Об одном обобщении формулы говорова-маклейна-шереметы для вычисления порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53 : 517.537.72

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ФОРМУЛЫ ГОВОРОВА-МАКЛЕЙНА-ШЕРЕМЕТЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОРЯДКА

© Г. А. Гайсина

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (347) 229 96 65.

Email: [email protected]

Исследуется влияние точности условий на показатели ряда Дирихле, сходящегося лишь в полуплоскости, при выполнении которых порядок суммы ряда может быть вычислен при помощи некоторой формулы (зависящей только от коэффициентов и показателей). Для неограниченных аналитических в единичном круге функций формула такого типа в разное время независимо была установлена рядом авторов, в том числе Н. В. Говоровым (1959), Маклейном (1966) и М. Н. Шереметой (1968). Позже был введен аналог этого понятия и для рядов Дирихле, абсолютно сходящихся в некоторой полуплоскости. Но соответствующая формула для порядка суммы ряда Дирихле всеми авторами была установлена либо при наложении существенных ограничений на показатели или коэффициенты. В настоящей работе рассматривается условие ограничений на показатели, которое также является и необходимым для справедливости известной формулы для порядка.

Ключевые слова: целая функция, максимум модуля, ряды Дирихле, формула для порядка, R-порядок, полуплоскость сходимости.

Целые функции являются непосредственным обобщением многочленов. Если функция

/(z) = Hn=0 anz" (1)

является целой, то по принципу максимума модуля МДг) Ш max|/(z)| =max|/(z)|.

|z|=r |z|<r

Так что МДг) - неубывающая на [0, го) функция, причем если /(z) i const, то МДг), строго возрастая, стремится к +го при г ^ го.

Для многочлена f степени n In МДг)

lim -

r^ro

lnr

= П.

Для целых трансцендентных функций (т.е. функций, отличных от многочлена) отношение

—^— стремится к го. Поэтому рост 1пМДг) сравнивают не с 1п г, а с более быстро растущими функциями, например, со степенными. Поступая таким образом, в 1896 г. Э. Борель пришел к понятию порядка р целой функции, полагая

__1п 1пМДг)

Р =—ln+ln+|aj

-- = lim-:-,

Р + 1 n^ra ln П

а+ = max(a, 0). Если положить z = e-s (s = а + it), то имеем: F(s) = /(e-s) = ао + ££=i a„e-"s. (2) Поскольку при указанной замене полуплоскость П0 = (s = а + it: а > 0} отображается в единичный круг D(0,1), то

М(ст) М sup |F(ct + ¿t)| = МДг),

|t|<ra

где а > 0,r = е-ст < 1. Проверяется, что — ln(1 —

г)--ln о при г Т 1 (при этом, очевидно, а 4 0).

Учитывая это, имеем:

_lnlnM(o-)

р = pF М lim-—

ff4o — ln а

Таким образом, порядок р функции f в D (0,1) равен характеристике pF роста ряда Тейлора-Дирихле (2). Ее называют обычным порядком или просто порядком функции F (в отличие от так называемого порядка Pr по Ритту (или ^-порядка) в полуплоско-

р = lim ■

lnr

сти По [4]: рй = hm

ln lnM(o-)

). Это наблюдение при-

Было показано, что порядок целой функции (1)

равен

р = hm

nlnn

n^ro , I 1 I

ln |-1

Пусть функция £ определенная рядом (1), ана-литична только в круге Д(0,1) = (г: |г| < 1} (в этом случае радиус сходимости ряда (1) равен единице). Будем предполагать, что функция £ не ограничена в £(0,1). Так что МДг) Т го при г Т 1. Порядком р неограниченной аналитической в круге ,0(0,1) функции £ называется величина

_ЫпМДг)

р = 11т --.

гТ1-1п(1-г)

Как известно (см., например, [1-3]),

ст40 И-1

водит к понятию порядка общего ряда Дирихле, сходящегося лишь в полуплоскости.

Пусть Л = (Я„} (0 < Я„ Т го) - произвольная последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая условию

Ьт^=0. (3)

п^го Яп

Предположим, что область сходимости ряда Дирихле

F(s) = SГО=lane-я"s (4)

есть полуплоскость П0. В силу условия (3), ряд (4) сходится в П0 абсолютно, и потому его сумма ^ ана-литична в этой полуплоскости [5]. Здесь изучается

рост функции F в зависимости от поведения коэффициентов а„ ряда (4), поэтому естественно предположить, что MF(c) ^ го при ст 4 0, где

MF0) = sup |f(ct + ¿t)| (ст > 0).

|t|<ra

Класс всех таких функций F, представленных рядами Дирихле (4), обозначим Д0(Л). Величина

_ln lnMF(ff)

pF = 1 im-

ffio — ln а

называется порядком суммы ряда Дирихле (4). Именно так порядок определяется, например, в работах [6-10]. В [11, 12] порядок функции F 6 00(Л) определяется по формуле

_ ln lnMF(c)

= 5Я—1п(1 —е-)'

что, очевидно, совпадает с выше введенным порядком. В перечисленных работах [7-9, 11, 12] без доказательств приводится формула

= lim ln+ '"+|аЧ (5)

PF+1 п^го 1пЯп

справедливость которой утверждается лишь при некоторых дополнительных ограничениях на показатели Я„ и коэффициенты а„ ряда (4). Эти ограничения, весьма разные, порой являются очень жесткими. Так, в [11, 12] предполагается, что последовательность А имеет конечную верхнюю плотность: _ п

lim — = D < го.

П^го Яи

Это условие, как будет видно, слишком сильное. С другой стороны, в [9] утверждается, что формула (5) верна при выполнении условий Inn _ln|a„|

lim

= Ii m

П^ет Яи п^ет Яи

= 0.

Здесь же будет показано, что лишь при этих требованиях формула (5) неверна (см. также [10]). В статье [6] формула (5) доказана, но при

11т = у < го. (6)

п^ет 1п Лп

Оказывается, это условие может быть существенно ослаблено (см. ниже).

Обозначим

_1п 1п п

а = 1 1т

1пЯ„

Положим также

— 1п+ 1п+ |а„| ^ = 1 1т ——-.

п^ет ШЯИ

В статье [7] утверждается, что если а < то т.е. верна формула (5). Недостатком этого

результата является то, что условие а < ^ содержит дополнительное ограничение на коэффициенты аи ряда Дирихле (4). Поэтому, согласно [7], формула для порядка рр имеет место не для любой функции ^ из класса Д0(Л).

Равенство ^ = доказано в [10] при а = 0.

Это условие слабее условия (6). Действительно, если у < го, то

_ 1п п 1п 1п п

а = 1 1т -—------= 0.

тп

С другой стороны, для последовательности {ЯП},Я„ = ln2(n + 1), имеем: а = 1, но у = го. При этом, очевидно,

lnn lim —— = 0.

П^ет Яи

В [10] показано еще следующее: существует последовательность А с а > 0, существует функция F 6 Д)(Л), для которой ц Ф

pf PF+1'

Цель статьи - показать, что условие а = 0 на самом деле является необходимым. Верна следующая

Теорема. Для того, чтобы для любой функции

F 6 Д, (Л) порядок pF вычислялся по формуле

pF —ln+ln+^J -- = h m —-—--,

Рр + 1 п^го 1пЯ„

необходимо и достаточно, чтобы

_ln ln n

а = lim = 0.

п^го тЯи

Д о с т а т о ч н о с т ь доказана в [10]. При этом формула верна и для случая рР = го.

Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть а > 0, т.е.

_ln ln n

lim —— > 0.

п^го 1ПЯ„

Это означает, что для некоторой последовательности (nm) натуральных чисел nm, nm Т го,

1n1nnm>£>0. (7)

Далее, так как

1пЯ"„.

Inn lim —— = 0,

П^ет Я„

то найдется постоянная С > 0, такая что lnn

— < С (п > 1).

Лп

Значит, lnn < СЯ„, и lnlnn <lnC + 1пЯ„ (п > 2). Отсюда следует, что всегда а < 1. Так что в (7) можно считать, что р < 1.

Рассмотрим ряд

F(s) = «пе-я"х (s = ст + it), (8) где а„ = е. Как и ранее, предполагаем, что выполнено условие lnn = о(Я„) при n ^ го. Ряд (8) сходится, в силу последнего условия и абсолютно, в правой полуплоскости П0 [5]. Вычисляя порядок по формуле (5), имеем pF = 0. Убедимся, что на самом деле порядок pF > 0. Это будет означать также, что сумма ряда (8) не ограничена в П0, т. е. F 6 Д0(Л).

Действительно, так как а„ > 0, то Mf(ct) = sup |F(ct + ¿t)| > |F(ct)|

|t|<ra

е-я"ст (ст > 0).

С другой стороны, очевидно, что

MF(c) < е^ е

Следовательно, = Пользуясь

оценкой Мр(ст) > (нам понадобится только

это соотношение), для любого натурального N имеем:

п^ет

ет

П=1

M,

(ст) > e ZT

Hf]

N 7

> g_> ^e

2

где [а] - целая часть а. Учитывая (7), теперь положим N = пт (т = 1,2,...). Тогда получим МДст) > = ехр[1ппт - Я„т ст] (ст > 0).

Далее, из соотношения (7) видно, что

я„т < (1ппт)£ (ш > 1). Следовательно, из предыдущего имеем

Мр(ст) > exp

lnnm - (ln пт)^ст

где О < ß < 1, ст>О - любое. Если ß = 1, положим ст = ст„

(т > 1), (9)

где стт =

ln 1 nm (т > 1). Тогда стт i О при m ^ œ и

1

1пМр(стш) > —(1 - стт). Отсюда

ln 1пМ(стш)

> 1 - ст„

-1пстт

Это означает, что рР > 1.

Если ^ < 1, то в качестве ст возьмем решение

стт уравнения

(lnnm)^ = (1) (О < ^ < 1). (l0)

Тогда, учитывая (10), из (9) получаем

1г 1- 1 1пМр(стш) > (lnnm)^ l(lnnm) ß

Í 1 40 Г - —

= (¿) [(lnnm) p -(lnnm)

x (ш > 1).

Но

l8-l

(Ln nm) 0 - (lnnm) =

«l-W-l 1- (lnnm) P2

l8-l

= (lnnm) p

(ll)

(l2)

l(l-,8)-l

Так как О < ß < 1, то (lnnm) £2 = o(1) при m ^ œ, а

/ 1 -

(lnnm) ß =

/ 1 ^(^-1) ß _ Í 1 \

J

(1З)

Следовательно, из (ll—1З) получаем, что при m ^ œ

1 £+£(£-1) ст

J2

1ПМ(СТш)> (1 + о(1))(—)

= (1+0(1))(ст:)Р

Отсюда, учитывая асимптотическое соотношение ln(1 + х)~х при х ^ 0, окончательно получаем, что

1

lnlnMF(CTm) > о(1) + ß2 ln —, т ^ то.

стт

Так как стт 4 0 при т ^ то, то

_lnlnM(CT)

pF = lim-—^ > ß2 (0 < ^ < 1).

^ ^40 — ln ст r r

Поскольку, очевидно, F 6 00(Л), необходимость теоремы полностью доказана.

Замечание. Пусть Д(0,1) - круг сходимости степенного ряда (1). Для ряда Тейлора-Дирихле

обычный порядок pF совпадает с порядком р функции f вида (1). Так как в данном случае Яи = п, то

ln Inn а = lim -—-— = О,

n^œ 1ПЯи

и поэтому из теоремы как следствие вытекает упомянутая в самом начале формула Говорова-Ма-клейна-Шереметы для вычисления порядка р функции f, заданной в круге Д(О,1) рядом (1).

Отметим, что обобщением целых функций (l) конечного порядка являются ряды Дирихле (4), абсолютно сходящиеся во всей плоскости и имеющие конечный R-порядок. Поведение целых функций F вида (4) конечного порядка по Ритту исследовалось в статье [1З].

В заключение автор благодарит лектора по спецкурсам «Целые функции» и «Ряды Дирихле» профессора А. М. Гайсина за постановку задачи и внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Говоров Н. В. О связи между ростом функции, аналитической в круге и коэффициентами ее степенного разложения II Труды Новочеркасск. политехн. ин-та. l959. Т. l00. С. 101—115.

2. Мак-Лейн Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М.: Мир, 19бб. — 104 с.

3. Шеремета М. Н. О связи между ростом целых или аналитических в круге функций нулевого порядка и коэффициентами их степенных разложений // Изв. вузов. Математика. 1968. №б. С. 115—121.

4. Гайсин А. М. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Матем. сб. 1982. Т. 117. №3. С. 412—424.

5. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983.

6. Дагене Е. Я. О центральном показателе ряда Дирихле // Ли-товск. матем. сб. 19б8. Т. 8. №3. С. 504—521.

7. Бойчук В. С. О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле // Матем. сб., К.: Наукова думка, 197б. С. 2З8—240.

8. Галь Ю. М., Шеремета М. Н. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле // Докл. Акад. наук Укр. ССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки. 1978. №12. С. 1065—1067.

9. Yu Chia-Yung. Sur la croissance et la répartilion des valeurs des series de Dirichlet quine convergent que dans un demi-plan Il C. R. Sci. 1979. V. 288. №19. A891—А89З.

10. Гайсин А. М. О росте функции, представленной рядом Дирихле, вблизи прямой сходимости // Исследования по теории аппроксимации функций. Уфа: Башкирский филиал АН СССР, 1981. С. 5—1З.

11. Krishna Nandan. On the maximum terms and maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series II Ann. Polon. Math. 197З. V. 28. P. 21З—222.

12. Krishna Nandan. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series II Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1976. V. 21. №10. P. 1З61—1З68.

13. Латыпов И. Д. Оценка ряда экспонент заданного роста на кривых // Вестник Башкирского университета. 2004. №3. С. 80—85.

е

œ

res

и=1

l

x

1

Поступила в редакцию 16.05.2016 г.

ON A GENERALIZATION OF GOVOROV-MACLANE-SHEREMETA FORMULA FOR CALCULATING AN ORDER

© G. A. Gaisina

Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 65. Email: [email protected]

Let A = {A„} (0 < t ro), ln n = o(A„) as n ^ ro, and let convergence domain of a Dirichlet series

F(S) = £,

a„e

n=1

be a half-plane n0 = {s = ct + it: ct > 0}. Let denote class of all unbounded on n0 functions Fof type (1). Let Mf(ct) = sup |F(ct + it)| (ct > 0). A value

|t|<ra

_ln lnMF(ff)

pF = lim---

wio — ln ct

is called an order of the sum of the Dirichlet series (1). The formula

Pf ,— ln+ ln+|aj -- = 1 lm —-—--

pF + 1 n^ro lnAn

is given without a proof in works [1] - [4]. Moreover, authors of these papers formulated this result under additional conditions on and (or) a„. We give a criterion for the formula (2) to hold.

Theorem. The order pF of any function F £ D0 to be calculated by formula (2) if and only if

_ln ln n

a = lim = 0.

n^ro lnAn

Being known as the Govorov - MacLane - Sheremeta formula for the order of function /(z) = £ra=o anz", which is analytic in the unit disk, follows from (2).

Keywords: entire function, maximum modulus, Dirichlet series, formula for an order, R-order, half-plane of convergence.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Govorov N. V. Trudy Novocherkassk. politekhn. in-ta. 1959. Vol. 100. Pp. 101-115.

2. Mak-Lein G. Asimptoticheskie znacheniya golomorfnykh funktsii [The asymptotic values of holomorphic functions]. Moscow: Mir, 1966.

3. Sheremeta M. N. Izv. vuzov. Matematika. 1968. No. 6. Pp. 115-121.

4. Gaisin A. M. Matem. sb. 1982. Vol. 117. No. 3. Pp. 412-424.

5. Leont'ev A. F. Tselye funktsii. Ryady eksponent [Entire functions. Exponent series]. Moscow: Nauka, 1983.

6. Dagene E. Ya. Litovsk. matem. sb. 1968. Vol. 8. No. 3. Pp. 504-521.

7. Boichuk V. S. Matem. sb., K.: Naukova dumka, 1976. Pp. 238-240.

8. Gal' Yu. M., Sheremeta M. N. Dokl. Akad. nauk Ukr. SSR. Ser. A. Fiz.-mat. i tekhn. nauki. 1978. No. 12. Pp. 1065-1067.

9. Yu Chia-Jung. Sur la croissance et la répartilion des valeurs des series de Dirichlet quine convergent que dans un demi-plan. C. R. Sci. 1979. Vol. 288. No. 19. A891-A893.

10. Gaisin A. M. Issledovaniya po teorii approksimatsii funktsii. Ufa: Bashkirskii filial AN SSSR, 1981. Pp. 5-13.

11. Krishna Nandan. On the maximum terms and maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series. Ann. Polon. Math. 1973. Vol. 28. Pp. 213-222.

12. Krishna Nandan. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series. Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1976. Vol. 21. No. 10. Pp. 1361-1368.

13. Latypov I. D. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2004. No. 3. Pp. 80-85.

Received 16.05.2016.