Поведение суммы ряда Дирихле с заданной мажорантой роста на кривых Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 2 (2009). С. 17-28.

УДК 517.53+517.537.7

ПОВЕДЕНИЕ СУММЫ РЯДА ДИРИХЛЕ С ЗАДАННОЙ МАЖОРАНТОЙ РОСТА НА КРИВЫХ

А.М. ГАЙСИН, Н.Н. ЮСУПОВА

Аннотация. Изучаются классы целых рядов Дирихле, определяемые выпуклыми мажорантами роста. Получены точные оценки роста и убывания функций из заданного класса.

Ключевые слова: ряды Дирихле, максимальный член, выпуклая мажоранта роста.

Пусть

ГО

/(?) = ^ anzp" (1)

п=0

— целая трансцендентная функция, Р = {рп} — последовательность натуральных чисел, имеющая плотность

л т п

Л = пт —.

п—<х рп

Пойа [1] показал, что если Л = 0, то в каждом угле {z : | arg(z — а)| ^ £} (5 > 0) функция / имеет тот же порядок, что и во всей плоскости. Соответствующий результат для рядов Дирихле

F(s) = ^2 aneKs, 0 < \п Т то, (2)

П= 1

абсолютно сходящихся во всей плоскости, доказан М.Н. Шереметой в [2]: если для последовательности Л = {Ага} выполняются условия Л = 0 и Хп+1 — \п > h > 0 (п > 1), то Л-порядок функции F на положительном луче R+ = [0, то) равен Л-порядку рд функции F во всей плоскости. Более общий результат доказан А.М. Гайсиным в [3], где, в частности, показано, что если Л = 0 и индекс конденсации ^-последовательности Л равен нулю, то pR = р1, где

— Inin |F(s)l р1 = iim - (а = Re s)

sG7 (J

s——<^o

— порядок по Ритту на кривой 7, уходящей в бесконечность так, что если s Е 7 и s ^ то, то Re s ^ +то.

Наиболее общий, но результат несколько иного характера установлен в статье [4]. Для того, чтобы сформулировать его, введем соответствующие обозначения и определения.

Пусть Г = {7} — семейство всех кривых, уходящих в бесконечность так, что если s Е 7 и s —> то, то Re s —> +00.

A.M. Gaisin, N.N. Yusupova, Behaviour of the Sum of Dirichlet Series with a given majorant of a growth on curves.

© ГАйсин А.М., Юсупова Н.Н. 2009.

Работа поддержана грантом Президента РФ по поддержке ведущих научных школ НШ- 3081-2008.1, РФФИ (грант 08-01-00779-а).

Поступила 24 апреля 2009 г.

17

18

А.М. ГАЙСИН, Н.Н. ЮСУПОВА

Через D{Л) обозначим класс целых функций F, представимых во всей плоскости рядами Дирихле (2), а через 0{Л,Я) — подкласс О(Л), состоящий из функций F, имеющих конечный порядок Pr{F) по Ритту:

, ч ^— lnln М(а) . . . . Ч|

Pr{F) = lim -, М(а) = sup |F{а + it)|.

а |4|<те

Для F Е О(Л), 7 Е Г положим

d(F; ;) =' lim , d(F) = inf d(F; ;).

In {Ke s) т^г

Через L обозначим класс всех непрерывных и неограниченно возрастающих на [0, ж) положительных функций.

Последовательность {Ьп} {Ьп = 0 при п > N) называется W-нормальной, если найдется функция в Е L, такая, что (см. [4])

X

lim ( Щгdt = 0, - ln |6ъ| ^ 0{\п) {п > N). х^ж ln X J t2 1

Рассмотрим произведение Вейерштрасса

ж / г2 \

Q{z) = П ( 1 - Т2 ) {0 < Лга t ж)

га=1 V Ап/

Известно, что Q — целая функция экспоненциального типа в том и только в том случае, когда последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность.

В [4] доказана

Теорема А. Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность. Предположим, что последовательность {Q;{Ara)} W-нормальна. Для того, чтобы для любой функции F Е Б{Л,К) выполнялось равенство d{F) = 1, необходимо и достаточно,

чтобы выполнялось условие

чтобы выполнялось условие 1 1

= °- {3)

111 Лу /\п

Пусть целая функция f конечного порядка имеет вид (1). Если последовательность Р имеет плотность А = 0, то d{f) = 1 (d{f) — аналог величины d{F), который определяется по всевозможным кривым, произвольным образом уходящим в бесконечность). Этот факт впервые был установлен Пойа в [1]. Заметим, что равенство d{f) = 1 вытекает из более общей теоремы А. Действительно, так как А = 0, то, очевидно,

11

lim -- У — = 0.

ж^ж ln X Z—' рп

Рп <X

Более того, в данном случае (см. [5])

' 1 Q'{Pn)

Это означает, что существует функция в Е L, 0{x) = о{х) при х ^ ж, такая, что

- ln |Q'{рга)| ^ 9{'рп) {п > 1).

Значит, последовательность {Q'{рп)} W-нормальна.

8 = lim — ln

п^ж рп

0.

ПОВЕДЕНИЕ СУММЫ РЯДА ДИРИХЛЕ С ЗАДАННОЙ МАЖОРАНТОЙ РОСТА НА КРИВЫХ 19

Наконец, если f — целая функция конечного порядка, то полагая z = es, замечаем, что

ГО

F (8) = f (е‘) = Y, апер-

п= 1

— целая функция конечного Л-порядка. Следовательно, d(f) = d(F), и все следует из теоремы А.

Однако, из того, что d(F) = 1, вообще говоря, не следует выполнение равенства Pr(F) = Pj для порядков по Ритту функции F во всей плоскости и на кривой 7 Е Г. Оказывается, если в теореме А условие (3) заменить на более сильное требование

lim -1 ^ -1 = 0, (4)

х^ж ln X лп

К^х п

то Pr(F) = р1 для любой функции F Е D(Л, R).

В настоящей статье приведено обоснование этого факта. Здесь рассмаривается более общая ситуация, а именно изучаются классы рядов Дирихле (2), определяемые некоторой выпуклой мажорантой роста.

1. Вспомогательные утверждения. Основные результаты

Пусть Л = |Лга} (0 < Хп Т то) — последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность D. Тогда

»- ,iii (■ -1)

— целая функция экспоненциального типа не выше nD*, где D* — усредненная верхняя плотность последовательности Л:

t

D* = lim ^, N(t) = f ^ dx, n(t) = £ 1.

Всегда D* ^ D ^ eD* (см., например, в [6]).

Пусть L — класс всех непрерывных и неограниченно возрастающих на R+ положительных функций, Ф — выпуклая функция из L,

^т(Ф) = [F Е £(Л) : lnМ(а) ^ Ф(та) (т > 1)} ,

ОО

где М(а) = sup |F (а + й)|. Положим И(Ф) = (J Дт(Ф).

|t|<ro т,= 1

Наряду с рядом (2) введем в рассмотрение следующий ряд:

F *(s) = ^ anQ\\n)eKs. (5)

П=1

Так как Q — целая функция экспоненциального типа, то ряд (5) абсолютно сходится во всей плоскости, а его сумма F* — целая функция.

Предположим, что введенная выше функция Ф такова, что

iim ^ < м, (6)

х^ж ip(x)

20

А.М. ГАЙСИН, Н.Н. ЮСУПОВА

где ip — функция, обратная к Ф. Для наших целей потребуется следующий класс монотонных функций:

{X

w Е L : fx ^ w(x), lim [ —dt = 0

х^ж <р(х) J t2

Пусть Г = {7} — семейство кривых 7, введенное выше, и пусть для F Е D(A)

d(F; 7) =' fa llnJ518)l), d(F) = inf d(F; 7). (7)

3вЛж ln M (лб S) 76Г

Через ц((г) и р*(о) обозначим максимальные члены рядов (2) и (5) соответственно.

В работе [7] доказан критерий выполнения равенства d(F) = 1 для любой функции F из класса Д(Ф).

В настоящей статье изучаются аналогичные свойства функций F из класса Д(Ф), где

Ж

£(ф) = U а»№,

т= 1

Dm(Ф) = {F Е D(A) : 3{ап} : 0 < {ап} | то, ln М(ап) ^ Ф(тап) (т > 1)}.

Нетрудно увидеть, что эти классы (И(Ф) и Д(Ф)) в каком-то смысле ,,двойственны“, как, например, классы функций конечного Л-порядка и конечного нижнего Л-порядка. В связи с этим возникает естественная задача указать необходимые и достаточные условия, при которых d(F) = 1 для любой функции F из Д(Ф).

Сформулируем основные результаты статьи.

Имеет место

Теорема 1. Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность. Если выполняется условие

lim —^ -1 = 0, (8)

™ *(х) а“^ Хп

то для любой функции F Е 0_(Ф) и любого ft (0 < ft ^ 5) существует множество Ер, нулевой нижней плотности, такое, что справедлива оценка

lim ^ < 2ft + (1 — 20)d(F; 7), (9)

ln п(а)

а^ж

где е@ = [0, то) \ Ер, 7 — любая кривая из семейства Г, а d(F; 7) — величина, определенная формулой (7).

Будем говорить, что последовательность {Q (An)} W(^)-нормальна, если существует в Е L, такая, что

X

lim —^ [-^rdt = 0, — ln | Q'(Ага) | ^ 9(Хп) (п > 1). х^ж (р(х) J t2 11

1

Справедлива

Теорема 2. Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность. Предположим, что последовательность {Q'(Лп)} W(ф)-нормальна.

Для того, чтобы для любой функции F Е 0_(Ф) выполнялось равенство d(F) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (8).

Замечание. Условиям теорем 1, 2, например, удовлетворяет функция

Ф(а) = ехрехр ... ехр(а) (к > 1).

ПОВЕДЕНИЕ СУММЫ РЯДА ДИРИХЛЕ С ЗАДАННОЙ МАЖОРАНТОЙ РОСТА НА КРИВЫХ 21

Следовательно, из них вытекают соответствующие результаты из [4], доказанные для случая к =1.

Следствие. Пусть для последовательности Л выполняется условие (8), а последовательность {Q;(Ara)} W(ф)-нормальна. Если F Е О(Ф), то для любого £ > 0 при всех

о > (е) верна оценка:

in ^(а) < (1 + е) in |F (s*)| (а = Res), (10)

где s* — некоторая точка кривой 7, обладающая свойством: ^es* — а| ^ го. Пусть F Е Б(Л,К). Тогда F Е Б(Ф) для Ф(а) = ест.

Если выполняется условие (8) (в этом случае <р(х) = in х), а последовательность {Q;(A„)} W(^)-нормальна, то из (10) получаем, что Pr(F) = р7 (7 Е Г).

Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться определениями порядков и оценкой М(а — е) ^ К(е)^(а), справедливой для всех а > 0 (см., например, в [6, гл. II, §6, п. 2]) (е > 0 — любое, но фиксированное).

Видим, что следствие из теорем 1, 2 содержит приведенные выше результаты из работ

[2], [3].

Приведем формулировки лемм, которые будут использованы для доказательств теорем. Лемма 1 [8]. Пусть Ф Е L, и для функции р, обратной к Ф, выполняется условие (6). Пусть далее и(а) — неубывающая, положительная и непрерывная на [0, то) функция, причем

т / \ т и(а)

iim иш) = сю, iim -——— <00.

^—~ о—ГО in Ф(а)

Пусть {хп} — любая последовательность, выбранная так, что

и(хп) ^ С 1пФ(ж„), 0 < С < то.

Предположим, что функция w принадлежит классу W(ф). Если v = v(a) — решение уравнения

w(v) = еи(а),

то существует функция w* Е W(ф) вида w*(t) = (t)w(t) (ft Е L), такая, что при a ^ то вне некоторого множества Е С [0, то),

v(xn)

Г w* (t)

mes(E П [0,жга]) ^ o(<p(v(xn))) + 4 dt = o(<p(v(xn))),xn ^ то,

v(xi)

имеет место оценка

f w(v(a))\ . . и \ а +--< и(а) + о(1).

V v((j) )

Лемма 2 [9]. Пусть F Е П_(Ф), где Ф Е L. Тогда существуют т > 1, последовательность Oj Т то такие, что при а = aj

in^(а) ^ Ф(та), inр*(а) ^ Ф(та),

где р,(а), р,*(а) — максимальные члены рядов (2) и (5) соответственно.

Если F Е ^(Ф), то данные оценки верны при всех а.

Лемма 3 [10]. Пусть 7 — кривая, соединяющая точку z0 с окружностью {z : ф — z0| = R}, состоящая из конечного числа кусочно-гладких жордановых кривых, а g(z) — функция, аналитическая в круге D(z0; R) = {z : ф — z^ < R} и непрерывная в ее замыкании D(z0; R). Пусть

М = ^max |g(t)| , т = max |g(t)| .

D(zo;R) 7

22

А.М. ГАЙСИН, Н.Н. ЮСУПОВА

Тогда при 0 < ft ^ 5 для всех z из круга D{z0; 0R) верна оценка:

^{z^ ^ т1-2^Мw. {11)

Отметим, что лемма 1 — утверждение типа Бореля-Неванлинны. Лемма 3 основана на теореме о двух константах и является аналогом известной леммы Карлемана-Мию. Лемма

2 очевидна (она следует из неравенств типа Коши).

2. Доказательство теоремы 1 Последовательность Л = {Ага} имеет конечную верхнюю плотность. Следовательно,

-— п{х) -— N {х) lim - < ж, lim - < ж.

ж^ж х х^ж х

Проверяется, что

X

1 Г N it)

sup

х>0

Е

Л„ ^х

Отсюда с учетом (8) получаем, что

А„ J t2

о

а < ж.

X

1 [ N {*), lim ——dt = 0.

Х^ж !^{х) J t2

о

Положим w{t) = max{v^, N{et)). Ясно, что w Е W{ф). Тогда, очевидно, существует функция w* Е W{ф) такая, что w*{x) = ft{x)w{x) {ft Е L).

Пусть v = v{a), p = p{o) — решения уравнений

w1{v) = 3ln p{a), w1{p) = 2ln ф*{а), {12)

где w1{v) = \Jft{x)w{x). Положим

Rv = | aj | еЛ^a, h = —, v = v{a).

Лj >

Так как последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность, то С = ^2 А-2 < ж.

П=1

Следовательно, верна оценка (см., например, в [10])

Rv ^ Сф{а + h) exp [-{1 + o{1))w1{w)]. {13)

Рассмотрим функции и{а) = ln 3+lnlnр{а), и*{а) = ln 2+lnlnф*{а). Поскольку F Е Д{Ф), то согласно лемме 2 найдется последовательность {tj } {0 < Tj t ж) такая, что

и{а) ^ ХпФ^о), и*{а) ^ ЫФ^ст) а = Tj {т > 1).

Следовательно, с учетом (12) при а = Tj {j > 1) имеем

lnw1{v{a)) = и{а) ^ lnФ{ma), lnw1{p{a)) = и*{а) ^ ЫФ^а) {т > 1).

Значит,

1 т 1 т

—( ( \w , ° = тз, m > 1. {14)

a p{w1{v{a))) a ^{w1{p{u)))

Учитывая условие (6) и то , что \JX ^ w1{x), имеем

<£>{х) ^ C'1^{w1{x)), х > х0 {0 < С1 < ж). {15)

ПОВЕДЕНИЕ СУММЫ РЯДА ДИРИХЛЕ С ЗАДАННОЙ МАЖОРАНТОЙ РОСТА НА КРИВЫХ 23

В итоге из (14) и (15) получим оценки

1 < С2 1 < _С2

а < ^{v{a)), а < <р{р{а)) Далее, поскольку w* Е W{ф), то

— < ( , — < t_t_^, с = тз {0 < С2 < ж). {16)

lim ^Xl = 0, {17)

■ ■ ■ х^{х)

х^ж

х

mes{E'p П [0, Tj]) < о{<р{ь{т,))) + 4 dt = o{Tj), Tj ^ ж, {19)

lim dt = 0. {18)

^ж ф{х) J t2 v 7

1

Очевидно, при замене условия и{а) < С 1пФ{^) при а = Tj на и{а) < ЫФ^ст) при а = Tj {j > 1, ш > 1) заключение леммы 1 останется тем же, если остальные условия оставить без изменений. Поэтому, применяя лемму 1 для функций и и w1 и учитывая при этом (16)—(18), вне некоторого множества Е'^ С [0, ж) ,

V(Tj )

W*{t)

—- ас = u{,j), ,3

v(ti)

при a ^ ж получаем, что

р{а + {ft-1 + 1)h{a))= р{(г)1+о{1) {0 <ft < 1). {20)

Следовательно, из (13), (20) получаем, что при а ^ ж вне

Rv < Ср{а)1+о(1') exp [-W1{v){1 + о{1))] = ^{а)-2(1+о(1)). {21)

Пусть

Ра{s) = ^2 йпeKS {s = а + ^).

Лп

Справедливы следующие формулы А.Ф. Леонтьева для коэффициентов [5]:

ап = е-аЛп 2— j (pn{t)Pa{t + a) dt,

с

где

ж

1 Г qa{X) —Л1л\„?\\_ ТТ Л д2

П (1 - Э ■

ыг)=f-t е-Л‘dX■ ^А)=л11 -^

0 Лп

а С — любой замкнутый контур, охватывающий сопряженную диаграмму qa, то есть начало координат. Учитывая (21) и пользуясь формулами для коэффициентов, легко показать, что при а ^ ж вне Е^ (это делается точно так же, как и в [10])

Лпа < .....+ Д1СТ j ' '

|£—а| ^h(a)

Пусть

ЫМ{Хп)^ < р{а)-2(1+о(1)) + р{а)о(1) max |F{£)| {п > 1). {22)

К =^2 ^ №{^п)\еЛп°, р = р{а).

Л„ >р

Но и*{а) < Ф{та) при а = Tj ({Tj} — последовательность, введенная выше), где и*{а) = ln 2 + lnlnр*{о). Поэтому, применяя лемму 1, из тех же рассуждений, при помощи которых была получена оценка для Rv, получаем, что

ж

Д* < Ср*{а)-2(1+о(1)), С = ^ —,

п=1

24

А.М. ГАЙСИН, Н.Н. ЮСУПОВА

если а ^ то вне некоторого множества Е1 С [0, то) (Е1 от (3 не зависит),

mes(E1 П [0,Tj]) ^ o(ip(p(rj))) = o(tj) Tj ^ то. (23)

Отсюда следует, что Хк(а) ^ р(&), если а > а1 а Е Е1. Здесь к(а) — центральный индекс ряда (5).

Пусть Е^ = Е'р U Е1. Тогда, учитывая (14),(19), (23) и то, что w* Е W(ф), при Tj ^ то получаем, что

mes{Ep П [0,Tj]) - ^ ^2

mes{E'^ П [0, Tj]) mes(E1 П [0, Tj])

= о(1).

p(V(Tj )) p(p(Tj ))

Поскольку Rv ^ 1, R* ^ 1 (v = v(a), р = р(а)) при а > а3, а Е Ер, то, очевидно,

1) К (а) ^ v(a); 2) \к{а) ^ р(а), где v(а), к(а) — центральные индексы рядов (2), (5). Далее, для \п ^ р(а)

I , I 2 т-г

| Q'(Ап) К д- П

1 Xj 4р(&)

Но при \п ^ р(а) и а ^ то

\2Л , , s К, р

in Y\ (1 + ^ п(р)~ + 2N(р) ^ 3N(ер) = o(ln^*(<r)), р = р(а).

аД^Л V р

Так что для \п ^ р(а) и а ^ то имеем: | Q'(Лга)| ^ * (<г)]о(1). Следовательно, ^*(<г) = |а^^(\k)|eAfcCT ^ ^(а) [р*(<г)]о(1), где р = р(<г), к = к(а). Значит, (1 + о(1)) ln^*(<r) ^ ln^(<r) при а ^ то. Так что w1(p) = 2ln^*(<r) < 3ln^(<r) = w1(v) (a > a4). Это означает, что Хк(а) ^ р(&) < v(a) при а > а4, а Е Ер. С учетом этого из (22) получаем, что при а ^ то вне Ер = Е^ U Е1

р*((г) < 1 + р.(<г)о(1) max ^(^)| , (24)

|£—а| ^п((7)

где а = а + it (а Е 7).

Дальнейшие рассуждения основаны на лемме 3. Пусть 7(а) — часть кривой, содержащейся в круге D(a; hfl-1) (0 < ft ^ 1 ,h = h(a)). Применяя лемму 3, имеем [10]:

mmx, )\FK)| < (2|F(4)|)1-2SM2'3(a + 13~1Ыа)), (25)

l^-al^-h(a)

где z'a — некоторая точка из 7(a). Далее, учитывая (20), получим

^(а) ^ М(а) ^ М(a + ft-1h(<r)) ^ а^е^^^13 h(a) ^

П=1

+ (1+P-1)h(a))[n(v(a))+ ^ e~h(tj)Xn] < ^(а)1+о(1), (26)

An >v(a)

когда а ^ то вне Е^. Следовательно, с учетом оценок (25), (26) из (24) получаем, что при а ^ то вне множества Ер = Е^ U Е1 нулевой нижней плотности

(1 + о(1)КМ « 2|F(-')|1-2'3M<T)a+°a))2'’, 4 Е 7(a).

Следовательно, при а ^ то вне Ер

^ < (1+о(1))2/3 +(1 — 2fl)l,;n^l, 0 <0 « i (27)

ПОВЕДЕНИЕ СУММЫ РЯДА ДИРИХЛЕ С ЗАДАННОЙ МАЖОРАНТОЙ РОСТА НА КРИВЫХ 25

Так как | Re z'a — а| ^ ft 1h, учитывая оценки (26), окончательно получаем, что

К ^ < 2ft + (1 — 20)d(F; 7), (28)

ln а(а)

а^ж

где 0 < ft ^ 1, ер = [0, то)/Ер.

Теорема 1 полностью доказана.

3. Доказательство теоремы 2

Достаточность. Последовательность {Q'(Ага)} W(^)-нормальна. Следовательно, существует в Е L такая, что

X

lim [ ^rdt = 0, — ln | Q'(\n) |^ 0(Хп) (п > 1). х^ж (р(х) J t2 11

1

Положим w(x) = max(^(et),9(t),\/i). Ясно, что w Е W(ф). Тогда существует w* Е W(ф) такая, что w* = ft(t)w(t) (ft Е L). Пусть, как и в теореме 1, v = v(a) — решение уравнения

w1(v) = 3 ln у(а),

где w1(t) = фft(t)w(t). При доказательстве теоремы 1 было установлено, что если а Е ер, то Хи(а) ^ v(a), ^к(а) ^ v(a), где v (а) — центральный индекс ряда (2), а к (а) — центральный индекс ряда (5). Те же оценки, в том числе и оценка (28), будут иметь место и в данном случае. Следовательно,

| 1 Q' (Ап)

при а Е ер и а ^ то. Так что при а Е ер и а ^ то

(1 + o(1))ln^(а) ^ lnф*(о). (29)

Но тогда из (28) следует, что

1 ^ 2ft +(1 — 2ft)d(F,j) ^ 1, 0 <ft ^ 1.

5

Устремляя ft к нулю, отсюда окончательно получаем равенство d(F,*y) = 1. Следовательно, d(F) = 1.

Необходимость. Будем доказывать от противного. Пусть для любой функции F Е 0_(Ф) выполняется равенство d(F) = 1, но

,— 1 1 , ч

lim —— — > 0. (30)

^ж <р(х) ф-ф Хп

Х„^х

Рассмотрим функцию

ж

Лп) X S

_{_£> лпь

п=1 V1 + /Уп)

F(s) = -2 ^ / "л eXnS (S = ° + tt),

() ^ (1 + Х,ф) Q' М ( ^

где

,,(А) = ц( 1 + А) е-*, 0(А) = ц(! — J).

п=1 4 7 п=1 4 ,1/

Поскольку п(х) = О(х) при х ^ то, то, учитывая (30), как ив [11], показывается, что

Ыф(х) ^ — dxLp(x) (ж > 0), 0 < d < то. (31)

26

А.М. ГАЙСИН, Н.Н. ЮСУПОВА

Покажем, что F Е £{Ф). Сначала оценим

Q' (л„)

{Q' W{^-нормальна, следует, что существует 9{х) Е L такая, что

Из того, что последовательность

X

lim dt = 0, - ln |Q'(Лга)| < 9{Хп) {п > 1).

с^ж !£{х) J t2

Отсюда видно, что, в частности,

lim ^ = 0.

2 ^{х)

х—>оо

С учетом (6) имеем

Р{х) < c^{VX) < с^(х^) {х > 4).

Следовательно,

1 0{х) lim -— = 0.

х^ж Х'^{х)

Поэтому

9{х) < е{х)х^{х), х > х0, {32)

где е{х) ^ 0 при х ^ ж. Таким образом, учитывая (32), для любого 8 > 0 при некотором С1 = С'1{^) {0 < С1 < ж) имеем

1

< ев(Л") < C1eSK<p(K) {п > 1). {33)

тл„)|

Зафиксируем 8, 0 < 8 < 2d. Тогда из (31), (33) получаем, что

ж 1 1 М{а) = sup ^{а + Щ <Y^ {1 + л )2 ]п/(л ^ф2{Хп)еЛ"а <

|*|<ж “ {1 + А„)2 W{Лга)|

ж

< 7-егл"^(л")е-2йл"^(л")ел"ст < Сmaxexp[{£ - 2d)t<p{t) + ta],

“ {1 + А„)2 t>o

П=1 4 7 ж

где С = С1С2, С2 = ^2 (1+Л )2. Заметим, что данный максимум достигается в точке

П=1

t* < Ф (т^б). Следовательно,

М{а) < Ceat* < Сеаф{2—).

Но Ф — возрастающая выпуклая функция. Следовательно, ф(^) t ж при а ^ ж. Значит,

М{а) < Сеф(а)ф{2d-s) < Сеф2(Аа), 0 < А < ж. Следовательно, М{а) < Сеф2(Ва') при некотором В > А и при всех а. Далее, из (6) следует, что Ф2{а) < Ф{Та) при о > а1 {0 < Т < ж). Учитывая это, окончательно получаем, что ln М{а) < Ф{ка) {а — любое, к — некоторое натуральное число). Это означает, что F Е ^{Ф). Тем более, F Е Д{Ф).

В работе [11] показано, что |F{а)| < М < ж {0 < а < ж). Это означает, что d{F; [0, ж)) < 0. Так что d{F) < 0. Получили противоречие. Следовательно,

1 \ - 1

lim —— } — = 0.

^ж ^{х) Хп

Лп<х

Теорема 2 полностью доказана.

ПОВЕДЕНИЕ СУММЫ РЯДА ДИРИХЛЕ С ЗАДАННОЙ МАЖОРАНТОЙ РОСТА НА КРИВЫХ 27

Доказательство следствия. Поскольку F Е ^(Ф), то в леммах 1 и 2 вместо хп и aj можно брать непрерывные величины х и а. Поэтому оценки (27), (29) будут справедливы вне некоторого множества Ер нулевой плотности, то есть

= lim П 1М> = 0.

х^ж X

Если а Е ер = R+ \ Ер, то оценка (10) вытекает из оценок (27), (29), если число ft (0 < ft ^ 1) выбрать достаточно малым. Если о Е Ер, положим а' = inf{х Е ер : х > а}. Так как DEp = 0, то а' = (1 + о(1))а при а ^ то (а Е Ер). Значит, для любого а Е Ер, для любого е1 > 0 найдется а* Е ер, а < а* < (1 + е1)а. Тогда из (27), (29) получаем, что для любого е2 > 0 при а > а1(е2) и ft ^ ft0(е2)

ln^(а) ^ ln^(а*) < (1 + £2) ln \F(s*)|,

где s* Е 7, \Res* — а*\ ^ ft-1h, h = t*)).

Так как w1 Е W(<p), то, учитывая первую оценку из (16), при а* ^ то имеем

— = О ^ 0.

\v(a*)p(v(a*)))

^v(a*)p(v(a*)) _

Значит, при а > о2(е1) получаем

\Re s* — а\ ^ ft-1h + е1о ^ 2е1о.

Осталось взять е2 = е, £1 = |. Тогда требуемая оценка (10) выполняется при а > 0о(е). Следствие доказано.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G. Polya Untersuchungen uber Lucken und Singularitaten von Potenzeihen jj Math. Z. V. 29. 1929. P. 549-640.

2. Шеремета М.Н. О росте на действительной оси целой функции, представленной рядом Дирихле jj Математ. заметки. Т. 33, вып. 2. 1983. С. 235-245.

3. Гайсин А.М. Поведение суммы ряда Дирихле заданного роста jj Математ. заметки. Т. 50, вып. 4. 1991. С. 47-56.

4. Гайсин А.М., Латыпов И.Д. Асимптотическое поведение суммы ряда Дирихле заданного 'роста на кривых jj Математ. заметки. Т. 78. № 1. 2005. С. 37-51.

5. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука. 1980. 384 с.

6. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983. 175 с.

7. Юсупова Н.Н. Поведение рядов Дирихле заданного роста на кривых jj Вестник УГАТУ. Т. 9. № 3 (23). 2007. С. 40-45.

8. Юсупова Н.Н. Теорема типа Бореля-Неванлинны для функции заданного роста jj Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции „Студент и научно-технический прогресс“: Математика. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2006. С. 32.

9. Юсупова Н.Н. Устойчивость логарифма максимального члена ряда Дирихле заданного роста jj VI Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии. Сборник трудов. Математика. Уфа: РИО БашГУ, 2006. С. 190— 202.

10. Гайсин А.М. Оценка роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых jj Матем. сб. Т. 194. № 8. 2002. С. 55-82.

11. Гайсин А.М. Об одной гипотезе Полиа jj Изв. РАН. Сер. матем. Т. 58. № 2. 1994. С. 73-92.

28

А.М. ГАЙСИН, Н.Н. ЮСУПОВА

Ахтяр Магазович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: gaisinam@mail.ru

Наркес Нурмухаметовна Юсупова, Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: YusupovaN@rambler.ru