Двусторонняя оценка k-порядка ряда Дирихле в полуполосе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 19-31.

УДК 517.53

ДВУСТОРОННЯЯ ОЦЕНКА К-ПОРЯДКА РЯДА ДИРИХЛЕ

В ПОЛУПОЛОСЕ

Н.Н. АИТКУЖИНА, А.М. ГАЙСИН

Аннотация. Изучаются ряды Дирихле, сходящиеся лишь в полуплоскости, последовательность показателей которых допускает расширение до некоторой „правильной" последовательности. Установлены неулучшаемые оценки k-порядка суммы ряда Дирихле в полуполосе, ширина которой зависит от специальной плотности распределения показателей.

Ключевые слова: k-порядок ряда Дирихле в полуполосе, целые функции заданного роста на вещественной оси.

Mathematics Subject Classification: 30D10

Пусть Л = |Лга} (0 < Хп t го)—последовательность, удовлетворяющая условию

П тт

lim —— = Н < го. (1)

\п

При изучении целых функций

те

F (s) = ^ ап eKs (s = а + it), (2)

п= 1

определённых всюду сходящимися рядами Дирихле, в своё время Риттом было введено понятие R—порядка. Приведём определение этой величины.

Порядком по Ритту (R—порядком) целой функции F, определённой рядом (2), называется величина [1]

-— lnln М (а) pR = lim -,

ст^+те (J

где М(а) = sup |F(а + й)|. Отметим, что в силу условия (1) ряд сходится во всей

|*|<те

плоскости абсолютно. Известно, что ln М(а)—возрастающая выпуклая функция от а, lim ln М(а) = +го.

Рассмотрим полосу S (a,t0) = (s = а + it : |í — t0l < а}. Положим Ms(a) = max |F(a + zi)|. Величина

|í-ío|<a

— ln+ ln Ms(a) . + .

ps = lim - (a+ = max(a, 0))

ст^+те (j

называется R—порядком функции F в полосе S(a,t0).

N.N. Aitkuzhina, A.M. Gaisin, k-Order estimate for Dirichlet series in a half-strip. © Аиткужинл Н.Н., ГАйсин А.М. 2014.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 14-01-00720, 14-01-97037), Программы фундаментальных исследований Отделения математики РАН „Современные проблемы теоретической математики": проект „Комплексный анализ и функциональные уравнения".) Поступила 24 сентября 2014 г.

Пусть

Л

_ п _ 1 Г

lim — = D < ж, D* = lim — D(x)dx,

п^те Лп Л^+те Л

о

где D(x) = п(ХХ), п(х) = 1 (D—верхняя плотность, D*—усреднённая верхняя плотность

Л„<х

последовательности Л). Известно, что D* < D < eD* [2]. В [2] доказано, что если

lim ( Лп+i - Лп) = h> 0,

п^-те

то R—порядок ps функции F в полосе S(а, t0) при а > nD* равен R—порядку pR во всей плоскости. Наиболее общий результат о связи между величинами рд и ps установлен А.Ф. Леонтьевым [3].

Аналогичные вопросы в случае, когда Н = 0, а область сходимости ряда (2)— полуплоскость П0 = (s = а + it : а < 0}, исследованы А.М. Гайсиным в [4].

При Н = 0, если ряд (2) сходится в полуплоскости П0, то он сходится в П0 и абсолютно. Тогда сумма ряда F аналитична в данной полуплоскости. Класс всех аналитических функций, представимых рядами Дирихле (2), сходящимися лишь в полуплоскости П0, обозначим через D0^).

Пусть S(а, t0) = (s = а + it : \t — t0\ < а, а < 0}—полуполоса. Величины

-— ln+ ln М (а) =— ln+ ln Ms(a)

Pr = lim -——.-, ps = lim -——-

ст^о- |а|-1 а^о- |а|-1

называются порядками по Ритту функции F в полуплоскости П0 и полуполосе S(a, t0) [4]. В дальнейшем рд и ps будем называть порядками в полуплоскости и полуполосе. Если это необходимо, вместо pR и ps будем писать pR( F) и ps(F). В [4] показано, что если

lim п lnn = 0,

п^те Лп

то порядок pR любой функции F £ D0 (Л) равен

Pr = lim 1пЛпln+ |Оп|. (3)

п^те Лп

Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность D. Тогда

те ( Z2 \

L(z)^^¡1 — Л2) (z = x + гу)

п=1 ^ п'

—целая функция экспоненциального типа. Пусть h( p)—индикатриса роста функции L(z). Тогда т = h(+2) < nD* [2]. Очевидно, т—тип функции L(z). Пусть

|L(x)| < еа(х) (х > 0), lim ^(x)lnx = 0, (4)

х^+те x

где д - некоторая неотрицательная на R+ = [0, ж) функция. В этом случае h(0) = h(n) = 0. Следовательно, сопряжённая диаграмма функции L(z) есть отрезок I = [—гг,тг\, h(p) = т| sin p|.

В [4] доказана следующая

Теорема I. Пусть функция L(z) удовлетворяет условиям (4) и имеет тип г (0 < т < ж). Положим q = q(L), где

q(L) = lim п ln

п^те Л,.

п

1

L' (Лп)

Тогда порядок ps в полуполосе S (a,t0) при а> т и порядок pR любой функции F G D0(A) в полуплоскости П0 удовлетворяют оценкам

Ps < Pr < Ps + q. (6)

Для полуполосы S(a,t0) при а < т правая оценка в (6), вообще говоря, не верна [4].

Ясно, что левая оценка в (6) точна. Действительно, если t0 = 0, а коэффициенты ап > 0, то М(а) = Ms(a), и рп = ps. В [4] показано, что если Л—последовательность всех нулей функции типа синуса, то существует функция F G Д0(Л), для которой рп = ps + q при а > т .В общей ситуации правая оценка (6) не точна, более того, пара условий (4) может и не выполняться. Однако может существовать целая функция экспоненциального типа Q с простыми нулями в точках последовательности Л, для которой условия (4) будут выполнены, причём q(Q) = q*, где

1

= nm ^ [ dt,

Хп J t

0

q(Q)—величина, определяемая точно так же, что и q(L) в (5), а п(Хп; t) — число точек ^к = ^п из отрезка {х : |ж — Лп| < t}. Построению таких целых функций Q с заданным нулевым подмножеством Л и требуемой асимптотикой на вещественной оси посвящена статья [5]. Оказывается, в терминах специальной плотности G(R) распределения точек последовательности Л можно указать достаточно общие, но простые и наглядные условия, при выполнении которых справедлива оценка

Pr < Ps + q*

(ps—порядок в полуполосе S(a,t0) ширины больше, чем 2жС(К)), не улучшаемая в классе D0 (Л) [6]. Цель статьи - обобщить и уточнить результаты работ [6], [4] на случай fc-порядков.

§1. Необходимые сведения. Леммы

10. Специальные плотности распределения последовательности Л. Пусть Л = {Ап} (0 < Хп t го) — последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность, L — класс положительных, непрерывных и неограниченно возрастающих на [0, го) функций. Через К обозначим подкласс функций h из L, таких, что h(0) = 0, h(t) = o(t) при t ^ го, h(r) ^ при t t (hj) монотонно убывает при t > 0). В частности, если h G К, то h(2t) < 2h(t) (t > 0), h(t) < h(l)t при t > 1.

К — плотностью последовательности Л называется величина

G(K) = inf ñm , (7)

v у heKt^n h(t) K J

где u(t) = [t,t + h(t)) — полуинтервал, — число точек из Л, попавших в полуин-

тервал u(t).

Пусть П = {ш} — семейство полуинтервалов вида ш = [а, Ь). Через |w| будем обозначать длину ш. Всякая последовательность Л = {Ап} (0 < Хп t го) порождает целочисленную считающую меру ^д:

^а(Ш) = 1, ш G П.

х„еш

Пусть ^г — считающая мера, порождённая последовательностью Г = {^п} (0 < /лп t го). Тогда включение Л С Г означает, что ^л(ш) < ^г(ш) для любого ш G П. В этом случае говорят, что мера ^г мажорирует меру ^л.

Через И (К) обозначим точную нижнюю грань тех чисел Ь (0 < Ь < ж), для каждого из которых существует мера —г, мажорирующая —л, такая, что для некоторой функции К еК

\м(О - ы\ < и(г) (г > 0). (8)

Здесь Л = { Лп}, Г = {—п}, М(I) = £ 1.

Лемма 1 [6]. Величины И (К) и С(К) совпадают: И (К) = С(К).

20. Существование целых функций с правильным поведением на вещественной оси. Пусть Ь и К — классы функций, введённые выше,

а > г, ^ т^- К(х)1пК(х) \ Б = < К е К : ¿(К) = 11т —^-^^ < ж > .

1 ™ х 1п ]

Теорема II [6]. Пусть Л = { Лп} (0 < Лп \ ж) — последовательность, имеющая конечную Б — плотность С(Б). Тогда для любого Ь > С(Б) существует последовательность Г = {—п} (0 < —п ж), содержащая Л и имеющая плотность Ь, такая, что целая функция экспоненциального типа жЪ

/ г2 \

((¿) = П(1 - -г) (г = х + гу) (9)

п=1 —п'

обладает свойствами:

1) Я(Лп) = 0, ( (Лп) = 0 для любого Лп е Л;

2) существует Н е Б, такая, что:

х

1п \((х)\ < АН(х) 1п+ —— + В; (10)

Н( х)

3) если Л(х) = £ 1, и

А„<х

Л(х + р) - Л(х) <ар + Ь + р(х) (р > 0) (11)

1п+ р + 1

(р — любая неотрицательная, неубывающая функция, определённая на луче [0, ж), 1 < р(х) < ах 1п+х + 3), то существует последовательность {гп}, 0 < гп ^ ж, тп+1 — гп = 0(Н(гп)) при п ^ ж, такая, что для х = гп (п > 1)

х

1п\((х)\ > -СН(х)1п+ — - 2р(х) - И; (12)

Н( х)

4) если

1

д=ит^ [п^а*<ж,

п^те Лп ] ь о

то при условии (11)

1п

1

( (Лп)

1

/п^а

о

<ЕН <Л")1п+ нЛЛп>+

+2 <р(Лп) + Р 1пЛп + Ь (п > 1), (13)

где п(Лп; ¿) — число точек Ли = Лп из отрезка {х : \х - Лп\ < Ь}. Здесь все постоянные положительны, конечны.

Отметим, что условие А < го не является следствием оценки (11), если даже функция >р ограничена. Действительно, пусть sup <р(х) < го, 0 < р < 1. Тогда из (11) следует, что

х>0

Л(х + р) — А(ж) < С < го (х > 0). Следовательно, если hn = min — Хп|, то

k=n 1

ln+ -1 < / dt < 2С ln+ 1.

hn J t hn

0

Так что в этом случае А < го тогда и только тогда, когда

lim — ln+ — < го.

n^<x \n hn

Если же функция р> не ограничена, при условии (11) возможна ситуация

sup|A(x + 1) — Л(ж)] = го.

Теперь докажем несколько лемм технического характера. Для этого введем следующие обозначения: ln01 = t, exp01 = t, lnk t = Inlm.. Iii t, exp k t = exp exp ... exp t (k > 1).

k k

Рассмотрим ряд

<x

^e-KÄ, Xn t го, e > 0, m > 1. (14)

n=1

Лемма 2. Ряд (14) сходится для любого £ > 0 тогда и только тогда, когда

ln n \nm Хп lim ---= 0.

п^<х Хп

Доказательство. 10. Необходимость. Пусть ряд (14) сходится для любого е > 0. Так как общий член ряда монотонно убывает при п > п0, то, как известно,

lim пе ln™ =0.

Следовательно, для любого е > 0 найдется номер N(е) такой, что при всех п > N(е) будет справедлива оценка

_£_^а_

пе lnmAn < 1.

Значит при п > N(е)

1 „ ^п

ln п < £

in \ -

lnm, лп

откуда и все следует.

20. Достаточность. Пусть теперь

ln п \nm Хп _ lim ---= 0.

п^<х Хп

Тогда для любого е > 0 найдется номер N(е) такой, что при п > N(е)

1п п \пт Хп < £ Хп 2

Но тогда для всех п > N(е)

- ( 142

£ 1пт Ап —

П

Следовательно, ряд (14) сходится для любого е > 0. Лемма доказана.

Рассмотрим теперь функцию

<Рт&) = <1 -л-7 - ^ (т > 1, Ц,а > 0).

1тптЬ

Эта функция определена при Ь > ехрт-1(0) за исключением точки р0 = ехрт(0), в которой логарифм в знаменателе обращается в нуль. Пусть ¿о - решение уравнения

lnm t 0

а (0 <а ^ 1),

а тахрт(£) = р(¿э), где р = ехрт д. Так как

э) ^ «тпЬ^ ^ *э < ¿о = ехРт (. Следовательно,

lnm р

1, то р ^ ¿э ^ t0. Значит,

тах <рт(Ь) ^ ехрт ( - ) .

Таким образом, доказана

Лемма 3. Для функции при 0 < а ^ 1 справедлива оценка

max <pm(t) ^ expm(-) , р = expm q. t>p \а/

Пусть ( — целая функция экспоненциального типа (9), а 7 — функция, ассоциированная с ней по Борелю. Справедлива следующая

Лемма 4. Для того чтобы существовала неотрицательная на [а, ж) мажоранта д функции 1п \((х)\, удовлетворяющая условию

д(х)1пк_1х

11т

Х^-ГХ

необходимо и достаточно, чтобы

х

0 ( к > 2),

lim 5lnk\j(t)\ ^ 0 ( к > 2), 5= \Ret\. <5—>0+

(15)

(16)

10. Необходимость. Для любого е > 0 при х > х0 > 1 имеем

\Q(x)\ ^ exp[£ Следовательно, полагая 5 = \ Ret\, получаем

х

ln к-ix

\7(i)\ ^ I \Q(x)\е—Xdx ^ А + В I exp ( е

Отсюда

Но

( е-—Х--6х ) dx.

\ lnк—1x )

X0

\7(i)\ ^ А + В exp

max

(

x

> X0 ln к i x

+ 2lnx — öx

exp

x

max(e X> X0 ln к i x

+ 2lnx — öx)

<

^ В1(е) exp

x

max(2e X> X0 ln к i x

— x)

(17)

Применяя лемму 3 к выражению в квадратных скобках, из (17) в итоге получаем

^ С(е) ехрк (у) (0 <6 ^ 1).

Таким образом, условие (16) действительно имеет место.

20. ДОСТАТОЧНОСТЬ. Последовательность всех нулей функции Q имеет плотность Ь. Следовательно, тип функции Q равен nb (сопряжённая диаграмма Q есть отрезок [—nbi,nbi]). Далее, функция Q — чётная. Для х > 0 имеем

Q(x) = 2-J ^(ty^dt, (18)

rÄ

где Г — граница прямоугольника со сторонами, лежащими на прямых Ret =+ 5 (0 < 5 < 1, Imt =+ (nb + 1). Учитывая (16), из (18) получаем, что для любого е > 0 при 0 < < 0( )

|Q(z)| < Се exp[k-1] ГesS- + 6х] (0 < С£ < го). (19)

Оценка (19) верна при любом 5 Е (0, $0(е)]. Имея это в виду, положим

JT-1 -1i а / \ л ln(lnk-ix)2

д 1 = е 1 lnk_ 1ха, а = а(х) = 1----.

lnx

Видим, что а(х) ^ 1 при х ^ го, а при 5 ^ 0+

а ^

Ха = —2--^ го.

ln2-1X

Подставляя выбранное значение для в (19), при х > х0(е) получаем, что

/V» /у

ln |Q(x)| ^ ln С£ ^-2-+ j-o-. (20)

ln k -1 x lnfc-1

Проверяется, что при х ^ го

lnk-!^ = (1 + o(1))lnk-1Z (k > 2).

Учитывая это, из (20) окончательно имеем

х

ln |Q(x)| ^ 2е--, ж >х1(е).

ln k-1%

Это и означает, что

ln |Q(x)| ^ g(x) (х > 0)

для некоторой неотрицательной (и неубывающей) функции , удовлетворяющей условию (15).

Лемма доказана.

§2. Формула для вычисления fc-порядка суммы ряда Дирихле в полуплокости

Величину

=— ln k М(а) ,, , , ,

Pk = lim k I 1 ) (k > 2) (21)

| а | 1

будем называть fc-порядком функции F Е ß0(A) в полуплоскости П0 = : а = Res < 0}.

Здесь М(а) = sup |F(а + й)|. Имеет смысл рассматривать только те функции F Е Д0(А), |t|<^

для которых sup М(а) = го. Из определения fc-порядка (21) видно, что р2 = ри, где ри —

а<0

R-порядок в полуплоскости П0 [4]. Верна следующая Теорема 1. Условие

Inn lnk_ 1 \п . .

lim -Ak 1 п =0 (k > 2). (22)

п^ж Хп

является необходимым и достаточным для того, чтобы для к-порядка (21) любой функции F Е D0 (Л) была справедлива формула

_ ln | о— |

pk = lim п lnfc-i Ап (к > 2; 0 ^ pR ^ ж). (23)

п^ж Ап

Замечание. Пусть степенной ряд

ж

g(z) = ^OnZp" (Рп EN) (24)

n=1

сходится в круге { z : |z| < 1}, причем

Mg(г) = max lg(z)| ^ ж, г ^ ж.

\z\=r

Положим

— lnfcMg (г) rk = lim --^ (0 ^ r < 1).

r-t^ (1 - f)-1

Так как 1 — г = (1 + o(1))| ln r| при r t 1, то

„ (25)

rt^ | ln r|-1

Сделаем замену z = es. Тогда

те

/( s) = g(e s) = ^ anep"s ( s = a + it). (26)

n=1

Ясно, что ряд Дирихле-Тейлора (26) абсолютно сходится в полуплоскости П0. Так как г = еа, то Mg(г) = М(а), и rk = pk, где pk — fc-порядок ряда (26) (это видно из (25) и определения pk. Сформулируем теперь следствие, вытекающее из теоремы 1.

Следствие. Для того чтобы для к-порядка rk любой функции g вида (24) была верна формула

rk = lim ln ][ün 1 ln k—i Pn ( k > 2),

п^ж Pn

необходимо и достаточно, чтобы

= 0 (k > 2).

п^ж Pn

Докажем теорему 1.

10. ДостАточность. Пусть fc-порядок pk функции F конечен. Докажем, что тогда а ^ Pk, где

а = lim —^—— lnk—1 Ап (к > 2).

п^ж Ап

Действительно, из определения fc-порядка получаем, что для любого е > 0 найдется 8 = 8(е) такое, что при 8 < а < 0 будет справедливо неравенство

ln М(а) ^ expk—1(^). (27)

Для а < 0 имеем |оп| ^ М(а)е^^ (п > 1). Отсюда, учитывая (27), при 8 < а < 0 получим

ln |оп| ^ exp k—i(^^^ + Ап|а|.

Если положить t = |<г| 1, то

ln |an| ^ exp k-i(pk + e)t + Хп.

Положим t = t*, где

t = 1 Ь Л«- ^ =1 ln(lnk—1 Ага)2 t* =-1— lnk-i лп , ап = 1----.

Pk + £ Хп

Видно, что ап ^ 1 при n ^ го, а Xе«" = 1п2Л"Л . Так что t* = t*(n) ^ го при n ^ го и

ln |Оп| ^ expk-1 (Pk + е)t*) + Xn (n > Ж = N(e)).

Отсюда, в свою очередь, для всех n > N

ln |ап| ^ + M^l (fc > 2). (28)

in к -i \п lnk-i Кп

Поскольку (это проверяется непосредственно) при п ^ го

ln k-i ХЦп = (1 + о(1))1пк-1Лп (fc > 2),

то при п > N > N из (28) получаем оценку

1n]ап| ln k— i Хп < Pk + 3е (fc > 2).

Лп

Так как е > 0 - любое, отсюда следует, что а ^ рк.

Предположим теперь, что а < го. Докажем, что тогда pk ^ а. По определению величины а, для любого е > 0 найдется номер N = N(е), такой, что при п > N

ln п

—^ lnk—i Ап < а + е (к > 2).

Лп

Пусть к0 = min{n : Хп > р0 = expk—2(0) (к > 2)}. Выберем А(е) так, чтобы при любом п > к0 выполнялось неравенство

(а + е)Ап

|ап| <A(e)exp \-^ (к > 2).

lnk—1 хп

Тогда

Ж Ж /

I F( « )1 < ^ I а„ Iя Л"ст < В + A(r) ^ exJ г,

lnk-1 Хп

ж ж / л \

IF( s)| ^ £ |ап|е^ В + A(e) £ exp - ^

п=1 п=k0 ^ '

^ В + А(е) max exp ( --Ьа| ^^ exp ( — е--

t>Xk0 V lnk-1 t ) =ko V lnk-1 Хп

где q = а + e, q1 = а + 2e, а = Res < 0. Имея в виду условие (22), воспользуемся леммой 2. Тогда

£ exp (—вr^V) = А1ОО < го. (29)

п=Го V lnk-1 Хп)

Оценим теперь функцию

<Р(Ч = Q1]-г — t<7.

lnk-1t

Из леммы 3 следует, что

max <p(t) ^ expk_ J—) , 0 < |а| ^ 1. (30)

t>\k0 V а /

Таким образом, учитывая (29) и (30), имеем

^( в )| ^ В + А2(е)ехрк (|) , 0 < |а| ^ 1.

Следовательно, при —1 ^ а0 < а < 0

( ^ )| ^ ехр к ^^ , 02 = а + 3е.

Отсюда следует, что для любого £ > 0

1пк М(а)

Ы-1

^ Q2, —1 ^ о0 < о < 0.

Это означает, что рк ^ а. Таким образом, а = рк. Отсюда следует, что а = ж тогда и только тогда, когда рк = ж. Таким образом, достаточность доказана.

20. Необходимость. Покажем теперь, что условие (22) является и необходимым для того, чтобы для к-порядка любой функции F Е ß0(A) была справедлива формула (23). Действительно, пусть условие (22) не выполнено, то есть

— lnnlnfc_i Хп

lim --- > 0 (к > 2).

п^Ж Хп

Тогда найдется подпоследовательность {nm}, такая, что для любого m > 1

ln nm lnk_ -i Хп

-m к 1 п >ß> 0. (31)

Хпт

Теперь положим п = ( n > 1) и оценим -порядок функции F, определенной рядом

ж

F (s) = (s = ° + it). (32)

n=1

Мы предполагаем, что выполнено условие

lim lnn = 0. (33)

п^ж \п

Ряд (32) сходится (в силу условия (33) и абсолютно) в полуплоскости П0. Вычисляя к-порядок по формуле (23), имеем рк = 0. Убедимся, что на самом деле к-порядок функции F больше нуля. Действительно, поскольку коэффициенты ап > 0, то М(о) = F(о)

(о < 0). Следовательно, для любого натурального N имеем

N N

М(о) > е ^ е~ЛкН > eNeW > Ne~Лмн = exp(lnN — Xn|о|). (34)

к=[ f ]

Запишем условие (31) в виде

ХПт ^ 11ппт 1пк-1 ХПт (( > 0) (35)

и положим в (34) N = пт. Тогда для любого т > 1 имеем

М(а) > ехр(1ппт — Кт |а|) > ехр(1ппт — 1п Пт 1пк-1 ХПт. (36)

Далее, из (35) видно, что 1п \Пт ^ 21п1ппт при т > т0. Отсюда следует, что 1п к-1 \Пт ^ 21пкпт при т > т1 > т0. Учитывая это, из (36) получаем оценку

2|а|

М(а) > ехр(1п пт--1п пт 1щпт) (т > т1). (37)

В (34) |а| > 0 — любое. Положим а = ат, где ат — решение уравнения

= £ (т >т,).

4М

Тогда из (37) получаем

I ±

2еХР к—1 4|а|

Отсюда

1 ± 2 ехр к-1 4|а|

М(а) > ехр 12 ехРк-1 4^ | , а = ап

1пМ(а) > - ехрк_ 1 ——-, а = ат (т > т1),

и

1п1пМ(а) > 1^-ехРк-1 > 2 еХРк-2 ^, а = ат (т >т2).

Продолжая аналогичные оценки, окончательно получим, что

1п к М(а) > а = ат (т > тк). 8|а

Это означает, что рк > |. Необходимость доказана.

§3. Двусторонняя оценка для к-порядка через к-порядок в полуполосе

Перед тем, как сформулировать теорему, введем в рассмотрение следующие классы функций:

Ьк = {к Е Ь : к(х) 1пк-1 х = о(х), х ^ го} (к > 2),

Кк = {к 65 : к(х) 1п = о(, Х [ , х ^ го} (к > 2).

к(х) \ 1п к—1 х )

Теорема 2. Пусть Л = {Ап} (0 < Хп ^ го) — последовательность, удовлетворяющая условиям:

1) Л(х + р) — Л(х) <ср + й + Р(х) (р > 0), (38)

1п+ р +1

где Л(х) = ^ 1, р — некоторая функция из Ьк (к > 2);

\„<х

1

2) д*к = Г ^п^Ц < го (к > 2), (39)

п^ж \п ^ £

0

где п(Ап; ¿) — число точек Хк = Хп из отрезка {х : |х — Ап| < ¿}.

Если К — плотность последовательности Л равна С(К), то к-порядок р3 любой функции Р Е Д0(Л) в полуполосе 5(а, ¿0) при а > жС(Кк) и порядок ри этой функции в полуплоскости П0 удовлетворяют оценкам

рв < Рк < рв + як ( к > 2). (40)

Доказательство. Так как р Е Ьк, из оценки (38) и определения Кк плотности следует, что С(Кк) < го. Действительно, если р0 = ехрк—2(0), (к > 2),

к(х) = 1П(х+1)1^Х 1(х+Р0+1) (х > 0) то, как легко пPовеPить, к 6 Кк, и

ит < с,

где с — постоянная из условия (38), ш(Ь) = \Ъ+ к(£)). Следовательно, С(Кк) < с < го.

Воспользуемся теоремой II. Тогда для любого Ь, С(Кк) < Ь < ^, существует последовательность Г = {^п} (0 < ^ го), содержащая Л и имеющая плотность Ь, такая, что целая функция экспоненциального типа пЬ

Q(*)=||(1 - (* = x + (41)

Qk(Q) = lim ln \ 1 ln

п^ж Л,

n

( k > 2).

обладает свойствами:

1)Q(Лn) = 0, Q(Лп) = 0 (n > 1);

2) ln |Q(x)|< g(x) (x > 0), geLk;

3) qk (Q) = q*, где q* — величина, определённая формулой (39), а

1

Q (Лп)

Отметим, что оценка 2) и равенство 3) вытекают из оценок (10) и (11) с учётом того, что в случае Rk — плотности в оценках (10), (11) Н e Rk, ар e Lk.

Введём в рассмотрение интерполирующую функцию А.Ф. Леонтьева [3]

u(/i, a, F) = e~a^zJ 7(t) ij F(t + a — rj)emdr] I dt,

с \o /

где F e Д0(А), 7 — функция, ассоциированная по Борелю с целой функцией Q вида (41), С — замкнутый контур, охватывающий отрезок I = [—жЫ,,пЫ} — сопряжённую диаграмму Q, a — произвольный комплексный параметр, Re a < 0. Ясно, что (t + a — г/) e Са, где Са — смещение С на вектор a. В качестве С возьмём границу прямоугольника

Р = {t : |Re i| < h(0 < h < 1), |Im Ц<а}, nG(R) < nb < a.

Докажем, что pk < ps + g* (оценка ps < pk очевидна). Имеем

2

b( Лn,a,F)| < -(1 + a)2|e~aX" | max |eKy| max b(i)| max |F(u)l n yeP tec uePa

Положим a = a — h + it0 (a < 0). Применяя лемму 4 и учитывая то, что на горизонтальных участках контура |7(i)| < М, для любого 8 > 0 при h < h0(8) получаем, что

г

И Xn,a,F)| < e(W+2h)A" expk(^)max |F(u)L (42)

h uePa

Здесь Ра — сдвиг прямоугольника Р на вектор a.

Считаем, что pk < ж. Тогда ps < ж. Из определения fc-порядка ps в полуполосе S(a, t0) следует, что для любого £ > 0 при 0 < |a| < a0(e)

Ms (a) ^ expk [(ps + e)|a|-1].

Отсюда при 0 < |a| < a0(e)

max |F (U)| < expk [(ps + e)M"1]. (43)

uePa

Полагая h = 7|a| (0 < 7 < ж) и учитывая (43), из (42) получаем, что |ш(Лп, a,

F)|< ea+^Mexp

exp k +exp k(i~\) 7|a| |a| _

(44)

где р = р3 + £, 0 < |а| < а1(8, > 0.

Пусть 8 = £2,/у = е. Тогда, пользуясь формулами для коэффициентов [3]

ш(\п, а, ^)

' Q (Лп)

и учитывая (44), имеем

1 ¡--1

(n > 1)

К| <

Q (Лп)

exp [(1 + 2е)Лпt 1 + exp k-1(pit)]

где t = |<г| 1,t > t0(e), р1 = р + е. Это неравенство верно, в частности, при (п > п0(е)) для

1 i а ^ i lnln2 Л„,

— К" 1Лп, ап =1 —

Pl к-1 1-л

Для таких t имеем (см. (28)):

ra

I raI К

Q' (Ara)

exp

(1 + 2e)plA ra ra

(п У no(e)).

ln"" Ara ln2k-1 К

Поскольку ln"" 1 Xra = (1 + o(l))lnfc_1Ara при n ^ го, то, применяя формулу (23) для вычисления порядка рк в полуплоскости, отсюда получаем, что рк К Як(Q) + (l + 2e)(ps + е). Поскольку qk(Q) = q*, £ > 0 — любое, то рк К Ps + 9**, и тем самым, теорема доказана.

Замечание. В доказанной теореме вместо S (a, to) можно брать криволинейную полуполосу К, описываемую вертикальным отрезком длины 2а при движении его центра вдоль кривой, которая лежит в полуплоскости no и имеет общую точку с мнимой осью. И в этом случае оценки (40) имеют место.

Левая оценка в (40) точна. Точность правой оценки при к = 2 доказана в [б]. Вопросу о точности этой оценки в общем случае будет посвящена отдельная статья.

Авторы выражают благодарность участникам Уфимского городского семинара имени А.Ф. Леонтьева по теории функций за внимание к работе и полезное обсуждение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. J.F. Ritt On certain points in the theory of Dirichlet series // Amer. J. of Math. 1928. V. 5G, № 1. P. 73-86.

2. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ, 1955.

3. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. M.: Наука, 1976.

4. Гайсин A.M. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Матем. сб. 1982. Т. 117(159), № 3. С. 412-424.

5. Гайсин A.M., Сергеева Д.И. Целые функции с заданной последовательностью нулей, имеющие правильное поведение на вещественной оси. I. // Сиб. матем. журн. 2GG7. Т. 48, № 5. С. 996-1GG8.

6. Гайсин A.M., Сергеева Д.И. Оценка ряда Дирихле в полуполосе в случае нерегулярного распределения показателей. II// Сиб. матем. журн. 2GG8. Т. 49, № 2. С. 28G-298.

Наркес Нурмухаметовна Аиткужина, Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: Yusupovan@rambler.ru

Ахтяр Магазович Гайсин, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, ll2, 450008, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: Gaisinam@mail.ru

l