О числе решений одного уравнения с квадратами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.512

О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КВАДРАТАМИ

Л.Н. Куртова

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: Imoskalenko@bsu.edu.ru

Аннотация. В работе рассмотрена аддитивная задача теории чисел о числе решений ди-офантова уравнения,содержащего линейную комбинацию 4-х квадратов. Используя круговой метод, а также на основе оценки для суммы слагаемых в виде сумм Клостермана, получена асимптотическая формула для числа решений.

Ключевые слова: аддитивные задачи теории чисел, число решений, асимптотическая формула, суммы Клостермана.

Введение

В 1927 году А.Е. Ингам поставил и решил элементарным методом задачи получения асимптотических формул для числа решений уравнений:

Х\Х2 + х3х4 = п;

Х\Х2 — Х3Х4 = 1 , Х1Х2 < п . (1)

Эти задачи получили название аддитивные проблемы делителей.

В 1931 году Т. Эстерман [1] для числа решений 3(п) уравнения (1) круговым методом вывел асимптотическую формулу

3(п) = пР2(1п п) + Е(п) ,

где Р2(£) - многочлен степени 2, а К(п) = 0(п11/121п17/3 п).

Оценка остаточного члена этой формулы уточнялась многими авторами. Так в 1979 году Д.И. Исмоилов, развивая метод Т. Эстермана, доказал, что К(п) = 0(п5/6+е), где е > 0 - сколь угодно малая постоянная. Практически одновременно с Исмоиловым другим методом ту же оценку остатка получил Д.Р. Хиз-Браун.

В 1982 году Ж.-М. Дезуйе и Х. Иванец [2], использую оценку суммы сумм Клостермана, доказали, что К(п) = 0(п2/3+е).

В настоящей статье решается задача, родственная проблеме делителей Ингама. Пусть

2 , 2 | 1 2 | 1 2 ж тл +m Q + k

nn,h)= e '■ • <2>

m'2+m2—k^—k'2=h

Основной результат изложен в теореме.

Теорема. Пусть е - произвольное положительное число, n £ N, h - натуральное число, такое, что h = 0 (mod 4), h ^ n£. Справедлива асимптотическая формула

2 го q

/(??., h) = ™^2 q~4 Y, e~2mhllqG2{q, /, 0)G2{q, -1,0) + 0{n7/12+£). (3)

q=1 1=1,

(i,q)=i

q

Здесь G(q, l, 0) = exp(2nils2/q) - сумма Гаусса. Сумма особого ряда асимтотической

s=1

формулы положительна.

В работе будут использоваться следующие обозначения: q

G(q,l,m) = exp(2ni(ls2 + ms)/q) - сумма Гаусса;

s=1

Б(п,ь^) = ехр(2пг(п/ + ь1*)/<}) - сумма Клостермана, где //* = 1(шоё q);

1<1<Я,

(г,«)=1

^(п) - число представлений п в виде произведения двух множителей;

, I 1, при т = 0(шod 5) ,

Х(т; 5, 0) =

10, в противном случае ;

М=[уМ',

Г l V

— < - <-------соседние дроби Фарея, лежащие на отрезке

q" q q

q < N, q < N, q" < N.

1. Вспомогательные леммы Лемма 1 (Функциональное уравнение для тета-ряда). Пусть И,ет > 0, а £ С,

ГО

(т, а) = ехр(—пт(п + а)2). Тогда

П= — ГО

Т 1, Q') = \/т У ехр ( —7Гтп2 + 27rina)

П= — ГО

□ Доказательство см. [3, глава I]. I

Лемма 2. Пусть к - натуральное число, такое, что к ^ п£. Тогда справедливо равенство

го

г e-2nihx n

n-2 + 4n2x2 2

dx = — + О {if)

— oo

56 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ КЛД Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22

□ Доказательство следует из ([4], глава VI) и условия к ^ и£. ■

1=1,

(*,<?)=!

- сумма Клостермана, где ll* = 1( mod q). Справедлива оценка

|S(u,v,q)l < d(q)q1/2(u, v, q)1/2 .

□ Доказательство см. в [5]. I

Лемма 4 (Явные формулы для суммы Гаусса).

1. Если (q1,q2) = 1, то

G(qiq2, l, m) = G(qb lq2, m)G(q2, lq1, m).

2. Если (q, 2l) = 1, то

q

Лемма 3 (Оценка суммы Клостермана). Пусть S(u, v, q) = exp(2ni(ul + vl*)/q)

где (4/)*4/ = l(mod q) п - символ Якоби.

3. Если (q, 2) = 1, то

i^/q, если q = 3( mod 4).

y/q, если q = 1 ( mod 4),

если a =1,

если a - четное число,

если a > 1 - нечетное число.

5. Пусть A,B - целые числа, (A, 2) = 1. Тогда

G(2,A,B) = 2X(B;2,1);

где a ^ 2, A*A = 1(mod 2а).

□ Доказательство см. [6]. I

Лемма 5 (Оценка суммы сумм Клостермана). Пусть Т,Ц,У,£ - положительные действительные числа, аи и Ь.и - последовательности комплексных чисел, Б(п,у,д) -сумма Клостермана. Тогда

и <и<2и V .<Т,

9=0(шоё р)

^ сТ£ ( 1- (иу)1/2 + (иут)1/6 ) х

X

( Т Н2)1/2( Т

\и ^и^2и / \У <а<2У

1/2

|ь. I2

□ Доказательство см. в [7, с. 234]. ■

2. Доказательство теоремы

1. Запишем I(и, к) в виде интеграла

1

I(и,к)= / Sl(a)S2(a)e-2mahda,

где

(2пга—п 1) (т2 +т2,)

Б2(а) = ^ е

&1, ^2 =—го

— (2пга+п 1)(к2+&2)

Пусть N = [у/п.] и £0д =

I" I V

ряда Фарея, отвечающего параметру N (см. [8, с. 22-23]). Пусть соседние

д'' д д'

дроби Фарея, 1 < I, д < N. Определим промежутки

I

1

I

- +

1

д д(д + д'') ’д д(д + д')

Из свойств дробей Фарея следует, что

11

--, 1-

N N

N 9—1

и и 6..-

9=1 1=0,

(1,.)=1

причем &,9 П &,9> = 0 при (I, д) = (/', д').

Тогда

n,h) = ^l^ I S1(a)S2(a)e-2mahda = (4)

q<N 1=1, p (1,q) = 1

q [q(q+q,)]—1

£ £ e"2"“ / ft (£ +;r) -4 £ x• q<N (i‘=)=1 -[»(i+i”)]-1

2. Преобразуем сумму

^ \ ^ ' е(-п 1+‘2^тíl/q+‘2^тíx)(nгl+ml)

^д ' т1,т2 =—<х

Справедливы следующие равенства

оо 9

^ е(—п-1+2пг1/9+2пгх)(т? +т2) = е2пг1«1/9 Е е(— п 1+2пгж)т2 ^

т1, Ш2 = — 0 «1 = 1 т1 :

т1=^1(шоё 9)

9

х ^ ' е2пИв2/9 "у ' е(—п-1+2пгж)т2 =

«2 = 1 т2 :

т2=^2(шоё 9)

9о

э2пг1«2 /9

e2ni1s1/q ^ exp((-n 1 + 2nix)q2(m1 + s1/q)2)x

si = 1 mi = -w

»

x У] e2ni1s2/q exp((-n-1 + 2nix)q2(m2 + s2/q)2) =

S2 = 1 m,2 = -ro

E«(¿(i-arte) .£e2"“3/5 *(£(£-2»<*) ,£)•

. п \n q \n \n q

si = 1 4 4 / ± / S2 = 1 4 4 '

д2 1

Используя лемму 1, функции 0( —-----------------27Г?Е ) , — ), г = 1, 2 перепишем в виде:

п \и ) д

п \n I q

п / п m~ s. \

Е ехР (--! ■ .„-1 _ ■>— + '2пт■ ~ ■ г=1’2

22

q2 (n-1 — 2nix) \ q2 n-1 — 2nix q

— oo

Тогда для S1(l/q + x) справедливо равенство

' i \ /2 2 \ » l п п2 m2

V exp----------------—

q2 n-1 — mi = -w 4 7 si = 1

SJ-+X)= ________________-________ V eXD ( ________—_________^1 V e2^?+"*i*i)/9X

' q ) q2{n~l — 2тп'х) \ q2 n~l — 2тп',х/

х У ехр ( — '—г • —^-------------------) У .

I q2 n-1 — 2nix)

m2=-ro 4 / S2 = 1

где

и

Выделим слагаемое m1 = 0,m2 = 0. Тогда S1(l/q + x) можно записать в виде

S\ + x^j = ipi + Ф1 , п

^ -2**) G(tM'0)

^ /2 2 \

$1 = ^7—^ 9 .4 Y exP(_“2-------------------) G^Z/m^x

q2(n-1 — 2nix) ' V q n-1 — 2nix J

v 7 mi = -w, 4 7

mi=0

m2=-w, 4 7

m2= 0

G(q, l, mi), i = 1, 2 - сумма Гаусса. Аналогично получаем равенство для S2(l/q + x):

S2 + x^j = ip2 + Ф2 )

где

п

Й = ?РТ2А) G (Я,-1,0)

** = «»(«-■ + 2Нж) ** (~Ь ' »-» +2ж*г) С(«>-,'*,)х

fci=0

^ / п2 k2 \

х V ехр ( —- • —-— ---------------- ) G(q, —I, к2) ■

^ \ q2 n~l + 2mx W ;

&2 = -ГО, 4 7

fc2=0

3. Ввиду (4) и представлений для функций S1(l/q + x) и S2(l/q + x), имеем

I (n, h) = Ii + /2 + /3 + I4 ,

где

q [q(q+q')]- 1

__ 1 q Г „-2nthx

^^E і E G2(«-G2<«--г-°) ■

q-N «5= 1 -wq+q")]-i

и

q [q(q+q')]-1

І2 = Y Y1 e-2nihl/q f V1 Ф2 e-2nihxdx ,

q-N (5=1 -[q(q+q")]-1

-1

1з = ^ 5] е—2пШ/9 / ^2 Ф1 e—2пгhx dx

9 [9(9+9')]

9^ (11=/== 1 —[9(9+9'')]-1

-1

14 = ^ е—2пШ/9 I Ф1 Ф2 е—2п^хdx

9 [9(9+9')]

9^ (!==) = 1 —[9(9+9'')]-1

Интеграл 11 вычислим асимптотически, а интегралы 12,13,14 оценим сверху.

[9(9+9')]-1

4. Начнем с 11. Разобьем интеграл / на разность интегралов

—[9(9+9'')]-1

[9(9+9'')]-1 о —[9(9+9'')]-1 о

---- I -

— [9(9+9'')]-1 —о —о [9(9+9'')]-1

Соответственно этому разбиению получаем

11 = 11,1 — 11,2 — 11,3 •

Вычислим асимптотически 11;1. В силу леммы 2 имеем

19

—— '^(п/2 + 0(п£Л

/1д = 7г2^] — ^ е~2тЫ/яС2{дЛ, 0) С%-/,0) (п/2 + 0(п£)) =

9<N д 1=1,

(1,9)=1

= Е1 + 0(Е2) •

Оценим вклад остатка Е2. Для этого запишем произведение квадратов сумм Гаусса

02(д,1,0)02(д, —I, 0) в явном виде. Используя равенства из леммы 4 и учитывая, что (1,д) = 1, имеем:

1) если (д, 2) = 1, то

I

С(д,1,0) = (Мд) ^ , С1(д)

2) если (д, 2) = 2, д = 2“г2, (2а, г2) = 1, то

д

где

1, если д = 1(mod 4) %, если д = 3(mod 4);

/9 а1\

С(д,/,0) = С'1(г2)С'2(а,/г2)

где

{0, если а =1,

(1 + %1г2), если а - четное число ,

\/2 ехр(27г?7г2/8), если а > 1 - нечетное число.

Можно утверждать, что имеет место соотношение

G2(д, 1, 0)G2(д, —¡, 0) = Сз(д)д2 ,

где

{0, если д = 2(mod 4),

1, если (д, 2) = 1 ,

4, если д = 0(mod 4).

Тогда

1 9 1

^«»'ЕзЕ е-™* =»'ЕзЕ^(!)«»'•

9<^ У 1=1, 9< N «|(9Л)

(1,9)=1

Прежде чем вычислять вклад !1;3, заметим, что

У и-2 + 4п2х2 [<г(<г+9)]-1

СО

Г ¿х .

< -т < ад < дЛЕ

х2

[99']

так как д' ^ N. Учитывая явную формулу для произведения квадратов сумм Гаусса, будем иметь

/і з < ІУ1+£ ^ - X] е-2*ІМ/сі = ІУ1+£ X “ X (“) ^ МІ+Є •

9< N д 1=1, д< N д з |(д,й) ^

(г,«)=і

Интеграл /1,2 оценивается аналогично.

Проведем оценку для суммы

1 9

Д = ~1 X е-2"ш/9С2(д,/,0) С%-/,0).

9> N д 1=1,

(1,9) = 1

Имеем

1 9 1

л «”1+' Е ^ Е = ”1+' Е -і Е */< 0 ««1/2+*

9> N 1=1, 9> N з | (9,Ь)

(г,«)=і

Таким образом,

2 о 1 9

/1 = ^гХ^ X е-2™ы/9С%/,0) С%-/,0) + 0(п1/2+£).

2 9=1 д 1=1,

(1,9) = 1

5. Оценка 12,13,14 проводится одинаково. Приведём полное доказательство для 14.

9 [9(9+9')]-1

14 = ^ X е—2пШ/9 [ Ф1 Ф2 е—2пгhxdx.

9< N 1=1, г / I "М 1

(1,9) = 1 —[9(9+9'')]-1

Вместо Ф1, Ф2 подставим их значения, полученные в пункте 2. В результате имеем

о о о о

14 = П2 X X X X X д—4 Х

т1 =—о, т2=—о, к1 =—о, к2=—о, 9< N

т1=0 т2=0 к1=0 к2=0

х X е—'^гЫ/9G(д,l,ml) G(д,l,m2) G(д, —1А) G(д, —1,к2) х

1=1,

(1,9)=1

ехрГ-гхй.,') ехр (-- . -Н±Н_) ехр . _£±М_Л

ехр( ^тпх) ехр I ,г,_2га1аР| 2 + ,

х --------------- -------- ----—^----- --------------— ах.

п

2

4п2х2

— [9(9+9'')]-1

В дальнейшем будем использовать следующее обозначение для повторных операций суммирования

о о о о

Е Е Е Е (■)= Е (■) •

т1=—о, т2=—о, к1 =—о, к2=—о, т1,т2

т1=0 т2=0 к1=0 к2=0 к1, к2

Запишем в явном виде суммы Гаусса, используя равенства из леммы 4. Возможны

3 случая:

1) если (д, 2) = 1, то

С{д,1,1п 1) = С^д) ( - ) д/д ехр I —2т

/Л г- ( о -(4/)*

■ т

Л/

где 41(41)* = 1(mod д);

2) если (д, 2) = 2, д = 2г2, (2, г2) = 1, то

С(д,/,?7Н) = 1 (г2)\/2 \(?гг 1; 2,1) ( — ] ехр (-2п'1^—^-т2

\Т2) \ г 2

где 81(81)* = 1(mod г2).

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ к^Я Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22 63

3)если (q, 2) = 2, q = 2ar2, а ^ 2, (2, r2) = 1, то

G(q, I, mi) = Ci(r2) C2(a, lr2) \ ( /// i: 2, 0) (^-'j VQ exP ’

где ll* = 1(mod q). Константы C1(q), C2(a,lr2) были определены выше.

Тогда можем утверждать, что

G(q, l,m1) G(q, l,m2) G(q, —l, k1) G(q, —l, k2) =

l ^

= С4{д,7ПЪ7П2ЛчЛ'2) q2 е~2т^Сб{д'т1'т2'к1'к2) ,

где

C4(q,m1,m2, h, k2) =

, если (q, 2) = 1,

1 \ 5i: 2, 1 ) \ i ///2: 2, 1 ) \ i /.’i: 2, l);\(fc2; 2,1) exp (f (m? + - A:2 - fc2)) , если (q, 2a) = 2,

4X(m1; 2, 0)X(m2; 2, 0)X(kb 2, 0)X(k2; 2, 0), если (q, 2a) > 2;

C5(q,m1,m2, h, k2)

Тогда

4*(m1 + m2 — k2 — k|), если (q, 2) = 1, (m1 + m2 — k2 — k|)/4, если (q, 2) = 2 .

I4 = п2 ^ 'Y C4(q,m1,m2,k1,k2) q 2S(—h, — C5(q,m1,m2,h,k2),q) x

m i, m2 »< N

ki, k2

[«,+,-.1- exp <-2mhx) exp i-l! . + . Ч + Ч )

exPl .rajjexpi „-1 - 2rix <72 n-4-2«J ,

X -------------------- -----5-------------------------------- dX

J n-2 + 4п2x2

- [q(q+q,,)]—i

[q(q+q,)]-1

Разобьем интеграл J на сумму интегралов:

-[q(q+q,,)]—i

[»(»+»0]-1 -[»(i+N)]-1 0 [»(q+N)]-1 [»(»+»0]-1

/ = / + / + / + / •

-[»(»+»,,)] —1 -[»(»+»")]-1 -[»(q+N)]-1 0 [»(q+N)]-1

Соответственно этому разбиению получаем

I4 = I4,1 + I4, 2 + I4, 3 + I4, 4

6. /4,2 и /4,3 оцениваются одинаковы. Все рассуждения проведем для /43. Пусть 9 сколь угодно малое положительное число, тогда

[9„^,/2+0]-1 [9(9+^]-1 Ь(9+^]-1

/4,3 = е / + е / + Е / =

9< п1/2-0 0 9< п1/2-0 [9„1/2+в]-1 п1/2-0<9 ^ 0

= £41 + £42 + £43 .

Сумму £41 оценим сверху. Учитывая, что |С4(д, т1, т2, к1, к2)| < 4, будем иметь

£41 < Е Е д 2| 5(-к, -Съ(д,Ш1,Ш2,к1,к2),д)1 х

т1,™2 9< п1/2-0

«1,«2 _

[9П1/2+0]-1

[ ( п2и(т2 + ш"2 + к2 + к|)\ ¿х

х ехр —-

д2(1 + 4п2х2и2) у и-2 + 4п2х2

0

Сумму Клостермана 5(-к, -С5(д,т1,т2,к1,к2),д) оценим, используя лемму 3. В результате, получим

[9п1/2+0]-1

Ей « п3£ V V о-3/2 [ ехтэ ( «Мті + ті + к! + Щ)\ сіх

тТ^, <4^-9 •/ V д2(1 + 4тг2;х2/?2) у '/?-2 + 4тг%2

Й1,Й2 9< 0

«фі - „ <е-™=», ехр(. *у$,\ <е

'}!(1 + 4А¥))-С ’ ЄХР\ </2(1 + 4А2»2)/

где с - постоянная, і = 1, 2. Тогда

О / 2 2 \

5 -Ы&и) •'’<>-)

т^=-го

ті=0

у ехр (________ЛМ_______Ї = о (с-^)

^ Р1 і),(Н4і’А!)) V /

кі=—о, 7 7

кі= 0

Кроме того,

[qra1//2+0] 1 2п[qrl1/2+0] 1

Г ¿х С ¿і

-і

о | ,1 2 2^ ----2 , То < П2 <1

и-2 + 4п2х2 I и-2 + і2

Следовательно,

£41 < п3/2—*+3£е—£ д—5/2 < п7/12+£

9< п1/2-0

7. Перейдем к оценке £42.

£42 — П

2

1

У - С±(д, ?7?1, т2, А’ь А’2) 5(-к, -С5(д, тл, т2, кг, А:2), д) х д

т1,т2 9< п1/2-0 4 ^1,^2

1

х-

д

- / П2

Ь(д+Л0] 1ехр(—2тг'1Лх) ехр------------

д2

7Г2 ///7 + иг, 7Г2 А:2 + к 2 \

д2 п—1 — 2п%х д2 п—1 + 2п%х)

[9П1/2+0 ]-1

Введем функцию

п—2 + 4п2х2

dx

f (д, п, к, т1,т2,к1, к2) =

[,««.!-■ ехр(-2гМх) ехр • то‘ + - *! • -Й±5_)

1 ехр( ^жтх) ехр ^ ^ „-1_2их п-1 + 2ж<.х)

д

[9„1/2+0]-1

Сумму по д перепишем в виде:

п—2 + 4п%2

dx

£

+

£ + £ ■ ^

9 9= 0(тоё 2) 9= 0(тоё 2), 9= 0(тоё 4)

9= 0(тоё 4)

— £1 + £2 + £

3 •

1) Пусть д = 0( mod 2). Тогда

С4(д, т1,т2,к1,к2) = 1, С5(д, т1,т2,к1, к2) = 4*(т1 + т2 — к2 — к^)

овию 4 | к, обозначим че Тогда справедливо неравенство

По условию 4 | к, обозначим через к1 = к/4, к1 - целое число, V = т1 + т2 — к2 — к|.

£

т1 , т2 &1, к2

9< п

У - 5(—кь —VI, g)f(g, п, к, /вь т2, к\, к2) д

1/2-0

9= 0(тоё 2)

£

г=1

У~* - 5(—кь — г>1, д) /(д, п, к, /г?!, ?п2, к\, к2)

т1,т2 9< п1/2-0, д

«1,«2

9= 0(тоё г)

К каждой из сумм по д применим преобразование Абеля, имеем

71/2-«

У^ - 5(—Л-1, — і'і, і) | п, к, ті, т2, к\, к2) сід +

¿<9,

0(шоё і)

Тогда

+ / (и1/2 в, и, к,

[п~'~ ”, п, п., ті, т2, кі, к^) ^ - 5(—Л і, — і'і, д), г = 1,2.

д

9< п1/2-0, 4 9=0(шоё і)

2 лп1/2-0

£1 I £

і=1 0 т1,т

/9 (д,и,к,Ш1,Ш2,к1,к2)

т1 , т2 к1 , к2

У^ - 5,(—Л-1, — г’і,¿)

¿< 9, ¿= 0(шоё і)

¿д +

і=1

Г/г"'“ ~ ,п,п,т.і,т.2,кі,к2) N - 5(—Лі, — г’і, д)

д

т1,т2 9< п1/2-0, 4

к1 , к2

9= 0(шоё і)

Вычислим производную от функции /(д, и, т1, т2, к1, к2) по переменной д и оценим тривиальным образом функцию и найденную производную. В результате, получаем

/(д,и,к,т1,т2,к1,к2) = О (в-сК+т2+к2+к22)и1/2+^ ,

/ и 1/2+0 \

¡д(д, п, к, ті, т2, кі, к2) = О (е~ с(ті+т2+кі+к2) (т2 _|_ ,т| _|_ д,2 _|_ \

где С - постоянная.

Положив в лемме 5 входящие в её формулировки величины равными и = —к-\_,у = —Ч | ау\ = 1, | Ь.€| = е—с(т2+т2+к2+к2)п1/2+б, и = V = п£,Т = п1/2—6 и р равным одному из чисел 1 или 2, заключаем, что

У /(/? / , /г., -т-і, т.2, кі, к2) У - 5(—Лі, — г’і, д) ?г ^ + / + /

д

т1,т2 9<п1/2-0, 4

к1,к2

9=0(шоё і)

Аналогичные рассуждения дают для функции /9 оценку

У /д(д, п,к, т,і, т,2,кі,к2) У - 5(—Л-і, — ні, і) д 5/6+єп1/2+в+Ає/3 _

¿< 9,

¿=0(шоё і)

т1 , т2 к1 , к2

0

Проинтегрировав последнюю оценку по д и выбрав в качестве е = 11е/6 + 5в/6 — ев, в итоге получим Е1 = 0(п7/12+е).

2) Пусть д = 0(mod 2), д = 0(mod 4). Тогда

С4(д, Го1, тг, А:ь А’2) = 4 \ ( ///,: 2,1) \ (///•_>: 2,1) \ {: 2,1) \ (/,••_>: 2,1) е7"“1 ^

С5(д, т1,т2,к1, к2) = (т2 + т2 — к1 — А|)/4 .

2 , 2 ;2 ;2 т^+т^ — «1 — к 2

Обозначим через Ь = С4(д,т1,т2,к1,к2), V = С5(д,т1,т2,к1,к2) - целое число. Тогда справедливо неравенство

Х2 <!С bv -S(—h,—v,g)f(g,n,h,mi,m2,ki,k2)

i=2, mi,m2 q<„V2—0, q

i=4 ki, k2

q= 0(mod i)

К суммам по q применим преобразование Абеля и далее используем лемму 5. Все рассуждения аналогичны тем, что проводились для случая 1). В результате можем утверждать, что £2 = O (n7/12+£).

3) Пусть q = (0 mod 4). Тогда

C4(q,mi,m2,ki,k2) = 4x(mi;2, 0) x(m2,2, 0) x(ki; 2, 0) x(k2,2, 0) ,

C5(q, m1,m2,k1, k2) = (m2 + m2 — k1 — k%)/4 .

Обозначим через bv = C4(q,m1,m2,k1,k2), v = C5(q,m1,m2,k1,k2) - целое число. Тогда справедливо неравенство

у bv У - S(—h,—v,q)f(q,n,h,/mi,/m2,ki,k2)

z—^ ^^ q

mi’m2 q< n1/2 —0, 4

k1,k2

q= 0(mod 4)

При оценке этой суммы действуем также, как и в случае 1). В результату, получаем £3 = О (п7/12+£) . Это приводит к оценке £42 = О (п7/12+£) .

8. Проведем оценку Е43. Рассуждения и оценки будут аналогичны тем, что проводились в пункте 7 для суммы Е42 с тем лишь отличием, что в качестве функции f (д, п, к, т1,т2,к1, к2) выбираем

f (q, n, h, ml,m2,kl, k2)

W«+«r‘exp(-2r/to)exp (-£ ■ TO‘ + - - ■ _S±S_)

_1 f P' -їїтХ>^Р\ q2 ,2 „-1 + 2жіх)

q J n-2 + 4n2x2

dx

причем

/(д, /г, /г., тът2, къ к2) = О ^е-с(т2+т|+^+А-22)^ ^

/'(д, /г, /г., ть Ш2, . /,-2 ) = О ^е-С(т2+т|+^+А-22) ^2 + ,т| + ¿2 + /.2,,^ )

где С - постоянная.

Окончательно имеем

/4, 3 = 0(п7/12+£) .

9. Интегралы /41 и /4 4 оцениваются одинаково. Так для случая /4,4 введем функцию f (д,и,Н,т1,т2,к1,к2) =

dx

Ы,+«-)1-ехр(-2xihx) exp (-- . m‘ + m* - 2! ■ Л±М_)

= 1 / 14 -™^ехР^ q2 n.-i_2rtx q‘ п-' + Шг)

д J п~2 + Ат{'2х2

[q(q+N )]-1

для которой, а также для её производной по q справедливы оценки f(q,n,h,m1,m2,k1,k2) = O (в-C(m?+ml+k2+k22)^ ,

/'(,,, ft.mp я,, ki. k2) = О + ™3 + *? + *?) •

где C - постоянная. Действуя по схеме рассуждений из пункта 7, в итоге находим /4> 4 = O (n7/12+£) .

Объединяем полученные для 14 оценки, получаем:

I4 = O (n7/12+£) .

10. В силу проведенных выше в пп.1-9 рассуждений заключаем, что

2 го q

I(n,h) = ™Y V~4 X e~2m* G2(q,l,0)G2(q,-l,0) + 0(п7/12+£)

q=l 1=1,

(i,q) = l

Литература

1. Esterman T. Uber die Darstellung einer Zahl als Differenz von zwei Produkten // J. reine und ang. Math. - 1931. - 164. - P.173-182.

2. Deshouillers J.-M., Iwaniec H. An additive divisor problem // J. London Math. Soc. -1982. - 26(2). - P.1-14.

3. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана / С.М. Воронин, А.А. Ка-рацуба. - М.:Физматлит, 1994.

4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного: Учебное пособие для студентов механических специальностей механико-математических факультетов государственных университетов / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1958. - 678 с.

5. Estermann T. On Kloostermann’s sum // Mathematika. - 1961. - 8. - P.83-86.

6. Estermann T. A new application of Hardy-Littlewood-Kloosterman method // Proc. London Math. Soc. - 1962. - 12(3). - P.425-444.

7. Deshouillers J.-M., Iwaniec, H. Kloosterman sums and fourier coefficients of cusp forms // Invent. math. - 1982. - 70. - P.219-288.

8. Виноградов И.М. Основы теории чисел / И.М. Виноградов. - М.: Изд. технич. литер.,1952.

ABOUT THE SOLUTION NUMBER OF ONE EQUATION WITH SQUARES L.N. Kurtova

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: Imoskalenko@bsu.edu.ru

Abstract. It is considered the additive problem of number theory that concerns the number of solutions of Diophantine equation that contains the linear combination of four squares. Using the circular method, the asymptotical formula of the solution number is obtained on the basis of estimate of the sum that consists of Kloosterman's sums.

Key words: additive problems of number theory, number of solution, asymptotic formula, Kloosterman's sums.