О числе решений одного определенного уравнения с квадратичными формами Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 11D09

О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ

Л.Н. Куртова

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: kurtova@bsu.edu.ru

Аннотация. В работе рассмотрен аналог проблемы делителей Ингама. Получена асимптотическая формула для числа решений определенного уравнения с квадратичными формами.

Ключевые слова: аддитивные задачи, число решений, асимптотическая формула, сумма Клоостермана.

1. Введение.

В 1927 году А.Е. Ингам [1] поставил и решил элементарным методом задачу получения асимптотической формулы для числа решений определенного уравнения:

Х\Х2 + х3х4 = n , (1)

где Х1,Х2,Хз,Х4 £ N.

Оценка остатка асимптотической формулы уточнялась многими авторами.

В 1931 году Т. Эстерман [2], применив к задаче Ингама круговой метод, вывел для числа решений J(n) уравнения (1) асимптотическую формулу, остаточный член которой имеет степенное понижение по сравнению с главным. Им получен следующий результат:

22

J(n) = n lnr n ar,j ст_1 (n) + R(n) ,

r=0 j=0

где ст—(п) = ^ d_s logj d (j=0..2), а

d\n

R(n) = O(n7/8 ln23/4 n CT_3/4(n)).

В 1979 году Д.И. Исмоилов [3], дополнив элементарный метод T. Эстермана оценками A. Вейля суммы Клоостермана, получил следующую оценку остатка:

R(n) ^ n3/4 ln6 n ст_1/2(п) .

В 2006 году С.А. Захаров [4], используя круговой метод в форме С.М. Воронина, получил относительно простые «точные» выражения для остаточных членов в асимптотической формуле для J(n).

В 2006 году Г.И. Архипов и В.Н. Чубариков [5] для числа решений J1(n) неопределенной задачи делителей Ингама:

Х1Х2 — Х3Х4 = 1, x1x2 < n получили новую оценку остатка в асимптотической формуле

J1(n) = nP2(ln n) + O(n3/4 ln4 n) ,

где P2(x) — многочлен 2-ой степени.

В математической литературе известны многочисленные аналоги данной задачи. Рассмотрим один из них.

Пусть d — отрицательное бескьадратное число, F = Q(y/d) — мнимое квадратичное поле, ôp — дискриминант поля F] Qi(m) = Ащ — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами Ai, det Ai = — Sf, i =1, 2.

Поставим вопрос о числе решений определенного уравнения с квадратичными формами:

Qi(m) + Q2(k) = п. (2)

Круговым методом с использованием оценки A. Вейля для суммы Клоостермана доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть е — произвольное положительное число, Sf — дискриминант поля F, n G N. Для числа решений I(n) уравнения (2) справедлива асимптотическая формула

л 2 +œ q

4n2n

/(n) = V g“4 V e~27Tinl//qGi(q, I,0)G2{q, 1,0) + 0(n3/4+£)

¿F —J J

1 F1 q=1 1=1

(i,q)=i

где Gi(q,l, 0) = exp(‘27rilQi(m)/q) (i = 1,2) —двойные суммы Гаусса. Сумма

m (mod q)

особого ряда асимптотической формулы положительна.

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1 (Функциональное уравнение для двумерного тета-ряда). Пусть Imr > 0,

х G R2, 0{т,х) = Yl ехр (27TirQ(n + x)). Тогда

neZ2

, . % ^—л f 7Г2 + . _ i ._4-_\

(г, х) =--;-- > ехр-------П А П + Z7Tin X .

Ту/ШЬЬ V г )

■\Жй

п&?

Доказательство см. в [6, глава VI].

Лемма 2. Пусть к < ие; q, q/, < N. Тогда справедливо равенство

[9(9+9')|-1 0 .

р р-2пгпх

-Ах = пе~1 + 0(д]У).

J (n-1 — 2nix)2

-[q(q+q")]-1

Доказательство следует из формулы

—2nix

dx = е“1

J (1 - 2nix)2

— <Х>

и оценки

Г e—2ninx г dx Г dx

J in 1 2-/.г)2 К J n~2 + 4тг%2 ^ J '

[q(q+q;)]—1 [qN]-1 [qN]-1

Лемма 3 (Равенства для произведений сумм Гаусса). Пусть d — отрицательное бес-квадратное число, F = Q(y/d) — мнимое квадратичное поле, 8f — дискриминант поля F, D = —8р- Пусть Qi(m), Q2{k) — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы; (l,q) = 1. Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть (q,D) = 1, ll* = 1 (mod q), (D/D1)(D/D1)* = 1 (mod q). Тогда

- i 1* -

Gi(q,l,m)G2(q,l,k) = q2 exp ( —2тгi—D*(Q'Jm) + Q'2(k))

q

2. При любых q и D справедливо неравенство:

\G\(q, l,m)G2(q, I, A:)| < c.q2 ,

где c — постоянная, равная, например D.

□ 1. Пусть (q,D) = 1. Введем обозначения: q = p^1 ■ ... ■ pa, rj = q/pj1, ll* = 1

(mod q), rjr* = 1 (mod pj1), DD* = 1 (mod pj1) (j = 1...s), DD* = 1 (mod q).

Если 2 | q, то полагаем pi = 2. Заметим, что в этом случае 2 { D, следовательно,

8f = 1 (mod 4). Если 2 | D, то а1 = 0. Тогда

jj утверждать, что

Gi(q, /, m) = Gi(p"J, /г,-, ?n) .

j=i

Для Gi(p“J,/fj,m) известны точные формулы (см., например, [7, лемма 1]). Можем

l* \ / А

/---\ / 5b Т~Л 5Ь . . 5Ь Т-Л 5Ь\ \ / -1 \ f 1 Л rn^rv-l / А / ^ £

Докажем сравнение

r1r*D* + ... + rsr*sD*s = D* (mod q).

Так как (q, D) = 1 и DD* = 1 (mod p“J) (j = 1..s), DD* = 1 (mod q), то

D (r 1r*D* + ... + rsr*D*) = DD* = 1 (mod q) ,

Gi(g,/,m) = qexp + ... + rsr*sD*s)\-1)(1 ад"1/4 Г Q, §F——)

\ q / \p2 ■ ... ■ psS /

e

и достаточно доказать сравнение r1r* + ... + rsr* = 1 (mod q), которое эквивалентно системе сравнений

r1r* + ... + rsr* = r1r* = 1 (mod pa1),

r1r* + ... + rsr* = rsr* = 1 (mod pas).

Тогда G1(q,l,m) = qexp (~2nilj D*Q'1(m)) (-1)^)»Ф •

Аналогичное равенство справедливо и для G2(q,l,k). Запишем произведение сумм Гаусса:

Gi(q,l,m)G2(q,l,k) = g2exp {-2TviD*{l*Q,1{m) + Q2{k))/q){-l){1~SF)ai/2.

Так как 8p = 1 (mod 4) или a1 = 0, то (—1)(1—'5p)a 1/2 = 1. Следовательно,

Gi(q,l,m)G2(q,l,k) = q2 exp ^—2тгi—D*{Q\(m) + Q2(A’))^ •

2. В случае, когда (q, D) = 1 неравенство следует из полученной выше формулы для произведений сумм Гаусса. В остальных случаях, требуемая оценка следует из точных формул для сумм Гаусса от степени простого числа, полученных С.А. Гриценко в работе [7]. ■

Лемма 4 (Оценка суммы Клоостермана). Пусть K(q,u,v) — сумма Клоостермана. Справедлива оценка

K(q, u, v) ^ т(q)q1/2(u, v, q)1/2 .

Доказательство см., например, в [8].

Лемма 5. Пусть q = q1q2, (q1,q2) = 1, (q1,D) = 1; q2 — либо 1, либо натуральное число, все простые делители которого делят D. Пусть

я

V(q,n,m,k)= e-2™//9Gi(g,/,m)G2(g,/,fc).

1=1.

(i,q)=1

Тогда справедливы оценки:

V(?1?2, п, 0, 0) < д2 5^(—) q2 , V(^1^2, п, т, к) < <Ь/2+^1{п, ql)1/2 .

в

«|(?1 ,п)

□ Так как сумма Гаусса являются вполне мультипликативной функцией, т.е.

С^2,1,т) = С(дь/1^,т)С(д2,/2д2,т), то и функция У^,п,т.,к) мультипликативна. Тогда

V{(11(12, П1 т, к) = У1^1,п^2,т.,к)У2^2,п^1,т.,к) .

Оценим каждую из функций У\{д\, п, д2,Ш, к) и У2(д2, п, д\,т, к). Воспользуемся леммой 3.

Так как ^\, О) = 1, то из равенства для произведений сумм Гаусса имеем:

?1 / / / *

У\(Чъ пі 92к) д\ У ехр ( —2тп——2т—В*(<&)*Ю\(М) + €}'2(к))

1=, V д1 51

(11>9і) = 1

К сумме Клоостермана применим оценку А. Вейля из леммы 4; при любом q1 получим:

п, д2,т, к) С д1+1/2+£(п, д\)1/2.

В случае, когда т = 0, А: = 0, можем улучшить данную оценку. Имеем:

Уі(ді, п1д2і0,0) < д\

91

1

¿1 = 1, (І1,91) = 1

Є

— 2піиІ1І91

«|(91,™)

Оценим тривиально У2(д2,п,д1,т,к). Используем неравенство из леммы 3. Тогда

Є

92

£

¿2 = 1, (І2,92)=1

-2піпІ2І92

3. Доказательство теоремы.

1. Запишем I(и) в виде интеграла

І(п) = є / 5і(а)^2(а)є-2піага^а

где

(— 1/ п-\-2піа) і (т)

^2(а)

тЄЖ2

^ ' е(-1/»г+27гго)(52(^) к£1?

Пусть N = Сод = 1 — Разобьем промежуток [— 1 — -^)

числами

ряда Фарея, отвечающего параметру Л^см. [9]). Пусть ^ ^ ^ — соседние дроби

Фарея, 1 < ¡^ < N, q/ < N, q// < N. Определим промежутки

I 1

/

- +

1

_д д(д + д'О’ д д(д + д)

Из свойств дробей Фарея следует, что

11

--, 1-

N N

N 9

и и би

9=1 1=1

(І,9) = 1

1

q

I(n) = e X X / S1(a)S2(a)e—2ninada

q<N 1=1 У

q<N 1=1 t (1,q) = 1

-1

= X e—2mn1/q I S1(l/q + x)S2(l/q + x)e—2ninxdx.

q<N (1fq)=1 —[q(q+q")]-1

2. Преобразуем суммы S1(l/q + x) и S2(l/q + x).

Si(l/q + #) = exp((—??_1 + ‘Iiril/q + 27r?'^)Qi(m)).

m€Z2

Разобьем сумму по т. по арифметическим прогрессиям с разностью д: S1(l/q + x) = X е2™г/<^1(*} X е^42™^1^ =

s (mod q) m£l?

fn=s (mod q)

q [q(q+q')]

'y ^ e2iril/qQi{s) 'y ^ g(-'« 1+2irix)q2Qi{m+s/q) s (mod q) m&L2

У e2ml/qQ^]e i(x + —)q2,

^ „ V 2тгп)Ч ' q)

s (mod q)

где в (^(x + 2^)g2, — двумерный тета-ряд.

Используем функциональное уравнение для тета-ряда из леммы 1:

$({х + —)q2,1) = ^ 2J-------------------------- х

\ 2тгп qj q2y/D(nr1 — 2тггх)

( 2n2Q\ Cm)

x > exp - ^ ^1V ;—- + 2тгг----------

V Dq2(n-1-2mx) q

где Q'i(m) = DA^1 m — квадратичная форма с матрицей DAJ"1. Тогда для S1(l/q + x) справедливо равенство

сп/ I 2уг ( 27r2Qi(m) ^

mlq + Х) = ЛеХР

х

х exp (2iri(lQi(s) + mts)/q) .

s (mod q)

Сумма no s представляет собой сумму Гаусса, соответствующую квадратичной форме Qi(s).

Выделим слагаемое, которое отвечает нулевому вектору т. Тогда S\(l/q-\-х) можно представить в виде суммы:

S1(l/q + x) = ^1 + Ф1 ;

где

27Г _

91 = фу/Щп-' - ’

Ф, = . ^ 2т------- V exp i-J^L , Ul(

с[2'/1)(уп~1 — 2'кгх) V Щ2{п~1 - 2жъх))

тф О

Аналогично получаем представление в виде суммы двух функций для S2(¡/q + х). Функции ^2 и Ф2 отличаются от и Ф1 лишь тем, что суммы Гаусса, входящие в них, зависят от квадратичной формы Q2(k). Имеем

S2(¡/q + х) = ^2 + Ф2 ,

где

V-2 = ——-С2(д,/,0),

q2V О(и-1 — 2пгх)

л. 2тг / 2тг2С^2(к) \ —

Фг=,^(»--2ТО)£ехры 0'

кфО

3. Подставляем полученные для функций S1(¡/q + х) и S2(¡/q + х) представления в виде суммы двух функций в равенство для I(и) из пункта 1. Имеем

I(и) = II + 12 + 1з + 14 ,

где

[q(q+q/)] 1

4п2е q г e—2mnxdx

'■ = —£«"“ £ е--‘^,Ы,0)С2Ы,0) х _ ,

q<N 1=1 г I , »м 1

(1,q)=1 —[q(q+q//)]-1

q [q(q+q/)]-1

I2 ^ ^ e—2nin1/q i ^1$2e—2mnxdx:

q<N ,J=1 „ [„(„ I „//)]-!

(1,q)=1 — [q(q+q//)]_

q [q(q+q/)]—1

I3 ^ ^ e—2nin1/q j ^2$1e—2ninxdx

q<N (11q=)=1 —[q(q+q//)]-1

д [д(д+д')]-1

I4 = ^ X е-2™п1/д [ ФхФ2е-2Ппх<1х.

(г1«=)=1 -[д(д+д'')]-1

Интеграл II вычислим асимптотически, а интегралы I2,I3,I4 оценим сверху.

4. Начнем с II. Согласно равенству из леммы 2 получаем, что

4 2 9

/1 = 1гЕ9"4 X е~2тп1/<1С1(д,1,0)С2(д,1,0) + 0(11Л),

д<М 1=1

(г,«)=1

где

д

= X е“2™гг/9С1(д,/,0)С2(д,/,0) = ]У^д-3У(д,п,0,0).

д<М 1=1 д<М

(1,9) = 1

Используя оценку для функции V(д, п, 0, 0) из леммы 5, будем иметь

Л,і < N X <1і 3<І2 3\у(.<1і<І2, п,0,0)\ X Зі1 X <

9192<N 92<N 91 < N/92 «| (91 ,п)

< ^ X' X X ^(д)д1 ^ п1|2+£,

з\п п<^~

92 а

где в сумме по д2 означает, что суммирование идет по всем не взаимно простым с Д числам. Можно показать, что их количество не больше, чем и£.

Оценим сумму

9

= п > V4 У е-2тп1/Ю, (о, /, 0)С2(д, 1,0) = п V д~А\ 10, п,

Е = п X ?~4 X е_2”"г/9С1(д, I, 0)С2{д, I, 0) = п X д~4У{д, п, 0, 0).

9^ 1=1 9>N

(І,9)=1

Снова используем лемму 5. Получаем, что

к < п X 9Г4^4|^(9і92,Л,0,0)| < /г X X д^2 X <

9192>N 92 <N 91 >N/92 .з| (91 ,п)

< ^ X ' X 5 1 X ^(д)д 2 < и1|2+£

Таким образом,

«|»г о>-^-

92 а

4 2 9

7і = 4гЕ^4 X е-2™г/9С1((?,/,0)С2((?,/,0) + 0(/г1/2+г)

9=1 1=1

(І,9) = 1

5. Оценка І2, Із, І4 проводится одинаково. Приведем полное доказательство для І4:

9 І9(9+9')]-1

І4 = ^ X є-2ПіПІ/9 [ Ф1Ф2в-2тПХ<ІХ.

9^ (ІІ9) = 1 -І9(9+9")]-1

Вместо Ф1, Ф2 подставим их значения, полученные в п. 2. В результате имеем

[9(9+9/)] 1

т _ 4тг2 ^ _4 [ е пх¿х

9- -І9(9+9//)]-1

2 ' 2тг2д;

д20{;п~1 — 27гг^)

хП Е“р()к(,г-”■Ші-Ш2)■

З—1 r7г:7•€Z2 т^О

[д(д+д')] 1

Пусть 0 - сколь угодно малое положительное число. Разобьем интеграл /

-[д(д+д'')]-1

на сумму интегралов.

[д(д+д')]-1 -[дп1/2+0]-1 [дп1/2+0]-1 [д(д+д')]-1

/ = / + / + / ■

-[д(д+д'')]- 1 -[д(д+д'')]- 1 -[дп1/2+0]- 1 [дп1/2+»]- 1

Соответственно этому разбиению получаем

^4 = ^4,1 + ^4,2 + ^4,3 ■

6. Оценим /4 2- Используя оценку для У(д\д2,п,1Щ,пТ2) из леммы 5, будем иметь:

[д»г1/2+0]-1

/4,2« X 9Г3/2+>,91)1/292_1 [ о " д о 2 П X еХР

0 ¿=1 щеХ2

9=9192 т-^0

Проведем разбиение суммы по д:

І9га1/2+0]-1 І9га1/2+0]-

п~2 + 47г2гг2 о ЄХ^ \ д2В(п~1 + 47г2^2'/?.)

І4,2 ^ X / + X / = X41 + X42 •

9<га1/2-0 о ra1/2-®<9<N о

Рассмотрим сумму ^ 41. Так как д < и1|2-е и 0 < х < [ди1|2+]-1, то

( 2-к2СУ^Щ) \

ЄХЧ“«2С(п-Ч-4^»)і<ЄХр(“а! >■

27г2(5^ {'Шу) ^

. . (п-1 +

Учтем также, что при тех же ограничениях на q:

[дп1/2+0]-1 2п [дп1/2+®]-1

[ dx [ & 3/2 д 1

—?—< —?—^ < п : <г ■

7 и-2 + 4п2х2 7 и-2 + ¿2

0 0

После проведенных рассуждений получаем оценку:

У 41 С и3/2-0 ехр(—си20) X q-5/2+£(и, ql)1/2q-2 С и3/4+£ ■

д1д2<п1/2-0

Перейдем к оценке ^2 42. Так как q < N и 0 < х < |^и1/2+0]-1, то

( 2тг2 Q'Arn.j) \

ехр (-íí(.-' + tA4 ) К< ехр (-cQ>Ü)

где с - постоянная, ] = 1, 2. Тогда

ТТ \" ( ^2(У]{щ) \ _п(л\

дЮ^п-1+ Атг2х2п)) ~ ^

ггЦф О

[дп1/2+® ]-1 +те

Интеграл оценим тривиально: / п-2^1ж2х2 « п / -щз « п-

о о

В итоге получаем следующую оценку для суммы ^2 42:

X 42 < и1+£ X q-3/2(u, ql)1/2q-1 <

г1/2 — 0<д192— N

1+^ 's-1 X q-3/2 < n3/4+

< n1^ > q- 1 > s

q2<N s|n q>ra1/2 ®/(q2s)

где в сумме по q2 означает, что суммирование идет по всем не взаимно простым с D числам.

Таким образом, доказана оценка: /4>2 = 0(n3/4+e).

7. Интегралы 141 и /4 3 оцениваются одинаково. Все рассуждения проведем для /4 3. Используем оценку V(qiq2,n,W[,m2) <С д^2+е(/г, ^і)1/2^, полученную в лемме 5.

Так как q < N и [qn1/2+é>]-1 < x < [q(q + q')]'1, то

П £

7—1 mj€Z2 rñJ^éO

exp

2-K2Q'j{mj) q2D{;n~l — 2nix)

0(1).

Кроме того, при тех же ограничениях на д можем оценить интеграл

[?(9+9/)]-1 +те +те

Г р йх Г йх Г йх

I е ах ах ах 1/2+0

-1 _ у\2 ^ ,„-2 I /1^2^2 ^ .у2 ^ У”'

7 (п 1 — 2п1х)2 7 п 2 + 4п2х2 7 х

[дга1/2+® ]-1 [дга1/2+®]-1 [дга1/2+®]-1

После проведенных рассуждений, получаем, что

/4,3 < п1/2+б+£ X дГ1/2(п, 51)1/2 < п1/2+б+£ X / X X д-1/2 < п3/4+£ .

Я1Я2<^ дп<М *’|га а<-^~

92 й

Объединяя полученные оценки, получаем, что /4 = 0(п3/4+£), и доказательство теоремы завершено. I

Литература

1. Ingham A.E. Some asymptotic formulae in the theory of numbers // J. London Math. Soc. -1927. - 2(7). - P. 202-208.

2. Estermann T. Uber die Darstellung einer Zahl als Differenz von zwei Produkten // J. Reine Angew. Math. - 1931. - 164. - P. 173-182.

3. Исмоилов Д.И. Об асимптотике представления чисел как разности двух произведений // Докл. АН Тадж. ССР. - 1979. - 22;2. - C. 75-79.

4. Захаров С.А. Метод С.М. Воронина в задаче о числе решений диофантова уравнения Ж1Ж2 + Ж3Ж4 = N // Чебышевский сборник. - 2006. - 7. - Вып. 4. - C. 35-91.

5. Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Об аддитивной проблеме делителей Ингама // Вестник Московского университета. Сер.1. Математика. Механика. - 2006. - №5. - С. 32-35.

6. Ogg A.P. Modular Forms and Dirichlet Series / N.-Y. : W.A. Benjamin Inc., 1969. - 211 p.

7. Гриценко С.А. О функциональном уравнении одного арифметического ряда Дирихле // Чебышевский сборник. - 2003. - 4;2. - C. 53-67.

8. Estermann T. On Klostermann’s sum // Mathematika. - 1961. - 8. - P. 83-86.

9. Виноградов И.М. Основы теории чисел / СПб-М: Лань, 2004. - 167 с.

ABOUT THE NUMBER OF SOLUTIONS OF ONE DEFINITE EQUATION WITH QUADRATIC FORMS

L.N. Kurtova

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: lmoskalenko@bsu.edu.ru

Abstract. The additive problem of number theory that presents the analogue of additive divisor problem is under consideration. The asymptotical formula of the solution number of the definite equation with quadratic forms is obtained.

Key words: additive problems of number theory, asymptotic formula, Kloosterman’s sum.