Ряды Дирихле с вещественными коэффициентами, имеющие правильную дискретную мажоранту роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 3 (2013). С. 3-11.

УДК 517.53

РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ИМЕЮЩИЕ ПРАВИЛЬНУЮ ДИСКРЕТНУЮ МАЖОРАНТУ РОСТА

Н.Н. АИТКУЖИНА, А.М. ГАЙСИН

Аннотация. Изучается класс целых функций, представимых рядами Дирихле с вещественными коэффициентами, определяемый некоторой выпуклой мажорантой роста. Доказан критерий выполнения асимптотического равенства на положительном луче, представляющего собой точную оценку роста логарифма модуля каждой функции из рассматриваемого класса.

Ключевые слова: ряды Дирихле с вещественными коэффициентами, дискретная мажоранта роста.

Mathematics Subject Classification: 30D10.

Пусть

те

/ (z) = ^ ak zk (z = x + iy) (1)

k=0

— целая трансцендентная функция с вещественными коэффициентами, а {pn} (n > 1) — последовательность перемен знаков коэффициентов (по определению pn = min {k : aPn-1 ak < 0}, где p0 = min{k : ak = 0}). Через p(t) обозначим считающую

k>Pn-i n

функцию последовательности {pn}: p(t) = ^2 1. В [1] показано, что если плотность по-

Pn

следовательности {pn} А = lim равна нулю, то в каждом угле {z : | arg z| ^ е} (е > 0)

t^<re

целая функция (1) имеет тот же порядок, что и во всей плоскости. Позже выяснилось, что данный результат справедлив и для луча {z : arg z = 0}: если функция (1) имеет конечный порядок р и А = 0, то [2]

lim ?) = 1 Mf(r) = max |f (z)| (r > 0)- (2)

x^+те 1n Mf (x) |z|=r

Отсюда, в частности, следует, что р0 = р, где р0 = lim ln lin|f(x)1. При А = 0 равенство

x^+те ln x

(2) верно и для функций конечного нижнего порядка [3]. В [4] найдены неулучшаемые условия на функцию p(t) (они слабее условия А = 0), при выполнении которых для любой функции конечного порядка (конечного нижнего порядка), заданной рядом (1), при x ^ ж вне некоторого множества нулевой нижней логарифмической плотности справедливо асимптотическое равенство

1n Mf (x) = (1 + o(1))1n |f (x)|. (3)

N.N. Aitkuzhina, A.M. Gaisin, Dirichlet series with real coefficients. © Аиткужинд Н.Н., ГАйсин А.М. 2013.

Работа поддержана РФФИ (грант 12-01-97004-р_поволжье_а).

Поступила 15 апреля 2013 г.

Целью данной статьи является получение аналогичных с (3) асимптотических оценок для целых функций с более общей мажорантой роста, представленных рядами Дирихле с вещественными коэффициентами.

Через Ь обозначим класс всех непрерывных и неограниченно возрастающих на К+ = [0, +то) положительных функций. Пусть Ф Є Ь — выпуклая функция, такая, что для ее обратной функции ^ выполняется условие

Ї1Ш ^ < то. (4)

ж^+те <^(х)

Через А(^) и А(^) будем обозначать классы положительных, неубывающих на К+ функций а = а(і), а (і) = о(і^(і)) при і ^ то, таких, что соответственно

Г Г

-— 1 Г а(і) , п 1 Г а(і) ,

Їіш —— = 0, Їіш —— —— = 0.

™ <^(г)У і2 ’ ™ <^(г)У і2

1 1

Подклассы А(^) и А(^), состоящие из функций а Є Ь, таких, что а(і) > \/і, будем соответственно обозначать через Ш(<^) и Ж(^).

Пусть Л = (Лп} (0 < Лп | то) — последовательность, удовлетворяющая следующим условиям:

1) 8ир(Л(і + 1) — Л(і)) < то (условие несгущаемости); (5)

І

2) Їп(Лга+1 — Лп) > —а(Лп) (п > 1) (условие несближаемости),

где а — некоторая функция из Ш (<^), а (і) = О(і) при і ^ то, Л(і) = ^ 1. Обозначим Д(Л)

Л„^І

класс всех целых функций ^, представимых абсолютно сходящимися во всей плоскости рядами Дирихле

те

^ (в) = агаеЛп5 (в = о + й) (6)

П=1

с вещественными коэффициентами ап. Пусть М(о) = вир |^(о + ¿¿)|,

|і|<те

Дт(Ф) = Є £(Л) : 3 |о„}, 0 < о„ Т то, Їп М(оп) ^ Ф(топ)} (т > 1).

те

Положим ^(Ф) = и Рщ(Ф). Через ^(о) будем обозначать максимальный член ряда

т=1

(6), то есть ^(о) = шах(|ага|еЛиСТ}.

п>1

Пусть = ЛРи, где (рп} — последовательность перемен знаков коэффициентов ряда

(6) 1(і) = Е 1, = Е 1 где

І^и ^І Яи ^І

дга = шіп ( Ри ^ Ри+1, ЛРи + 1

2

Так как < ^га+1, то |/(£) — ^(¿)| ^ 1.

В дальнейшем будет предполагаться выполнение следующего условия на последовательность {рп}: существует в Е А(^), что

^п

/1(£; А„)

У і

1

^ 0(Лп) (п > 1), (7)

где /(¿; Лп) — число точек ^ из отрезка {Л, : |Л—Лп| ^ ¿}. Отметим, что в случае <^(х) = 1пх, условие (7) выполняется автоматически (это показано в [4]).

В настоящей статье доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполняется условие (7).

Для того чтобы для любой функции F Е D(^) при а ^ то вне некоторого множества E С [0, то) нулевой нижней плотности выполнялось асимптотическое равенство

lnM(а) = (1 + o(1))ln |F(а)|, (8)

необходимо и достаточно, чтобы l Е А(ф).

Отметим, что если Ф(а) = exp exp... exp(a) (k > 1), то при k = 1 класс Д(Ф) состо-

4-----^------'

k

ит из рядов Дирихле конечного нижнего порядка по Ритту. Поэтому соответствующие результаты из [3]-[4] являются следствиями из теоремы 1.

§1. Вспомогательные утверждения Нам понадобится следующая лемма типа Бореля-Неванлинны.

Лемма 1 [5]. Пусть Ф Е L, и для функции ф, обратной к Ф, выполняется условие (4). Пусть, далее, u(a) — неубывающая, положительная и непрерывная на [0, то) функция, причем

т u(a)

lim u(a) = то, lim -——— < то.

ln Ф(а)

Пусть {xn} — последовательность, выбранная так, что

u(xn) ^ C 1пФ(хп), 0 < C < то.

Предположим, что функция w принадлежит классу W(ф). Если v = v(a) — решение уравнения

w(v) = eu(a), (9)

то при а ^ то вне некоторого множества E С [0, то),

v(Xn)

Г w*(t)

mes(E П [0,xn]) ^ o(^(v(xn))) + 4 dt = o(^(v(x„))), ^ то,

v(xi)

имеет место асимптотическое равенство

u (а + dw(v(a)^ = u(a) + o(1) (0 < d < то).

V v(a) /

В условиях леммы 1 w* — некоторая функция, имеющая вид w*(t) = в(t)w(t), в Е L. Функция в выбирается так, что w* Е W(ф). В лемме 1 указанная функция w* всегда существует (она определяется не единственным образом). Отметим, что исключительное множество E зависит от функции w*.

Для получения оценки типа (8) нам потребуется следующее утверждение об оценке ограниченной аналитической функции в круге.

Лемма 2. [6]. Пусть g — функция, аналитическая в круге {z : |z| < R}, причем

|g(0)| > 1, ln sup |g(z)| = M < то.

|z|<R

Если 0 < r < 1 — N-1 (N > 1), то существует не более чем счетное множество кружков Vn = {z : |z — zn| < pn} таких, что

n

вне которых, но в круге {z : |z| ^ rR} выполняется оценка

Rr

ln |g(z)| > r-—-ln |g(0)|— 5NL (10)

R + r

где

2п

Ь = 2П / 1п+ )| ^ - 1п |2(0)|-

о

Оценка (10) является более точной, чем оценка 1п |$(г)| > —5ЛМ из [7]. Пусть {рп} — последовательность натуральных чисел, ^га = ЛРп, /(¿) = ^ 1,

«п = тт(" Лрп +2Лрп+1 ,ЛРп + Л , «СО = ^ 1.

^ ' ,п^

Положим

= П (1 — ^) (а >

г2

I1 —

,п^2а

Имеет место следующая

Лемма 3 [4]. Для любого Лп ^ а (а > д1) справедлива оценка

Лп

— 1п |^а(Лп)| ^ I ( ^+ 4Л,(2eа), (11)

о

где «(¿; Лг) — число точек « в отрезке {Л, : |Л, — Лг| ^ ¿},

л,(г) = [ «м¡х.

] х

о

§2. Доказательство теоремы 1

1. Достаточность. Поскольку |/(£) — «(¿)| ^ 1, I Е А(ф), то « Е А(ф). Далее,

Г Г

Л = у ¡лж = мо + 1 лш л,

о о о

4

где Л,(¿) = J йх. Следовательно, Л, Е А(ф). Значит, найдется непрерывная на [0, то)

о

функция в1 (¿), 1 ^ А(^) Т то, £ ^ то, такая, что функция Л,(2е^)в1(^) также принадлежит А(ф).

Лп д \

Оценим интеграл / ’4 п) ¡¿, где «(¿; Лп) — число точек « из отрезка {Л, : |Л, — Лп| ^ ¿}.

Лп)

о

Имея в виду второе из условий (5), имеем

Лп 1 Лп

* = I л + Л = I, + /2,

о 7п 1

где 7„ = 2е-а(Лп). Но из условия вир(Л(^ +1) — Л(*)) < то следует, что «(¿; Лп) ^ + й

(0 < й < то). Так как ^га < «га < ^га+1, то |«(^; Лп) — /(¿; Лп)| ^ 1. Поэтому, учитывая (7), имеем

/1 ^ ¡[1 + 1п2 + а(Лга)], /2 ^ 0(Лп) + 1пЛ„ (п > 1), (12)

Г

где а Е W(ф), в Е А(ф). Следовательно, принимая во внимание (12), получаем, что

An

[' q(t; А„)

J t

0

dt < 0i(An), (13)

z2

где 01 Е W(ф). Далее, найдется непрерывная на [0, то) функция e2(t), 1 ^ e2(t) Т то, при t ^ то, такая, что функция 01(t)e2(t) принадлежит W(ф). Положим w*(t) = в(t)w(t), где w(t) = 01(t) + Nq(2et), в(t) = mln(в1(t),в2(t)). Ясно, что w* Е W(ф).

Пусть v = v(a) — решение уравнения

w*(v) = 3ln ^(а), (14)

где ^(а) — максимальный член ряда (6). Положим

Fa(s) = ^ a„eAnS, F(*(s) = ^ a„Q„(A„)eAnS,

An^a An ^a

где

Qa(z) = П ( 1 qn^2a

Поскольку все anQa(An)(An ^ а) одного знака, можно считать, что anQa(An) > 0 (An ^ а). Так как, очевидно,

Ма*(а) = sup |^*(а + it)| = Fa*(а),

|*|<ю

то

М“(а) = 2Л1 / qa(t)Fa(t + а) dt, (15)

|t|=a

где qa(t) — функция, ассоциированная по Борелю с Qa(z), 8 = , w1(t) = в 1/2(t)w(t).

Принимая во внимание (14), как и в [3] показывается, что при а ^ то

СЮ

£ max |qv (t)| ^ 8 f M (Qv ,r)e-5r dv ^ р°(1)(а), (16)

N=5 J

0

где M(Qv, r) = max |Qv(z)|. Далее, применяя лемму 1, получаем, что при а ^ то вне

|z|=r

некоторого множества E1 Е [0, то) нулевой нижней плотности dE1

ln^(а + 48*) = (1 + o(1))ln^(а), 8* = —(. (. )), (17)

vH

шев(Е1 П [0,ага]) „

----------;--------= о(1) ап ^ то,

ап

где последовательность {а^} выбрана из условия 1п М(а^) ^ Ф(та*) (т > 1). Тогда при а ^ то вне Е1

An>v(a) An>v(a)

^1+о(1)(а) exp[—3(1 + o(1))ln ^(а)] < 1. (18)

причем согласно той же лемме при ап ^ то

Учитывая первое из условий (5), видим, что Л(г>(а)) = 0(г>(а)) при а ^ то. Значит, 1п Л(г>(а)) ^ 21п•и(а) ^ 2^(^(а)) при а > а0 (мы учли, что т Е Ш(ф)). Отсюда с учетом (14), (17) при а ^ то вне Е1 имеем

М(а + 35*) ^ ^(а + 45*)[Л((-у(а)) + 1] ^ М 1+о(1)(а), Л(£) = 1.

Лп^

Следовательно, при а ^ то вне Е1

1п М (а + 35*) = (1 + о(1))1п М (а). (19)

Учитывая (16), (18), из (15) получаем, что при а ^ то вне Е1

М» « М1+0(1»(а)( тах |^(е) + 1|). (20)

|5-^кг

Но при а ^ то вне Е1

М(а) ^ £ |а„|еЛпСТ + 1= £ (|а„||а(Л„)|еЛп)|^(Л„)|-1 + 1.

Лп$и(ст) Лп^^(ст)

Отсюда ввиду леммы 3, оценки (13), равенства (14) следует, что при а ^ то вне Е1

М(а) ^ р°(1)(а)М;(а) ^ Мо(1)(а)М,*(а).

С учетом этой оценки из (20) окончательно получаем, что при а ^ то вне Е1, ¡Е1 = 0,

М 1+о(1)(а) « тах |^(е)| = (е*)|, (21)

|5-^кг

где |е* — а| = 5, 5 = , т1(^) = в 1/2(£)т(£). К тому же согласно лемме 1

тС8(Д1 П ^]) = 0(1), аП ^ то.

а* 7 п

ап

Напомним, что последовательность {аП} выбрана из условия 1п М(аП) ^ Ф(таП) (т > 1), и аП ^ то.

Положим В = [0, то) \ Е1. Найдется последовательность {а,} (а, Е В) такая, что а Т то,

а, + 5, ^ аг+1, причем а,+1 — 5г+1 < Ш{а : а Е В, а > а* + 5*}, где 5* = 5(г>(а,)) (г > 1). Значит,

те

В С [__] [аг — 5,, а, + 5,].

г=1

Положим $(г) = ^(г + £*). Из (21) видно, что |$(0)| > 1 при а Е В П [а0, то) (а0 > 0). В (21) положим а = а,, 5 = 5,, а в лемме 2 возьмем N = 3, г = [в(^(аг))]-1/2, Я = 25*,

(5.* = )■ Тогда Яг = 2= 2у/в(^)^ ^ = 25, (V, = «(,,)). Следо-

вательно, из леммы 2 заключаем, что в круге {г : |г| ^ 25,}, но вне исключительных кружков К(,) с общей суммой радиусов, удовлетворяющих оценке

£ рП,) « 25,в-1, (22)

П

верна оценка (10). Здесь в, = в(^(а,)). Тогда для всех г из круга {г : |г| ^ 5,}, но вне кружков с общей суммой радиусов, удовлетворяющих оценке (22), из (10) при г ^ то имеем

Ь

1п |^(г)| >

1 + о(1) — 15

1п ^(0)|

1п |$(0)|. (23)

Учитывая, что д(г) = Е(г + £*), а также используя оценки (21), (19), (23), получаем,

что для всех г из круга {г : |г — а, | ^ 5,}, но вне исключительных кружков СП^ с общей

_ 1

суммой радиусов не больше 25,в, 2,

1п |Е(г)| > (1 + о(1)) 1пМ(а,), г ^ то. (24)

Здесь 5, = 5(г>(а,)), а 5 = то-—^)), т(£) — функция, удовлетворяющая условиям леммы 1. Пусть Е2 — проекция множества У С(,) на вещественную ось. Оценим относительную

>П

,,n

меру множества E2. Пусть последовательность (ап} (ап G B,B = [0, то) \ Ei) такая, что если о'п = inf(а : а G B, а > ап + 5n}, то 0 < ап+1 — а^ < 5n.

Пусть ак < а* < ак+1. Поскольку lnM(а*) < ф(та*) (m > 1), с учетом (4), (14) получаем, что а* > аф(^(а*)) > аф(^(ак)) (а > 0). Тогда

mes(E2 П [0,<]) < 4 М в-1 _ + 45fc

а* < ак ¿1 , ' а^(^(ай)),

где

, = в-1 (^(ак ))w(y(gfc)) ^*(у(ак))

k ^(ак) < ^(ак) ,

а w* = в(t)w(t) (0 < в(t) Т то, t ^ то)— функция, удовлетворяющая условиям леммы 1. Следовательно,

44

lim ---——— = 0.

аф(^(ай))

-1/2 k-i

Но так как в, ' ^ 0 при i ^ то, а а^ > 2 ^ 5,, то dE2 = 0. Значит оценка (8) имеет

,= 1

место при а ^ то вне E = E1 U E2, dE = 0.

Достаточность доказана.

2. Необходимость. Пусть l G А(ф). Тогда

,— 1 1 , ч

lim — = y > 0, (25)

™ ^(r) ^

и ряд ^-1 расходится. Положим

z 2

Ф(*) = П(1 — 72)

(г) =

п=1

Так как = ЛРп, а последовательность {Лп} подчинена условиям (5), то последовательность {^п} имеет конечную верхнюю плотность, и ^(¿; ^п) ^ С + С (0 < С < то), где

^(¿; ^п) — число точек ^, (^, = ^п) из отрезка {Л, : |Л — ^п| ^ ¿}. Но тогда из результатов

статьи [8] следует, что

1

1п |Ф'Ы| = — / ^ + °(^п).

о

С учетом второго условия из (5) отсюда получаем, что

— 1п |Ф'(^п)| = О(^п), п ^ то. (26)

Введем в рассмотрение ряд

те

Е(в) = акеЛп5 (в = а + ¿¿), (27)

к=1

где

У2(Ы ~

V (^") к — p т-т ,

Ф'(Мп)(1+Мп)2 , k (n > 1), ^(z) —П(1 + z/p,„)e-z/^.

0, k — Pn n=1

Поскольку -(х) = 0(х), при х ^ то, то, учитывая (25), имеем (см. [8])

1п-0(х) ^ —йхф(х) (ж > 0), (28)

где 0 < й < то. Проверяется, что при некотором достаточно малом д > 0 справедлива оценка:

1п-02(х) ^ — 2дх ^ — (0 < д < то). (29)

Следовательно, ввиду (26), (29) ряд (27) абсолютно сходится во всей плоскости. Так как |Е(о)| = 0(1) при о ^ +то [6], достаточно показать, что Е € Д(Ф).

Учитывая (26), (29), при некотором А > А0 имеем:

M(а) ^ A exp

I f l(x) ,

max — qt —— dx + at

t>o I / x2

(30)

Из (25) следует, что для некоторой последовательности {tk}, tk | то,

dx > ß^(tfc), ß> 0. (31)

J х

о

Пусть £ = ¿(о) — решение уравнения

а [ -(—) йх = о. (32)

] х2

о

Поскольку, очевидно, £ = ¿(о) — непрерывная, возрастающая функция, то из (30)-(32) получаем, что для некоторой последовательности |ок}, ок | то,

ln M(afc) ^ ln A + afctfc ^ ln A + afcФ ^ßq j ^

^ ln A + Ф(ак)Ф ^^ ln A + Ф2(Вак) (0 < B < то).

Отсюда lnM(ak) ^ Ф(так), m G N, m > m0. Следовательно, F G Е(Ф)-Необходимость доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G. Polya Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenzeihen// Math. Z. V. 29, P. 549-640. 1929.

2. Шеремета М.Н. Об одной теореме Полиа // Укр. мат. журн., Т. 35, № 1. 1983. С. 119-124.

3. Шеремета М.Н. О целых функциях с вещественными тейлоровскими коэффициентами// Укр. мат. журн. Т. 37, № 6. 1985. С. 786-787.

4. Гайсин А.М. К одной теореме Пойа о целых функциях с вещественными коэффициентами Тейлора // Сиб. мат. журн. Т. 38, № 1.1997. С 46-55.

5. Юсупова Н.Н. Теорема типа Бореля-Неванлинны для функции заданного роста// Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции “Студент и научно-технический прогресс”. Математика. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск. 2006. C. 32.

6. Гайсин А.М. Об одной гипотезе Полиа // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 58, № 2. 1994. С. 73-92.

7. Говоров Н.В. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып. 6. 1968. С. 130-150.

8. Красичков И.Ф. Оценка снизу для целых функций конечного порядка // Сиб. мат. журн. Т. 6, № 4. 1965. С. 840-861.

Наркес Нурмухаметовна Аиткужина,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Ахтяр Магазович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]