Об одном аналоге аддитивной проблемы делителей с квадратичными формами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 15 Выпуск 2 (2014)

УДК 511.512

ОБ ОДНОМ АНАЛОГЕ АДДИТИВНОЙ ПРОБЛЕМЫ ДЕЛИТЕЛЕЙ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ

Л. Н. Куртова (г. Белгород)

Аннотация

В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи. Одной из них является проблема делителей Ингама о представлении натурального числа в виде разности произведений натуральных чисел. Уточнением остаточного члена в асимптотической формуле для числа решений данного уравнения занимались такие математики как T. Эстерман, Д. И. Исмо-илов, Д. Р. Хиз-Браун, Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков, Ж.-М. Дезуйе и Х. Иванец.

В настоящей работе рассматривается бинарная аддитивная задача с квадратичными формами, которая является аналогом классической проблемы делителей Ингама. Пусть d — отрицательное бесквадратное число, F = Q(y/d) — мнимое квадратичное поле, 6f — дискриминант поля F; Qi(m), Q2(k) — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами A1, A2, det A1 = det A2 = —5f, e > 0

— произвольно малое число; n € N, h € N.

Получена асимптотическая формула для числа решений уравнения Q1 (m) — Q2(k) = h с весами exp (y—(Q1(m) + Q2(k))/n). В данной асимптотической формуле дискриминант поля §f — фиксированное число, а остаточный член имеет оценку O(hsn3/4+s), которая не зависит от 6f. Кроме того, с ростом основного параметра n параметр h может расти как O(n).

Доказательство асимптотической формулы основано на круговом методе, когда сумма, являющаяся числом решений рассматриваемого уравнения, представляется в виде интеграла; разбиении отрезка интегрирования числами ряда Фарея, при этом выбранные веса позволяют использовать функциональное уравнение для двумерного тета-ряда. Кроме того, представляет важность оценка одной суммы, содержащей суммы Гаусса. За счет явных формул для некоторого произведения сумм Гаусса от числа, взаимно простого с дискриминантом поля, удается представить данную сумму как сумму Клоостермана и применить к ней оценку А. Вейля.

Ключевые слова: аддитивные задачи, число решений, асимптотическая формула, сумма Клоостермана, квадратичная форма.

Библиография: 16 названий.

ABOUT ONE ANALOG OF THE ADDITIVE DIVISOR PROBLEM WITH QUADRATIC FORMS

L. N. Kurtova

Abstract

In the number theory additive problems is very important. One of them is the Ingam binary additive divisor problem on the representation of natural number as the difference of product of numbers. Many mathematician like T. Esterman, D. I. Ismoilov, D. R. Heath-Brown, G. I. Arkhipov and V. N. Chubarikov, J.-M. Deshouillers and H. Iwaniec improved the remainder term in the asymptotic formula of the number of solution of this diophantine equation.

In present paper one problem with quadratic forms is considered. This problem is analog of the Ingam binary additive divisor problem. Let d — negative square-free number, F = Q(Vd) — imaginary quadratic field, 6F — discriminant of field F, Q1(m), Q2(k) — binary positive defined primitive quadratic forms with matrixes A1, A2, det A1 = det A2 = —5F, £ > 0 — arbitrarily small number; n € N, h € N.

The asymptotical formula of the number of solution of diophantine equation Q1(m) — Q2(k) = h with weight coefficient exp (—(Q1(m) + Q2(k))/n) is received. In this asymptotical formula discriminant of field 5F is fixed and the remainder term is estimating as O(h£n3/4+£), which not depend of SF. Moreover the parameter h grow as O(n) with growing on the main parameter n.

Proof of the asymptotical formula based on circular method when sum, which is solution of diophantine equation, may be representing as integral. Interval of integration divided by numbers of Farey series. The taking weight coefficient allow to use the functional equation of the theta-function. Moreover the estimation of one sum with Gauss sums is important. Using the evident formula of some product of Gauss sums of the number which coprimes of discriminant of field this sum represented of Kloosterman's sum which estimate by A. Weil.

Keywords: additive problems of number theory, asymptotic formula, Kloo-sterman's sum, quadratic form.

Bibliography: 16 titles.

1. Введение

В 1927 году Л. Б. Ингам [1] поставил и решил элементарными методами задачу получения асимптотической формулы для числа решений 3(п) уравнения:

х1х2 — х3х4 = 1, х1х2 ^ п;

где х1, х2, х3, х4 Е N.

Эта задача получила название бинарной аддитивной проблемы делителей.

Пусть т(х) — число натуральных делителей х, тогда

3(п) = ^ т(х)т(х + 1).

Х^П

А. Е. Ингам доказал, что

6

3(п) = —2п 1п2 п + 0(п 1пп). п2

В 1931 году Т. Эстерман [2], применив к задаче Ингама круговой метод, вывел для 3(п) асимптотическую формулу, остаточный член которой имеет степенное понижение по сравнению с главным. Им получен следующий результат:

3(п) = пР2(1п п) + Я(п), где Р2(х) — многочлен 2-ой степени, а

Я(п) = 0(п11/12 \п17/г п).

В 1979 году Д. И. Исмоилов [3], дополнив элементарный метод Т. Эстермана оценками А. Вейля [4, 5] суммы Клоостермана, получил следующую оценку остатка:

Я(п) < п5/6+£,

где £ > 0 — сколь угодно малая постоянная.

В 1979 году другим методом ту же оценку получил Д. Р. Хиз-Браун [6].

В 2006 году Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков [7] вывели новую оценку остатка Я(п):

Я(п) ^ п3/41п4 п.

В 1980 году Н. В. Кузнецов [8] представил сумму сумм Клоостермана через билинейные формы коэффициентов Фурье собственных функций оператора Лапласа и показал, что между суммами Клоостермана существует интерференция.

В 1982 году Ж.-М. Дезуйе и Х. Иванец [9], используя формулу Н. В. Кузнецова, доказали, что

Я(п) п2/3+£.

Другое направление исследований, касающееся данной тематики, связано с рассмотрением различных аналогов проблемы делителей Ингама.

Используя дисперсионный метод, Ю. В. Линник [10] нашел полное решение неопределенной аддитивной проблемы делителей:

Ху — Х1Х2 . . .Хк = 1, ху ^ п,

где х1, х2, ... , хк, х, у € N.

Им получена асимптотическая формула:

Т(х)тк (х + 1) = пРк (1п п) + О (п(1п п)ао) ,

Х^П

где Тк (х) —число представлений Х в виде произведения к делителей, Рк (1п п)

— многочлен к-ой степени от 1п п, а0 — константа.

В настоящей работе рассматривается бинарная аддитивная задача с квадратичными формами, которая является аналогом классической проблемы делителей Ингама.

Будем использовать следующие обозначения. Пусть d — отрицательное бес-квадратное число, Е = Q(^Zd) — мнимое квадратичное поле, 8р — дискриминант поля Е; Qi(m) = \шгЛгт — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами Лi, ёе1 Лi = —8р, г = 1, 2. Пусть

-.ч ч—л Я1(т)+Я2(к)

I(п, к) = е » .

Ql(m)-Q2 (к)=Н

Целью статьи является получение асимптотической формулы для суммы I(п, к). Данная задача для случая к = 1 рассматривалась в работе [11].

Круговым методом с использованием оценки А. Вейля для суммы Клоостер-мана доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть е > 0 — произвольно малое число, — дискриминант, поля Е, п € N к € N.

Тогда при п ^ ж и к ^ п справедлива асимптотическая формула

2 2 9

I(п,к) = ппе-ы^у-,Г*у е-2*ш/дЩй2(я, —1,0) + О(к'п3/4+'),

I и 1=1

(1,я) = 1

0,1 (д,1, 0)= ^2 ехр(2т^,1(т)/д) — двойные суммы Гаусса (г = 1, 2). Сум-

т (шоё д)

ма особого ряда асимптотической формулы положительна.

2. Вспомогательные утверждения

Лемма 1. (Функциональное уравнение для двумерного тета-ряда). Пусть Imr > 0; x Е R2, 9(r,x) = Е exp(2nirQ(n + x)). Тогда

n&Z2

в(г, x) = i V exp ( — —П*Л-1П + 2nintx).

n^2 v T /

Доказательство. См. в [12, глава VI].□

Лемма 2. Пусть q, q', q" ^ N. Тогда справедливо равенство Ш+q'0

Г р—2пгах n

dx = -e-h/n + O(qN).

J n-2 + 4n2x2 2

-Ш+q")]-1

Доказательство. Из формулы

+<x>

f егх П

' -dx = —ea

x2 + a2 a

— CO

(см. в [13, глава V]) и оценки

+ Ж +<^ +<х>

? e-2nihx ? dx fdx

J n-2 + 4n2x2 ^ J n-2 + 4n2x2 ^ J x2 ^ q

[q(q+q' )]-1 [qN ]-1 [qN ]-1

следует требуемое равенство. □

Лемма 3. (Равенства для произведений сумм Гаусса). Пусть d — отрицательное бесквадратное число, F = Q(\fd) — мнимое квадратичное

поле, 5f — дискриминант поля F, D = —5р. Пусть Q1(m), Q2(k) — бинарные

положительно определенные примитивные квадратичные формы c первыми коэффициентами a1 и а2 соответственно; (l,q) = 1.

Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть (q,D) = 1, ll* = 1 (mod q), DD* = 1 (mod q). Тогда

G1(q, l,m)G2(q, —l, k) = q2 exp ^—2ni—D*(Ql1(m) — Q2(k))^ .

2. При любых q и D справедливо неравенство:

\G1(q, l,m)G2(q, —l, k)\ ^ cDq2,

где c — постоянная.

Доказательство. 1. Пусть (q, D) = 1. Введем обозначения: q = p^1 ■... ■ p0:s, rj = q/pa, ll* = 1 (mod q), rjr* = 1 (mod p^3), DD* = 1 (mod p^3) (j = 1...s), DD* = 1 (mod q).

Если 2 \ q, то полагаем p1 = 2. Заметим, что в этом случае 2 \ D, следовательно, 5р = 1 (mod 4). Если 2 \ D, то а1 = 0. Тогда

G1(q,l,m) = G^a3 ,lrj,m).

j=1

Для С^р*3, 1гj,т) известны точные формулы (см., например, [14, лемма 1]) Можем утверждать, что

G1(q, l, m)

qexP^—2niqQ,1(m)(r1r*1D*1 + ... + rsr**D*s^ (—1)(1-Sf)a1/4 ^ .

Докажем сравнение

r1r*D* + ... + rsr**D* = D* (mod q).

Так как (q,D) = 1 и DD* = 1 (mod '[j3) (j = 1..s), DD* = 1 (mod q), то

D (r1r*D* + ... + rsr*D*) = DD* = 1 (mod q),

и достаточно доказать сравнение r1ri* + ... + rsr* = 1 (mod q), которое эквивалентно системе сравнений

r]_r* + ... + rsr* = r]_r* = 1 (mod pa1),

r1r* + ... + rsr* = rsr* = 1 (mod pas).

Тогда G1(q,l,m) = qexp (~2rnlqD*Ql1(m)^j(—1)(1-SF)a1/^p^^^j .

Аналогичное равенство справедливо и для G2(q, —l, k). Запишем произведение сумм Гаусса:

G1(q,l,m)G2(q, —l,k) = exp (—2niD*(l*Q'1(m) + (—l)*Q'2(k))/q)(—1)(1-SF)a1/2q2.

Так как или 8р = 1 (mod 4), или a1 = 0, то (—1)(1-^F)a1/2 = 1. Кроме того, справедливо сравнение (—l)* = —l* (mod q). Следовательно,

G1(q, l,m)G2(q, —l, k) = q2 exp ^— 2ni—D*(Q[(m) — Q'2(k))^j .

2. В случае, когда (q, D) = 1 неравенство следует из полученной выше формулы для произведений сумм Гаусса. В остальных случаях, требуемая оценка следует из точных формул для сумм Гаусса от степени простого числа, полученных С. А. Гриценко в работе [14]. □

Лемма 4. (Оценка суммы Клоостермана). Пусть К(д,п,ь) — сумма Клоостермана. Справедлива оценка

К(д,п,у) < т(д)д1/2(п,у,д)1/2.

Доказательство. См., например, в [5]. □

Лемма 5. Пусть д = д1д2, (д1,д2) = 1, (д1,Б) = 1; д2 — либо 1, либо натуральное число, все простые делители которого делят Б. Пусть

Доказательство. Так как сумма Гаусса являются вполне мультипликативной функцией, т.е.

емся леммой 3.

Так как (д1, Б) = 1, то из равенства для произведений сумм Гаусса имеем:

11 — 1,

(11,Я1) — 1

К сумме Клоостермана применим оценку А. Вейля из леммы 4; при любом д1 получим:

В случае, когда т = 0, к = 0, можем улучшить данную оценку. Имеем:

я

V(д,к,т,к)= 22 е-2тМ/я01(д,1,т)02(д, -1,к).

1—1,

(1,я)—1

Справедливы следующие оценки:

V(д1Я2,Ь, 0, 0) < Бд1 V вр( —) д\,

^ - 8

в\(д1,к)

V (д1 д2,Н,т, к) < Бд1/2+е (Н,д1)1/2д1.

0(д1д2,1,т) = 0^1,1^,т)0(д2,12д2,т), то и функция V(д,к,т, к) мультипликативна. Тогда

V (дд ,к,т,к) = Vl(дl,h,д2,m,k)V2 (д2,Ыдът,к).

Оценим каждую из функций V1 (д1, h, д2,т, к) и У2(д2, h, д1,т, к). Воспользу-

Я1

11—1,

(11,Я1) — 1

в\(я1,к)

Оценим тривиально V2(д2,К,д1,т,к). Используем неравенство из леммы 3. Тогда

V2(д2, h, д1,т, к) < Бд?, и доказательство леммы завершено. □

е

Я2

Е

12 — 1 (Ь,Я2)—1

-2тЫ,2/я2

3. Доказательство теоремы

1. Запишем I(п, К) в виде интеграла

I(п,К) = ] Б1(а)Б2(а)е йа,

о

где

Б1(а) = 22 е(-1/п+2та)Я1(т\ в2(а) =22 е

(-1 /n—2пia)Q2(k)

т£Ъ2

к&Ъ2

Пусть N = [у/п\, £0д = [— N, N). Разобьем промежуток [N, 1 — N) числами

Ъ’ 1'__ „ I

//

ряда Фарея, отвечающего параметру N (см. [15]). Пусть я_ < я < я_ — соседние дроби Фарея, 1 ^ 1,д ^ N, д' ^ N, д" ^ N.

Определим промежутки

б,

По построению имеем:

I

1

I

- +

1

_д д(д + д''У д д(д + д')

)

11

--, 1-

N N

ч N Я-1

)=и и

' Я—1 1—0

6,<

я—1 1—0

(1,Я) — 1

причем &,я П &,я_ = 0 при (1,д) = (I', д').

Тогда

Я- 1

I(п, к) = 22 21 / $1(а)Б2(а)е-2т,гайа =

Я^Ъ 1—0 У (1,я)—1

я [я(я+я')\-1

= 22 22 е-2тЫ/я ! Б1(1/д + х)в2(1/д + х)е-2тНхйх.

ЯКЪ 1—1

(1,я)—1

-[я(я+я")]-1

2. Преобразуем суммы Б1(1/д + х) и Б2(1/д + х).

1

S1(l/q + x) = exp ((-n 1 + 2nil/q + 2nix)Q1(m)) .

m€.Z2

Разобьем сумму по m по арифметическим прогрессиям с разностью q:

Sl(l/q + x)= e2nil/gQl(s) У, e(-n x+2nix)Ql(m)

s (mod g) m€.Z2

m=s (mod g)

2nil/gQl(s) \ л e(-n 1+2nix)g2Ql(m+s/g)

e‘2nil/gQl(s) s (mod g) m£Z2

У e2ml/gQl(s)в ((x +— )q2,-/q]

' V 2nn J

(гы,Л \ /

s (mod q)

где в {(.x + 2^)q2,s/q) — двумерный тета-ряд.

Используем функциональное уравнение для тета-ряда из леммы 1. Будем иметь:

' ' 2п

q2\D(n-1 — 2nix)

в ((x+2nn)q2’-/q) = -d, 2.,х

v-^ ( 2n2Ql1(m) t \

х > exp — ^ 0 .— ------------- + 2nim s/q

V\ Dq(n- — 2nix) 'V

2п2^1(ш)

’2(и-1 — 2п

где ^1(ш) = 1 ШВА-1 ш — квадратичная форма с матрицей БА-1 Тогда для Б1(1/д + х) справедливо равенство

Sli1 + x) =___________2п_________v **>(-__________2r2Q1(m)____х

q q2VD(n-1 — 2nix) V Dq2(n 1 — 2nix))

x 22 exp (2ni(/Q1(s) + т*в)/q) .

s (mod q)

Сумма по s представляет собой сумму Гаусса G1(q,l,m), соответствующую квадратичной форме Q^s).

Выделим слагаемое, которое отвечает вектору m = 0. Тогда

S1(l/q + x) = ф1 + Фь

где

ф1 = q2^D(n-1 — 2nix) G'(qJ'0)'

ъ 2п ^ ( 2n2Q1(m) )

ф1 = , ^т / ,exP[ G1(q,l,m).

q2\D(n-1 — 2nix) m^Z2^ ' Dq2(n 1 — 2mx))

m—0

Аналогично получаем равенство для Б2(1/д + х):

Б2(1/д + х) = ф2 + Ф2,

где

2п _

Ф2 = —^--------------------С2(д, —1,0),

д2\/Б(п-1 + 2пгх)

2п ( 2п2Q'2(k)

ехр(________2п2$2(к)____^

д2л/й(п-1 + 2пгх) -2 \ Бд2(п-1 + 2пгх))

ф2 = 0 _ . . У ; ехЫ — с -л 02(д, —1, к)■

к&? к—0

3. Подставляем полученные для функций Б1(1/д + х) и Б2(1/д + х) представления в равенство для I(п, К) из пункта 1. Имеем

I(п, К) = ^ ^ ^ ^,

где

[я(я+я')\ 1

Л-Л ___ я г р-2ткхг1гг

Ь = -^Т,д-4 У е-2тЫ/я01(д, 1,0)02(д, —1,0)

Б ^ ^ J п-2 + -п2х2

Я<ъ (11,—)—1 -[я(я+я")]-1

я [я(я+я_)]-1

Ь = У У е-2тЫ/я ( ф1Ф2е-2ткхйх,

Я<Ъ 1—1 ,, / „м_1

(1,я)—1 -[я(я+я")] 1

я [я(я+я_)]-1

ь = у у е-2пШ/я ! ф^е^^йх,

Я<Ъ (1——1 -[Я(Я+Я__)]-1

(1,я)—1

я [я(я+я')]-1

и = УУ е-2тЫ/я [ Ф1Ф2е-2тНхйх.

Я<Ъ 1—1 г, “,™_1

(1,я)—1 -[я(я+я")] 1

Интеграл ^ вычислим асимптотически, а интегралы I2, Iз, ^ оценим сверху.

4. Начнем с I1. Согласно равенству из леммы 2, получаем:

2п2п я

Ь = -^е-н/пу д-4 У е-2пШ/я 01(д,1,0)02(д, —1,0) + О(ЬА),

Я^Ъ 1—1

(1,я)—1

где

I» = Б^д-^ е-2ПЫ/Я01{д-1-0)02(9- —I-0) = Б^д-3У(д,К0,0).

Я4М 1—1 я<Ъ

(1,я)—1

Используя оценку для функции V(д, К, 0, 0) из леммы 5, будем иметь

^,1 ^ Б X! д-^д-^^(дд,К,00)1<

в

< 5] V-1 У 8^(7) ^

42^ ді^И/д2 в\(ді,к)

< N Е'ЕЕ ц(о)о 1 ^ и1/2+£т(к) ^ к£и1/2+£,

92^М 8\к а<Ж Я2-я

где в сумме по у2 означает, что суммирование идет по всем не взаимно простым с Б числам. Так как Б — фиксированное число, то можно показать, что количество таких чисел у2 не больше чем и£.

Оценим сумму

Я = Вс-,г/пу о-4 Е е-2пгН1/д Сі(д,і, 0)Є2(д, —і,0) =

д>М 1=1

(і,д)=і

= Пе-к/п Е 1~4' (Ч’к, 0,0).

д>М

Снова используем лемму 5. Получаем, что

Я < ^є-к/п Е о-ао-а\у(яія2,к,0,0)|<

дlд2>N

<иЕо-1 Е ь2 22 в^(7)^

д2^М ді>^/д2 «\(ді,^)

^ и Е О--1 Е 5-1 Е ^(у)^-2 ^ и1/2+£т(к) к£и1/2+£.

Таким образом,

2 2 +те я

ь = -Бппе-н/п22 д-4 22 е-2тЫ/я01(д,1,0)02(д, —1,0) + О(К£п1/2+£).

я—1 1—1

(1,я)—1

5. Рассуждения об оценивании ^^^ не сильно отличаются друг от друга. Приведем полное доказательство для интеграла I4:

я [я(я+я')]-1

ь = 22 22 е-2пш/я [ Ффе^^сх.

(1,д)=1 -[д(д+д,,)У

Вместо Ф1, Ф2 подставим их значения, полученные в пункте 2. Имеем

[9(9+9'

= 4п2 ^ -4 Г е Хйх ^

4 = ~В ^ д ] п-2 + 4п2х2 Х

-[9(9+9' ')]-

х V ехр[____________2п2<3'Лт)___________\ у- (_______2ПЯ'2(к)_____\

Р\ д2В(п-1 - 2пгх)]^ ^ д2В(п-1 + 2шх)

т^Ъ_ к€Х2

т=0 к=0

х V(д, к, т, к).

Пусть в - сколь угодно малое положительное число. Разобьем интеграл

[9(9+9 )]-1

на сумму интегралов.

-[9(9+9' 'Г1

[9(9+9')]-1 -[9П1/2+в]-1 [9и1/2+в]-1 [9(9+9' )]-1

/ = / + I + 5 .

-Ш+9'')]-1 -Ш+9'')]-1 —[9П1 /2+® ] —1 [9п1/2+6]-1

Соответственно этому разбиению получаем

14 = 14,1 + 14,2 + 14,3-

6. Оценим 14,2. Используя оценку

V(д1д2,к,т,к) < Вд[/2+£ д2,(к,д1)1/2 из леммы 5, будем иметь:

[9П1/2+в ]-1

п-2 + 4п2х2

14,2 < Е д13/2+£(к,д1)1/2д-^ [ п-2 +х4 2 2Х

9=9192

2 / (ту) \

“Р \~д2с

ш] =0

Х 2 еХР I, д20(п-1 + 4п2х2п)) ■

3 1 ^ 2

Проведем разбиение суммы по д:

[9П1/2+в ]-1 [9П1/2+в]-1

14,2 ^ Е / + Е / = Е41 + Е42-

9<п1/2-в 0 п1/2-в <9<Ы 0

Рассмотрим сумму Е 41. Так как q ^ n1/2 д и 0 ^ x ^ [qn1/2+e] 1, то exp (__________________________2n2Qj {Щ]______) « exp(-cn-2“)

Ч q2D(n-l H^n)) « p(

д2Б(п-1 + 4п2х2п) / где с - постоянная, і = 1, 2. Тогда

Е2 exp{ - fD^'t^ln) = O (exp(-c”2e»

q2D(n-1 +

j=1 mj €Z2

т^—0

Учтем также, что при тех же ограничениях на д:

[ди1/2+в]-1 2п\дп1/2+в ]-1

[ вх [ вг 3/2_й _і

У п-2 + 4п2х2 ^ ] п-2 + г2 ^ п д '

0 0

После проведенных рассуждений получаем оценку:

Е 41 ^ пг/2-в+£ ехр(—сп2в) Е 0-Ь/‘2(Ь,ді)1/‘2Я-,2 т(к)п3/4+£ Н£п3/4+£.

Я1Я2 ^и1/2~0

Перейдем к оценке Е 42. Так как д ^ N и 0 ^ х ^ [дп1/2+в]-1, то

( 2п2^, (щ) ) , ____)

ЄХЧ- д2П(^1 +4п2х2п) ) ^ ЄХР Щ^ •

д2В(п-1 + 4п2х2п)) где с - постоянная, і = 1, 2. Тогда

2 ( 2п2Я'3

д2Б(п-1 +

"Л ^ ( 2п Ql (ml) гл(л \

^^2 eXp (,- q2D(n-1 + 4n2x2n)J = ()

3 —1 т^ ^Е2 Щ—0

Интеграл оценим тривиально:

[ди1/2+в]-1 +Х1

dx dt

С n ----------------------- С n.

7 п-2 + 4п2х2 } 1 + г2

00

В итоге получаем следующую оценку для суммы Е 42

42 < п

Е 42« п1+є 22 qi3/2(h,ql)1/2q-1«

n1/2 в<n1q2^N

«n^22'q-1 E q- 3/2(h,ql)«т(К)Пі/4+є « ьєпі/4+є,

q2^N q1>n1/2-e /П2

где в сумме по д2 означает, что суммирование идет по всем не взаимно простым с О числам.

Таким образом, было показано, что

І4,2 = 0(к£п3/4+£).

7. Интегралы 14>1 и 14,3 оцениваются одинаково. Все рассуждения проведем для 14 3. Будем использовать оценку

из леммы 5.

Так как д ^ N и [дп1/2+в] 1 ^ х ^ [д(д + д')] 1, то

т&Е2

т—0

ехр

-

2п2Q'1(m) \

д2Б(п-1 — 2піх))

Е ехр (—;

2п $2(к)

к_ё&_

к—0

д2Б(п-1 + 2піх)

іх)

0(1),

0(1).

Кроме того, при тех же ограничениях на д можем утверждать, что

Ш+д' )]-

[ди1/2 + в ]-

е

-2пгНх

вх

п-2 +4п2х2

вх

—т < дп х2

1/2+в

Получена следующая оценка для интеграла 14}3:

І4,з < п1/2+в+£ Е д-1/2М1/2 <

п

1/2+0+£

і£пз/4+£.

92<,М 91^М/92

Объединяем полученные для 14 оценки. В итоге имеем:

14 = 0(к£п3/4+£).

8. Пусть

4

ф(д) = д-4 Е е-2пгЫ/дах(д}1,о)с2(д, —і,о).

1—1

(1,д)—1

В лемме 5 было показано, что функции Ф(д) мультипликативна. Следовательно, сумму особого ряда можно представить в виде произведения

Е Ф(д) = П(! + Ф(р) + Ф(Р2) + ...).

ч=1 р\д

В зависимости от того, делится ли 5р и Н на р, следует выделить четыре случая. Для каждого из них требуется вычислить произведение сумм Гаусса 0\(ра,1, 0)С2(ра, —1,0), а ^ 1 (точные формулы см. в [14]) и сумму Клоостер-мана К(ра,Н, 0) (см. [16, с. 38-43]). После проведенных рассуждений получим следующее представление:

х

£ ф(я) = П (1 — 1/р2)П (1 + 1/р — 1/ра+1 — 1/ра+2)

Я=1 р\$р р\$г

р\Н р\Н

' й (‘ -(?) /р) п (1+(?)»-

р\Н р\Н

где Н = раН1, (Н1,р) = 1; а1, а2 — первые коэффициенты квадратичных форм Я\(т), Я2(к).

Каждый из множителей, записанных выше, больше 1/2, и положительность суммы особого ряда асимптотической формулы доказана.

4. Заключение

Круговым методом с использованием оценки А. Вейля для суммы Кло-остермана получена асимптотическая формула с остаточным членом порядка Неи3/4+е для суммы

^—-\ Яг (т)+Я2 (к)

У е п ■

Ql(m)-Q2 (к)=Н

где и Е N Н Е N.

Она верна, если с ростом основного параметра и параметр Н удовлетворяет неравенству Н ^ и.

В полученной асимптотической формуле дискриминант поля 8р — фиксированное число, а остаточный член не зависит от 8р.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ingham, A.E. Some asymptotic formulae in the theory of numbers / A. Ingham // J. London Math. Soc. — 1927. — Vol. 2(7). — P. 202-208.

2. Estermann, T. Uber die Darstellung einer Zahl als Differenz von zwei Produkten / T. Estermann // J. Reine Angew. Math. — 1931. — Vol. 164. — P. 173-182.

3. Исмоилов, Д.И. Об асимптотике представления чисел как разности двух произведений // Докл. АН Тадж. ССР. 1979. Т. 22, №2. C. 75-79.

4. Weil, A. On some exponential sums / A. Weil // Proc. Nat. Acad. of Sci. — 1948. — 34. — P. 204-207.

5. Estermann, T. On Klostermann’s sum / T. Estermann // Mathematika. — 1961. — 8. — P. 83-86.

6. Heath-Brown, D.R. The fourths power moment of the Riemann zeta-function / D.R. Heath-Brown // Proc. London Math. Soc. — 1979. — Vol. 38. — №3. — P. 385-422.

7. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об аддитивной проблеме делителей Ингама // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2006. №5. С. 32-35.

8. Кузнецов Н. В. Гипотеза Петерсона для параболических форм веса нуль и гипотеза Линника. Суммы сумм Клоостермана // Мат. сборник. 1980. T. 111(153), №3. С. 334-383.

9. Deshouillers, J.-M. An additive divisor problem / J.-M. Deshouillers, H. Iwaniec // J. London Math. Soc. — 1982. — Vol. 26(2). — P. 1-14.

10. Линник Ю. В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1961. 208 c.

11. Куртова, Л.Н. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. Математика. 2007. №7 (57). С. 107-121.

12. Ogg, A.P. Modular Forms and Dirichlet Series. / A.P. Ogg. — N.-Y.: W.A. Benjamin Inc., 1969. — 211 p.

13. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного: Учебное пособие для студентов механических специальностей механико-математических факультетов государственных университетов. М.: Физматлит, 1958. 678 c.

14. Гриценко С. А. О функциональном уравнении одного арифметического ряда Дирихле // Чебышевский сборник. 2003. Т. 4, вып. 2. С. 53-67.

15. Виноградов И. М. Основы теории чисел. СПб-М: Лань, 2004. 167 с.

16. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. МИАН СССР. 1962. Т. 65. С. 3-212.

Белгородский государственный национальный исследовательский университет Получено 15.05.2014