CC BY
42
ОПТИМАЛЬНАЯ ДИНАМИКА ФОНДОВЫХ ИНВЕСТИЦИЙ ПРИ ПОЛЕЗНОСТИ ИНВЕСТОРА С ПАМЯТЬЮ
Каранашев Анзор Хасанбиевич, кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой технологии социально-культурного сервиса Кабардино-Балкарского государственного университета;
in63@mail.ru
Аннотация: Выведены аналитические выражения составляющих оптимального портфеля в зависимости от премий за риск, стохастически эволюционирующих параметров инвестиционной среды и функции полезности с учетом свойственного инвестору потребления.
Ключевые слова: моделирование, портфель, инвестиции, оптимизация, финансовые активы, рискованные активы
Abstract. An explicit analytical characterization of the optimal portfolio in terms of risk premiums, stochastically evolving investment media and investor’s utility function taking account of typical consumption of investor are derived.
Keywords: modeling, portfolio, investment, optimization, financial assets, risky assets
Несмотря на большое количество теоретических и прикладных исследований в области моделирования и анализа фондовых рынков и оптимизации финансового портфеля, многие проблемы далеки от разрешения и находятся в стадии обсуждения. Так, в большинстве работ анализ процесса фондового инвестирования [1-4] основан на далеких от реальности предположениях о предпочтениях инвестора. А именно, полезность инвестора считается
степенной функцией конечного капитала или зависящей от времени степенной функцией потребления. Более правдоподобным представлением предпочтений инвестора является учет в функции полезности зависимости полезности инвестора от предыстории потребления; при этом полезность данного текущего уровня потребления является убывающей функцией уровня потребления в прошлом.
В работе [5] при общей стохастической динамике (в том числе немарковской) цен рисковых активов и параметров инвестиционной среды полного финансового рынка в аналитической форме найдены оптимальные стратегии инвестирование-потребление. В настоящей работе установлены некоторые важные свойства оптимальных стратегий при конкретной динамике параметров инвестиционной среды при функции полезности инвестора с памятью (т.е. учитывающей историю потребления). Рассмотрен интересный с точки зрения практических приложений случай, когда рыночная цена риска (премия за риск по активам с ожидаемой избыточной доходностью) описывается случайным процессом Орнштейна - Уленбека
где k - параметр, характеризующий скорость сходимости премии за риск
к значению X , 7 х - волатильность премии за риск, zt - стандартное броуновское движение. Предполагаем, что рынок акций представлен единственным рисковым активом, цена которого описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением
в котором волатильность 7 цены актива предполагается положительной константой, г - безрисковая процентная ставка.
Утверждение 1. Пусть рынок акций представлен рисковым активом, цена которого описывается уравнением (2), а премия за риск - уравнением (1).
(1)
dPt = Рґ [(г + <уХ1 + <7dzt ],
(2)
Тогда неявная функция полезности Jt = J(V*,И*,,ґ) имеет вид
3(ж, к, X, г) = G(X, г)у (ж - hF(г))1-у,
1 - у
где
F (г )=
1
и
G(X, г) = |(1 + а¥(^))1 у ехр
г
(1 - ехр[- (г + ( - а\т - г)])
а функции g2(т), g1 (т), g0 (т) определяются выражениями
-26т
g2 (т):
1 - У
1 - е
2
У
1 - у kX
26 -(6 - Ь )(1 - е ~ш),
( ) 1 - у м (1 - е 6т) gl(т)^“^626 -(6 -Ь)(1 - е-26т),
у
+
g о(т) 1 - У
8
■ — т - г У
Г1 -1 ] т - 1]п
V у 2
26 -(6 - Ь )(1 - е ~26т)' 26
+
У'
+
6
т +
k2Х2 (6 - 2Ь)е“26т + 4Ье6 - 6 - 2Ь 63 26 -(6 - Ь)(1 - е“26т)
где
Ь = k
'1 -
у ;
V
7X, 6 = л/Ь2 - 7Х (1 - у)/у2 ,
а параметры а, (, У и к введены в [1]. Оптимальный процесс потребления описывается выражением
с* = С (ж,*, к*, X,, г),
где
С (ж, к, X, г) = к + (1 + а (г ))7 ((г).
Оптимальная портфельная стратегия имеет вид
Л ___/ * * \
^ = п(ж, , ^, ^, г),
где
а
п(ж , к, X, г )=X Ж - (г) - 71XX, г) Ж-к*®,
У7 Ж 7 Ж
функция Э^, г) имеет вид
0(Л, г )=
1 1 1 | ^1 (5 - г) + g2 (5 - г )X)(l + а* )) ~У ехР
g0 - г)+ ^ (5 - г)X + 2 g2 (5 - г)Я2
ds
* 1 1 | (1 + а*(5)) -у ехр
ds
Заметим, что функции gi не испытывают влияния свойственного инвестору уровня потребления. Член, соответствующий хеджированию в (4), отличается от соответствующего члена при сепарабельной по времени функции полезности за счет присутствия а* (5) в G(X, г) и, следовательно, в
Э^, г ).Ц (я, г )/3(Л, г).
Следующая Утверждение устанавливает основные свойства оптимальных стратегий.
Утверждение 2. Пусть у > 1 и премия за риск положительна. Тогда оптимальные стратегии инвестирование-потребление при функции полезности с учетом свойственного инвестору уровня потребления имеют следующие свойства:
(1) спрос на хеджирование на акции положителен,
(2) среднее и предельное отношение потребление/капитал увеличивается с
ростом премии за риск,
(3) оптимальная часть свободного капитала, инвестированного в акции,
кЖ
£ =■
Ж - к*
увеличивается с ростом инвестиционного горизонта Т.
Заметим, что первые два свойства оптимальных стратегий потребления и инвестирования справедливы для инвестора со степенной сепарабельной по времени функцией полезности (при указанной функции полезности оптимальная норма потребления пропорциональна уровню капитала, так что в
этом случае нет различия между средним и предельным отношениями потребление/капитал). Поскольку при степенной сепарабельной по времени функции полезности нет различия между свободным капиталом и полным капиталом, в этом случае оптимальная часть полного капитала, инвестируемого в акции, растет с ростом инвестиционного горизонта, что соответствует практическим рекомендациям финансовых аналитиков. С учетом зависимости функции полезности от уровня свойственного инвестору потребления зависимость части капитала, размещаемого в акции, от инвестиционного горизонта становится более тонкой. Функция * (г) возрастает с ростом инвестиционного горизонта Т, поскольку затраты на финансирование потребления на привычном уровне в течение более длительного периода больше. Поэтому при фиксированных к и Ж свободный капитал составляет меньшую часть капитала для больших инвестиционных горизонтов и, следовательно, доля полного капитала, инвестируемого в акции, к = £(1 - к*/Ж), может уменьшаться с ростом инвестиционного горизонта (так в действительности и происходит в численном примере, рассматриваемом ниже). Эволюция оптимального веса акций в портфеле инвестора на временах порядка жизненного инвестиционного горизонта еще более сложна, поскольку к и Ж в этом случае не являются постоянными. Большинство агентов имеют тенденцию потреблять меньше и накапливать капитал в начале своей самостоятельной жизни, а далее постепенно увеличивают потребление (и уровень свойственного инвестору потребления) и сокращают капитал к концу жизни. При таком сценарии вероятно, что доля капитала, инвестируемого в акции, будет возрастать в начале деятельности агента на финансовом рынке. С сокращением жизненного инвестиционного горизонта доля капитала, инвестируемого в акции, будет иметь тенденцию к уменьшению благодаря влиянию процесса сходимости для премии за риск (1) на £ и увеличению отношения к*/Ж.
Однако конкретная динамика к со временем будет зависеть от эволюции цен акций.
Для изучения количественного влияния уровня свойственного инвестору потребления на оптимальные стратегии в рассматриваемой постановке рассмотрим численные примеры. В качестве базового случая рассмотрим инвесторов с коэффициентом относительного неприятия риска у =2, инвестиционным горизонтом Т = 30 лет и дисконтным фактором 8 = 0,02. Начальный капитал Ж =100, для инвесторов с учетом свойственного инвестору уровня потребления в функции полезности примем начальный уровень свойственного инвестору потребления к =4. Долгосрочная ожидаемая избыточная доходность составляет 6%, волатильность рынка акций 20%, ожидаемые отклонения премии за риск X от долгосрочного уровня уменьшаются вдвое за интервал времени (1п2)/k =2,3 лет, стандартное отклонение X составляет
Таблица 1 показывает оптимальные стратегии инвестирование-потребление для инвесторов с аддитивной по времени степенной функцией полезности и инвесторов с реологической функцией полезности с различными комбинациями параметров а и Р . В табл. 1 птуо и означают спекулятивную и хеджирующую составляющие оптимального портфеля (4) соответственно, т.е.
Обе составляющие портфеля снижаются за счет присутствия уровня свойственного инвестору потребления к в выражениях (5), однако хеджирующая
зующего уровень свойственного инвестору потребления, и увеличивается с ростом параметра 3, характеризующего изменчивость потребления. Во всех
щихся полезностью с учетом свойственного инвестору уровня потребления,
0,087.
составляющая портфеля испытывает большее влияние, поскольку Э^, г) зависит и от а, и от 3 (поскольку * (г) зависит от 3). Из табл. 1 видно, что абсолютная величина Э^, г) уменьшается с ростом параметра а, характери-
случаях величина Э^, г) несколько меньше для инвесторов, характеризую-
чем для инвесторов со степенной аддитивной по времени полезностью, так что спрос на хеджирование снижается существеннее при полезности с учетом свойственного инвестору уровня потребления, чем спекулятивный спрос, что видно из столбца к ш/к туо .
Далее рассмотрим оптимальную норму потребления. Столбцы МРС и С показывают предельную склонность к потреблению, т.е. отношение
(1 + а* (г ))-1у ОМ
и оптимальную норму потребления. Столбцы МРС и С показывают те же переменные, вычисленные в предположении о постоянстве премии за риск X. Предельная склонность к потреблению МРС выше при условии, что премия за риск определяется процессом с релаксацией (1), чем при постоянной премии за риск. Этот эффект имеет место как для инвесторов с полезностью с учетом свойственного инвестору уровня потребления, так и со степенной полезностью. Фактически относительное увеличение МРС благодаря процессу сходимости премии за риск к своему долгосрочному значению почти идентично в случае степенной полезности и во всех четырех случаях, соответствующих учету свойственного инвестору уровня потребления в функции
полезности, в чем можно убедиться, поделив данные столбцов МРС и МРС . Следовательно, относительное увеличение реальной нормы потребления благодаря процессу сходимости на рынке акций меньше для инвесторов с полезностью с учетом свойственного инвестору уровня потребления, чем для инвесторов со стандартной степенной функцией полезности.
На рис. 1 показана зависимость оптимальных стратегий от премии за риск X, коэффициента относительного неприятия риска у и инвестиционного горизонта Т. Жирные кривые соответствуют функции полезности инвестора с учетом свойственного инвестору уровня потребления при а =0,3; 3 =0,4, а тонкие кривые соответствуют аддитивной по времени степенной функции полезности. Рассмотрим сначала рис. 1, а,б, на которых текущая
премия за риск меняется. Нетрудно видеть, что и спекулятивный спрос, и спрос на хеджирование на акции увеличивается с ростом рыночной премии за риск, однако спрос на хеджирование относительно менее чувствителен к изменению премии за риск. Для инвестора с учетом свойственного инвестору уровня полезности, например, спрос на хеджирование изменяется от -11% до 26% при изменении Я от -1 до 1,5, т.е. ожидаемая избыточная доходность по акциям меняется от -20% до 30%. В соответствии с Утверждением 2 спрос на хеджирование положителен, и потребление возрастает при Я>0. Поскольку инвестор может использовать высокие отрицательные значения рыночной премии за риск,
Таблица 1
Оптимальные стратегии при наличии процесса сходимости премии за риск к
своему долгосрочному значению
Таблица показывает оптимальные стратегии инвестирование-потребление при различных комбинациях параметров функции полезности с памятью а и Р . Параметры инвестиционной среды имеют следующие значения: г =0;
Т =30 лет; 5=0,02; у=2; W =100; г =0,03; ст=0,2; k =0,3; иЯ =0,1; Я =0,3; ожидаемая избыточная доходность акций 6%, уровень свойственного инвестору потребления h =4. МРС есть предельная склонность к потреблению,
-V г
(1 + аF (г))
т.е. отношение ---------, '---. МРС и С суть предельная склонность к по-
G(Я, г) * ^
треблению и норма потребления, соответственно, при Я =const
а Р F (г) б(я, г) Лтуо Лhed Лhed МРС, С МРС, С
% % Лтуо % %
стандартная степенная функция полезности - -0,2568 16,1 75,0 12,8 0,171 6,2 6,2 5,47 5,47
0,1 0,2 7,54 -0,2546 20,6 52,4 8,9 0,170 3,24 6,56 3,36 6,35
0,1 0,3 4,34 -0,2559 19,0 62,0 10,6 0,171 4,38 7,62 3,94 7,26
0,2 0,3 7,54 -0,2536 24,2 52,4 8,9 0,169 2,61 5,82 2,44 5,70
0,1 0,4 3,03 -0,2564 18,3 65,9 11,3 0,171 4,79 8,21 4,27 7,76
0,2 0,4 4,34 -0,2554 21,6 62,0 10,6 0,170 3,39 6,80 3,08 6,55
0,3 0,4 7,54 -0,2530 27,4 52,4 8,8 0,169 2,02 5,41 1,91 5,34
0,1 0,5 2,33 -0,2566 17,8 68,0 11,6 0,171 5,05 8,58 4,49 8,07
0,2 0,5 3,03 -0,2561 20,2 65,9 11,3 0,171 3,91 7,43 3,51 7,08
0,3 0,5 4,34 -0,2551 23,8 62,0 10,5 0,170 2,77 6,29 2,54 6,09
0,4 0,5 7,54 -0,2526 30,2 52,4 8,8 0,168 1,65 5,16 1,58 5,10
занимая короткие позиции по акциям, то и предельная склонность к потреблению (МРС ),и сама норма потребления увеличивается по мере того, как Я увеличивается по абсолютной величине. При малых по абсолютной величине отрицательных Я спрос на хеджирование положителен, а МРС и норма потребления увеличиваются с ростом Я. Этот эффект связан с трендом в Я по направлению к положительному долгосрочному значению. Другими словами, при Я отрицательных, но близких к нулю, увеличение Я фактически представляет улучшение инвестиционных возможностей.
Далее рассмотрим рис. 1,в,г, на которых изменяемым параметром является коэффициент относительного неприятия риска. Близорукий спрос на акции гиперболически убывает с ростом У, в то время как спрос на хеджирование возрастает по У при У меньших - 2 и убывает при больших значениях У, однако с более низкой скоростью, чем спекулятивный спрос. Однако даже при высоких значениях коэффициента относительного неприятия риска спрос на хеджирование составляет только 1/3 полного спроса на акции. Норма потребления и МРС стремительно возрастают при низких значениях
(а) инвестиции в акции как функция премии за риск
МРС, % 20
/о
16
12
4
0
(б) норма потребления и МРС как функции премии за риск
100
80
60
и
ей
ч
ей
н к с
ей И « к
К
<Ц
^ 420
*4°
а
<U ей .
Ч
О
ч
0 |_
-20
0
2
4
6
8
10
12 7
(в) инвестиции в акции как функция коэффициента относительного неприятия риска
(г) норма потребления и МРС как функции коэффициента относительного неприятия риска
8
Рис. 1. Оптимальные стратегии инвестирование-потребление. Жирные (тонкие) кривые соответствуют функции полезности с учетом свойственного инвестору уровня потребления (степенной функции полезности). Параметры рынка г =0,03; ст=0,2; k =0,3; X =0,3; их =0,1 Параметры инвестора Т =30 лет; у =2 (кроме (в), (г)), а =0,3; 3=0,4; Ж0=100; h0=4
коэффициента относительного неприятия риска, а затем медленно снижаются при умеренных и высоких значениях у. Рис. 1, в,г показывают, что учет уровня свойственного инвестору потребления в функции полезности оказывает снижающее воздействие на спекулятивный спрос инвестора и спрос на хеджирование, которое для малых и умеренных значений коэффициента относительного неприятия риска достаточно существенно, а при больших значениях у влияние свойственного инвестору уровня потребления ослабевает.
Литература
1. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. (2003): Инвестиции. М.: ИНФРА-М.
2. Крушвиц Л. (2000): Финансирование и инвестиции, СПб.: Питер.
3. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. - М.: «ИНФА-М», 1994.
4. Четыркин Е.М. (2002): Финансовая математика. М.: Дело.
5. Каранашев А.Х. Математическое моделирование и оптимизация портфельного инвестирования // Управление экономическими системами (электронный научный журнал), 2011. - № 11 (32).
