Классы рядов Дирихле с вещественными коэффициентами, определяемые выпуклой мажорантой роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 4 (2009). С. 24-32.

УДК 517.537.7

КЛАССЫ РЯДОВ ДИРИХЛЕ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ВЫПУКЛОЙ

МАЖОРАНТОЙ РОСТА

А.М. ГАЙСИН

Аннотация. Изучается поведение рядов Дирихле с вещественными коэффициентами, рост которых ограничен некоторой выпуклой мажорантой. Получена асимптотическая оценка на положительном луче вне некоторого множества нулевой плотности.

Ключевые слова: ряды Дирихле, выпуклая мажоранта роста.

Пусть

ГО

£- -*

k=0

f (z) = akzk (z = x + iV) (!)

— целая трансцендентная функция с вещественными коэффициентами, а {pn} (n > 1) — последовательность перемен знаков коэффициентов (по определению pn = min {k : aPn-1 ak < 0}, где p0 = min{k : ak = 0}). Через p(t) обозначим считающую

k>pn-i n

функцию последовательности {pn}: p(t) = ^2 1. Полиа показал, что если плотность последовательности {pn} А = lim равна нулю, то в каждом угле {z : | argz| ^ е} (е > 0)

t—

целая функция (1) имеет тот же порядок, что и во всей плоскости [1]. Позже выяснилось, что данный результат справедлив и для луча {z : arg z = 0}: если функция (1) имеет конечный порядок р и А = 0, то [2]

lim ?) = 1 Mf(r) = max |f (z)| (r > 0)- (2)

x—ln Mf (x) |z|=r

Отсюда, в частности, следует, что р0 = р, где р0 = lim lnln |f(x)|. в [3] найдены неулуч-

x—ln x

шаемые условия на функцию p(t) (они слабее условия А = 0), при выполнении которых для любой функции конечного порядка, заданной рядом (1), при x ^ ж вне некоторого исключительного множества E С R+ нулевой нижней логарифмической плотности справедливо асимптотическое равенство

ln Mf (x) = (1 + o(1))ln |f (x)|. (3)

Множество A = R+ \ E, на котором справедлива оценка (3), называется асимптотическим.

Цель статьи — найти условия, при которых оценка (3) верна для целых функций (1) с более общей мажорантой роста, причем на гораздо массивном асимптотическом множестве.

A.M. Gaisin, Classes of Dirichlet Series with Real Coefficients Defined by Convex Majorants of a Growth.

© ГАйсин А.М. 2009.

Работа поддержана грантом Президента РФ по поддержке ведущих научных школ НШ— 3081-2008.1, РФФИ (грант 08-01-00779-а).

Поступила 12 октября 2009 г.

Через Ь обозначим класс всех непрерывных и неограниченно возрастающих на К+ = [0, +то) положительных функций. Пусть Ф Є Ь — выпуклая функция такая, что для ее обратной функции ^ выполняется условие

ШШ ^ < то. (4)

ж^+те <^(х)

Через А(^) будем обозначать класс положительных, неубывающих на К+ функций а = а (і), а(і) = о(і^(і)) при і ^ то таких, что

Г

1 /*а(і) ,

Їіш —— = 0.

т^<х ір(т) J І2 1

Подкласс А(^), состоящий из функций а Є Ь таких, что а(і) > лД, обозначим Ж(<^).

В статье рассматривается более общая ситуация, а именно, изучаются ряды Дирихле с вещественными коэффициентами.

Пусть Л = {А„} (0 < Ап ^ то) — последовательность, удовлетворяющая следующим условиям:

1) вир(А(і + 1) — А(і)) < то (условие несгущаемости); (5)

і

2) Їп(Ап+1 — Ап) > —а(Ап) (п > 1) (условие несближаемости),

где а — некоторая функция из Ж (<^), а (і) = О(і) при і ^ то, А(і) = Е 1. Обозначим Д(Л)

Л„^і

класс всех целых функций Е, представимых абсолютно сходящимися во всей плоскости рядами Дирихле

СЮ

Е (в) = апеЛ"5 (з = а + й) (6)

п=1

с вещественными коэффициентами ап. Пусть М(а) = вир |Е(а + й)|,

|і|<те

^т(Ф) = {Е Є £(Л) : ЇпМ(а) ^ Ф(та)} (т > 1).

-'ш

СЮ

Г, /ш

Положим Д(Ф) = У Дш(Ф). Через ^(а) будем обозначать максимальный член ряда

ш=1

(6), то есть ^(а) = шах{|ап|еЛпСТ}.

п>1

Пусть ^п = АРп, где {рп} — последовательность перемен знаков коэффициентов ряда

(6) 1(і) = Е 1, 9(і) = Е 1, где

¡-^П ^і Яп ^і

АРп + АР

У

Так как ^п < дп < ^п+1, то |/(і) — д(і)| ^ 1.

В настоящей статье будет доказана следующая

Теорема А. Пусть для некоторой функции в Є А(^) выполняется оценка

Лп

[ 1(Ь; Ап)

дп = шіп ( Рп о Рп+1, АРп + 1

^ в(Ап) (п > 1), (7)

где /(¿; Лп) — число точек ^ из отрезка (Л, : |Л, — Лп| ^ ¿}. Если I € А(^), то для любой функции Е € ^(Ф) при о ^ то вне некоторого множества Е С [0, то) нулевой плотности выполняется асимптотическое равенство

1пМ(о) = (1 + о(1)) 1п |Е(о)|.

Отметим, что если Ф(а) = expexp... exp(a) (к > 1), то при к =1 класс Д(Ф) со-

-v-

к

стоит из рядов Дирихле конечного порядка по Ритту. Поэтому результаты работ [1], [2] являются следствиями теоремы А. Для справедливости теоремы А условие l Е А(у) является, вообще говоря, существенным (это следует из работы [3], где рассматривается случай у(х) = lnx). Отметим (это можно показать тем же методом), что если выполняется условие (7), а условие l Е А(у) заменить на более слабое требование

Г

1 /*«(*) ,

lim —— dt = 0,

у(т) J t2 1

то асимптотическое равенство ln M(a) = (1 + o(1))ln |F(a)| справедливо вне некоторого множества нулевой нижней плотности.

§ 1. Вспомогательные утверждения

Нам понадобится следующая лемма типа Бореля-Неванлинны.

Лемма 1. Пусть Ф Е L, и для функции у, обратной к Ф, выполняется условие (4). Пусть, далее, u(a) — неубывающая, положительная и непрерывная на [0, то) функция, причем

u(a)

lim u(a) = то, lim -— < то.

а^ж а^ж тФ(а)

Если w Е W(у), а v = v(a) — решение уравнения

w(v) = eu(a), (8)

то при а ^ то вне некоторого множества E С [0, то),

v(t )

Г w*(t)

mes(E П [0, т]) ^ o(y(v(r))) + 4 — dt = o(y(v(r))), т ^ то,

1

(т — решение уравнения v(t) = x), имеет место асимптотическое равенство

u (a + dw(,v(a))^ = u(a) + o(1) (0 < d < то). (9)

V v(a) J

Лемма 1 доказана в [4].

В лемме 1 w* — некоторая функция из класса W(у), имеющая вид w*(t) = в(t)w(t), в Е L. Для любой функции w Е W(у) указанная функция w* всегда существует. Асимптотическое множество, на котором имеет место оценка (9), зависит от функции w*.

Для доказательства теоремы потребуется следующее утверждение об оценке ограниченной аналитической функции в круге.

Лемма 2. Пусть g(z) — функция, аналитическая в круге {z : |z| < R}, причем

|g(0)| > 1, ln sup |g(z)| = M < то.

|z|<R

Если 0 < Т < 1 — N-1 (N > 1), то существует не более чем счетное множество кружков Vn = {z : |z — zn| < pn} таких, что

n

вне которых, но в круге {z : |z| ^ rR} выполняется оценка

R — r

ln|g(z)| > r-—-ln|g(0)| — 5NL (10)

R + r

где

1

2п

Ь = — у 1п+ ^ге10)! ¿0 - 1п ^(О)!.

0

Оценка (10) является более точной, чем оценка 1п |«(г)| > —5ЖМ из [5]. Чтобы убедиться в справедливости (10), воспользуемся представлением

1

2п

1п |^(рег^)| = —

(Д2 — р2)1п |«(Де10)|

2п 7 Д2 + р2 — 2Др еов(у

0

¿0-

(11)

2п

1 [ (Д2 — р2) ¿а(0)_____________________+

2п У Д2 + р2 — 2Др еов(у — 0)

1 |£п|<Е

Д2 — ¿С„

где г = ре1^, 0 ^ у ^ 2п, 0 ^ р < Д, Сп — нули функции «(г) в круге (г : |г| < Д}, считаемые с учетом кратности, а а(0) — неубывающая функция, а;(0) = 0 почти всюду. Для борелевских множеств е плоскости введем неотрицательную меру ^ равенством

Ме)=

1п+

вП{^:|2:|=Е}

Полагая р = 0, из (11) имеем

1

1

9(Яе")

2п

вП{.г:|.г|=Е}

2п

¿а(0) + 1п

?п€в

(12)

1п |«(0)| = -111п |«(Де*)И — -1 /<М«) — Е

|5п|<Е

Д

Ста

(13)

Следовательно, из (12), (13) получаем, что

Ь = МС : |С| ^ Д)

Рассмотрим следующее ядро:

К (С,г) =

1

2п

¿^(С) = 2Л 11п+ |^(Дег')|^0 — 1п|0(0)|.

(14)

|«КЕ

Е2-|^|2 |«-^|2 ^

при |С| = Д, |г| < Д,

— 1п Е2-? / 1п Е, при 0 < |С| < Д, |г| < Д,

0 в остальных случаях.

Это ядро позволяет равенство (11) записать в виде (см [5]):

2п

1п |з(ре"^)| = -1 / „2Д2 —2 р2)‘п+ ИДе1"}1' ¿0 — / К(С.гЖС).

2п У Д2 + р2 — 2Дреов(у — 0

где р < Д, г = ре1^.

Следовательно, из (14), (15) получаем, что

2п

Д — р 1 ( 1 „+ I ^ о „10

(15)

|«КЕ

1п |^(г)| >

Д + р 2п

1п+ |9(Де")И — / К(£.;ЖС) >

|?|<Е

> I—р 1п |«(0)| — [ К(£.гЖ£).

Д + р

(16)

|5|«Е

z = pe^, р < R.

Следуя Н.В. Говорову, назовем точку zo, |z01 « Rr (r < 1), легкой, если для любого р > 0

М« : |'- Zo| « р} « ДгМ6(1Р_ r), L = Mi : kl « R}. (17)

Точку z из круга {z : |z| « Rr}, не являющуюся легкой, назовем тяжелой (в [5] легкая точка также определяется посредством неравенства (17), только вместо L берется M). Множество тяжелых точек круга {z : |z| « Rr} можно покрыть кружками Vn = {z : |z _ zn| « pn}

Pn ^ RrN(1 - r). (18)

Действительно, для каждой тяжелой точки z найдется круг VZ = {£ : |£ _ z| « pz} такой, что m(Vz) > дД/(1-г). Из покрытия множества тяжелых точек кружками VZ ограниченного радиуса, как известно (см., н-р, [6]), можно выделить конечное или счетное множество Vn = {£ : |£ _ zn| « pn}, при котором каждая тяжелая точка будет покрыта не более чем шестью кружками. Следовательно, M(Vn) « 6^{£ : |£| « R} = 6L, и

n

Е pn « RrN6L_r) Е m(v.) « RrN(i _ r).

nn

Если r < 1 _ N-1 (N > 1), а точка z (|z| « Rr) легкая, то пользуясь рассуждениями из [5], получаем, что

J K(£,z)dp,(£) « 5NL (19)

|ÎKR

(в правой части (19) вместо 5NL в [5] фигурирует величина 5NM). Таким образом, если 0 < r < 1 _ N-1 (N > 1), то для всех z из круга {z : |z| = р « Rr}, но вне кружков Vn с общей суммой радиусов, удовлетворяющих условию (18), из (16), (19) получаем, что

R _ р

ln |g(z)| > ——- ln |g(0)| _ 5N^ |g(0)| > 1

R + р

что и требовалось.

Пусть {pn} — последовательность натуральных чисел, Мп = APn, l(t) = Е 1,

¡-^П ^t

Qn = min(" Apn +2Apn+1 ,APn + Л , Q(t) = Е 1

' ' qn^t

Положим

Q«(z) = П i1 _ (a > Q1)-

qn<2^ Qn'

Имеет место следующая

Лемма 3 [3]. Для любого An « a (a > q1) справедлива оценка

^n

_ ln |Qa(An)| « J q(ttAn)dt + 4Nq(2ea), (20)

o

где «(t; An) — число точек qi в отрезке {h : |h _ An| « t},

t

Nq (t) = f «if) dx.

J x

o

такими, что

§ 2. Доказательство теоремы А

1. Достаточность. Поскольку |Z(t) — q(t)| ^ 1, Z Є A(y), то q Є A(y). Далее,

r

jqj dt = j dNjii) = NM + j m it,

0 0 0

где (Ь) = / ¿х. Следовательно, Е А(у). Значит, найдется непрерывная на [0. то)

о

функция ^1 (Ь), 1 ^ А(^) Т то, Ь ^ то такая, что функция (2е^)^1 (Ь) также принадлежит

Лп ^

А(у). Оценим интеграл / 1 п) ¿Ь, где «(Ь; Лп) — число точек « из отрезка (Л, : |Л—Лп| ^ Ь}.

о

Имея в виду второе из условий (5), запишем

Лп 1 Лп

®с*^Лп) <й = I «ЙМ Л + /«Мп) л = 11 + /2.

о 7п 1

где 7„ = 2е-а(Лп). Но из условия вир(Л(Ь +1) — Л(Ь)) < то следует, что «(Ь; Лп) ^

1

(0 < й < то). Так как < ^п+1, то |«(¿; Лп) — /(¿; Лп)| ^ 1. Поэтому, учитывая (7),

имеем

/1 ^ ¿[1 + 1п2 + а(Лп)]. /2 ^ 0(Лп) + 1пЛп (п > 1). (21)

где а Е Ш(у), 0 Е А(у). Следовательно, принимая во внимание (21), получаем, что

Лп

<й< е,(Л„). (22)

0

где 01 Е Ш(у). Далее, найдется непрерывная на [0. то) функция в2(Ь), 1 ^ в2(Ь) Т то, при Ь ^ то такая, что функция 01(Ь)в2(Ь) принадлежит Ш(у). Положим ^*(Ь) = в(¿)^(Ь), где ^(¿) = 01(Ь) + Д(2еЬ), в(¿) = т1п(в1(Ь).в2(Ь)). Ясно, что Е Ш(у).

Пусть V = 'у(а) — решение уравнения

эд*(г>) = 31п ^(а). (23)

где ^(а) — максимальный член ряда (6). Положим

^о(з) = Е а«еЛп5. ^(з) = Е ап^а(Л„)еЛп5.

Л— <о Л— <о

где

^о(г) = П (1 —

д—^2о ^ Уп

Поскольку все anQa(An) (An ^ а) одного знака, можно считать, что anQa(An) > 0 (An ^ а). Так как, очевидно,

MaV) = SUP |FaV + it)| = Fa* И>

|i|<^

то

М“(а)=2ПЇ / qa(t)Fa(t + a) dt> (24)

|i|=<S

r

r

где qa(t) — функция, ассоциированная по Борелю с Qa(z), 8 = , w1(t) = в 1/2(t)w(t).

С учетом уравнения (23) показывается (см. в [3]), что при а ^ то

СЮ

8max |qv(t)| ^ 8 f M(Qv,r)e-5r dv ^ p°(1)(a), (25)

N=5 J

0

где M(Qv, r) = max |QV(z)|. Далее, применяя лемму 1 к функции u(a) = ln3 + lnln^(a),

|z|=r

получаем, что при a ^ то вне некоторого множества E1 Е [0, то) нулевой плотности (это следует из оценок (8), (9))

ln^(a + 48*) = (1 + o(1))ln^(a), 8* = —(. (. )). (26)

v(a)

Тогда при a ^ то вне E1

E |an|eAn(a+35t) ^ ^(a + 48*) E e-^" ^

An>v(a) An>v(a)

^ ^1+o(1)(a) exp[—3(1 + o(1))ln^(a)] < 1. (27)

Учитывая первое из условий (5), видим, что A(v(a)) = O(v(a)) при a то. Значит,

ln A(v(a)) ^ 2lnv(a) ^ 2w(v(a)) при a > a0 (мы учли, что w Е W(у)). Отсюда с учетом

(23), (26) при a ^ то вне E1 имеем

M(a + 38*) ^ ^(a + 48*)[A((v(a)) + 1] ^ M 1+o(1)(a), A(t) = 1.

Следовательно, при a ^ то вне E1

ln M (a + 38*) = (1 + o(1))ln M (a). (28)

Учитывая (25), (27), из (24) получаем, что при a ^ то вне E1

Mv*(a) i M1+o(1)(a)(mai |F(£) + 1|). (29)

|5-а|^й

Но при a ^ то вне E1

M (a) ^ |an |eA"a + 1= (|an||Qv (An)|eA"а )|Qv (An)| + 1

An^v(a) An<v(a)

Отсюда ввиду леммы 3, оценки (22), равенства (23) следует, что при a ^ то вне E1

M(a) ^ p°(1)(a)MV*(a) ^ Mo(1)(a)MV*(a).

С учетом этой оценки из (29) окончательно получаем, что при a ^ то вне множества E1 нулевой плотности (DE1 = 0)

M 1+o(1)(a) i maxЛ |F(C)| = |F(C*)|, (30)

|5-а|^й

где |C* — a| = 8, 8 = , w1(t) = e1/2(t)w(t). Положим B = [0, то) \ E1. Найдется последовательность {a^} (a^ Е B) такая, что a | то, ai + 8i ^ ai+1, причем

ai+1 — 8i+1 < inf {a : a Е B, a > ai + 8^}, где 8i = 8(v(a^)) (i > 1). Значит,

B С |^J[ai — 8i, ai + 8i]

¿=1

Положим «(г) = Е(г + С*) . Из (30) видно, что |«(0)| > 1 при а Е В П [а0. то) (а0 > 0). В (30) положим а = а1, 8 = 81, а в лемме 2 возьмем N = 3, г = [в(^(а1))]-1/2, Д = 28*,

(Ч* = ^ёт1) ■ Тогда Rr = 2= 2V^(^W? = ^ = 28, (v = v(*<)). Следо-

(Уг) _

Уг V ею

вательно, из леммы 2 заключаем, что в круге (г : |г| ^ 28г}, но вне исключительных кружков ^П(г) с общей суммой радиусов, удовлетворяющих оценке

ч(г) ^ ОХ.Д-1

« 28^2, (31)

верна оценка (10). Здесь вг = в(^(аг)). Тогда для всех 2 из круга (г : |г| ^ 8г}, но вне кружков ^П(г) с общей суммой радиусов, удовлетворяющих оценке (31), из (10) при г ^ то имеем

1п |^(г)| > 1 + о(1) - 151п |^(0)| 1п |у(0)|. (32)

Учитывая, что д(г) = Е(г + £*), а также используя оценки (30), (28), (32), получаем,

что для всех ъ из круга (г : |г — аг| ^ 8г}, но вне исключительных кружков сПг) с общей

_!

суммой радиусов не больше 28гвг 2,

1п |Е(г)| > (1 + о(1)) 1пМ(аг), г ^ то (33)

Пусть Е2 — проекция множества У С«) на вещественную ось. Убедимся, что плотность

г,п

множества Е2 равна нулю (ЕЕ2 = 0). Действительно, пусть аг < а ^ аг+1. Тогда

тев(Е2 П [0,а]) 4^ 1 2

а а

fc=i

^^8fc2 + 4Д+2!. (34)

Поскольку вй ^ то при к ^ то, а а > 2 ^ 8&, из (34) следует, что ЕЕ2 = 0. Так как

й=1

ЕЕ1 = 0, то учитывая (28), из (33) окончательно получаем, что при а ^ то вне Е = Е1иЕ2, ЕЕ = 0 будет верно асимптотическое равенство

1п |Е(а)| = (1 + о(1)) 1пМ(а).

Теорема полностью доказана.

Замечание. Если Ф(а) = ест, то у(х) = 1пх. Как показано в [3], в этом случае условие

(7) в теореме А выполняется автоматически.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G. Polya Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenzeihen // Math. Z. V. 29. 1929. P. 549-640.

2. Шеремета М.Н. Об одной теореме Полиа// Укр. мат. журн. Т. 35, № 1. 1983. C. 119-124.

3. Гайсин А.М. К одной теореме Пойа о целых функциях с вещественными коэффициентами Тейлора// Сиб. мат. журн. Т. 38, № 1. 1997. С. 46-55.

4. Юсупова Н.Н. Оценка роста монотонной функции сверху// Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов: Математика. Т. III. Уфа: РИО БашГУ. 2005. C. 309-315.

5. Говоров Н.В. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге// Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып. 6. 1968. C. 130-150.

6. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука. 1966.

7. Красичков И.Ф. Оценка снизу для целых функций конечного порядка// Сиб. мат. журн. Т. 6, № 4. 1965. С. 840-861.

Ахтяр Магазович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]