Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами Текст научной статьи по специальности «Математика»

94 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

MSC 11Р99

БИНАРНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ

Л.И. Куртова

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: kurtovaQbsu.edu.ru

Ключевые слова: бинарные аддитивные задачи, квадратичные формы, мнимое квадратичное поле, ряды Дирихле.

Рассматривается задача получения асимптотических формул для числа решений уравнения с квадратичными формами, родственная проблеме делителей Ингама.

Пусть d - отрицательное бесквадратное число, F = Q(Vd) - мнимое квадратичное поле, 8f - дискриминант поля F, Q1(m) и Q2(k) - бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами А1 и A2, det A1 = det A2 = -8f.

Теорема 1. Пусть £ - произвольное положительное число, 8f - дискриминант поля F, n,h Е N, h < n£. Справедлива асимптотическая формула

У

Qi(m)+Q2(k)

e n

Ql(m)-Q2(k)=h

2n2n \8f \

<x q

Y,q-i Y, e~2r‘M/qGi(q, l,0)G2(q, -l, 0) + O(n3/i+‘).

q=1 l=1,

(l,q)=1

Gi(q,l, 0) = exp(2nilQi(m)/q) (i = 1, 2) —двойные суммы Гаусса.

m (mod q)

Доказательство проводится круговым методом с использованием оценки А. Вейля [1] для суммы Клоостермана.

Остаточный член асимптотической формулы в теореме 1 можно улучшить, используя оценку Х.Иванца [2] для суммы сумм Клоостермана.

Теорема 2. Пусть £ - произвольное положительное число, 8f - дискриминант поля F, 2 \ 8f, h - натуральное число, такое, что 8F \ h,h < n£. Справедлива асимптотическая формула

Y

Q1(m)+Q2(k) e n

Qi(m)-Q2(k)=h

2n2n \8f \

<x> q

Y,q~‘ X e~2nM/qG1(q.l. 0)G2(q, -l, 0) + O(n'/12+%

q=1 1=1,

(l ,q) = 1

В случае, когда квадратичные формы Q1(m), Q2(k) принадлежат одному классу, условие 2 { 8f в формулировке теоремы 2 можно снять. В частности, справедлива

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 95

Теорема 3. Пусть е — произвольное положительное число, n £ N, h — натуральное число, такое, что 4 | h, h ^ n£. Справедлива асимптотическая формула

Е ■

m2+m2-k^ —k‘22=h

2 , 2 , .2 , т,2

mi + m2 + fci+fc2

2 го q

ПтЦо-* 52 e~'22i!h1/ S 2(q,l, 0)S 2(q, -l, 0) + O(n1/12+‘),

q=i i=i,

(l,q) = l

n

где S(q,l, 0) = X exp(2nlls2/q) — сумма Гаусса.

8=1

Вторым основным результатом являются асимптотические формулы дробных моментов некоторых рядов Дирихле.

Теорема 4. Пусть m — натуральное число, Ф(Т) — сколь угодно медленно стремящаяся к при Т ^ +ж функция. Тогда при 1 + < a < 1 справедлива

асимптотическая формула

2Т

Z (a + it)l2/mdt = Т

Т

го

Е

П=1

d1 /m(n)

n

2a

+ O (Т(a - 1/2)-1/m2е-0’1ф(Т^ ,

где dk(n) - коэффициенты разложения функции Zk (s) в степенной ряд.

Наша формула справедлива при весьма близких к 1/2 значениях айв этом смысле представляет собой уточнение результата И.Ш. Джаббарова [3].

ГО a(n)

В 1989 году А. Сельберг [4] определил класс рядов Дирихле L(s) = X Опт, (^s > 1)

п=1

удовлетворяющих некоторым условиям и высказал ряд гипотез.

Получение асимптотических формул для моментов функций Сельберга представляет трудность потому, что в отличие от Z(s) точная верхняя оценка дробных моментов для таких функций на критической прямой не известна.

Теорема 5. Пусть X la(n)l2n-1 = logx + O(1), где a(n) - коэффициенты Дирихле

n<x

функции L(s) степени 2. Пусть m — натуральное число, Ф(Т) — сколь угодно медленно

1 ф(т)

стремящаяся к при Т ^ +ж функция. Тогда при 2 + < a < 1 справедлива

асимптотическая формула

2Т

lL(a + it)l2/mdt = Т ^

ld1/m(n)a(n)l‘

Т

п=1

n

2a

+ O (Те-Т/1ПТ)

Литература

1. Estermann Т. On Kloostermann’s sum // Mathematika. - 1961. - №8. - P.83-86.

2. Deshouillers J.-M., Iwaniec H. Kloosterman sums and fourier coefficients of cusp forms // Invent, math. - 1982. - №70. - P.219-288.

3. Джаббаров И.Ш. Дробные моменты ("-функции // Математические заметки. - 1985. -38(4). - С.481-493.

4. Selberg A. Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series // Proc. of the Amalfi conference on Analytic Number Theory. Univ. di. Salerno. - 1992. - P.365-387.

96 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

BINARY ADDITIVE PROBLEMS WITH QUADRATIC FORMS

L.N. Kurtova

Belgorod State University,

Pobedy Str., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: kurtovaQbsu.edu.ru

Key words: binary additive problems, quadratic forms, imagine quadratic field, Dirichlet’s

series.