Минимум модуля ряда Дирихле, сходящегося в полуплоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 4 (2013). С. 51-59.

УДК 517.53

МИНИМУМ МОДУЛЯ РЯДА ДИРИХЛЕ, СХОДЯЩЕГОСЯ В ПОЛУПЛОСКОСТИ

А.М. ГАЙСИН

Аннотация. В терминах минимума модуля на континуумах, близких к вертикальным отрезкам, изучается поведение суммы ряда Дирихле вблизи прямой сходимости вне некоторого множества исключительных кружков. Этот результат обобщает известную теорему о минимуме модуля на вертикальных отрезках из полуплоскости сходимости.

Ключевые слова: ряды Дирихле, полуплоскость сходимости, теорема о минимуме модуля.

Mathematics Subject Classification: 30D10

1. Введение

Методы получения асимптотических оценок суммы целого ряда Дирихле на вертикальных отрезках в терминах максимума или минимума модуля, а также на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность, к настоящему времени хорошо известны (по этому поводу см., например, [1] - [3]). Оказывается, поведение суммы ряда Дирихле на кривых — не что иное, как ее глобальное поведение вне некоторого множества исключительных кружков. Об этом и пойдет речь в настоящей статье в случае, когда область сходимости ряда Дирихле — полуплоскость.

Пусть Л = {Лп} (0 < Лп Í го) — последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность, а ДС(Л) — класс всех функций F, представимых в полуплоскости Пс = {s : Re s < с} (—го < с ^ +го) рядами Дирихле

ГО

F (s) = ^ ап ex"s (s = а + it), (1)

n= 1

сходящимися лишь в данной полуплоскости. Для удобства термином "максимум модуля" в дальнейшем будем называть величину

MF (а) = sup |F(а + it) |, а < с.

|t|<ro

Вкратце остановимся на общей схеме рассуждений, позволяющей получать оценки максимума модуля Mf(а) через минимум модуля F на вертикальных отрезках.

Асимптотическая оценка величины Mf (а) для суммы F целого ряда Дирихле (1) через максимум |F| на вертикальном отрезке I = {s = а + it : |t — to| ^ H} определенной длины получена в [1]. При этом длина |I | отрезка I должна быть не меньше некоторой характеристики, близкой к аналогичным характеристикам, позволяющим определять радиус полноты системы экспонент |eiAfc^ в пространстве C[а, b] (или L2[a,b]) (по этому поводу

A.M. Gaisin, Minimum of modulus of the sum of Dirichlet series converging in a half-plane.

© ГАйсин А.М. 2013.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-01-97004-р_поволжье_а).

Поступила 28 апреля 2013 г.

см. в [1, 4, 5, 6]). Естественно ожидать, что при оценке Ыр(а) через минимум модуля, длина отрезка I в общей ситуации не может быть слишком большой. Ясно, что в этом случае чем больше |11, тем лучше оценка. При естественных ограничениях на последовательность центральных показателей целого ряда (1) в [3] показано, что при а ^ +го длина отрезка |11 может расти как величина 0(а9) (0 < д < 1).

Поясним общую схему и суть идеи, при помощи которых реализуются следующие асимптотические оценки для любой функции ^ Е Д^(А), (аналогичая схема при соответствующей ее модификации, как увидим, применима и для случая Д0(А)):

а) для всякой кривой 7, уходящей в бесконечность должным образом, существует последовательность {£„}, £п Е 7, такая, что при £п ^ го

1п Ыр (ап) = (1 + о(1))1п |^ (£п )| , ап = Ке £п ;

б) при а ^ го вне некоторого множества Е С

1п Ыр (а) = (1 + о(1)) 1п шр (а), где шр(а) = шт |^(а + й)|, I = I(а) — отрезок мнимой оси, вообще говоря, переменной длины.

Пусть Л — последовательность, подчиненная естественным условиям [2]:

СЮ ^

1) у < го; 2) / ^^< гo, (2)

п=1 п 1

( X2 \

где с(£) = шах дп, дп = - 1п |ф'(Ап)|, ф(х) = П 1 - ту .

п=1 у

Общая схема метода, позволяющего получать оценки типа а), б), следующая. Сначала находится отрезок ряда Fv(s) = У aneAnS (v = v(a)), такой, что

An^v

|F(s) - Fv(s)| < 1 (3)

для всех а ^ а0 вне E, mes E < го. На следующем шаге показывается, что вне E

Mf(а) < ew(v) max |Fv(z)|, (4)

|z—a|

w* (v)

где a E C (Re a = а) — любое, 8 = ----------; w, w* — некоторые непрерывные монотон-

v

но возрастающие функции из класса сходимости W, т.е. x—2w(x), x—2w*(x) из L1[1, го), w(x) = o(w*(x)) при x ^ го, w(v) ^ N(v) + c(v), w(v) = o(ln Mf(а) при а ^ го [2]. Здесь

x

пИ(

0 An^í

верна и для F.

Утверждение а) получается из (4) путем применения теоремы о двух константах (при этом предполагается, что a E 7) и некоторой леммы типа теоремы Бореля—Неванлинны (см. в [2]).

Чтобы из (4) получить утверждение б), возникает необходимость перейти к подобной оценке для круга {z : |z — a| ^ 82}. Поэтому поступаем следующим образом (см., например, в [7]). Применяя теорему о двух константах и учитывая асимптотическую оценку (она является следствием леммы типа Бореля—Неванлинны [2])

lnMf(а + 8) < (1 + o(1))lnMf(а), а ^ го, а E E,

можно считать, что оценка (4) имеет место для вертикального отрезка I длины 28 (с центром в точке a) [7]. Теперь задача сводится к тому, чтобы отрезок I заменить на

с — функция из (2), N (x) = f n^ dt, n(t) = ^ 1. Из (3) видно, что оценка типа (4

меньший отрезок 3 С I, длина которого 2$2. А эта задача обычно решается при помощи следующей леммы П. Турана [8]: если ^ < ^2 < • • • < ^п и

p(t) = £ bj e“«,

j = l

то

IIpHj ^ (2eJ|) IIpIIj. (5)

Здесь I, J — отрезки мнимой оси, J С I, ||p||j = max |p(t)|.

itGJ

Если I, J — прежние отрезки, учитывая оценку (5), остается перейти из отрезка J на круг {z: |z — а| ^ £2}.

Лемма Турана иногда заменяется на другое утверждение, основанное на свойствах преобразования Фурье (см. в [1], [3]).

Имеется и другой подход, основанный на применении известных формул А.Ф. Леонтьева для коэффициентов квазиполинома Fv [9, гл. I, §2, п. 1]. В этом случае вне некоторого множества E С R+ конечной меры

MF(а) ^ ew(v)Hv(¿2) max |Fv(z)|, (6)

\z—al^.S2

ос ( z2 )

где Hv(£) = f M(r, qv)e-r5 dr, qv(z) = П (l — T2 ). С учетом оценки N(v) ^ w(v) из (6)

о а„<Л К'

получается, что ( )

MF(а) ^ 2e3w(v) ex^max^(r)) max |Fv(z)|,

V r^0 / \z-«\^52

где <^(r) = n(v) lnfl +—— r02. Но максимум функции ^ достигается в точке Го ^ —:(-), V V2/ о2

и потому

^(Го) ^ n(v)lnfl + 4-2^) = o(n(v)ln —

V n2(v)/ V n(v)/

при а ^ го. Значит,

MF(а) ^ e3w(v)+An(v)inmax ^(z)|. (7)

|z-а|^й2

С другой стороны, для p = Fv первый сомножитель в (5) при а ^ го тоже есть величина

exp ^O ^n(v) ln ^ exp ^O ^¡(v) ln V ^ j ,

так как ln | ^ ln . А для получения из (7) требуемой оценки б) для минимума модуля mF(а) важно [7], чтобы для функции n(t) ln существовала мажоранта w из класса W, что равносильно тому, что [3]

/ \ л t

Г n(t) ln -TTT

J -----n dt < го. (8)

Ax

Но тогда во всех случаях при а ^ го вне E, mes E < го,

MF+o(1)(а) i max 2 |F(z)| = |FK)|.

|z-а|^д2

Это — основная оценка для максимума модуля, откуда тем же способом, что и в статье [7], можно получить требуемый результат, если для круга D(£, 20) к F применить следующую лемму об оценке аналитической и ограниченной в единичном круге функции снизу.

Лемма 1. [10] Пусть функция д аналитична и ограничена в круге (г: |г| < Я}, |д(0)| ^ 1. Если 0 < г < 1 — Ж-1 (Ж > 1), то существует не более чем счетное множество кружков

К = {г: |г — г„| ^ рп}, ^рп ^ Ягм(1 — г),

п

таких, что для всех г из круга (г: |г| ^ Яг}, но вне у Уп справедлива оценка

п

Я - ы

1п |д(г)| ^ 1п |д(0)| — 5^, (9)

где

2п

Ь =-1-11п+ |д(Яе‘")| ^ — 1п |д(0)|.

0

Условие (8) является естественным и, скорее всего, оптимальным при рассмотрении задач типа б). Это в какой-то мере подтверждается тем, что отказ от данного условия ведет к деформации отрезка I (см. ниже, а также [3]).

Для функций Е Е ДГО(Л) проблема о минимуме модуля в достаточно полной мере изучена в работе [3], где получены законченные результаты. Важно отметить, что в данной работе функция Е может иметь сколь угодно быстрый рост. Некоторые важные теоремы о минимуме модуля суммы ряда Дирихле, сходящегося лишь в полуплоскости П0, установлены в [11]. Соответствующие результаты о менее регулярном поведении функций Е Е ^о(А) , а именно на кривых, примыкающих к мнимой оси, доказаны в статье [12].

Цель статьи — перенести результаты работы [3] о минимуме модуля функций из ДГО(Л) на случай функций из класса Д0(А) и тем самым усилить и обобщить соответствующие утверждения из [11], [12]. В этой связи отметим, что в случае, если Е Е Д0(А), возникают специфические трудности, связанные с оценкой размеров исключительных множеств е С [—1, 0). Поэтому в случае полуплоскости П0 (или единичного круга для лакунапных

ГО

степенных рядов f (г) = ^ апгРп, рп Е М) поступают следующим образом. Фиксирует-

п=1

ся некоторая монотонно возрастающая непрерывная функция Ф и выделяется некоторый подкласс функций Е Е Д0(А), удовлетворяющих, например, условию

Щш ^4 > 0,

Ф (и)

где ^(а) — максимальный член ряда (1). Тогда переменная относительная плотность

шев(е П [а, 0))

Д(а)

а

исключительного множества е С [—1, 0), вне которого для функции Е справедливы требуемые оценки, обычно зависит только от поведения величины

ГО

, . [ ^(х) ,

£

где ^ — функция, обратная к Ф, а ,ш = и>(х) — некоторая функция распределения последовательности Л [11]. Если, например, ,ш Е Ж ^ (определение см. ниже) и <^(х)эд(х) = о(х) при х ^ го, то, оказывается, нижняя плотность ^е множества е равна нулю. В остальном общие методы доказательства те же, что и в случае ДГО(Л). Поэтому основной смысл данной работы заключается в том, чтобы более точно указать расположение и размеры

исключительных кружков, вне которых верна требуемая оценка для функции 1п |Е(з)| в терминах минимума модуля в полуплоскости По.

2. Определения и необходимые сведения

Пусть Ь — класс всех непрерывных, неограниченных и возрастающих на [0, го) функций. Пусть

Если De = de, то говорят, что множество e имеет плотность.

Теоремы типа минимума модуля основаны на утверждениях, связанных с оценкой логарифма модуля аналитической и ограниченной в круге функции вне некоторого множества кружков снизу. Как было отмечено, для получения подобных оценок полезной является лемма 1. Сделаем одно замечание об исключительных кружках из этой леммы. При L = 0 оценка (9) следует из неравенства Гарнака, и она верна всюду в круге {z: |z| < R} (см. в [10]). Пусть теперь L > 0. Оценка (9) справедлива в каждой так называемой легкой точке круга D = {z: |z| ^ Rr} [10]. Остальные точки круга D называются тяжелыми. С каждой тяжелой точкой z связан некоторый круг (см. в [10], [13]) Kz = {£: |£ — z| ^ pz}. Как известно, из покрытия множества тяжелых точек кружками Kz ограниченного радиуса pz можно выделить не более чем счетное, при котором каждая тяжелая точка будет покрыта не более чем шестью кружками [14]. В круге D функция g имеет лишь конечное число нулей ai, a2, ... , an. Очевидно, они все являются тяжелыми точками.

Несколько увеличивая радиусы исключительных кружков, можно считать, что оценка (9) верна вне объединения открытых кружков Vn = {z: |z — zn| < pn} с общей суммой радиусов

Далее, выкидывая из D все открытые кружки из V, содержащие аі, а2, ..., ап (их не более 6п штук), получим замкнутое множество, которое обозначим через С. Пусть

го

1

класс сходимости, а

W р = {w Є W : lim <^(t)J(t; w) = 0},

t—ГО

где Є L, J(t; w) = f Wxr dx. Введем также множество Wр С W р :

t

Wр = {w Є W : lim <^(t)J(t; w) = 0}.

t—— <TO

Будем говорить, что две функции ^ и ,ш из класса Ь согласованы, если <^(х)эд(х) = о(х) при х ^ го.

Пусть е С [-1, 0) — измеримое по Лебегу множество. Верхней De и нижней de плотностями называются величины [11]:

Y^Pn í RrN, r< 1 - N, N > 1.

n

Тогда для всех £ Е D вне V = У УП подавно верна оценка

n

(10)

B = {z Є C: G(z) í -6NL}.

Множество В замкнуто, и В С V. Следовательно, по лемме Гейне—Бореля, существует конечное число кружков из V, покрывающих В. Значит, для любого £ из С \ В вне указанных кружков верна оценка (10). Таким образом, имеет место

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда имеется конечное число кружков Уп = (г: |г — £п| < рп} (1 ^ п ^ т) с общей суммой радиусов

^рп ^ RrN, r< 1 - N (N ^ 1), (11)

n=1

вне которых в круге {z: |z| ^ Rr} верна оценка:

G(z) > —6NL, где G — функция, определенная в формулах (10).

3. Основной результат

Пусть Л = {An} (0 < An I го), lim зП = D < го,

и^<х Лп

Q(z) = П i1 - аО • (12)

n=1 \ AnJ

Ясно,что Q — целая функция экспоненциального типа. Обозначим M(r; Q) = max |Q(z)|.

|z|=r

Предположим, что последовательность Л распределена так, что для некоторой функции ф G W р выполняются оценки

-ln |Q'(A„)| ^ ф(Л„) (n > 1). (13)

Отметим,что в случае, если F G D^(A), то требуется, чтобы оценка (13) выполнялась для ф G W, причем это требование существенно для выполнения оценок а),б) (см.Введение) [2].

Сформулируем основной результат. В указанных предположениях для Л верна

Теорема 1. Пусть p — некоторая фиксированная функция из L, p G W р, где p(x) = ln M(x; Q), причем p и p согласованы. Предположим, что максимальный член ^(а) ряда (1) удовлетворяет условию

lim ln?(°? > о (14)

"~*°- Ф (и)

(Ф — функция, обратная к p). Тогда для любой функции F G Do^) существует измеримое множество е С [— 1,0) нулевой нижней плотности, что для любого вертикального отрезка

IH = IH(а) = {s = а + it : |t — to| ^ H, а < 0} (H = const),

для всех а, —1 <ao ^ а< 0 вне e найдется деформированный отрезок IH = IH (а),

обладающий свойствами:

1) mes[IH(а) П IH(а)] ^ |IH| = 2H при а ^ 0—;

2) ln MF(а + ^(а)) < (1 + o(1)) ln MF(а) при а ^ 0— вне е, где ^(а) = max |Яет — а)|;

т

3) ln MF(а) = (1 + o(1)) lnmF(а) при а 0— вне е, где m*F(а) = min |F(т)|.

Доказательство. Пусть ад^(х) = N(ех), ф Е Ш^ — функция из условия (13). Так как р Е Ш <£, то и>1 Е Ш ^. Следовательно, функция ад(х) = ад^(х) + ф(х) принадлежит классу Ш ^. Далее, поскольку ф Е Ш^, то р(х)ф(х) = о(х) при х ^ го. Но из условий теоремы, очевидно, следует, что р(х)^1(х) = о(х) при х ^ го. Тогда найдется функция ад*(х) = в(х)ад(х) (0 < в(х) Т го, х ^ го), также принадлежащая Ш ^, р(х)ад*(х) = о(х) при х ^ го. Обозначим ад^ (х) = \/в(х)ад(х).

Пусть V = ^(а) — решение уравнения

ад*^) = 31п ^(а). (15)

Ясно, что ^(а) Т го при а Т 0. Поскольку ад* Е Ш ^, то найдется последовательность (т,} (т, Т 0), такая, что

Иш <^(^7)3(V,; ад*) = 0, (16)

где V, = ^(т,) ^ го (т, ^ 0—),

СЮ

3(V,; ад*) = I dx.

'и!

Из условий (14) — (16) и условий согласованности функций р и ад* следует, что [12]

Иш О3^;^*) = 0, V' = ^), (17)

т ^0- |т>'|

Иш = 0. (18)

^о- |а|^(а)

Но при выполнении условий (15), (17), (18) применима лемма типа Бореля-

Неванлинны, согласно которой при а ^ 0— вне некоторого множества е1 С [—1,0),

шев(е1 П [т,, 0)) = о(|т.,'|), т, ^ 0—, верны оценки [12]: а + 30* < 0, и

Ма + 30*) < ^(а)1+о(1), 0* = -*(:(а)). (19)

^(а)

Применяя оценки (10), (19) и другие рассуждения, о которых было сказано в п.1 (см., например, в [12]), при а ^ 0— вне исключительного множества е1 получаем, что:

1) 1пЫр(а + 0*) < (1 + о(1))1пЫр(а);

2) мР+о(1)(а) < шах |Е(£)|, <20>

|£—а| хд

где а (Деа = а) — любое комплексное число из полуплоскости П0,

0 = 0(г,) = , 0* = 0» = , V = „(а).

V V

Пусть Dа = [—1,0) \ е1. Тогда для а Е Dа и а ^ 0— из (20), очевидно, имеем

МР+0(1)(а) « шах |Е(£)| = |Е(£*)|, (21)

где е* Е дК, К — описанный вокруг круга !)(а,0) = (£: |£ — а| ^ 0} С П0 квадрат,

стороны которого параллельны осям координат.

Применим теперь лемму 2 к функции д(г) = Е(г + £*), полагая N = 4, Д = 0*, г = .

•\/в(у)

Так как Дг = 2л/2 0 — длина диагонали квадрата К, то К С !^(е*,Дг). Если г < 1 — N, то согласно лемме 2 для всех г из круга (е*, Дг) вне конечного числа исключительных кружков Уп, радиусы которых удовлетворяют условию (11), при а Е Dа и а ^ 0— верна оценка

Е(е*)| ^ |Е(г)|1+о(1) ^ Ыр+о(1)(а + 0*). (22)

Количество исключительных кружков для каждого квадрата свое. Обозначая это число через т(К), имеем

т(К)

Е Pn « . (23)

n=1

Таким образом, из (21), (22) получаем, что при а Е Da и а ^ го

lnMf(а) = (1 + o(1))ln |F(z)|, (24)

m(K)

если z Е K \ U Vn (K — рассмотренный выше квадрат с центром в точке а = а + it).

n=1

Для любого а Е Da рассмотрим прямоугольник

P = {z = x + iy: |а — x| ^ 0, |y — t01 ^ H} (H = const).

Ясно, что P С П0 при а' < а < 0.

Рассмотрим минимальное число квадратов типа K, не имеющих попарно общих внутренних точек и покрывающих P. Исключительное множество е = {е^} прямоугольника P

состоит из исключительных кружков квадратов покрытия и их конечное число. Круж-

тк

ки е^ могут пересекаться и образовывать так называемые гроздья dx = U е^ — связные

i=1

компоненты e.

Пусть П — проекция множеств dx, имеющих непустое пересечение с отрезком /я(а), на

П

этот отрезок. Тогда П = (J /j, где /j — некоторые попарно непересекающиеся отрезки,

j=i

/j С /я(а), причем в силу (23)

nn

№ 2 £ Pj « ^

j=1 j=1

при а' < а" < а < 0.

Измененный отрезок /Я строится следующим образом. Для каждого j = 1, 2, ... , n находим наименьший прямоугольник Pj со стороной /j и охватывающий соответствующие множества dx. Участок /j отрезка /я заменим на ломаную Yj = öPj\/j. Если Pj примыкает к какой-то горизонтальной стороне P, то из Yj исключаем и отрезок, целиком лежащий на этой стороне P. Проделав эту процедуру с каждым отрезком /j, получим требуемый “отрезок” /Я.

Из непрерывности функции F следует справедливость оценки (24) и на границах гроздей dx. Следовательно, оценка (24) имеет место на всем “отрезке” /Я, и при а Е Da и а ^ 0—

ln Mf (а) = (1 + o(1)) ln mF (а),

где mF (а) = min |F (т )|. т e/H (а)

Теорема полностью доказана.

Замечание 1. В условиях теоремы 1 в [12] доказано более слабое асимптотическое соотношение d(F; y) = 1, где

d(F; y)= lim ln]F(S)I ,

s€Y, Re s^0- ln Mf(Re s)

Y — произвольная кривая из П0, оканчивающаяся на мнимой оси.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, а функция l,

t

l(r) = N (г) ln , N (t) = J n(i) = ^ l,

0 —t

принадлежит классу Wч>. Тогда при о ^ 0— вне некоторого множества e С [— 1,0) нулевой плотности

ln MF (о) = (1 + o(1))ln mF (о), (25)

где mF(о) = min |F(т)|, (о) (о < 0—) — вертикальный отрезок длины 2H.

т е/д

Если l G W ^, то асимптотическое равенство (25) верно при о ^ 0— вне множества e С [—1, 0) нулевой нижней плотности.

Теорема 2 доказывается тем же методом, использованным в [11], если учесть способ оценки мер исключительных множеств типа ei из доказательства теоремы 1.

Отметим, что в статье [11] функция р удовлетворяет некоторым дополнительным ограничениям. В теоремах 1, 2 требуется лишь, что р G L. Доказательство теоремы 2 будет приведено в другой статье.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гайсин А.М. Оценка ряда Дирихле, показатели которого — нули целой функции с нерегулярным поведением // Матем. сб. 1994. Т.185, №2. С. 33-56.

2. Гайсин А.М. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Мат. сб. 2003. Т.194, №8. C.55-82.

3. Гайсин А.М., Рахматуллина Ж.Г. Оценка суммы ряда Дирихле через минимум модуля на вертикальном отрезке // Матем. сб. 2011. Т.202. №12. С. 23-56.

4. K.G. Binmore A density theorem with an application to gap power series // Trans. Amer. Math. Soc. 1970. V.148. №2. P. 367-384.

5. R.M. Redheffer Completeness of sets of complex exponentials. // Advances in Mathematics. 1977. V.24. P. 1-62.

6. Красичков-Терновский И.Ф. Интерпретация теоремы Берлинга-Мальявена о радиусе полноты //Матем.сб.1989. Т.180. №3. С. 397-423.

7. Гайсин А.М. Об одной теореме Хеймана // Сиб. матем. журн. 1998. Т.39, №3. С. 501-516.

8. P. ^ran Eine neue Methode in der Analysis und deren Anwendungen. Budapest: Akademiai Kiado, 1953.

9. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука. 1980. 384 с.

10. Гайсин А.М. Об одной гипотезе Полиа // Изв. РАН Сер. матем. 1994. Т. 58, №2. С. 73-92.

11. Гайсин А.М. Поведение логарифма модуля суммы ряда Дирихле, сходящегося в полуплоскости // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 53, № 4. C. 173-185.

12. Гайсин А.М., Белоус Т.И. Оценка на кривых функций, представленных в полуплоскости рядами Дирихле // Сиб. матем. журн. 2003. Т.44, № 1. С. 27-43.

13. Говоров Н.В. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков: Изд-во ХГУ, 1968. № 6. С. 130-150.

14. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1996.

Ахтяр Магазович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г.Уфа, Россия E-mail: gaisinam@mail.ru