Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.554

ОБ ОДНОЙ БИНАРНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧЕ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ

© 2007 Л.Н.Куртова1

Рассмотрен аналог аддитивной проблемы делителей. Получена асимптотическая формула для числа решений уравнения с квадратичными формами.

Введение

В 1927 г. А.Е. Ингам поставил и решил элементарным методом задачи получения асимптотических формул для числа решений уравнений

х1 х2 + х3 х4 = п;

Х1Х2 - Х3Х4 = 1, XIх2 ^ п. (1)

Эти задачи получили название аддитивные проблемы делителей. В 1931 г. Т. Эстерман [1] для числа решений J(n) уравнения (1) вывел асимптотическую формулу

J(n) = пР2(1п п) + Я(п),

где Р2(п) — многочлен степени 2, а Я(п) = 0(п11/12 1п17/3 п).

В 1979 г. Д.И. Исмоилов [2], развивая элементарный метод Т. Эстерма-на, доказал, что Я(п) « п5/6+е, где е > 0 — сколь угодно малая постоянная. В 1979 году другим методом ту же оценку, но равномерно по параметру к ^ п2/3, получил Хиз-Браун [3].

В 2006 г. Г.И.Архипов и В.Н. Чубариков [4] вывели новую оценку Я(п):

Я(п) « п3/41п4 п.

В математической литературе известны многочисленные аналоги данной задачи. Нас заинтересовал один из таких аналогов.

Пусть ё — отрицательное бесквадратное число, — мнимое

квадратичное поле, Ьр — дискриминант поля Р, Q\(Ш) = \п?А{т и Q2(k) =

1 Куртова Лилиана Николаевна (lmoskalenko@bsu.edu.ru), кафедра алгебры, теории

чисел и геометрии Белгородского государственного университета, 308007, Россия, г. Бел-

город, ул. Студенческая, 14.

= ^к А2к — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами А\ и А2, detА\ = detА2 = -Ьр. Пусть

т = 2

Qi(m)-Q2(k)=\

Ql(m)+Q2(k)

е п

Целью статьи является получение асимптотической формулы для суммы I(n). Основным результатом является следующая теорема.

Теорема. Пусть е — сколь угодно .малое положительное число. Справедлива асимптотическая формула

- 2 00

1 q=1 l=0

(l,q) = 1

где G\(q,l,0) = _ £ ехр(2га^^) и G2(q,-1,0) = _ £ exp(-2raM) -

™ (mod <?) k (mod q)

двойные суммы Гаусса, bp — дискриминант мнимого квадратичного поля F.

°° -4 9-1 -2яг- — —

Особый

положителен.

q=1 '=0

Сумма /(и) представляет собой число решений уравнения Q\(jn) — Q2{k) =

_е1«+е2®

= 1, причем каждое решение считается с весом е «

Теорема доказывается круговым методом с использованием оценок А. Вейля сумм Клостермана.

В работе будут использоваться следующие обозначения: d — отрицательное бесквадратное число;

f = Q( V*0

— мнимое квадратичное поле; bF — дискриминант поля F; Xi(n) — характер квадратичного поля F;

Q(k) = ^kA\k — бинарная положительно определенная примитивная квадратичная форма с матрицей ^i, det^i = -bp;

G(q,u,n) = 2 exp {uQ(k) + n'k^ — двойная сумма Гаусса, отвечаю-

k mod q

= (

П2

Q[(k) — квадратичная форма с матрицей Aj1;

Од; Ul+vl*

S(u,v,q) = 2 е i — сумма Клостермана, где //* = l(modg);

l^l^q (l,q)=1

d(n) — число представлений n в виде произведения двух множителей; ^(n) — функция Мебиуса;

1, при т = 0 (mod 6),

щая форме Q(k), п = ( I е Z2;

Х(т; б, 0) =

^ 0, в противном случае;

N =[ф\.

1. Леммы

Лемма 1. (Вычисление двойной суммы Гаусса). Пусть (u, q) = 1, uu* = 1 (mod q). Справедливо равенство

G(q,u,n) = c\(q,n, Q( Vi/))Xi(u)q л/(bF, q) exp n, g(V^))M*j,

где Xi — характер квадратичного поля Q(^/d), a Ci(q,n,Q(^/d)) и c2(q,n, Q( V^)) — целые числа такие, что

0 ^

^ 1;

c\{q,n, Q( У

c2(q,0,Q(^d)) = 0;

c1(g,0,Q(^d)) = 0, если 2||q;

ci(q,n, Q( V^)) = 0, если 4\\q, d = 2 (mod 4).

Доказательство см. в [5].

Лемма 2. (Оценка суммы Клостермана).

q~l 2 juul+vl*

Пусть S(u,v,q) = Y, е ч — сумма Клостермана, где II* = 1 (mod q).

l=0 Q4)=1

Справедлива оценка

\S(u, v, q)| < d(q)ql/2(u, v, q)1/2.

Доказательство ем. в [6].

Лемма 3. (Функциональное уравнение для тета-ряда) Пусть 1тх> 0, хеК2, в(х,х) = 2 е2Тогда

neZ2

/ Ч 1 я/_f _ 1__f

0(х, х) = —-- > ехр(--п А п + 2тип х).

Доказательство ем. в [7, глава VI].

Лемма 4. Пусть 1 ^ q ^ N. Тогда справедливо равенство

1

/е~2ж1х п j

dx = -е " + 0(gN).

\ + 4л;2 х2 2

п1

Доказательство. Представим интеграл в виде разности двух интегралов

1

q(q+N)

/р-2лгх

1

4 + 4jt2x2

1 «2

dx = I1 -12.

Интеграл I2 оценим сверху

/ \

сю

р-2ж1Х f dx

= О (qN).

I2= f с/д- О f Щ

J ¿+4jt2x2 J x2

1

Vfe+ло

Вычислим интеграл I\. Имеем (см., например, [8, глава VI])

сю сю

Г е~2з11Х , 1 Г е" 7 п _1 11 = --ах = — --at = —е ».

J ± + 4л2х2 2л J \ + 2

—ю n —ю n

Таким образом, лемма 4 доказана.

Лемма 5. Пусть bp — дискриминант поля Q(^/d). Тогда

l=0 |q)=i

где bF = 661, (6, q) = 1.

Доказательство. Пусть 6f = 661, где (6, q) = 1, а 61 — либо 1, либо натуральное число, все простые делители которого делят q, тогда

q— 1

S = у е 1 = у е 1.

1=0 1=0 (1,\6f \q)=1 (l,6q)=1

Так как £ ^(d) = 1, если n = 1, то сумму S можем переписать в виде

d\n

q—1 ,

s = £ е-24 ^ т.

(i,6=0=1

В силу мультипликативности ^,(s) и условия (6, q) = 1 будем иметь

s = 2 ^^ 2 ^^ Y е 2ю~я-

51\6 52\q , „ /=°° .

l=0 (mod 5152)

Пусть l = l1 s2, l1 = 0 (mod 51), тогда

s = Yj Y ^2) Y e 2яг« ,

51 \6 52\q l1=0

l1 =0 (mod 51)

q

где q 1 = —.

52

51 —1

1 -2ni^L

Если /i=0 (mod 5i), то — ) e = 1 и 0 в противном случае. Сле-

51 Ь=0

довательно

91-1 _ L 1 _ -bJi

5i \6 52 \q h =0 51 b=0

Выделим слагаемое Ь = 0: /

ql-1 ¡,

е ql

.ц\Ъ

/1=0

, ч .1-1 ql 1

.1\8 1 ^ Ь=1 /1=0

где а =---. Отсюда, так как

.1 ql

ql-1 / q-l ,

„.\„ /. -п .1

/1=0

то получаем

/1=0 (7ьд)=1

.1\8

и-С^) _ ф(б) 6 '

^ = ^£(-1,0,2) + О о

.1\0 .2^

.1-1 ql—1

^ ^ е-2жга/1

Ь=1 /1 =0

Оценим сумму по /1:

ql 1 /1 =0

-2лга/1

2 а

Отсюда если ql ^ 2 |6р|, то так как 1 ^ Ь ^ .1 - 1,

ql —1

у е-2лга/1 /1 =0

^ q1 ^ 2 |6р|. Если же 2 |6р| < q1, то,

а=

Ъ_ \_

51 д1

>

Следовательно, в этом случае имеем

ql 1

> — > 1

у е-2та/1 /1 =0

Таким образом, получено неравенство

2.1 2 |8р|'

ql 1 /1 =0

-2лга/1

< 3|8р |,

из которого заключаем, что

5 = +

о

где постоянная в символе 0 — абсолютная. Лемма 5 доказана.

Следствие 1. Пусть Ьр — дискриминант поля Q{^[d). Тогда справедлива оценка

q—1

е 1=ОШ

/=0 ^ С.|8р |д)=1

Постоянная в символе О зависит от Ор. Доказательство следует из лемм 2 и 5.

q~l 2л i ~l+vl"

Лемма 6. Пусть S (~l,v,q) = Ц е 9 , где //* = 1 (mod q),

l=0

дискриминант поля Q{^fd). Тогда

S'(-\,v,q) = 0(q^E).

Постоянная в символе O зависит от 6f.

Доказательство. Запишем S'(— 1, v, q) в виде:

S'(h, v, q) = £

|6f\(q—1) , ,, q-1 , b(l, -l)

-l+vl v—' 1 v^ 2jn 1 J

e i > - > e i^I« .

6q

l=0 l1 =0 1 b mod |6F \q

Поменяем порядок суммирования и оценим внутренние суммы отдельно. Имеем

1 i^q—1 S'(_1>V>9)= 1 у у

b mod |6f lq

2ж larr-

e i 6f«

l1=0

\ 6f\ (q—1)

z

l=0 (l, l 6fI q)=1

2iij-(l&Pl+b)l+l&Plvl'

Для суммы Клостермана 2 e

l=0 (l, | 6f lq)=1

мы 2:

|Sj7 1) ^.-(¡¡ipl+by+l&Flvl*

справедлива оценка из лем-

|S(— |6f | — b, | 6f |v, | 6f | q) | < d(|6f | q)|6f | q1/2(v, q)1/2.

2 jli-^-

Для суммы 2 e l&Flq справедлива оценка: l1 =0

q—1 ых l1 =0

<

<

так как этла ^ 2а при 0 ^ а ^ Объединив полученные оценки и считая, что й?(| 6_р | q) ^ , заключаем

b mod |6f lq .|8pl£

Таким образом,

где постоянная в символе О зависит от Ьр. Лемма 6 доказана.

2. Доказательство теоремы

1 Q т/ \ V

1. запишем 1{п) = е « в виде интеграла

Ö1(S)-Ö2W=1 1

-2лга,

I

I(n) = S 1(a)S 2(а)е"/лга da,

о

где

51 (а) = ^ е(-^+2Я/а)е1(й)> ^2=2

тег2 Ь=г2

Пусть Ж = [и], §0,1 = Разобьем промежуток [—числами

ряда Фарея, отвечающего параметру см. [9]). Пусть ^ < | < < ^ — соседние дроби Фарея, 1 ^ /, q ^ N, ^ ^ N, q" ^ N. Определим промежутки

§ p,q =

1 p 1 - +

q q(q + q") q q(q + q')

Из свойств дробей Фарея следует, что

1 1 w q-1

["Ж'1 - = и и w

q=1 Р=0

(p.q)=1

причем §p,q П §pf,qf = 0 при (p, q) * (p', q'). Тогда

q-1 Г

I(n) = Z Z S 1(a)S2(a)e-2niada =

qkW l=0 ^ (lq) = 1 §p,q

1

1 gfa+g')

i Г I I

= У У Sl(- + x)S2(- + x)e~2luxdx. (2)

J q q

2. Преобразуем сумму S\(j-+x)= 2 ^ -+2jt!-+2jt!x)gi(m)^ имеем

meZ2

Si(-+x)= 2 e^lei® ^ e(-i+2»x)ei(S) =

^ 7 mod q m€Z2

m=s (mod q)

V ^¿ßi© у ^-i^x^öKM+f) = у e2riiei®Q«x + ^ iy _ _ ¿—l 2 ли ' q

s mod q meZ2 s mod q

Используя лемму 3, функцию 6((х + ^)q2, перепишем в виде:

/■ 2 2jt 1 V, +2»f

6((х +-)q ,-) =-=1- > е q *-2nix g,

Inn'4 q> qi^l-lnix^

где, если Q\(s) = ^s'Ail, A\ — матрица размера 2x2, то Q'^^s) = ^s'A^s.

Тогда для 5,1(-+х) справедливо равенство q

Л . 2л 1 ' 1 . ?тг¡1

Выделим слагаемое да = 0. Тогда + х) = ф1 + Фь гДе

2л 1 —

ф1 = 2 /Г&—Г 1 О ■ °1(Я>1>°)

Г VIO.fI ^ - 2тх

и

2л 1 ^

Ф1 = ——- у е " п-21Ъ"0^,1,т).

_ _ 0 ТТ7 V- г ^

1 = -^^^ -

Ч2 \ - 2тх £

где

тфО

С\{с[,1,~т) — двойная сумма Гаусса, отвечающая квадратичной форме

Аналогично получаем тождество для 82(- + ХУ-

q

52(- + х) = ф2 + Ф2,

q

ф2 = 22/Г^1 ■ Г У|оН ^ + 2л/х

и

ф2 = —--- У е ^ 1п+1™С2{а,-1,к),

где —I, к) — двойная сумма Гаусса, отвечающая квадратичной форме

02.

3. Всилу (3) и представлений для функций 8\(- + х) и ^(-н-х) имеем

q q

1(п) = II + I2 + 1з + I4,

где

4 л2 ^ 1 ^ ъч1 - -Г е ,хёх

' я1 + 4л2 х2'

!М> = 1 1

1_

„_1 чк+д')

I Г

/-П ^

1=0 04)=1

q—1 , г

1

д(я+д") 1

д(я+д')

q^N 1=0 04)=1

д(я+д")

q-1 / г

и = 2 2 е~2пг'д I ф1ф2е_2ягх^-

1

д(.д+д'~)

q^N 1=0 ~

('.?)=! - . 1 ...

Интеграл /1 вычислим асимптотически, а интегралы /2, /3, /4 оценим сверху.

1

д(я+д')

Начнем с /1. Разобьем интеграл на сумму интегралов

1

д(я+д")

1 1 1 1

д(я+д') ШЩ ШЩ д(я+д')

/ !•/•!

1 1 1 1

д(д+д") ч(я+ч") ШЩ ШЩ

Соответственно этому разбиению получаем

/1 = /1,1 + /1,2 + /1,3.

4. Вычислим асимптотически /1,2. В силу леммы 4 имеем

2 q— 1

71-2 = йГТ 2 ~ 2 +0(9Щ) =

|Ор| q^N q 1=0 2

04)=1

= 2 1 + о£>

Оценим вклад остатка 0(^2). Так как (/, q) = 1, то в силу леммы 1

Gl(qJ,0) = cnXl(l)q^¡(jb^iqj и С2(д, -1,0) = С12Х1Н)? л/фЛф, где с 11 и С12 не зависят от /. Получаем

>'|,,>

|Ор | qkNq =>

04)=1

Воспользуемся тем, что х1(/) = 1, где (/, |Ор|) = 1. Переходим к неравенствам:

1 q-1 /

1=0 С.|Ор|д)=1

Для внутренней суммы справедлива оценка из следствия 1:

q—1 /

=0

(/ ,|Ор |д)=1

Тогда

q^N

Учитывая, что Ж=[л/й], получаем вклад остатка:

22=0(П§+е).

Имеем

-2 оо

|Ьр 1 q=1 1=0

(1,д)=1

где

2л2и _1 л = —-—е »

\ЬР\

Оценим сверху сумму Я:

q—1

q>N '=0 ('.?)=1

Я <^пе " ^ д

q>N

q—1

^ е-2я1^1(д,1,0)С2(д,-1,0)

'=0 (',д)=1

Заменим суммы Гаусса их точными значениями из леммы 1, тогда

q—1

й « ие » ^ д 2

q>N

=

1=0 (ЦЬр1д)=1

—2т-е 1

Учитывая оценку из следствия 1, будем иметь

q>N

Таким образом

2л2п _1

q—1

|Ьр| ^ «

5. Проведем оценку интеграла 11,3. Перейдем к неравенствам:

|Ьр| q^N Так как q ^ N, то

q—1

^ е-2ж^01(д,1,0)02(д,-1,0)

1=0 04)=1

1

д(д+д')

/х

1 «2

е 2шхйх

+ 4п2 х2

д(д+Я)

д(д+д')

а

1 «2

е 2ж1Хйх

+4п2х2

/Лх

д(д+Ы)

Тогда

11,3 = О^2).

Оценка для суммы 2 проводилась в пункте 4. Таким образом

/1,3 = 0(п1+е).

Интеграл /1,1 оценивается аналогично.

6. Рассуждения об оценках /2, /3, /4 не сильно отличаются от /1. Приведем полное доказательство для интеграла /4:

1

д(я+д')

ц= > У

2 2 е~2ж,1д Г ф1°2е~2ж'Чх-

q^N 1=0 ^

1=0

('•?)=! / //л

Вместо Ф1, Ф2 подставим их значения, полученные в пункте 2. Имеем

/ _- у д-4 | - У е У е <?2 1+2ш1Х

тфй кФО

X

9-1 _

1=0 \(/,д)=1

Для начала оценим сумму

Г= ^ е 2т1С\(д,1,т)С2(д,-1,к).

1=0 04)=1

Для сумм Гаусса справедливы тождества

С1(д,1,т) = сп%1{1)д л1{ЬР,д)е~2ТС11Г и С2{д, -1,к) = С12Х1Н)? л/(ЬЕ,д)е^С221',

где постоянные с11, с12, с21, с22 не зависят от .

д-1

Полученную сумму 2 е 1 оцениваем, используя лемму 6.

=0

(/ ,|Ор|д)=1

В итоге имеем:

V «; д~2

д(д+д')

Разобьем интеграл на сумму интегралов

1

1 1 1 1

ШЩ ШЩ д(.д+д')

/ 1-/-1

1 1 1 1

д(д+д") д(я+Ю д(я+Ю

Соответственно этому разбиению получаем

/4 = /4,1 + /4,2 + /4,3.

Оценим /4,2:

1

2 *яр И

т#0 М

Пусть 6 — сколь угодно малое положительное число, тогда

14,21 <

_!_

^ / + / + —6< ¡-

'п1/2—6 ^ ^п1/2—6 V п1 /2—6

q^n1/2—

дп1

„1/2+6

^ 41 42 + ^ 43'

В сумме 2 41 так как q ^ п1/2 6, то

„1/2+6

/т

йх

+ 4п2х2

„1/2+6

Г Л

J 4 + р

Учтем также, что при тех же ограничениях на q:

4я2 в'1 И

4я2 в'2 (К)

е д2(1+4л2;с2„) ^ е-сп11^ е д2(1+4п2х2п) е~сп\

Так как оценка для суммы V не зависит от т и к, тогда

4п2д'(к)

У е д2(1+4л212„) _ 0(е~СП21^ ^ е д2(1+4л2х2„) _ 0^~СП21 у

тфО

Таким образом

Перейдем к ^ 42.

Е

кеХ} кФО

41 « п2-1+ее~сп41 ^ д~Ъ2 = 0(из+е).

q^n1/2—6

йх

_1_

дЛГ

X 4 + 4л;2 х2

1

,1/2+6

п

г ^

J ТТ7

= 0(ит+е9)

«1/2-6

Теперь, так как q ^ п

1/2-е _¡_

qn

1/2+6

< х <

то

4л2 6; да

Учтем оценку для суммы V, имеем:

тё12

тфО

кё12 кФО

q^n1/2—6

Так как

то

X

шг} тфО

-с<2\{т) _

0(1), ^ е"^2® = 0(1),

кёг? кФО

2 42 = 0(^+е).

0

0

q

е

Осталось оценить £ 43. Здесь

ёх

дИ

/х

+ 4п2х2

п

г Ж

Теперь, так как д ^ Ж, х ^ то

4л2 6; (к)

е д2(±+4ъ2х2п) е-се'!()я) е д2(1+4л2х2п) ^ е~С<2\(к)

и соответственно

^ ^(й) = 0(1), 2 = 0(1).

тфО

Учтем оценку для суммы V, имеем:

кёг?

кФО

2 «;

п1/2-е ^^

q>n

1/2-е

Таким образом

/4,2 = 0(й4+е).

Проведем оценку /4,3. Так как q ^ N, то

д(д+д')

а

1

ШЩ

Кроме того, при д ^ И, х > -4

2ж,хёх

+4п2х2

/ёх

ШЩ

qN

Е

тег2

тфО

4я2 в'1 (Я)

£ д2(^-2п1х)

0(1),

кё1,2 кФО

4я2 в'2 (К)

£ д2(^+2тх)

= 0(1).

Тогда, с учетом оценки У^ д 2+е, заключаем, что

q^N

Так как Ж = [ л/й], то /43 = 0(п^+е).

Объединяем полученные для /4 оценки, в итоге имеем:

и = 0(п^Е).

7. В силу проведенных выше рассуждений заключаем, что

/(п) =

2п2 п

q—1

е~1п 2 Ч~4 ^ 1,0)С2(д, -1,0) + 0(и3/4+е).

q=l

1=0 04)=1

0

0

3 3

3. Заключение

тт т/ \ V _01^0М ,

Для суммы 1{п) = е " получена асимптотическая фор-

мула:

-2 оо

|Ьр| q=1 '=0

где е — сколь угодно малое положительное число, 01(д, 1,0) и 02(д, — 1,0) — двойные суммы Гаусса, Ьр —дискриминант мнимого квадратичного поля р.

Данный результат соответствует оценке Г.И.Архипова и В.Н. Чубарико-ва, но уравнение, для которого ищется число решений, имеет общий вид, а именно (т) — = 1-

Литература

[1] Esterman, T. Uber die Darstellung einer Zahl als Differenz von zwei Produkten j T. Esterman jj J. reine und ang. Math. - 1931. - №164. -P. 173-182.

[2] Исмоилов, Д.И. Об асимптотике представления чисел как разности двух произведений j Д.И. Исмоилов jj Докл. АН ТаджССР. - 1979. - Т. 22. -№2. - C. 75-79.

[3] Heath-Brown, D.R. The fourths power moment of the Riemann zeta-function j D.R. Heath-Brown jj Proc. London Math. Soc. - 1979. - V. 38. -№3. - P. 385-422.

[4] Архипов, Г.И. Об аддитивной проблеме делителей Ингама / Г.И. Архипов, В.Н. Чубариков // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. - 2006. - №5. - С. 32-35.

[5] Гриценко, С.А. О функциональном уравнении одного арифметического ряда Дирихле / С.А. Гриценко // Чебышевский сборник. - 2003. -Т. 4. - Вып. 2. - C. 53-67.

[6] Estermann, T. On Klostermann's sum / T. Estermann // Mathematika. -1961. - №8. - P. 83-86.

[7] Ogg, A.P. Modular Forms and Dirichlet Series j A.P. Ogg. - N.-Y.: W.A. Benjamin, Inc., 1969. - 211 p.

[8] Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного: учеб. пособие для студентов механических специальностей механико-математических факультетов государственных университетов / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1958. - 678 c.

[9] Виноградов, И.М. Основы теории чисел / И.М. Виноградов. - М.: Изд. технич. литер., 1952. - 112 c.

Поступила в редакцию 17//X/2007; в окончательном варианте — 17/IX/2007.

ON A BINARY ADDITIVE PROBLEM WITH QUADRATIC FORMS

© 2007 L.N.Kurtova2

An analog of additive problem of divisors is considered. An asymptotic formula for the number of solutions of the equation involving quadratic forms is given.

Paper received 17//X/2007. Paper accepted 17/IX/2007.

2Kurtova Liliana Nikolaevna (lmoskalenko@bsu.edu.ru), Dept. of Algebra, Number Theory and Geometry, Belgorod State University, Belgorod, 308007, Russia.