Облигации как инструмент хеджирования случайных колебаний процентных ставок Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ОБЛИГАЦИИ КАК ИНСТРУМЕНТ ХЕДЖИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

Каранашев Анзор Хасанбиевич, кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой технологии социально-культурного сервиса Кабардино-Балкарского государственного университета;

in63@mail.ru

Аннотация: Определены оптимальные стратегии хеджирования в условиях, когда реальные процентные ставки описываются гауссовским случайным процессом, а рисковые премии являются детерминированными.

Ключевые слова: моделирование, портфель, инвестиции, оптимизация, финансовые активы, рискованные активы

Abstract. Optimal hedge strategies in the case where real interest rates are Gaussian and real market prices of risk are deterministic, are constructed.

Keywords: modeling, portfolio, investment, optimization, financial assets, risky assets

Моделирования оптимального размещения капитала в фондовые активы

Предположение о постоянстве краткосрочных процентных ставок, используемое в большинстве работ по оптимизации портфеля финансового инвестора, вряд ли можно считать адекватным, особенно в условиях российского фондового рынка. В этой работе при достаточно общей стохастической динамике процентных ставок и цен рисковых активов определены оптимальные инвестиционные стратегии в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления.

Экономический агент имеет возможность инвестировать в банковский счет, облигацию и акцию (которая может представлять индекс акций). Динамику краткосрочной процентной ставки описываем уравнением Орнштейна-Уленбека [1,2]

drt = k (г - г ^ - <7^и, где г - долгосрочное значение г, - стандартное одномерное броуновское

движение, k - скорость релаксации г{ к долгосрочному значению.

Динамику цены В{ произвольной облигации описываем стохастическим дифференциальным уравнением

^ в [(г, + >t ))^ + 7 в >t )dzlt] (1)

где Я1 = (/л1 - т{ )/<7в - рисковая премия, /л1 - ожидаемая норма доходности,

77в - волатильность (мгновенное среднее квадратическое отклонение) цены облигации. Цена акции St с учетом реинвестирования дивидендов эволюционирует согласно стохастическому процессу

dS, = 8, [(г, + /78 ^ + p7Sdz1t + Л11 - р2 7Sdz2, ]. (2)

Параметр р представляет собой корреляцию между доходностями облигации и акции, г2 - еще одно броуновское движение, 7 8 есть волатильность акции, / - коэффициент Шарпа для акции, предполагаемый постоянным.

Перепишем динамику цен активов следующим образом

' ¿в,'

к dSt у

' в> 0

К0

Г1 +

7в (г, > 0 0

IР78 Л!1 - Р 7

^2

2

dt +

7в (г, >t) 0

uz.1t

К Р78 V1 - Р 7

¿г

2t У

где

^2 = (/ - Р^1 VЛ/1 - р2 ’ 1 =

кЬ

(3)

Поэтому финансовый рынок является полным с единственной переменной состояния (х = г). Можно переписать динамику краткосрочной процентной

ставки в следующем виде ¿г = k (г - г ^ + (- 7г, 0^,, где г = (г15г2)т . В этой модели переменная состояния имеет аффинную тенденцию и постоянную волатильность, а вектор рисковых премий X = (Л1, Х2 )т также постоянен. Капитал инвестора эволюционирует следующим образом (штрих означает транспонирование)

= [(г, + пт7,л)т, - с,]dt + ж,Пт7^2{,

где с, - стратегия потребления, Пt - стратегия инвестирования (вектор

П = (П в, П 8 )т определяет доли капитала, размещаемого в облигации и акции). Задача инвестора состоит в максимизации ожидаемой полезности конечного капитала и промежуточного потребления

тах

(С, Жт)

(4)

1 - у 1 - у

где - оператор математического ожидания, 3 - субъективный дисконтный фактор, а параметр а определяет относительный вес промежуточного потребления С{ и конечного капитала в функции полезности инвестора.

Если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, по-

лучаем оптимальную инвестиционную стратегию

\-17. ^ ,

(5)

П в (Ж, г, t)' кП 8 (Ж, г, г)

Ш"'Л у(7т(О)-1^ -Ц(7т^ {7гV-г)

у у ко

Как следует из выражения (5), оптимальная инвестиционная политика может быть представлена в виде двух составляющих, первая из которых представляет собой спекулятивную часть портфеля (соответствующую игнорированию инвестором изменения инвестиционных возможностей), а вторая - спрос на хеджирование, который показывает, как инвестор должен оптимально хеджировать против изменения инвестиционных возможностей. Из (5) не-

трудно видеть, что спрос на хеджирование включает только облигацию, так что облигации являются более подходящим инструментом хеджирования процентного риска, чем акции. С увеличением коэффициента относительного неприятия риска у оптимальное инвестирование в спекулятивную часть портфеля снижается, а в хеджирующую облигацию - увеличивается. Матрица, обратная к транспонированной матрице волатильностей, имеет вид

ав (г, t) ра8 У‘ ! ( /. Г2 Л

0 Л/1 - р2а&

1 2

1 - р аБ - раБ

1 - Р1аБ (Г, *)аБ I0 аВ (Г, *)У

Б У

так что можно записать доли капитала, инвестируемые в акцию и облигацию, в следующем виде

П 5 (V, г, * ) =----^=, (6)

Уап1 - р

(

П в (V, г, *) 1

2______Р 2 , х

Уав(г, 01 д/1 - Р2 2 У ^ У У ав(г, О

(1 11

+ 1 --

1 у У

аЛТ - О (7)

ав[

Если облигация в портфеле представляет собой облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта инвестора, т.е. в момент Т, то ав (г, *) = агЬ(Т - *), и в этом случае хеджирующая часть

портфеля заключается во вложении части капитала 1 - в облигацию с нулевым купоном. Это естественный выбор инструмента хеджирования, поскольку указанная облигация является действительно безрисковым активом для инвестора, заинтересованного только в капитале в момент Т. Инвестор, характеризующийся логарифмической полезностью при у = 1 (нейтрально относящийся к риску), не хеджирует против изменения инвестиционных возможностей. Хеджирующая позиция инвестора с меньшим коэффициентом относительного неприятия риска (у < 1) отрицательна, в то время как более осторожный инвестор (у > 1) занимает длинную позицию по облигации для хеджирования процентного риска. Инвестор с бесконечным коэффициентом

относительного неприятия риска (у ^ да) размещает весь свой капитал в облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в момент Т. Заметим, что если в качестве облигации используется облигация с нулевым купоном со сроком погашения Т, из (5) следует, что можно представить рисковую часть оптимальной инвестиционной стратегии в виде

П(Ж, г, t ) =

= - (°Т ( ))Л +

У

V 0 у

'П в (V, г, * ) чП Б (V, г, * ),

Следовательно, часть капитала, инвестируемая в банковский счет (локально безрисковый актив), составляет

П0 (Ж, г, t) = 1 - Пв (Ж, г, t) - П5 (Ж, г, t) = - (і - 1Т (<гТ (t))-1 л)

Заметим, что выражение в скобках в точности соответствует размещению капитала в банковский счет инвестором с логарифмической полезностью. Полная инвестиционная стратегия может быть представлена в форме

-

У

С п 1п^ ІАо

1п

в

1п

V--5 У

П

П

+

1 - і

Л

У J

1

V 0 У

(8)

Согласно (8), инвестиционная стратегия является простой комбинацией портфеля инвестора с логарифмической полезностью и облигации с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте. С ростом коэффициента относительного неприятия риска инвестора позиция, занимаемая по акциям, сокращается, в то время как позиция по облигациям растет. Следовательно, отношение долей капитала, вложенного в облигации и акции, растет с увеличением относительного неприятия риска инвестора.

Если инвестор извлекает полезность только из промежуточного потребления, хеджирующая часть оптимальной инвестиционной стратегии, соответствующая облигации, имеет вид

Гехр< - — (^ - *) + А1 (5 - *) + 1—у ¿(5 - *)г [¿(5 - *

аг * ^ у у ^ ., (9)

у У ав (г* ’ *) Г ехр {- — (5 - *)+ А1 (5 - *)+ 1-у ¿(5 - * )г

* I у у \

где ав (г*, *) вновь представляет собой волатильность облигации, выбранной для реализации стратегии хеджирования. Можно показать, что волатильность в момент * купонной облигации, выплачивающей непрерывный купон по детерминированной ставке К (5) вплоть до момента времени Т, определяется

т

Г К(5)В}агЬ(з - *^

выражением ав (г, *) = ------т---------------, где

Г К(5)Bstds

X

В5 = ехр[-а(5 - *)- ¿(5 - *)г* ] - цена облигации с нулевым купоном со сроком погашения 5, а функция а (т) имеет вид

( 7 2 Л 2

а(т) = г + ^ - аг_|(т - ¿(т)) + а^Ъ2 (т)

2k

2 У

4k

Поэтому можно интерпретировать хеджирование стохастической процентной ставки в момент * как инвестирование доли капитала 1-в облигацию с

у

непрерывным купоном

К(5) = ехр[а(5 - *) + А(5 - *) - — (5 - *) +1 ¿(5 - *)г]. (10)

уу

Заметим, что для инвестора, извлекающего полезность из промежуточного потребления в течение всего периода [*, Т ], облигация с нулевым купоном со сроком погашения не является безрисковым активом (в отличие от рассмотренного ранее случая, когда инвестор извлекает полезность только из конечного капитала). Поскольку инвестор заинтересован в платежах в любые моменты времени из промежутка [*, Т], он хеджирует риск, связанный со стохастическим изменением процентной ставки, путем инвестирования в

комбинацию всех облигаций с нулевыми купонами со сроками погашения в промежутке [*, Т ], т.е. в облигацию с непрерывным купоном (10).

Анализ оптимальных стратегий инвестирования и потребления и калибровка модели к статистическим данным

В численном примере, иллюстрирующем построенную модель, используем многолетние статистические данные об инвестиционных возможностях (средних доходностях, средних квадратических отклонениях и корреляциях между доходностями) [3]. Согласно приведенным данным, средняя за последние 55 лет реальная доходность на рынке акций США составляет = 8,7%, а среднее квадратическое отклонение а5 = 20,2%. Средняя реальная доходность рынка облигаций с нулевым купоном с 10-летним сроком погашения составляет ¡лв = 2,1% при среднем квадратическом отклонении ав = 10,0%. Средняя реальная краткосрочная процентная ставка в США составляет г = 1,0%. Корреляция между доходностями рынка акций и рынка облигаций с нулевым купоном с 10-летним сроком погашения составляет Р = 0,2.

Матрица волатильностей имеет вид

г 0,11 0 Л

7 =

V0,0403 0,1979J

Среднее число Шарпа для рынка облигаций составляет Я = —--------------— = 0,11 ,а

10,0

8 7 -10

среднее число Шарпа для рынка акций составляет^ = 2 ~ 0,3812. От-

сюда для рисковой премии по рынку акций получаем

Л2 = (^ - р\ )/д/1 - Р2 - 0,3666 . Вариационно-ковариационная матрица доходностей определяется соотношением Е = 77Т . Тангенциальный портфель, составленный из облигации и акции с рассчитанными характеристиками, имеет вид

Таблица 1. Портфельные веса инвесторов с постоянным относительным неприятием риска, игнорирующих флуктуации краткосрочной процентной ставки

У 1ап п £ -£3 сц N _1ап ПБ Банковский счет Избыточная доходность Волатильность

0,5 4,4079 0,7034 3,71 - 3,41 0,30 0,77

1 2,2039 0,3517 1,85 - 1,20 0,16 0,38

2 1,1020 0,1758 0,92 - 0,10 0,08 0,19

2,2 1,0000 0,1596 0,84 0,00 0,08 0,17

3 0,7346 0,1172 0,61 0,27 0,06 0,13

4 0,5510 0,0879 0,46 0,45 0,05 0,10

5 0,4408 0,0703 0,37 0,56 0,04 0,08

6 0,3673 0,0586 0,31 0,63 0,03 0,06

8 0,2755 0,0440 0,24 0,72 0,03 0,05

10 0,2204 0,0352 0,19 0,78 0,02 0,04

20 0,1102 0,0176 0,09 0,89 0,02 0,02

50 0,0441 0,0070 0,03 0,96 0,01 0,01

200 0,0110 0,0018 0,01 0,99 0,01 0,00

ГІ)

1Т Е-1(^- ГІ)

п

tan

С _ *ап Л пв

_ tan

^0,1596Л

0,8404

V

У

так что отношение портфельных весов облигации/акции составляет приблизительно 0,19. Тангенциальный портфель характеризуется средней доходностью 7,65% и средним квадратическим отклонением 17,37%.

Инвесторы с постоянным относительным неприятием риска, игнорирующие флуктуации краткосрочной процентной ставки, оптимально выбирают портфель рисковых активов, определяемый соотношением

1

п = — [ 1Т (стТ ) 1Я]п1ап. Этот портфель не зависит от инвестиционного гори-

У

зонта. В табл. 2 показано оптимальное размещение капитала в портфель при различных значениях коэффициента относительного неприятия риска у.

Данные в столбце пх&п соответствуют доли капитала, инвестируемого в тангенциальный портфель. Это инвестирование разделяется на инвестирование в облигацию и акцию в следующих двух столбцах. Оставшаяся часть капитала инвестируется в банковский счет. Последние два столбца показывают мгновенную доходность и волатильность портфеля.

Далее рассмотрим оптимальные портфельные стратегии инвесторов, учитывающих стохастические изменения краткосрочной процентной ставки во времени. Предполагаем, что реальная краткосрочная процентная ставка г( описывается однофакторной моделью Орнштейна - Уленбека. Долгосрочное среднее значение процентной ставки г( = 1%, а волатильность принята равной <7 г = 5%, что соответствует многолетним статистическим данным по фондовому рынку США [3].Скорость релаксации процентной ставки к своему долгосрочному среднему значению принята k = 0,49, так что волатильность облигации с нулевым купоном со сроком погашения 10 лет, соответствующая рассматриваемой модели, равна 10%, что соответствует статистическим данным.

Сначала рассмотрим оптимальные портфельные стратегии инвесторов, извлекающих полезность только из конечного капитала. Их оптимальные портфели определяются выражениями (6) и (7). В табл. 2 показаны оптимальные портфели для инвесторов с постоянным относительным неприятием риска при различных комбинациях степени относительного неприятия риска у и инвестиционного горизонта. Данные в столбце «спрос на хеджи, (1 - 1,/уЖГ)

рование» вычислены по формуле -------¿(10)---, которая определяет спрос на

хеджирование на облигацию с нулевым купоном со сроком погашения 10 лет. В то время как вес тангенциального портфеля и вес акций не зависит от инвестиционного горизонта, это не имеет места для веса портфеля

Таблица 2. Портфельные веса инвесторов с постоянным относительным неприятием риска, извлекающих полезность только из конечного капитала

Инвестиционный горизонт У Спекулятивный портфель Спрос на хеджирование пв п8 со 1^ «1 Банковский счет м <7

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

Т = 1 0.5 4.4079 -0.3941 0.3093 3.7045 0.08 -3.0138 0.2986 0.7551

1 2.2039 0.0000 0.3517 1.8522 0.19 -1.2039 0.1565 0.3827

2 1.1020 0.1970 0.3729 0.9261 0.40 -0.2990 0.0854 0.1979

5 0.4408 0.3153 0.3856 0.3704 1.04 0.2439 0.0428 0.0908

10 0.2204 0.3547 0.3899 0.1852 2.11 0.4249 0.0286 0.0592

20 0.1102 0.3744 0.3920 0.0926 4.23 0.5154 0.0214 0.0467

Т = 5 0.5 4.4079 -0.9229 -0.2195 3.7045 -0.06 -2.4850 0.2928 0.7442

1 2.2039 0.0000 0.3517 1.8522 0.19 -1.2039 0.1565 0.3827

2 1.1020 0.4615 0.6373 0.9261 0.69 -0.5634 0.0883 0.2094

5 0.4408 0.7383 0.8087 0.3704 2.18 -0.1791 0.0474 0.1207

10 0.2204 0.8306 0.8658 0.1852 4.67 -0.0510 0.0338 0.1010

20 0.1102 0.8768 0.8943 0.0926 9.66 0.0130 0.0270 0.0950

о II Е-Ч 0.5 4.4079 -1.0000 -0.2966 3.7045 -0.08 -2.4079 0.2920 0.7429

1 2.2039 0.0000 0.3517 1.8522 0.19 -1.2039 0.1565 0.3827

2 1.1020 0.5000 0.6758 0.9261 0.73 -0.6020 0.0887 0.2112

5 0.4408 0.8000 0.8703 0.3704 2.35 -0.2408 0.0481 0.1256

10 0.2204 0.9000 0.9352 0.1852 5.05 -0.1204 0.0345 0.1074

20 0.1102 0.9500 0.9676 0.0926 10.45 -0.0602 0.0278 0.1022

Т = 3 о 0.5 4.4079 -1.0070 -0.3036 3.7045 -0.08 -2.4009 0.2919 0.7428

1 2.2039 0.0000 0.3517 1.8522 0.19 -1.2039 0.1565 0.3827

2 1.1020 0.5035 0.6794 0.9261 0.73 -0.6055 0.0888 0.2114

5 0.4408 0.8056 0.8760 0.3704 2.37 -0.2464 0.0482 0.1261

10 0.2204 0.9063 0.9415 0.1852 5.08 -0.1267 0.0346 0.1080

20 0.1102 0.9567 0.9743 0.0926 10.52 -0.0669 0.0278 0.1028

хеджирования и, следовательно, для полного портфельного веса облигации и банковского счета. Отношение весов облигации и акции в оптимальном портфеле показано в столбце «облигация/акция». Видно, что отношение «облигация/акция» увеличивается существенно с ростом относительного неприятия риска инвесторов и, для инвесторов с у > 1, с ростом инвестиционного горизонта. Инвестор с инвестиционным горизонтом Т хеджирует риск, связанный с изменениями процентной ставки, инвестируя в облигацию с нулевым купоном со сроком погашения, равным инвестиционному горизонту.

Эта облигация моделируется портфелем, состоящим из позиции еди-

ниц облигации с нулевым купоном с 10-летним сроком погашения, и банковского счета. Поскольку функция b возрастает по T, спрос на хеджирование на облигацию с нулевым купоном с 10-летним сроком погашения растет с ростом инвестиционного горизонта. Важно отметить, что портфельные веса по облигации, и следовательно, отношение портфельных весов облигаций и акций зависит от срока погашения (и расписания платежей) по облигации, используемой инвестором. В частности, рекомендация конкретного веса облигации в портфеле или отношения портфельных весов облигаций и акций должна сопровождаться спецификацией облигации.

Литература

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики, т.1-2. -М.,1998.

2. Уотшем Т., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. Пер. с англ. - М.: «Финансы», «ЮНИТИ», 1999.

3. Campbell, J. Y., “Asset Pricing at the Millenium”, Journal of Finance 55, 15151567 (2000).