жесткому диску). В начале работы с новой строкой матрицы она вся попадает в кэш, и дальше идет работа уже только с кэш-памятью, а из-за использования MSR-формата хранения матрицы обеспечивается непрерывность обращения к памяти от первых до последних блоков матрицы (без "прыжков" через сегменты памяти);
2) увеличение ширины ленты матрицы. Так как блоки матрицы хранятся целиком (даже если там есть нули), то фактически обычный метод ILU-разложения немного видоизменяется и в чем-то походит на 1Ьи(р)-метод. Расширение ленты приводит к тому, что получаемое ILU-разложение точнее приближает исходную матрицу и, следовательно, улучшаются характеристики сходимости аглоритмов с использованием ILU-разложения;
3) уменьшение требований к объему памяти для хранения матрицы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. Philadelphia: SIAM, 2003.
2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
3. Богачев К.Ю. Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 1999.
4. Aziz K., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. London: Applied Science Publishers, 1979.
Поступила в редакцию 24.09.2008
УДК 519.7
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФОРМУЛ В P2
А. Б. Угольников1
В работе дается новое доказательство теоремы Р. К. Линдона о конечной базируемо-сти классов тождеств над конечными системами булевых функций. Оригинальное доказательство этой теоремы опирается на описание Э. Л. Поста множества всех замкнутых классов функций алгебры логики. Дж. Берман привел доказательство теоремы Линдона, не опирающееся на описание структуры Поста, но использующее при этом ряд результатов из универсальной алгебры.
Ключевые слова: формулы, тождества, эквивалентные преобразования.
A new proof is given of the theorem originally proved by R. C. Lyndon that any equational class over a finite set of Boolean functions is finitely generated. The original proof of this theorem relied on E. L. Post's description of all closed classes of Boolean functions. J. Berman provided another proof of this theorem not based on description of Post's structure, but using some results from universal algebras.
Key words: formulas, identities, equivalent transformations.
Э. Л. Пост [1, 2] описал все замкнутые относительно операции суперпозиции классы булевых функций и показал, что каждый такой класс имеет конечный базис (см. также [3—6]). На основе этого описания Р. К. Линдон [7] для любой конечной системы A булевых функций доказал, что класс всех истинных тождеств над A имеет конечную полную систему тождеств. Дж. Берман [8] привел доказательство теоремы Линдона, не опирающееся на описание структуры Поста, но использующее при этом достаточные условия конечной базируемости тождеств конечных алгебр из работ [9, 10], а также ряд других результатов из универсальной алгебры (см. [11-14]). В данной работе приведено новое доказательство этой теоремы (также не опирающееся на описание структуры Поста).
1 Угольников Александр Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
26
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
Для удобства в статье приведены определения всех понятий, нужных для понимания результатов (см. также [4, 6, 15, 16]).
Пусть E = {0,1}, X — счетное множество переменных. Элементы множества X обозначаются символами Xi, yi, Zi,..., i = 1, 2,...; индексы у переменных иногда будут опускаться. Обозначим через ж набор переменных (xi,X2,...,xn), а через En — множество всех наборов а = (ai,a2,...,an), таких, что ai,a2,...,an & E, n ^ 1. Пусть f(n) — отображение множества En в E, n ^ 1, и пусть функция f(n)(X), Xi,X2,...,xn & X, задает это отображение, En — область определения, E — область значений, Xi, X2,..., xn — переменные, от которых зависит f (п)(ж). Функция f (n)(xi,x2 ,...,Xn) называется n-местной булевой функцией (или функцией алгебры логики), а f(n) — n-местным функциональным символом, соответствующим этой функции. В дальнейшем верхний индекс у функциональных символов будем, как правило, опускать, указывая при этом число переменных, от которых зависят рассматриваемые функции. Множество всех таких функций обозначается через P2.
Функции равны, если они зависят от одного и того же множества переменных и задают одно и то же отображение. А именно функции f (п)(ж) и g(n) (X) из P2 называются равными (обозначение f(n) = g(n)), если f (n)(a) = g(n) (а) для любого набора а & En, n ^ 1.
Функция f (п)(ж) называется константой нуль (соответственно константой единица), если она принимает значение 0 (соответственно 1) на всех наборах из En, n ^ 1; n-местные константы нуль и единица обозначаются через 0(n) и 1(n) соответственно (или соответственно через 0 и 1 в тех случаях, когда нет необходимости отмечать число переменных, от которых зависят эти функции). Булевы функции отрицание x, тождественная функция e(1)(x), дизъюнкция Xi и X2, конъюнкция Xi и X2, сумма по модулю 2 Xi и Х2 обозначаются через ж, х, Х\ V Ж2, Х1Х2, Х\ + Х2 соответственно.
Переменная Xi (1 ^ i ^ n) функции f (ж) называется существенной, если найдутся такие значения ai,a2,..., ai-i,ai+i, ...,an & E, что f (ai ,a2,..., ai-i, 0, ai+i, ...,an) = f (ai,a2,..., ai-i, 1, ai+i,..., «„). В этом случае говорят, что функция f (ж) существенно .зависит от переменной Xi. Переменная Xi, не являющаяся существенной, называется несущественной (или фиктивной) переменной функции f (ж).
Одним из удобных способов задания булевых функций являются формулы.
Пусть A = {f|ni) (xi1 ,...,Xini ),f2¿n2 ^ (xj1 ,...,Xj ),...} — некоторое множество булевых функций, а
G = {f(ni\ ff2,...} — множество функциональных символов, соответствующих функциям из A. Дадим индуктивное определение формулы над A.
1. Выражение Xi, Xi & X, является формулой над A; такие формулы называются тривиальными.
2. Если Ф1, Ф2,...,Фп — формулы над A, n ^ 1, а f(n) — n-местный функциональный символ из G, то выражение Ф вида f (п)(Ф1, Ф2,..., Фп) является формулой над A. Формулы Ф1, Ф2,..., Фп называются подформулами формулы Ф. Подформулами формулы Ф называются также сама формула Ф и все подформулы формул Ф1, Ф2,..., Фп.
Предполагается при этом, что никаких других формул над A не существует, то есть каждая формула над A может быть получена применением конечного числа правил 1 и 2.
Для сокращения записи формул введем некоторые соглашения: будем опускать внешние скобки, не будем заключать в скобки переменные и константы. Через Ф(ж) будем обозначать такую формулу Ф, в которую входят символы переменных Xi,X2,...,xn и только они.
Для каждого набора a = (ai,а2,...,an) & En определим значение Ф(а), которое принимает формула Ф на наборе а. Если Ф — тривиальная формула вида Xi, 1 ^ i ^ n, то это значение равно ai. Пусть Ф имеет вид f (т)(Ф1(ж1), Ф2(ж1),..., Фт(жт)), где f(m) & F, m ^ 1, ж1,ж2,...,жт — поднабо-ры набора ж, а Ф1, Ф2,..., Фт — формулы над A, для которых значения Ф^а1), Ф2(й2),..., Фт(ат) (где а1, a2 , ...,ат — поднаборы набора а) уже определены и равны @i,@2 ,...,вт соответственно. Тогда Ф(а) = f(m) (в1, @2,..., вт).
Так как мы можем определить значение формулы Ф на любом наборе переменных, то тем самым мы сопоставим этой формуле некоторую функцию f (xi,x2,..., xn). Про функцию, сопоставленную указанным выше способом формуле, говорят, что она реализуется или выражается этой формулой. Таким образом, каждая формула выражает какую-то функцию алгебры логики.
Итак, мы определили способ порождения функций алгебры логики функциями системы A Q P2. Этот способ мы будем называть операцией суперпозиции. Если функция f (ж) реализована некоторой нетривиальной формулой над A, то будем также говорить, что f (ж) получена операцией суперпозиции из функций системы A.
Определим еще один способ порождения функций — операцию введения несущественной переменной. Результатом применения этой операции к n-местной булевой функции f(n)(xi,x2,...,xn), n ^ 1,
является (п + 1)-местная функция алгебры логики , Х2, ... , Хп, Хп+1), значение которой на произ-
вольном наборе («1 ,а2, ..., ап, ап+1) из Еп+1 определяется равенством /("-+1) (а1 ,а2, ..., ап, ап+1) = / (п)(а1, а1 ,...,ап). Отметим, что эта операция, вообще говоря, не является частным случаем операции суперпозиции.
Замыканием, множества А (относительно операций суперпозиции и введения несущественной переменной) будем называть множество всех функций, которые могут быть получены из функций системы А применением операций суперпозиции и введения фиктивной переменной (обозначение [А]). Множество А С Р2 называется замкнутым относительно операций суперпозиции и введения несущественной переменной (или замкнутым классом), если [А] = А.
Система А, А С Е С Р2, порождает класс Е, если [А] = Е .В этом случае говорят также, что система А является полной в классе Е. Класс называется конечно-порожденным, если он имеет конечную порождающую систему.
Отметим, что любой замкнутый класс булевых функций, содержащий некоторую функцию /, содержит также и все функции, получающиеся из / добавлением несущественных переменных. Это дает возможность распространить введенное ранее понятие равенства функций (зависящих от одного и того же множества переменных) на функции, зависящие от разных множеств переменных, и понимать всюду далее в этой статье равенство функций с точностью до несущественных переменных (добавляя тем самым необходимое число фиктивных переменных в рассматриваемые функции). А именно будем считать, что булевы функции равны, если у них множества существенных переменных совпадают и на каждом наборе существенных переменных они принимают одинаковые значения.
По определению функция /(х1,х2,...,хп) сохраняет константу 1 (соответственно 0), если /(1,1,..., 1) = 1 (соответственно /(0, 0,..., 0) = 0). Функция У*(ж 1, ж2, ■ ■ ■ ,хп) называется двойственной к функции /(Х) (обозначение /*(Х)); функция / называется самодвойственной, если / = /*. Функция /(Х) называется монотонной, если /(а) ^ /(Х) для любых двух наборов а = (а1,а2,...,ап),
Xх = в,^2,...,Рп) из Еп, таких, что а1 ^ (З1 ,а2 ^ 02,...,ап ^ (Зп. Функция /(Х) называется линейной, если выполняется равенство2 / (Х) = Со + С1Х1 + С2Х2 + ... + спхп, конъюнкцией, если / (Х) = Со(С1 V Х1 )(С2 V Х2)... (Сп V Хп), и дизъюнкцией, если /(Х) = Со V С1Х1 V С2Х2 V ... V
Сп хп где Сг € {0,1},
г = 0,1,... ,п.
Определим следующие множества булевых функций: Т1 — множество всех функций, сохраняющих константу 1; То — множество всех функций, сохраняющих константу 0; 5 — множество всех самодвойственных функций; М — множество всех монотонных функций; Ь — множество всех линейных функций; К — множество всех конъюнкций; О — множество всех дизъюнкций. Нетрудно показать, что все перечисленные множества являются замкнутыми классами (см. [16]).
Будем обозначать через /s, /м, /ь, /к, /э такие булевы функции, которые не принадлежат множествам 5, М, Ь, К, О соответственно.
Порождающие системы замкнутых классов могут быть найдены с использованием следующего утверждения (см. [16]).
Утверждение 1 (достаточное условие полноты). Если А С Р2, В С [А] и любая функция из А выражается формулой над В, то [В] = [А].
Непосредственно из определения следует
Утверждение 2 (принцип двойственности). Если Е(Х) = /о(/1(Х),...,/т(Х)), то Е*(Х) =
/о(/г(х),...,/т (Х)).
Отметим следующие простые свойства булевых функций (см., например, [4, 6]).
Утверждение 3. Для любых функций /к, /э из М выполняются соотношения Х V у € [{1,/к}], хуе[{ 0,/я}].
Утверждение 4. Для любых функций /м, /ь из Т\ выполняется соотношение х У у € [{1, /м, /ь}]-
Утверждение 5. Для любой функции /s из То П Т выполняется по крайней мере одно из следующих соотношений: Х V у € [{/#}],Ху € [{/#}].
Утверждение 6. Для любой монотонной функции / выполняется соотношение / € [{0,1,xVy, Ху}].
Пусть А — множество булевых функций. Обозначим через Та множество всех формул над А, а через ТА (Х) — множество всех формул из Та, все переменные которых принадлежат множеству {Х1 ,Х2,..., Хп}. Для того чтобы упростить запись, для формулы Ф(ж') из Та (Х), где х' — поднабор набора Х, мы будем также использовать обозначение Ф(Х).
Пусть Ф(х1,х2, ..., Хп), ц1 ,№, ...,^п € Та. Через Ф(^1,^2,..., цп) будем обозначать формулу, полу-
2В целях сокращения записи скобки опускаем, учитывая ассоциативность х + у, ху и х V у.
ченную из Ф подстановкой формул Ц1,№, •••,Ц-п на место вхождений переменных Х\,Х2,...,хп соответственно; будем говорить, что формула Ф(^1,^2, • • • ,Ц-п) получена из Ф подстановкой формул из Та.
Формулы Ф и Ф из Та называются эквивалентными, если они реализуют равные функции3 (обозначение Ф = Ф). Равенства вида
Ф = Ф, (1)
где Ф и Ф — эквивалентные формулы над А, называются также тождествами (истинными тождествами) или аксиомами (над А). При этом считаем, что равенство (1) задает также и все тождества Ф1 = Ф1 где Ф1 — формула, полученная из Ф (или из Ф) подстановкой формул из Та, а Ф1 — формула, полученная из Ф (соответственно из Ф) той же самой подстановкой формул; все эти тождества также будем называть аксиомами. Равенства вида (1) называются также схемами аксиом, так как каждое из них задает бесконечное множество различных тождеств (аксиом). Обозначим через Х(А) множество всех истинных тождеств над А.
Пусть А С Х(А) и пусть Ф,х — формулы над А, £ — подформула формулы Ф, такая, что
£ = х (2)
и равенство (2) задается некоторым тождеством Е = С системы А, а Ф — формула, полученная из Ф заменой подформулы4 £ на %. В этом случае будем говорить, что формула Ф получена из формулы Ф применением тождества Е = С. Выводом (из системы тождеств А) называется конечная последовательность формул Ф1, Ф2, •.., Фт из Та, где Ф^ (2 ^ г ^ т) получается из Ф_ применением некоторого тождества системы А; число формул в этой последовательности называется длимой вывода. Выводом тождества Ф = Ф называется вывод, начинающийся формулой Ф и заканчивающийся формулой Ф.
Тождество Ф = Ф выводимо из системы тождеств А, если существует вывод этого тождества, т.е. существует конечная последовательность формул Ф1, Ф2, • ••, Фт из Та, такая, что5 Ф1 =г Ф, Фт =г Ф и формула Фг (2 ^ г ^ т) получается из Ф_ применением некоторого тождества системы А. В частности, по определению для любой формулы Ф £ Та и любой системы А тождество Ф = Ф выводимо из А. Выводимость тождества Ф = Ф из системы А обозначается следующим образом: Ф =^д Ф. Легко видеть, что если равенство £ = х выводимо из А, то из системы А выводимы также и все тождества, которые задаются этим равенством. Обозначим через < А > множество всех тождеств, выводимых из системы А.
Множество А С £(А) называется замкнутым (или замкнутым классом тождеств), если < А > = А. Очевидно, что £(А) — замкнутый класс (тождеств). Система А С £(А) называется полной для £(А), если < А > = £(А), т.е. если любое тождество из £(А) выводимо из системы А. Класс £(А) называется аксиоматизируемым, если он имеет конечную полную систему тождеств.
Отметим следующие простые свойства выводимости.
1. Если Ф =^д Ф, то Ф =^д Ф.
2. Если Ф =^д в и в =^д Ф, то Ф =^д Ф.
3. Если Ф =^п Ф и О С А, то Ф =^д Ф.
4. Если Ф(у,Х) =^д Ф(у,Х) и Ц — любая формула над А, то Ф(^,Х) =^д Ф(^,Х).
5. Если Ф =^д Ф, А = О и{£ = х} и £ =^п X, то Ф =^п Ф (выводимое тождество можно удалить).
Системы А, В С Р2 называются эквивалентными, если [А] = [В]. Аксиоматизируемость классов тождеств можно устанавливать при помощи следующего утверждения (см., например, [15]).
Утверждение 7 (достаточное условие аксиоматизируемости). Если А и В — конечные эквивалентные системы булевых функций, то класс £(А) аксиоматизируем тогда и только тогда, когда аксиоматизируем класс Х(В).
Имеет место следующее утверждение [7].
Теорема. Для любого конечного множества А булевых функций класс £(А) имеет конечную полную систему тождеств.
Докажем предварительно несколько утверждений.
Лемма 1. Если А — конечная система булевых функций, такая, что Х V у £ [А], В = А и{0} и класс Е(В) аксиоматизируем, то класс £(А) аксиоматизируем.
3При этом функции считаются равными с точностью до несущественных переменных.
4Здесь и всюду далее имеется в виду фиксированное вхождение подформулы в формулу.
5 Здесь =г — знак графического равенства.
Доказательство. Пусть А = {¡^ ,/(Г2),..., /¡¡Гд)} — система булевых функций, удовлетворяющая условиям леммы, д ^ 1, В = А и{0}. Если 0 € [А], то [А] = [В] и утверждение леммы следует из утверждения 7.
Пусть 0 € [А]. В силу утверждения 7 достаточно рассмотреть случай х V у € А.
Пусть У = {х1,х2,..., хп} — некоторое множество переменных, п ^ ,..., гд, у /У. Сопоставим каждой формуле Ф(ж) над В формулу Фа(у, X) над А следующим образом. Если Ф — тривиальная формула вида Xi, 1 ^ г ^ п, то Фа =г у V х^ если Ф =г 0, то Фа =г у. Пусть Ф имеет вид /(Щ, К2,..., Кг), где / € А, г ^ 1, а К1,К2,...,КГ — формулы из Тв (ж), которым уже сопоставлены соответственно формулы Щ, Ща,..., Щ из Та (у, х). Тогда Фа имеет вид
у V / (каща ,...ща).
В частности, если Ф =г /(х1,х2,... ,хп), то Фа =г у V /(у V х1,у V х2, ...,у V хп). Легко видеть, что для любых эквивалентных формул Ф(ж) и Ф(ж) над В выполняется равенство Фа(у,ж) = Фа(у,ж). Кроме того, нетрудно показать, что формулы у V Ф(ж) и Фа(у,ж) эквивалентны для любой формулы Ф € Тв (ж). Положим Н = и{Фа(у,ж)}, где объединение берется по всем формулам Ф(ж) над В; НС Та (у, ж). Легко видеть, что отображение а: Ф(ж) ^ Фа(у,ж) устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами Тв (ж) и Н.
е(гз) л- л 1 ^ А ^ „ , „„„„„ )/
Пусть /( 3 € А, 1 ^ 3 ^ д. Обозначим через ©^ формулу / 3 (ж1 ,х2,... ,хг^). Рассмотрим формулы
1 =г у V /(з) (у V х1,.. тождеств Т = {^1, ...,Ед} над А:
(г ■)
у V ©^ и ©а =г у V /^ 3 (у V х1,...,у V хг*) (как отмечено выше, они эквивалентны). Образуем систему
(^): у V = ©а, 3 = 1, 2,...,д.
Покажем, что для любой формулы Ф(ж) над А тождество у V Ф = Фа выводимо из системы Т. Доказательство этого утверждения проведем индукцией по числу Ь функциональных символов, входящих в формулу Ф. Для тривиальных формул (при Ь = 0) это следует из определения (отображения а).
Предположим, что это утверждение доказано для формул, имеющих менее Ь функциональных символов. Пусть Ф — произвольная формула из Та (ж), содержащая Ь функциональных символов, Ь ^ 1. Пусть
она имеет вид /(Щ1, В,2,..., Кг*), где В,1,В,2,..., Кг* — формулы из Та(ж), каждая из которых содержит
менее Ь функциональных символов, / € А, 1 ^ г ^ д. По предположению индукции тождество
(С3): у V Щ = Щ
выводимо из системы Т для всех 3 = 1, 2,... ,Гi. Поскольку тождество
у V /^(К1, К2,..., Кп) = у V /(п) (у V К1,у V К 2 ,...,у V Яп)
является аксиомой (задается тождеством Fi), а формула у V /(г *(К", К" ,..., Кг-) может быть получена е(гг), *
из формулы у V /( (у V Rl,yV К2,... ,yV Кг*) применением тождеств ^1,^2,... ,Ог*, то в силу свойства 5 имеем
у V Ф =г у V /(г* )(К1, К2,..., Кг*) =^Т у V /(г* )(К", К",..., К") =г Фа. (3)
Приступим теперь непосредственно к доказательству основного утверждения леммы. Пусть О = {С1, С2,..., Ск} — полная система тождеств для £(В) и пусть тождество Ci, 1 ^ г ^ к, имеет вид
: Xi = ^,
где ^, ^ — формулы над В; без ограничения общности считаем, что эти формулы не содержат переменных, отличных от ж1, ж2,..., хп. Рассмотрим формулы \а и ¡л". Как было отмечено выше, они эквивалентны. Образуем систему тождеств = {Т1,Т2,. ..,Тк} следующим образом:
(Т): \а = ¡а, г = 1, 2,...,к.
Определим систему тождеств А = и Т ^{х V V у = у V х}.
Покажем, что система А является полной для класса Е(А).
15 ВМУ, математика, механика, №5
Пусть Ф = Ф — произвольное тождество из £(А), где Ф и Ф — эквивалентные формулы из Та (2), 2 = (21,22, • • •,Хт), т ^ 1.
По условию < О > = Х(В). Поэтому тождество Ф = Ф выводимо из О. Пусть Ф1, Ф2, •••, Фг — вывод этого тождества, где Ф1 =г Ф, Фг =г Ф, и пусть у — переменная, не входящая ни в одну из формул Фг, 1 ^ г ^ t. Индукцией по длине вывода докажем, что Ф", Ф", •••, Ф" — вывод тождества Ф" = Ф" из системы О2.
При Ь = 1 имеем Ф =г Ф, Ф" =г Ф", и утверждение следует из определения.
Предположим, что утверждение доказано для случая, когда вывод тождества из системы О имеет длину менее Ь. Докажем утверждение для случая, когда длина этого вывода равна Ь, Ь > 1.
Последовательность формул Ф1, Ф2 ,•••, Фг_1 является выводом (длины Ь — 1) тождества Ф = Ф_ из системы О. Поэтому по предположению индукции последовательность формул Ф", Ф", •••, Ф"_ 1 — вывод тождества Ф" = Ф"_ 1 из системы О2.
Пусть формула Ф =г Фг получена из формулы Ф_ применением тождества Хг = л системы О, 1 ^ г ^ к. То есть найдутся такая подформула £ формулы Ф_ и такая формула х из Тв, что формула Ф получена из Ф_ заменой формулы £ на х, и при этом тождество £ = х задается аксиомой Хг = ¡¿.
Пусть п — подформула формулы Ф"_ 1, сопоставленная формуле £ (при определении отображения а), т.е. п =г £". Заменим в формуле Ф"_ 1 подформулу п на х". Легко видеть, что полученная формула имеет вид Ф". Так как равенство £" = х" задается тождеством Х" = (системы Оа), то тождество Ф"_ 1 = Ф" выводимо из О".
Поскольку Ф" Ф"_ 1, то в силу свойства 2 получаем Ф" Ф".
По доказанному выше (см. (3)) тождества у V Ф = Ф" и Ф" = у V Ф выводимы из системы Т. Поэтому
У V Ф(2) =^т Ф"(у, 2) Ф"(у, 2) =^т у V Ф(z)• А значит, в силу свойства 1
у V Ф(2) =^т Ф"(у, 2) Ф"(у, 2) =^т у V Ф(2)
Кроме того, формулы Ф V Ф и Ф V Ф могут быть получены из формул Ф и Ф соответственно применением тождества Х V Х = Х. Поэтому в силу свойств 3, 4 имеем
Ф(2) =^д Ф(2) V Ф(2) =^д Ф(2) V Ф(2),
Ф(2) =^д Ф(2) V Ф(2) =^д Ф(2) V Ф(2)
Поскольку формула Ф V Ф получена из Ф V Ф применением тождества Х V у = у V Х, то в силу свойства 2 окончательно получаем Ф =^д Ф. Таким образом, < А > = £(А).
Двойственным образом доказывается следующая лемма.
Лемма 2. Если А — конечная система булевых функций, такая, что Ху £ [А], В = Аи{1} и класс Х(А) аксиоматизируем, то класс Е(В) аксиоматизируем.
Лемма 3. Если А — конечная система самодвойственных булевых функций, В = А и{1} и класс Х(В) аксиоматизируем, то класс £(А) аксиоматизируем.
Доказательство. Пусть А = {/|П ^, /2[2, •••, /(ч— множество самодвойственных булевых функций, В = А и{1}, а У = {Х1 ,Х2, •••, Хп} — некоторое множество переменных, п ^ Г1 ,r2,•••,rq. Сопоставим каждой формуле Ф(2) над В формулу Фв(у, 2) над А (где у £У) следующим образом. Заменим все вхождения константы 1 в формулу Ф(Х) на переменную у. Получим некоторую формулу над А. Обозначим эту формулу через Фв(у, 2). Легко видеть, что отображение в : Ф(2) ^ Фв(у, 2) устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами Тв (2) и Та (у, 2). В частности, если Ф(2) — формула над А, то Фв =г Ф.
По условию класс Х(В) аксиоматизируем. Пусть А = {С1 ,C2,•••,Ck} — полная система тождеств для Х(В), и пусть тождество С г, 1 ^ г ^ к, имеет вид
(Сг) : Хг =
где Хг, ¡г — формулы над В (без ограничения общности считаем, что эти формулы не содержат переменных, отличных от Х1, Х2,•••, Хп).
Рассмотрим формулы Хв и , 1 ^ г ^ к. Пусть эти формулы реализуют некоторые функции д(у, 2) и Н(у, 2) соответственно. Так как Хв и — формулы над АС Б, то функции д и Н принадлежат классу 5.
Кроме того, из равенства (C¿) следует, что g(1,x) = h(1,x). Поэтому g(y,x) = h(y,x), а значит, формулы
\ß ß
Xi и ßi эквивалентны.
Образуем систему тождеств Aß = {T\,T2, . ..,Tk} следующим образом. Положим
(Ti): Xß = ßß, i = 1, 2,...,k.
Покажем, что эта система является полной для класса £(А).
Пусть Ф и Ф — произвольные эквивалентные формулы из Fa (2), где 2 = (z\,z2,---,zm), m ^ 1, и пусть y — переменная, такая, что y G {z\,z2,...,zm}. Так как < A > = Х(В), то тождество Ф = Ф выводимо из A. Пусть Ф1, Ф2,..., Ф£, t ^ 1, — вывод этого тождества; Ф1 =г Ф, Фг =г Ф. Легко видеть, что последовательность формул Ф'^, Ф',..., Фß — вывод тождества Фß = Фß из системы Aß. Так как Ф, Ф G Fa (2), то Ф =г Ф', Ф =г Ф'. Поэтому тождество Ф = Ф выводимо из системы Aß. Таким образом, < A > = Х(А).
Доказательство теоремы. Пусть А — произвольная конечная система булевых функций. Положим F = [А]. Рассмотрим четыре случая.
1) 0,1 G F. Если А целиком содержится в одном из классов K,D,L, то утверждение теоремы очевидно. Пусть в А есть функции /к , ¡D и /l.
Если АС^, тов силу утверждений 4, 5 выполняются равенства
F = [{0,1,x V y, xy}] = [{0,1, /к, /d}] = M;
если же А содержит немонотонную функцию /м, то F = [{х, ху}] = [{0,1, /м, fb}] = Р2 (см., например, [4, 16]).
В каждом из этих случаев конечные полные системы тождеств для класса £(А) легко получить на основе хорошо известных канонических представлений булевых функций и монотонных булевых функций в виде совершенной и сокращенной дизъюнктивных нормальных форм соответственно (см., например, [15]).
2) 1 G [А], 0 G [А]. Легко видеть, что АС Ti. Если А целиком содержится в одном из классов K, L, то утверждение теоремы очевидно. Пусть в А есть функции /к и /¿.
Если А С M, то в силу утверждения 3 выполняется соотношение x V y G [{1, /к}]; если же в А есть немонотонная функция /м, то, согласно утверждению 4, имеем х V у G [{1, /м, fb}]- Поэтому х V у G [Д]. Положим B = Аи {0}. Тогда 0,1 G [В]. В силу рассмотрений случая 1 класс £(B) аксиоматизируем. Поэтому по лемме 1 для класса £(А) существует конечная полная система тождеств.
3) 0 G [А], 1 G [А]. Утверждение теоремы следует из предыдущего случая в силу принципа двойственности.
4) 0,1 G [А]. Положим В = Аи {1}, D = Аи {0}. В силу вышеприведенных рассмотрений классы Х(В) и £(D) аксиоматизируемы. Если АС S, то в силу леммы 3 класс £(А) аксиоматизируем. Если же в А есть несамодвойственная функция fs, то АС To П Ti, так как иначе множество [{/s ,g}], где g G To П Ti, содержит константу. Поэтому в силу утверждения 5 множество [А] содержит по крайней мере одну из функций x V y, xy. Если x V y G [А], то класс £(А) аксиоматизируем в силу леммы 1, а если xy G [А], то в силу леммы 2. Теорема доказана.
Отметим, что для систем функций многозначной логики аналогичное утверждение, вообще говоря, места не имеет (см. [17]). Пример конечной системы функций трехзначной логики, такой, что класс всех истинных тождеств над этой системой не является аксиоматизируемым, приведен в [18].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863) и программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-4470.2008.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43, N 3. 163-185.
2. Post E.L. Two-valued iterative systems of mathematical logic // Ann. Math. Stud. Vol. 5. Princeton; London: Princeton Univ. Press, 1941.
3. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966.
4. Угольников А.Б. О замкнутых классах Поста // Изв. вузов. Математика. 1988. № 7 (314). 79-88.
5. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2006.
6. Угольников А.Б. Классы Поста. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова, 2008.
7. Lyndon R.C. Identities in two-valued calculi // Trans. Amer. Math. Soc. 1951. 71, N 3. 457-465.
8. Berman J. A proof of Lyndon's finite basis theorem // Discr. Math. 1980. 29. 229-233.
9. Baker K. Finite equational bases for finite algebras in a congruence distributive equational class // Adv. Math. 1977. 24. 207-243.
10. McKenzie R. Para primil varieties: A study of finite axiomatilizability and definable principal congruences in locally finite varities // Algebra univers. 1978. 8. 336-348.
11. Мальцев А.И. К общей теории алгебраических систем // Матем. сб. 1954. 35, № 1. 3-20.
12. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.
13. Jonsson B. Algebras whose congruence lattices are distributive // Math. scand. 1967. 21. 110-121.
14. Pixley A.F. Distributivity and permutability of congruence relations in equatinal classes of algebras // Proc. Amer. Soc. 1963. 14. 105-109.
15. Яблонский С.В. Элементы математической кибернетики. М.: Высшая школа, 2007.
16. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2008.
17. Lyndon R.C. Identities in finite algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1954. 5, N 1. 8-9.
18. Мурский В.Л. Существование в трехзначной логике замкнутого класса с конечным базисом, не имеющего конечной полной системы тождеств // Докл. АН СССР. 1965. 163, № 4. 815-818.
Поступила в редакцию 14.04.2009
