Оценка скорости роста и убывания функций в теоремах типа Макинтайра-Евграфова Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 27-37.

УДК 517.53

ОЦЕНКА СКОРОСТИ РОСТА И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ В ТЕОРЕМАХ ТИПА МАКИНТАЙРА^ЕВГРАФОВА

A.M. ГАЙСИН, Г.А. ГАЙСИНА

Посвящается столетию со дня, рождения члена-корреспондента АН СССР Алексея Федоровича Леонтьева

Аннотация. В статье получены два результата о поведении рядов Дирихле на вещественной оси.

В первом из них речь идет об оценке снизу суммы ряда Дирихле на системе отрезков вида [а, а + Здесь параметры а > 0 5 > 0 таковы, что a t 5 I 0. Требуемая асимптотическая оценка установлена при помощи метода, основанного на некоторых неравенствах для экстремальных функций из соответствующего неквазианалитическо-го класса Карлемана. Этот подход оказался более эффективным, чем известные ранее традиционные способы получения подобных оценок.

Второй результат существенно уточняет известную теорему М.А. Евграфова о существовании ограниченного на R ряда Дирихле. Согласно Макинтайру, сумма этого ряда стремится к нулю на R. Здесь доказана конкретная оценка скорости стремления к нулю функции в примере типа Макинтайра-Евграфова.

Ключевые слова: ряд Дирихле, лакунарный степенной ряд, асимптотическое поведение.

Mathematics Subject Classification: 30D10

1. Введение Предварительно напомним историю вопроса. Пусть

те

/ (z) = ^ аkzk (z = ж + гУ) (!)

к=0

— целая трансцендентная функция с вещественными коэффициентами, а {рп} (п > 1) — последовательность перемен знаков коэффициентов (по определению,

Рп = min {к : аРп-1 ак < 0}) Ро = min{fc : ак = 0}.

к>рп-1

Долгое время была актуальной следующая задача, восходящая к работе Полна [1]: при каких условиях па последовательность {рп} имеет место равенство

d(f; R+ ) = 1, (2)

где R+ — положительный луч [0, <х>),

d(f; R+) = Ш l^ifir), Mf(х) = \f

ж^+те In Mf (х) М= х

A.M. Gaisin, G.A. Gaisina, Estimates for growth and decay of functions in Macintyre-Efgrafov kind theorems.

© Гайсин A.M., Гайсина Г.А. 2017.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 15-01-0(661)). Поступила 10 июня 2017 г.

Следует отметить, что и более общий аналог d(f; 7) = 1 (7 — произвольная кривая, уходящая в бесконечность) равенства (2) впервые был рассмотрен и установлен Полна также в работе [1] для целых функций f конечного порядка, представленных лакунарными степенными рядами, имеющих, вообще говоря, комплексные тейлоровские коэффициенты. Именно этот результат Полна дал толчок к многочисленным исследованиям, в которых были получены различные его обобщения. Но в самой общей постановке эта задача, как и задача о равенстве (2) для целых функций с вещественными тейлоровскими коэффициентами, оказалась весьма сложной.

До конца 1990 — начала 2000-х гг. оставался открытым следующий вопрос: каковы минимальные ограничения на последовательность {рп}, при выполнении которых для любой целой функции f, заданной рядом (1) с вещественными коэффициентами Тейлора, будет справедливо равенство (2)?

Еще в работе [2] М, Н, Шереметой была высказана гипотеза о справедливости равенства (2) для любых последовательностей {рп}, для которых выполняется лишь условие

те

£ - < (з)

п=1 Рп

В [2] было даже приведено доказательство этого сильного утверждения. Однако позднее в упомянутом доказательстве был обнаружен пробел, который \ I. II. Шеремета не смог устранить и сформулировал в виде отдельной задачи, которая в той или иной постановке приводилась в разделе открытых проблем ряда выпусков журнала "Математичш студи"(Львов) и других изданий Львовского математического общества, (см., н-р, [3], [4]), В статье [5] построен контрпример, опровергающий гипотезу М, Н, Шереметы, Основной результат статьи дал ответ на так называемую проблему Полна,

Двойственная задача Полна о поведении целых трансцендентных функций вида

те

f (z) = ^ anZp" (0 <рп t го, an е C) (4)

п=1

на произвольных кривых 7, уходящих в го, была полностью решена в [6],

Приведем этот результат. Пусть L — класс всех непрерывных на R+ функций w = w(x), 0 < w(x) t го при х ^ го, Через W обозначим множество всех функций w из L, таких, что w(x)x-2 интегрируем а на [1, го), В [6] доказано следующее утверждение (здесь приводится равносильная формулировка): для, того чтобы, для всяких функций f вида (4), для, любой кривой j, уходящей в го, имело место равенство d(f; 7) = 1, необходимо

и достаточно, чтобы, для последовательности, Р = {рп} выполнялись условия: те Рп

1) V - < го; 2) 1Р(Рп) = / ßP(Р+п] t] dt ^ Црп) (п > 1),

п=1 рп 0 1

где ßp (рп; t) - число то чек рк = рп из отрез ка {h : lh — рп| ^ t}, w - некоторая, функция из W.

Если 7 = М+, то те же условия 1) и 2) необходимы и достаточны для того, чтобы для любой функции (4) при х ^ го вне некоторого множества е С R+ нулевой логарифмической 1

ln Mf (х) = (1 + 0(1)) ln U(х)|, М,(х) = max|/(z)\. (5)

lzl=X

в не е, f y = o(ln г) щт г ^ го. Если f ^ < го т0 говорят, что множество е имеет конечную

еП[1 ,r) е

логарифмическую меру.

Наконец, отметим, что в [8] решена и более общая задача, связанная с гипотезой Полна о минимуме модуля: условия 1) и 2) необходимы и достаточны для того, чтобы для любой функции f вида (4) при х ^ +го вне некоторого множества е С R+ конечной логарифмической меры

ln Mf (х) = (1 + o(1))ln mf (х),

где mf (х) = min|f(z)l, aCj- некоторый замкнутый контур, получаемый от окружности

zecx

{z : |z| = х} путем «малой деформации» [8],

Здесь приведены формулировки основных результатов работ [5]-[8], но применительно к лакунарным степенным рядам (4), В них на самом деле рассматриваются соответствующие задачи для более общих рядов — рядов Дирихле

F(s) = ^aneKs (0 < An |го ,s = a + it), (6)

Е

a„eK'

n=l

абсолютно сходящихся во всей плоскости (предполагается, что не все коэффициенты ряда равны нулю, а последовательность показателей имеет конечную верхнюю плотность). Как известно, при условии

A- < го (7)

An n=l

сумма F любого ряда (6) не огранпчена на R+ [9],

An

Для последовательностей Л = { An}, имеющих конечный индекс конденсации

_ i i ~ / a2\

6=Ш A"lnimTTi, Q(A) = H 1 - ^ , n^An |Q/(An)| П=Л An'

аналогичное утверждение доказано H.H. Юсуповой [И].

Если n(r) ~ сгр(г"> при г ^ го (с = 0, го; р(г) — уточненный порядок, п(г) — считающая функция последовательности Л), — ln IQ ( An)| = O(n) при n ^ го, соответствующий пример построен в [9].

При выполнении единственного условия (7) о какой-либо асимптотике суммы ряда (6) даже на R+ ничего не известно. Можно лишь утверждать, что 0 ^ d(F; R+) ^ 1 [6], где

d(F; R+) = lim -J^^, MF(а) = sup |F(a + ¿í)|.

(а) щ<х

Как показано в [6], оценки 0 ^ d(F; R+) ^ 1 точны (d(F; R+) = 1, если для /д выполняется условие типа 2); в противном случае существует ряд (6), для которого d(F; R+) = 0).

В связи с этим естественно возникает вопрос: логарифм какой неограниченно возрастающей и «правильной» функции, желательно определяемой через коэффициенты и показатели ряда (6), является оптимальной минорантой для логарифма модуля суммы этого ряда хотя бы на какой-то достаточно плотной последовательности точек an G R+, an ^ +го?

Подобная задача для кривых 7 = {z = t + ig(t), 0 ^ t < го} ограниченного наклона исследовалась в [12]. В случае 7 = R+ можно получить соответствующий результат, но гораздо проще, если применить свойства экстремальных функций из неквазианалитичеекого класса Карлемана, Как и в [12], будем предполагать, что последовательность Л = {An} подчинена условию: существуют числа ßn > 0, такие, что

^ 1

An > ßn (п > 1), — I, — < го. (8)

ßn л ßn

n=1

Группа условий (8), как известно (см. в [13]), сильнее чем условие (7).

2. Оценка роста ряда Дирихле на снизу

Справедлива

Теорема 1. Пусть выполняются условия (8). Тогда найдется последовательность {<7п}, 0 < 7п ^ го, оп+\ — 7п ^ 0, такие, что при п ^ го

1п ^ (1 + о(1))1п 1Р(7п)|. (9)

Здесь Р - сумма ряда Дирихле (6), /*(7) = шах{|ап||(3'(Ап)|еЛп<Т}.

п>1

Хорошо известно, что 1п /*(7) - выпуклая функция, причем 1п /*(7) \ го при 7 ^ +го [14] (/*(7) - максимальный член измененного ряда Дирихле).

Смысл оценки (9) в том, что ее левая часть — выпуклая функция, которая зависит только от коэффициентов и последовательности Л показателей ряда (6) и явно может быть вычислена. В [12] показано, что оценка (9) в условиях теоремы 1 в принципе не может быть улучшена.

Отметим, что теорема 1 другим способом доказана в [12], а двойственная теорема о рядах Дирихле с вещественными коэффициентами установлена в [15]. Оказывается, метод доказательства соответствующей теоремы из [15] применим и в случае, рассматриваемом здесь.

Доказательство теоремы 1. Пусть выполняется условие (7). Тогда М'п) = {0},

где Мп) = {ф : ф е С~[0,1],ф(Х) > 0,ф(п)(0) = 0, вир |ф(п)(£)| < М'п (п > 0)},

0<4<1

Мп = Мп_2 (п > 3), М' = 1 (г = 0, 1, 2). Как и в [15], показывается, что для любого 5, 0 < 5 ^ 1, для любой функции ф е &>(М'п) найдется целая функция вида

6

Яб (А) = У ^6 (*)еЛ сИ, 0

такая, что Я6(Ап) = 0, Я'6(Ап) = 0, вир шах (¿)| ^ с0 < го, причем

0<6^10<*<1

6/12

1Я6( А)| > |Я(А)| У ф(х)dх. (10)

0

Введем теперь в рассмотрение интерполирующую функцию А. Ф. Леонтьева. Поскольку сопряженная диаграмма функции Яб — отрезок [0, $], обозначая, для удобства, (/,а,Р) = ш(/1,а,Р), (¿) ^ = ¿7(Ь) (а - комплексный параметр, Р - сумма ряда (6)), имеем [14]:

ш(/1, а, Р ) = е-*» J 7(0 Р (г + а — г])е йг^ <И, (11)

где С — замкнутый спрямляемый контур, охватывающий отрезок [0, $], 7 — ассоциированная по Борелю с Яб функция, которая в рассматриваемом случае имеет вид:

6

*) = / ^).

0

Положив

т=!Р «+а—'')е тл

0

получим

^ ) = - 2b/(/ ) = - i h / ^

С \0 / 0 \ с

Функция f регулярна на С и внутри С, так как F - целая функция. Поэтому внутренний интеграл равен /(£), и тогда

= ¡мв -V^Y (12>

00

Воспользуемся теперь известными формулами для коэффициентов [14]:

u(Xn,a,F)

ап = sv(\ \ (п - (13)

Q< (Лп)

Поделив обе части неравенства (10) на Л — Лп и устремляя Л к Хп, очевидно, получаем, что

<5/12

IQ's( Лп)| - |Q'( Xn)\j ф(х) dx (п - 1). (14)

0

Полагая в формуле (12) а = а + 5, оцепим |ш(Лп,а, F)|. При этом учтем, что переменная £ + а — г/ будет принадлежать отрезку 1а = [а + 5, а + 25]. Имеем

\ш(Лп,а^)\ ^ со82е-аХп max |F(u)| (и - 1). (15)

ие 1<г

Следовательно, учитывая (14), (15), из (13) получаем

<5/12

|aJQ'( Лп)|еКа ф(х) dx ^ с062 max |F(и)| (п - 1). J ие la

0

п

<5/12

р*(а) J 0(x)dx ^ co^2|F(а')|, (16)

0

где а' - некоторая точка от резка 1а, 0 < а ^ 1, Оценим теперь функционал

<5/12

J.Ю= J ОМ*

0

снизу. Для этого применим теорему о среднем. Тогда

<5/12

J<(ф) - J О(х) dx =2|О(/3),

<5/24

где / — некоторая точка отрезка [24,12]. Следовательно, из (16) получаем

ф(/К(а) ^ 24Co|F(а')|. Правая часть этого неравенства не зависит от ф. Поэтому, переходя в левой части к экс-

1(/^ 24со | F(а')|, а' е 1а. (17)

Воспользуемся теперь леммой типа 9 из [15] (она доказывается точно так же): если выполняются условия (8), то существует постоянная И, зависящая только от после-{ Мп} ,

А А"

24, 12

ПР) > -Цт", Р е

2( \)

(0 <5 ^ 1),

Н

Н(У) = Т, мф-1 (0 <^< го).

п=0 п

Как известно (выше мы воспользовались этим обстоятельством), условия (8) равносильны тому, что (см, в [13])

Jlп1пН(5)с15< го, (18)

0

где с> 0 - достаточно малая постоянная, такая, что Н (с) > е. Таким образом из (17) получаем

/*(7) ^ т(8)\Р(7')|, (19)

где 7' - некоторая точка отрезка [7 + 5,7 + 25], а

т(5) = 24С0ЫН2^А) .

т( )

т(5) = еу (ст), (20)

где V(7) = [1п I* (7)] /[1п 1п I* (7)]. Ясно, что V(7) — непрерывная при 7 > 70 функция, V(7) ^ го при 7 ^ го. Перепишем уравнение (20) в виде

1п1пт(#) = 1п V(7) <== и(7)

и через К = К (¿) обозначим функцию, обратную к ( = 1п1пт($). Тогда К (и (7)) = 5. Ясно, что функция К(¿) непрерывна, К(¿) ^ 0 при Ь ^ го. Так как т(5) удовлетворяет условию (18), то

те

У К (и) ¿и < го,

-и(ао)

что проверяется непосредственно. Следовательно, применяя лемму Бореля-Неванлинны (см, в [16]), получаем, что для любого е > 0, для всех 7 > 70, но вне некоторого множества

те те

Р С иКХ], тР ^ ^(а[ — аг) < го,

г=1 г=1

выполняется оценка [17]

и[ 7 + 2 К( и( 7))] < и( 7) + .

Это оценка может быть улучшена (см., например, [16, § 1], [18, лемма 6]): существует исключительное множество Е С [70, го), которое также покрывается системой отрезков конечной суммарной длины [16], вне которого при 7 ^ го

и[ 7 + 2 К( и( 7))] < и( 7) + (1).

Отсюда, принимая во внимание возрастание функции V(а), при а ^ го вне множества Е имеем

1пр*(а + 25) < 1пр*(а)+ о(1). (21)

Следовательно, учитывая (20), (21), из (19) окончательно получаем, что при 5 ^ го Е

(1 + о(1))1пр*(а') ^ 1п (а')|, (22)

где а + 5 ^ а' ^ а + 25, 5 = К(и(а)). Поскольку множество Е покрывается системой отрезков конечной суммарной длины, то оценка (22) выполняется на некоторой последовательности {ап}, 0 < ап ^ го, ап+\ — ап ^ 0. Теорема 1, таким образом, полностью доказана.

3. Существование ряда Дирихле, быстро убывающего на Е

+

оо

Пусть 0 < Ак Тго, ЕА- < го. Тогда целая функция

к=1

Е(А) = еьх Д Л — А) ^ (Ь £ Е) (23)

к=1 ^ к'

обладает свойствами [19, гл. I, §8; гл. III, §6; гл. V, §3]: 1) при И,е А < А1

те

1 [ вфе

Е( А)

где

11 2т \ Е(А) '

-те

оо

2) С £ Сте(Е), причем С(г) > 0, / С(г)(И = 1;

—те

3) С(п)(£) (п > 1) имеет п, а С(Ь) — ни одной перемены знака на Е;

4) — 1п С(Ь) является выпуклой функцпей на Е;

те те

1-1 ^ _ и _ тел-1

5) если Е А- < го, Ь= ^ А- ^о С(Ь) > 0 при Ь < 0 С(Ь) = 0 при Ь > 0;

к=1 к к=1 к

те

1-1

6) если Е А- = го, то функция С(Ь) представляет собой сужение на Е целой функции

к=1

С(г) (г = г + гу) [19, гл. I, §4].

тете

1 —2______ ^ Л-1

В [19] показано, что если Е А- < го н0 Е А- = го т0 ПРИ г ^ +го

к=1 к к=1 к

С(п)[А(г)] г)пЛ(г) (п = 0, 1, ...), (24)

V2т

где

Л(г)

те

А(г) = 7 тет^-ч, а(г)

к=1 Ак (Ак + г)

е-г\(г)

а( ) Е(— )

те

е

к=, (Ак + Г)2

1Результаты этого пункта принадлежат Г.А. Гайсиной.

1

а

1

Приступим к построению примера. Пусть Е — функция (23), 6 = 0,

т

П 0 -

к=Л AkJ

Предположим, что последовательность {Хп} имеет конечную верхнюю плотность т и ко-

F (*) = Е

к=1

Е '(Хк)

z = t + i у.

Имеем:

Значит,

1

е ™=- 0 -1) -

1

п t)

к=п 4 7

2

Е'(Хп) L (Хп)

Поскольку ö < го, то при некото ром С > 0

1

Е '(Хп)

< 2еСХпЕ(-Хп) (п > 1).

(25)

А так как Y1 Хк = го, то, кроме того, к=1 к

r ln 1Е (-Хп )|

lim ---= -го

п^<Х Хп

(26)

(это проверяется обычным образом). Отсюда следует, что ряд (25) абсолютно сходится во всей плоскости и определяет целую функцию F.

Убедимся, что F(t) = G(t), t Е R Сначала заметим, что при | < | arg Л| < 2 и 0

(1-ХУ

1.

(27)

Действительно, если Х = |Х|, то, полагая г = ^ имеем:

1

1п/ = -[1п (1 — 2 гооБф + г2) + 2г шеф] (г > 0).

Величина а = 2 шеф (^ <ф < 2) меняется на отрезке [0, л/2], Функция д(а) = 1п/ на концах этого отрезка неотрицательна, а д'(а) = 0 в точке а = г, где достигается локальный максимум. Значит, I > 1,

Далее, учитывая (27), в углах Д± = (А = |А|ег'ф : |А| > 0, \ < 1Ф1 < §} (Д+ — верхний угол, Д_ — нижний) имеем:

Р

П

к=1

Хк .

М |> Й О - й

(п = 1, 2, ...).

п > 1

Р > ВХп, Х е д±. Следовательно, пользуясь теоремой Кошн, имеем:

1

,м

G(t) = —

2m} Е(Х)

С

(ИХ (t > 0),

(28)

где С — граница угла (А : |А| > 0, arg А = ±4}■

Так как Е(А) — целая функция экспоненциального типа (т < го), то можно воспользоваться следующим утверждением [14, гл. I, §1, теорема 1.19]:

Для заданного q > 1 имеется число h > 0 и окружности С\ гп t го, rn+\ < qrn (п = 1, 2, ...), на которых

ln |Е( А)| > — h|А|, |А| = Гп (п > 1).

В силу (28), для А e С, t < — л/2(1 + h) имеем:

лг п

< em+Yм < е-1А11*|.

(z : N = Гп},

(29)

Е (А)

Значит, для таких Ь интеграл (28) по окружности Сп стремится к нулю при п ^ го. Следовательно, для г < —л/2(1 + К)

G(t) = lim I

й^те \ 2ni J Е(А)

rfc

d.А

lim к—-^

Е'(Ап)

K< rk

где Г к — граница сек тора (А :0 < |А| < г к, | а^А| < ^}, обходимая против часовой стрелки. Но ряд (25) сходится абсолютно во всей плоскости, и его сумма F — целая функция. Как было сказано, G(t) — сужение на R целой функции G(z) (z = t + iy). Так что G(t) при t < — л/2(1 + h) представляется рядом (25). Отсюда следует, что F(z) = G(z) во всей

G( ) =

е Xkz

'(А* У

Выясним, какова точная асимптотика С(Ь) при Ь ^ +го. Для этого будем пользоваться соотношением (24). Очевидно, имеем:

Отсюда получаем, что

Е( А) Е '(Ап)

¿(А)

Е (—А). L' (Ап)

Е (—Ап).

Таким образом, можем записать

G(t) = ех~*, te R.

п=1

L' (—Ап)

Рассмотрим максимальный член измененного ряда Е Е(—Ап)еХпЬ, т.е.

п=1

= тах[Е(—Ап) е К *].

п>1

Эта функция определена корректно, так как измененный ряд, в силу (26), также сходится абсолютно во всей плоскости. Имеем далее

ln ß* (t) = max

п 1

где

{g h 0+£)—Ап ]+4 =8 h (1+*)

+ АпХ > < max w(r),

1 r>0

xnt

плоскости, и

Так как ^(0) = 0, ^(+го) = —го, то максимум этой функции достигается в точке, где

<Р'(г) = —

те

Ак (Ак + 0

+ г = 0,

, А( ) = А = А( )

(24), получаем, что при Ь = А (г) ^ +го

а(г)

1пС(А(г)) 1пЛ(г)

- гч^ -

где 1пЛ(г) = —гА(г) — 1па(г) — 1пЕ(—г) Учитывая, что Ь = А(г),

1п< Е + ¿) - ^

из (30) получим оценку а(г) < Ь(г), причем при г ^ +го

+ г А(г),

г А' (г) + 4г Ь(г)---Л„ ,"(Г) = —[1 + £(г)],

А ( )

где

( )

а/(г)

г А' (г)а(г)

Далее, как легко проверить, А'(г) = а2(г). Отсюда получаем, что

2 а'(г)а(г) = — ^

т.е.

к=1

1 А 1

( Ак + г)3'

а' (г) = — ОТЙ^

а(г) к=1 (Ак + г)3

Следовательно,

| ( )| <

2

Е

,к=1

1

( Ак + )2

_1

2

Е

Хк <2г

1

( Ак + )2

_1

Отсюда получаем, что при г ^ го

к (01 <

п(2г)

0.

Таким образом,

— 1п С(Ь)

11т --< —1,

^+те 1п ¡Л*((Ь)

(30)

(31)

и, тем самым, доказана

Теорема 2. Пусть (Ап} (0 < Ап ^ го) — любая последовательность, имеющая конеч-

те

ную верхнюю плотность г и конечный индекс конденсации 5. Если, ^ А_1 = го, то ряд

к=1

Дирихле (25) абсолютно сходится во всей плоскости, С(Ь) ^ 0 при Ь ^ +го, причем та,к, что выполняется, оценка (31).

2

9

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G. Pölva Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenzreihen // Math. Z., 29:1 (1929),'P. 549-640.

2. Шеремета M.II. Об одном, свойстве целых функций с вещественными тейлоровскими коэффициентами // Матем. заметки, 18:3 (1975), Р. 395-402.

3. М.М. Sheremeta, M.Y. Zabolotskii Some open problems in theory of functions of a complex variable // Matem. Studii, 3 (1994), P. 117-119 (Problem section).

4. M.M. Sheremeta Five open problems in the theory of entire functions // Matem. Studii, 6 (1996), P. 157-159(Problem section).

5. Гайсин A.M. Решение проблемы Пойа // Матем. сб., 193:6 (2002). С. 39-60.

6. Гайсин A.M. Оценки роста и, убывания целой, функции бесконечного порядка, на, кривых // Матем. сб., 194:8 (2003). Р. 55-82.

7. Гайсин A.M. Об одной, теореме Хеймана // Сиб. матем. журн. 39:3 (1998). С. 501-516.

8. Гайсин A.M., Рахматуллина Ж.Г. Оценка, суммы ряда, Дирихле через минимум модуля на вертикальном отрезке // Матем. сб. 202:12 (2011). С. 23-56.

9. Евграфов М.А. Об одной, теореме единственности для рядов Дирихле // УМН. 17:3 (1962). С. 169-175.

10. A.J. Macintyre Asymptotic paths of integral functions with gap power series // Proc. London Math. Soc., 2:3 (1952). P. 286-296.

11. Юсупова H.H. Асимптотика рядов Дирихле заданного роста. Дисс.-ия канд. наук. Уфа, 2009.

12. Гайсин A.M. Свойства рядов экспонент с последовательностью показателей, подчиненной условию типа Левинсона, // Матем. сб., 197:6 (2006). С. 25-46.

13. Гайсин A.M. Условие Левинсона, в теории целых функций. Эквивалентные утверждения // Матем. заметки, 83:3 (2008). С. 350-360.

14. Леонтьев А.Ф. Ряды, экспонент,. М.: Наука. 1976.

15. Гайсин A.M. Ряды, Дирихле с вещественными коэффициентами, неограниченные на положительном луче ff Матем. сб., 198:6 (2007). С. 41-64.

16. Гайсин A.M. Теоремы типа Бореля-Неванлинны. Применения. РИЦ БашГУ, Уфа. 2010.

17. Гайсин A.M. Усиленная неполнота системы экспонент и проблема Макинтайра // Матем. сб. 182:7 (1991). С. 931-945.

18. Гайсин A.M. Оценка, ряда, Дирихле, показатели, которого — нули целой, функции с нерегулярным поведением, // Матем. сб. 185:2 (1994). С. 33-56.

19. Хиршман H.H., Уиддер Д.В. Преобразования типа свертки. М.: ИЛ. 1958.

20. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука. 1980.

Ахтяр Магазович Гайсин, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия,

Башкирский государственный университет, ул. 3. Ва. in. in. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: gaisinam@mail.ru

Галия Ахтяровна Гайсина,

Башкирский государственный университет,

ул. 3. Ва. in. in. 32,

450074, г. Уфа, Россия

E-mail: gaisinaga@mail.ru