Некоторые условия равномерности монотонных функций k-значной логики, принимающих значения 0 и 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 156, кн. 3 Физико-математические науки

2014

УДК 519.716

НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОСТИ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ к-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, ПРИНИМАЮЩИХ ЗНАЧЕНИЯ 0 И 1

П.Б. Тарасов

Аннотация

Рассмотрено соотношение между глубиной и сложностью реализации функций многозначной логики формулами над конечными базисами. Система функций A называется квазиравномерной, если существуют такие константы c и d, что для любой функции f из замкнутого класса, порожденного данной системой, выполнено неравенство DA(f) < clog2 LA(f) + d, где DA(f) и LA(f) - соответственно глубина и сложность реализации функции f формулами над A. Представлены нетривиальные условия квазиравномерности конечных систем функций к-значной логики, принимающих значения 0 и 1 и монотонных относительно частичного порядка на множестве {0,...,к — 1} ,в котором 1 > 0, а остальные элементы несравнимы.

Ключевые слова: многозначная логика, глубина, сложность, равномерность, распараллеливание.

1. История вопроса и основные определения

В работе рассматривается задача о реализации функций к-значной логики из замкнутых классов формулами в конечных базисах, состоящих из функций, принадлежащих этим же классам. Все необходимые определения можно найти в работах [1-3].

Обозначим через Pk множество всех функций к -значной логики, а через Pk,s -множество всех функции к-значной логики, принимающих значения из множества Es = {0,1,...,s — 1}, к > s > 2. Пусть A - конечная система функций из Pk . Через [A] обозначим замкнутый класс, порожденный системой A. Пусть Ф - формула над A. Обозначим через Ь(Ф) (сложность формулы Ф) число символов переменных, входящих в Ф, а через Р(Ф) - глубину формулы Ф. Пусть f G [A]. Положим DA(f) = minР(Ф), LA(f) = minЦФ), где минимум берется по всем формулам Ф над A , реализующим f . Конечную систему функций A будем называть равномерной, если существуют такие константы c и d (зависящие только от A), что для любой функции f G [A] выполнено неравенство1

DA(f) < clog LA(f) + d.

В работах [4, 5] доказана равномерность всех конечных полных систем булевых функций (см. также [6]). В [7] установлена равномерность всех конечных систем, порождающих класс M всех монотонных булевых функций. В работах [3, 9] доказана равномерность всех конечных систем булевых функций (см. также [8]).

Ряд публикаций посвящен задаче о соотношении глубины и сложности формул над конечными системами функций многозначной логики [10, 11].

1 Здесь и далее логарифмы берутся по основанию 2.

123

124

П.Б. ТАРАСОВ

Пусть f (xi,..., xn) - функция из Pk,s, а g(x\,..., xn) - функция из Ps, причем для любого а € EП выполнено равенство f (а) = д(а). Функцию g будем называть проекцией функции f на множество Ps и обозначать через prsf. Для произвольной системы A С Pk,s положим prsA = {prsf \f € A}. prsA называется проекцией системы A на Ps .В работе [12] доказана равномерность всех конечных систем функций из Pk,2, проекции которых на P2 порождают класс M.

Определим некоторые классы булевых функций. Следуя работе [14], через K, D, M и L будем обозначать классы конъюнкций, дизъюнкций, монотонных и линейных булевых функций соответственно. Положим M01 = M \ {0,1}. Будем говорить, что булева функция f (xi,... ,xn) обладает свойством (0х) (свойством (1х)), если существует такое i, 1 < i < n, что для любого набора а, для которого f(а) = 0 (f (а) = 1), выполнено равенство а =0 (а = 1). Класс всех функций, обладающих свойством (0х), будем обозначать через 0х, а класс всех функций, обладающих свойством (1х), - через Iх .

Функция f (xi,... ,xn) € Ps называется мажоритарной, если для любых а, в € Es выполнены равенства

f (в, а,..., а) f (а,в, а,..., а) ''' f (а,..., а, в) а.

В [13] доказано, что любая конечная система A функций из Pk,s такая, что множество [prsA] содержит мажоритарную функцию, равномерна. Из этого утверждения в качестве следствия получено, что все конечные системы функций из Pk,2 , проекции которых на P2 не содержатся целиком ни в одном из множеств K, D, L,0X, Iх, равномерны.

Введем на множестве Ек частичный порядок следующим образом: 1 > 0, а остальные элементы несравнимы. Далее под монотонными функциями будем понимать функции, монотонные относительно данного частичного порядка. Заметим, что если f € Pk,2 - монотонная функция, то p^f € M, где M - класс монотонных булевых функций.

Дадим рекурсивное определение подформулы произвольной формулы Ф. Если Ф - тривиальная формула, то есть формула, состоящая из одного символа переменной, то Ф является своей подформулой. Подформулами формулы Ф вида f (Ф1,..., Фп) будем называть саму формулу Ф и подформулы формул Ф1,..., Фп . В таком случае формулы Ф1,..., Фп будем называть главными подформулами формулы Ф . Подформулы, являющиеся тривиальными формулами, будем называть тривиальными подформулами.

Внешней формулой будем называть формулу, в которой выделены некоторые переменные, называемые внешними переменными, при этом каждая внешняя переменная встречается в формуле ровно один раз. Внешнюю формулу Ф с множеством {yi,... ,yt} внешних переменных будем обозначать через Ф[у1,... ,yt\ . Сложность внешней формулы определим как число всех (в том числе и внешних) символов переменных, входящих в данную формулу. Для удобства любую обычную формулу будем рассматривать как частный случай внешней формулы с пустым множеством внешних переменных.

Пусть Ф[У1,. .. ,Уг\, ^1[У1,...,УП1 ], ..., ^т\у\1,...,уПт \ -внешние формулы такие, что все переменные yf,..., уП1,..., у™,..., УЩт являются различными. Тогда через

Ф[*1[У

, уп1 \, . . . , ^m[y

ym

’ УПт

]]

обозначим внешнюю формулу с внешними переменными

Уъ-./уП 1 ,.-.у1\

ут

’ УПт

НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОСТИ...

125

полученную из формулы Ф подстановкой вместо каждой внешней переменной yi,... ,yt формулы Ф]_,..., соответственно.

В частности, будем говорить, что формула Ф представляется в виде

^i[^a[... Фп-1[Фп] ...]],

если ^i[y],..., ^n-i[y], Фп являются некоторыми внешними формулами над A такими, что Ф графически равна формуле ^i[^[..., ФП-1[ФП]]...].

Внешнюю формулу Фо[у1, ..., yt] будем называть внешней подформулой формулы Ф, если формула Ф может быть представлена в виде Фо[Фд..., Ф^, где Ф1,..., Фt - подформулы Ф .

Формула Ф называется а-формулой, если каждая ее подформула имеет не более одной нетривиальной главной подформулы.

Конечную систему A функций из Рк,2 будем называть квазиравномерной, если существуют такие константы c и d, что для любой функции f G [A] выполнено неравенство

DA(f) < clog2 LA(f) + d.

Пусть f (xi, ..., xn) G Pk,2 , i G {1, .. . ,n}, ( G Ek . Положим2

Mfi = {pr2f (ai,. . .,ai-i,x, ai, .. .,an-i)\ a G EJ^-1},

Vfi = {a G Ern-i\ pr2f (ai, .. ., a.i-i,x,a.i, ..., an-i) = 0,1},

f \xi f (xi, ..., xi-i, в, xi+i,..., xn).

Будем говорить, что монотонная функция f (xi,..., xn) G Pk,2 обладает свойством # уровня r по переменной xi относительно замкнутого класса B С Рк,2 и набора a G ЕП-1 , если существует функция g(xi,..., xn-i, yi,... ,yr) G B такая, что:

1) если {1, x} С Mx и a G , то pr2g(a, y) G M01 \ I;

2) если {0, x} С MXi и a G Vx , то pr2g(a, y) G M01 \ O;

3) для любого (3 G V'Xi выполнено pr2g((3, y) = 0,1.

Множество функций f (xi,... ,xn) таких, что f обладает свойством # уровня r по переменной xi относительно замкнутого класса B и набора a G En-1, будем обозначать через #“^ (B,n,r). Положим3

#(B,n,r)Xi = П #“*(B,n,r);

^Лп-1'

#(B, r) = U П #Xi (B,n,r).

n£N xG{xi,X2 ,...,Xn}

Будем говорить, что система A обладает свойством # , если для некоторого r выполнено соотношение A С #([A],r).

2. Необходимые условия квазиравномерности

Лемма 1. Пусть A - конечная система монотонных функций из Рк,2, Ф -формула над A, ^[yi,...,yt] - внешняя подформула формулы Ф. Пусть формулы Ф и ^[yi, .. .,yt] реализуют функции f (xi,. .. ,xn) и g(xi, ... ,xr,,yi, .. . ,yt)

соответственно. Тогда для любых m < n и a G EVd таких, что pr2 f (3, xm+i, ...,xn) G Moi, выполнено pr2 g(a, xm+i, ...,xn,y) G Moi.

2 Здесь под набором a G Ek 1 понимается набор (ai,..., an—i). Далее в статье используются аналогичные сокращения.

3 Без ограничения общности полагаем, что все функции зависят от переменных xi,X2,...

126

П.Б. ТАРАСОВ

Доказательство. Предположим противное, пусть рг2$(а, xm+i,. .., xn,у) G G M01, то есть рг2$(5, xm+i ,...,xn,y) = c, где c = 0,1. Пусть Ф имеет вид Ф[Фх,..., Ф(], где формулы Ф1,..., Ф4 реализуют функции hi(x),..., ht(x). Тогда

f (а, 1, . . . , 1) pr2g(a, 1, . . . , 1, hi(a, 1, . . . , 1), . . . , ht(a, 1, . . . , 1)) c

= pr2g( а, 0,..., 0,hi( а, 0,..., 0),...,ht( а, 0, . . . , 0)) = f (а, 0, . . . , 0).

Таким образом, получили противоречие.

□

Конечную систему функций A из Pk,2 будем называть псевдоравномерной, если для любого r > 1 существует n > 1 такое, что для любой а-формулы Ф над A такой, что D(ty) > n, существует формула Ф над A, эквивалентная Ф, для которой выполнено неравенство D^) < D(i^)/r. Нетрудно убедиться, что если система функций является квазиравномерной, то она является псевдоравномерной.

Теорема 1. Пусть A - конечная псевдоравномерная система монотонных функций из Pk,2 ■ Тогда существует такое r > 2, что A С #([A],r).

Доказательство. Пусть без ограничения общности все функции из A зависят от n переменных. Необходимо доказать, что для произвольной функции f G A, произвольного i G {1,. .. ,n} и любого а G Vсуществуют число r' > 3 и функция w(xi,..., xn-i, yi,... ,yr>) G [A] такая, что выполнено:

1) если {1, x} С Мх , то выполнено pr2w(а, у) G M0i \ I;

2) если {0, x} С MJ*, то выполнено pr2w(а, уу) G M0i \ Ож ;

3) для любого (3 G Vх выполнено pr2w(p, у) = 0,1.

Пусть f (xi,... ,xn) - произвольная функция из A. Без ограничения общности будем считать, что i = n. Докажем существование функции w, удовлетворяющей условиям 1 и 3 , аналогично можно доказать существование функции, удовлетворяющей условиям 2 и 3 .

Для любого q > 1 рассмотрим формулу

f (xi, ... , xn— i, f (xi, ... , xn— i ,

..,f (xi,...,xqn-i,y) ...)),

обозначим ее через Фq. Согласно определению псевдоравномерности существует такое m и формула Ф над A, эквивалентная Фт, что D^) < D^m)/n = m/n. Пусть Ф реализует функцию

g(xl, ...,xm,y) = f (xl,f (x2(. ..f (xm-i,f (xm, y)) . ..))),

где x* = (x\,..., xln-i), и пусть а - произвольный набор из множества V^n . Обозначим набор (а, ... фа) через а., а через x - набор переменных

m раз

(x

, xi , x2,

1 xm xm )

i , . . . , xi , . . . xn i .

2

x

Допустим без ограничения общности, что нетривиальная подформула Фа формулы Ф имеет вид h(x', у,у,... ,у, Ф i,..., Ф u), где Ф i,..., Ф u - нетривиальные подформулы формулы Ф и x' = (x[,..., x'p) - набор (возможно, одинаковых) переменных из x. Через а' = (a'i,...,a'p) обозначим набор значений переменных из x', взятых для этих переменных из набора значений а, через Но - множество всех подформул Ф таких, что pr2h(5.', у,... ,y,zi,..., zu) = 0, через НО - подмножество формул из Н0 , не являющихся подформулами никаких подформул из Н0 кроме их самих.

НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОСТИ...

127

Заметим, что формулу Ф можно представить в виде Ф/[Ф0,..., Ф/], где Ф'\х\,... ,zq ] - внешняя подформула Ф, {Ф^,..., Ф/} = Н/ . Через S/ обозначим

формулу Ф/[z1, ...,zq].

Заменим в формуле S/ все вхождения переменной y на различные переменные yi,... ,yt, t > 0. Полученную формулу обозначим через S. Пусть S реализует функцию h'(x, yi,...,yt,zi,...,zq). Если рт2Н'(а, y,z) < Zi, то

1 = g(a, 1) = h'(a, 1 ,1, 0,. .^., 0) = 0,

t раз q раз

тем самым получаем противоречие. Следовательно, pr 2 h/(X, y,z) < zi для любого i €{1,...,^}.

Докажем, что для всех j, j G {1,..., t}, выполнено соотношение p^h^X, y,z) < < yj. Допустим противное, пусть существует такое j, j G {1,...,t}, что pr2 h/(X, а, а) < yj . Без ограничения общности будем считать, что j = 1.

Нетрудно видеть, что формулу S можно представить в виде S"[yi, Si,..., Su] так, что формула S//[yi,vi,... ,vu] является а-формулой минимальной глубины, содержащей yi, и > 0, а Si,..., Su - некоторые формулы над A. Пусть формула S// реализует функцию h//(x, y, а, а), а формулы Si,..., Su - функции hi(x, у, Hz),..., hu(x, y, Hz) соответственно. Заметим, что переменная yi входит в формулу S только один раз, следовательно, функции hi не зависят существенно от переменной yi .

Докажем, что pr2hi(a,yj,zZ) G M \ {0}. Допустим противное, то есть pr2 hi(a,yj,zZ) = 0. Тогда у формулы Si существует подформула О такая, что О реализует4 функцию, нулевую в проекции, а все подформулы формулы О реализуют функции, не нулевые в проекции. Пусть О имеет вид w/(x, y,z, Фi, .. ., Фi), где w/(x, y,z,ui,..., ui) G A. Тогда заметим, что p^w^X, y,z,z) =0. Поэтому подформула формулы Ф , из которой была получена подформула О , принадлежит Н0 , что противоречит построению формулы S/ . Следовательно,

hi (<x, 1,..., 1, 1,..., 1) hi(a, 0, 1,..., 1, 1,..., 1) 1.

Поэтому

0 = h/(X, 0,1,..., 1,1,..., 1) =

= h//(a, 0,1,..., 1,hi(X, 0,1,..., 1),..., hu(X, 0,1,..., 1)) =

= h//( X, 0,1,..., 1).

Следовательно, pr2h//(X, y, z) < yi. Заметим, что

L(S//) < п1(Ф/) < п1(Ф) < m,

следовательно, существует такое i, i G {1,... ,m}, что переменные x\,... ,xin_i не входят в формулу S//. Пусть j - набор из ЕП-i такой, что p^/(j,y) = 1. Тогда

1 = g(a, .. ., а, в, а,. .., а, 0) < h/ (а,. .., a, j, а,. .., а, 0, 1, .. ., 1, 1, .. ., 1) =

i-i раз m-i раз i-i раз m-i раз

= h//( X, 0,1,..., 1,1,..., 1) = 0,

то есть получаем противоречие.

4 Функцию h Е Pk,2 будем называть нулевой в проекции, если p^h = 0

128

П.Б. ТАРАСОВ

Так как формула Е получается из внешней подформулы формулы Ф заменой переменной у на переменные у\,... ,yt, то для всех 7 G VfXn по лемме 1 выполнено соотношение

рг2^(7, — ,7,7,7) G M01. (1)

m раз

Положим

w(x: у) h (Х1: ... : Хп-1, Х1: . . . , Хп-1: . . . : Х1: . . . : Хп-1: у1: . . . , уг' ),

'------------------v-------------------'

m раз

где r' = t + q. Заметим, что поскольку в силу соотношения (1) выполнено РГ2 h'(a,y) G M01 и, как показано выше,

pr2h'(7,7,7) £ yi, p^h^S,7,7) £ zj

для любых i G {1, .. . ,t}, j G {1,.. ., q}, то РГ2 w(a, у) G M01 \ITO, то есть функция w удовлетворяет условию 1. В силу соотношения (1) для w выполнено условие 3.

Таким образом, для любой функции f(х1,...,хп) G A, любой переменной xi G {x1,...,xn} и любого набора a G Vнайдутся число r' = r'(f,xi,а) и функция w(x1,... ,xn-1 ,у1,... ,yrt), удовлетворяющая условиям 1 и 3. Обозначим эту функцию через w1. Аналогично найдется число r" = r'' (f ,xi,<S), для которого можно построить функцию w(x1,..., xn—1, y1,..., yrn), удовлетворяющую условиям 2 и 3. Обозначим эту функцию через w2. Тогда нетрудно показать, что функция

w(x1, . . . , Хп—1 ,y1,..., yr'r" ) w1(x1, . . . , xn—1, w2 (x1, ... , Хп—1 ,y1,..., yr' ),

w2 (x1, ... , xn— 1, yr' +1, . . . , y2r' ), . . . , w2 (x1, ... , xn—1, yr>r//—r/ + 1, ... , yr’r" ))

удовлетворяет условиям 1 - 3. Поэтому в качестве числа r можно взять max^^ f^^^^r'^ f^^^.)}, где максимум берется по всем функциям f из A, переменным xi функции f и всем наборам 5 из У^г. Теорема доказана. □

3. Достаточные условия квазиравномерности

Лемма 2. Пусть A - конечная система функций из Pk, Ф - нетривиальная формула над A. Тогда Ф можно представить в виде Фо[Ф1,..., Ф(], где Фо [y1,..., yt] - а -формула, а Ф1,..., Ф4 - некоторые подформулы Ф такие, что Ъ(Фф < Ь(Ф)/2 для всех i G {1,. .., t} .

Доказательство. Построим рекурсивно следующую цепочку подформул формулы Ф: в качестве Ф0 возьмем саму формулу Ф и, если формула ^ является нетривиальной, в качестве формулы Ф^1 возьмем произвольную главную подформулу формулы ^ максимальной сложности. Пусть получилась последовательность формул Фо,..., Фи .

Пусть без ограничения общности для всех i, i G {1,...,u — 1}, формула Фi имеет вид fi^i+1, Е1,..., Е^ ,xj,... ,xpi), где все формулы E1,..., E^ являются нетривиальными, а формула Фи имеет вид ^(хИ,... ,хИи). Через Ф0 обозначим формулу

f1(f2(... U—1(U(xl ...,хИ), y1—1,..., уИ-1

и—1 ,

xPU- ) ...),

y1 ,

,у1,x1

1 , . . . , x1

1

и

).

Тогда формула Ф имеет вид

Фп [Е1 Etu—1 Е1

^0 Ми—h'''i “и — 1 э “и—2 ^

'tu — 2 е1 Е^1

и—2 , . . . , Е1, . . . , Е1

НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОСТИ...

129

Положим t = ^2 ti. Через Фо обозначим формулу, полученную заменой перемен-

ных

уи — 1,

tU — 1 1

, Уи— 1 , уи — 2, •

„ tu-2 ,уи—2 ,

,у\,

11 >У I1

на переменные уi,... ,yt соответственно. За Ф i,..., Ф( обозначим формулы

—1

“и— 1,

—tu- 1 — 1

1 ' 'и — 1 , “и —2, •

—tu-2 —1

> —и —2 , . . . , —1, •

t1

> “1

соответственно. Тогда формула Ф имеет вид Фо[Ф1,..., Ф^ .

Заметим, что если у формулы ф есть главная подформула сложности более чем Ь(Ф)/2, то это формула ^i+1. Следовательно, все формулы Ф1,..., Фt имеют сложность не более Ь(Ф)/2. Утверждение доказано. □

Теорема 2. Пусть A - конечная система функций из Pk такая, что множество всех а-формул над системой A равномерно над A. Тогда система A квазиравномерна.

Доказательство. Далее для удобства вместо Ьд(ф) и D^(f) будем писать L(f) и D(f). Так как множество а-формул над A равномерно, то существуют такие константы c и d, что для любой а-формулы Ф над A существует формула Ф над A, эквивалентная Ф, такая, что D(^) < c log L^) + d. Положим

d1 =max(max D(f ),d), c1 = 2max(c, d1).

L(f )<4

Докажем, что для любой f G [A] выполнено неравенство

D(f) < c1 log2(L(f)) + d. (2)

Тем самым мы докажем, что система A квазиравномерна. Проведем доказательство индукцией по сложности реализации f формулами над A. Если L( f) < 4, то неравенство (2) выполнено очевидным образом. Пусть неравенство (2) выполнено для всех функций f G [A] таких, что L(f) < N, N > 4. Докажем неравенство (2) для функции f G [A] такой, что L( f) = N +1.

Пусть Ф - формула, реализующая f над A, такая, что L^) = L(f) = N + 1. Из леммы 2 следует, что формула Ф представляется в виде Фо[Ф1,..., Ф^, где t > 0, Фо[у1,..., yt] - а-формула и L^i) < L(Ф)/2 для всех i G {1,..., t}. Пусть формулы Фо,..., Фt реализуют функции

f0(x1, . . . , xn, у1, . . . , у t), f 1 (x 1, • • • , xn),..., ft(x1, ... , xn )

соответственно. Так как Фо есть а-формула, реализующая функцию ^, и множество а-формул над системой A равномерно, то D(^) < clog L(^) + d. По индуктивному предположению для всех i, i G {1,... ,t}, выполнено неравенство D(fi) < c1 log2 L^i) + d1. Поэтому

D(f) < D(fо)+ max D(fi) < clog L^) + d + c1 log2

i£{1,...,t}

ад

2

+ d1 <

< clog L^) + c1(log L(Ф) — 1)2 + 2d1 <

< c1 log2 L(Ф) + c log L^) — 2c1 log L^) + 2d1 + c1 <

< c1 log2 L(f) + 2d1 + c1 — c1 log L(Ф) <

< c1 log2 L(f) + 2d1 + c1 — 2c1 < c1 log2 L(f) + db

Теорема доказана.

□

130

П.Б. ТАРАСОВ

Следующее утверждение можно доказать с помощью техники из работы [13] и теоремы 2.

Теорема 3. Все конечные системы монотонных функций из Pk2, обладающие свойством #, квазиравномерны.

Следствие. Конечная система A монотонных функций из Pk,2 квазиравномерна тогда и только тогда, когда A обладает свойством #.

Автор благодарен А.Б. Угольникову и Р.М. Колпакову за постановку задачи и обсуждение результатов работы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14-01-00598) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения» (проект «Задачи оптимального синтеза управляющих систем»).

Summary

P.B. Tarasov. Several Conditions for Uniformity of a Finite System of Many-Valued Logic.

We consider the relation between depth and complexity of many-valued logic functions over finite functional systems. The functional system A is called quasi-uniform if there exist constants c and d such that for an arbitrary function f from the closure of A the inequality DA(f) < clog2 LA(f) + d holds, where DA(f) and LA(f) are the depth and the complexity of realization of the function f by formulas over the finite system A. In this paper we provide some conditions for the quasi-uniformity of systems of functions of many-valued logic that take two values 0 and 1 and are monotone on the partially ordered set {0,... ,k — 1}, where 1 > 0 and all other elements are incomparable.

Keywords: many-valued logic, depth, complexity, uniformity, parallelizing.

Литература

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.: Высш. шк., 2001. - 384 с.

2. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. - Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. -684 p.

3. Угольников А.Б. О глубине и полиномиальной эквивалентности формул для замкнутых классов двузначной логики // Матем. заметки. - 1987. - Т. 42, Вып. 4. - С. 603612.

4. Яблонский С.В., Козырев В.П. Математические вопросы кибернетики // Информ. материалы Научного совета по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР. -М., 1968. - Вып. 19а. - С. 3-15.

5. Spira Р.М. On time-hardware complexity tradeoffs for Boolean functions // Proc. 4th Hawai Symp. on System Sciences. - North Hollywood: Western Period. Comp., 1971. -P. 525-527.

6. Храпченко В.М. О соотношении между сложностью и глубиной формул // Методы дискретного анализа в синтезе управляющих систем. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. - Вып. 32. - С. 76-94.

7. Wegener I. Relating monotone formula size and monotone depth of Boolean functions // Inf. Process. Lett. - 1983. - V. 16, No 1. - P. 41-42.

НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОСТИ...

131

8. Угольников А.Б. О полиномиальной эквивалентности формул для замкнутых классов двухзначной логики // VII Всесоюз. конф. «Проблемы теоретической кибернетики»: Тез. докл. - Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та. 1985. - Ч. 1. -С. 194-195.

9. Ragaz M. Parallelizable algebras // Arch. fur math. Log. und Grundlagenforsch. - 1987. -V. 26, No 1. - P. 77-99.

10. Сафин Р.Ф. О соотношении между глубиной и сложностью формул для предполных классов k-значной логики // Матем. вопросы кибернетики. - М.: Физматлит, 2004. -С. 223-278.

11. Дудакова О.С. О классах функций k-значной логики, монотонных относительно множеств ширины 2 // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. - 2008. - № 1. -С. 31-37.

12. Тарасов П.Б. О равномерности некоторых систем функций многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. - 2013. - № 2. - С. 61-64.

13. Тарасов П.Б. О некоторых достаточных условиях равномерности систем функций многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. - 2013. -№ 5. - С. 41-46.

14. Угольников А.Б. Классы Поста. - М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. фак. МГУ, 2008. -64 с.

Поступила в редакцию

29.07.14

Тарасов Павел Борисович - аспирант кафедры дискретной математики, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва, Россия.

E-mail: tarsov.p.b@gmail.com