Моделирование оптимальных стратегий инвестирование-потребление при немарковой динамике процентных ставок Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТИРОВАНИЕ-ПОТРЕБЛЕНИЕ ПРИ НЕМАРКОВСКОЙ ДИНАМИКЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

Каранашев Анзор Хасанбиевич, кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой технологии социально-культурного сервиса Кабардино-Балкарского государственного университета;

in63@mail.ru

Аннотация: Определены оптимальные стратегии инвестирование-потребление инвестора, извлекающего полезность из промежуточного потребления и/или конечного капитала. Рассмотрен случай, когда реальные процентные ставки описываются гауссовским случайным процессом, а рисковые премии являются детерминированными. При этих предположениях оптимальная инвестиционная стратегия инвестора включает спекулятивный портфель и единственную реальную облигацию, хеджирующую изменения инвестиционных возможностей в реальном выражении, генерируемые многомерным броуновским движением.

Ключевые слова: моделирование, портфель, инвестиции,

оптимизация, финансовые активы, рискованные активы

Abstract. Optimal consumption and investment strategies of an investor with utility of consumption and/or terminal wealth are derived. We focus on the case where real interest rates are Gaussian and real market prices of risk are deterministic. Under these assumptions the optimal investment strategy of investor combines the speculative portfolio and a single real bond hedging changes in real investment opportunities generated by a multi-dimensional Brownian motion.

Keywords: modeling, portfolio, investment, optimization, financial assets, risky assets

Введение

В процессе финансового инвестирования и управления портфелем инвесторы заинтересованы в реальных доходностях активов. Однако на большинстве финансовых рынков предлагаемые облигации являются номинальными (только на нескольких биржах США и Великобритании продаются индексируемые с учетом инфляции облигации). Аналогично, по краткосрочным депозитам выплачивается номинальная процентная ставка. В силу стохастических изменений цен потребительских товаров номинальные облигации и депозиты характеризуются рисковой доходностью в реальном выражении. Настоящая работа развивает идеи [1], касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирование-потребление с учетом стохастической динамики цен рискованных активов и неопределенности инфляции.

1. Оптимальные стратегии хеджирования против стохастических

Исследование проводится в рамках принципиальной модели [1] (все обозначения соответствуют [1]). Предполагаем, что реальная ставка процента в краткосрочном периоде г описывается гауссовским случайным процессом, а процесс премий за риск в реальном выражении X{ есть детерминированная функция времени. В этом случае ядро ценообразования в реальном выражении

распределено логнормально. Следовательно, можно непосредственно вычислить математические ожидания, входящие в определение

стохастического процесса Q (см. выражение (18) из [1]). Сначала заметим, что реальная цена в момент г реальной облигации с нулевым купоном,

процентных ставок реальными облигациями

выплачивающей одну единицу потребления в момент : > t, определяется выражением

в: = е,

из которого следует цепочка равенств

(т: ^ , т: 1 , т:

СР * и N 1п-^ + - Уаг 1п-^

V т) _ т _ 2 г _ т _

ч: = е,

гт1Л V т)

= ехр

1 —

, У)

т

1п

т

+ — 2

1

2

1 -V У)

Уаг

т

1п

т

(1)

= в

(в: Г

У ехр<!

1-У 2у 2

В (1) введена детерминированная функция

8 : ) = уаг

т 1п т = Уаг

_ т _

: 1 : :

-1 гпЛи - 2 и\\2 ёи -\К^

(2)

Выражение для ч: (1) дает стратегии оптимального инвестирование-потребление в реальном выражении и неявную функцию полезности для инвестора с постоянным относительным неприятием риска. В частности, стратегия оптимального хеджирования инвестором изменений параметров финансового рынка (краткосрочной процентной ставки и премии за риск) в реальном выражении в рассматриваемой постановке в любой момент , может быть охарактеризована как реальная купонная облигация с непрерывным потоком купонных платежей, причем интенсивность будущих купонных платежей в момент : >, должна быть выбрана равной ожидаемой будущей интенсивности потребления в момент :, а математические ожидания должны рассматриваться относительно так называемых форвардных мартингальных мер [3]. Заметим, что математические ожидания относительно субъективной вероятностной меры Р и форвардной мартингальной меры в момент : различаются. Субъективная вероятностная мера Р и соответствующая моменту : форвардная мартингальная мера Qs связаны соотношением

1

1

1

У

1

и

ґтАл V т J

X

= вЕ* [X],

(3)

которое должно удовлетворяться для любой случайной переменной X. Имеет место следующая Утверждение.

Утверждение. Если реальная ставка процента в краткосрочном периоде г{ описывается гауссовским процессом и процесс премий за риск в реальном выражении X{ является детерминированным, то оптимальная инвестиционная стратегия определяется выражением

(а Р)-1

-Лг + У

1 - У|(«

У

а вг + апг

(4)

где аВ + ат - вектор волатильности номинальной цены реальной облигации, выплачивающей непрерывный реальный купон согласно соотношению

к (* ) = Е?‘

= (в', )-‘ О-Е,У ехР

-У(* - г)

У

qst , 0 < г < * < Т

(5)

и характеризующейся конечной выплатой в момент Т в размере

к (Т) = ЕОТ

Wr,

(вТ ) 1 ^ 8 2 еХР

--(Т - г) У

qt

(6)

Доказательство. Равенства (5) и (6) следуют из определения соответствующих мартингальных мер (3), а также выражений (27) из [1] для оптимального потребления и конечного капитала. Далее, из выражения (1) для и леммы Ито имеем

Г

а дг

1

Л

1------

V у;

а

вг ■

(7)

где ав( - вектор волатильности цены реальной облигации с нулевым купоном.

Реальная цена купонной облигации, выплачивающей непрерывный реальный купон к(*), г < * < Т и характеризующейся конечной реальной единовременной выплатой к(Т) в момент Т, в общем случае определяется следующим образом

)

с

1

т

В{ = | k (у )Btsds + k (Т )ВТ

Ґ

Нетрудно показать, что вектор волатильности такой купонной облигации

определяется выражением

т

Iк (? )в/ а ВА? + к (Т )вТ отВ(

а В1 = ^-------------------------------------------------------. (8)

| к (? )В/^ + к (Т )ВТ

Подставляя в (8) выражения для к (?) и к (т) (5) и (6), а также соотношение (7) и сравнивая с вектором волатильности (21) из [1], устанавливаем, что

а Qt =

'і -1'

, у^

а Bt .

Подставляя это соотношение в выражение для оптимальной инвестиционной стратегии (23) из [1] и учитывая, что аВ{ + аП есть вектор волатильности номинальной цены соответствующей реальной облигации П{В{, получаем требуемый результат.

2. Немарковская динамика временной структуры процентных

ставок

Рассмотрим экономику, в которой динамика временной структуры номинальных процентных ставок определяется моделью [2]. Модель [2] допускает хорошую идентификацию параметров с наблюдаемыми номинальными ценами облигаций с нулевыми купонами при различных сроках погашения. Номинальные цены облигаций с нулевым купоном связаны с временной структурой форвардных ставок соотношением

t

Для любого т динамика мгновенной форвардной ставки со сроком платежа т определяется следующим образом

їїт = /оХ+| а(^ т)сС* + | а / (?> , (9)

00

где аї (•, т) - k -мерный процесс, а /0Х - форвардная ставка со сроком платежа т для нулевого момента времени. Ограничение на тенденцию, накладываемое условием безарбитражности рынка, имеет вид

( т ^

а(ї, т) = а ї (ї, т)Г І Л ї +{ а ї (ї, и )Си I.

V ї )

Номинальная ставка процента в краткосрочном периоде определяется

условием Rt = // и, следовательно, эволюционирует в соответствии с уравнением

ґ ґ

Я{ = ї0ї +|а(*, їС + |^/ (*, ї) Сг* . (10)

0 0

Дальнейший анализ проведем в предположении, что а / (•, т) есть

детерминированный векторный процесс (так что номинальная ставка процента в краткосрочном периоде Rt представляет собой гауссовский случайный процесс), а процесс номинальных премий за риск Лї является детерминированным векторным процессом. Важно отметить, что при такой постановке процесс краткосрочной процентной ставки не обязательно должен быть марковским. Инфляцию в экономике описываем следующим уравнением

СП ї =П ї (кСї + аП Сг {), (11)

в котором ожидаемый темп инфляции к и вектор волатильности аП предполагаются постоянными (процесс (11) является в этом случае геометрическим, и П*/Пї распределено логнормально). Реальная ставка процента в краткосрочном периоде и вектор реальных премий за риск определяются соответственно выражениями

Г = ^ “к + лТап,

^ї = лї _ап .

Следовательно, реальная ставка процента в краткосрочном периоде является гауссовским процессом, а вектор реальных премий за риск является детерминированным. В этом случае применима доказанная Утверждение, и оптимальная инвестиционная стратегия осуществляется инвестированием в номинальный банковский счет, номинальный спекулятивный портфель и реальную облигацию с купоном, который в реальном выражении соответствует форвард-ожидаемому (т.е. математические ожидания рассматриваются в смысле форвардной мартингальной меры) процессу потребления и хеджирует изменения инвестиционной среды. При этом выражение для функции g(г, я), необходимое при вычислении купонов и конечного платежа этой облигации (5) и (6), принимает вид

+

я 2 я я

|а у (и, т)Лт Ли + 2| \ |а у (и, т)Лт

и 1 _и _

du.

(12)

2

и

3. Хеджирование при помощи номинальных облигаций

Далее рассмотрим, как осуществлять хеджирование против изменения инвестиционных возможностей при отсутствии реальных облигаций. В частности, будет показано, что концептуально аналогичный ранее рассмотренному портфель хеджирования может быть построен с использованием номинальных купонных облигаций, соответствующих форвард-ожидаемому номинальному процессу потребления. Заметим, что соответствующая времени я форвардная мартингальная мера, основанная на номинальной стоимости финансовых титулов Qns, отличается от соответствующей времени я форвардной мартингальной меры Qs,

основанной на реальной стоимости (3). Эти разные форвардные мартингальные меры связаны следующими соотношениями с субъективной вероятностной мерой

Е

X

= вЕя [х] и Е

X

= БЯЕ^ [X].

(13)

Поскольку с* = ПС * и Ж * = П^*, с использованием соотношений (13) получаем следующие уравнения

D!E^’n С * = ПВ*Е?:

и

Г\"

DstE?s

Ж*

= П В*Е?°

(14)

Выражения в левых и правых частях этих уравнений соответствуют различным способам представления номинальной величины будущей интенсивности потребления в момент я и конечного капитала в момент Т соответственно.

Пользуясь тем, что номинальное ядро ценообразования Ы( и реальное ядро ценообразования тг логнормально распределены при рассматриваемой динамике инфляционного процесса, можно установить следующее соотношение между номинальными и реальными ценами облигаций с нулевым купоном

М

м.

т„

mt

(15)

где

y(t, я) = ехр<! - л(я -1) + Лт оП (я -1) + |о

|а у (и, т)ёт

ёи

В частности, поскольку у(^ я) детерминированная функция, по лемме Ито получаем, что волатильности реальной и номинальной облигаций с нулевым купоном связаны соотношением

о *т =°п+о В. (16)

Рассмотрим теперь купонную облигацию, выплачивающую непрерывный номинальный купон по ставке

К (я)= Е?"

С *

и с номинальной конечной единовременной выплатой

К (Т ) = Е?"

Ж*

(17)

Номинальная цена такой облигации определяется следующим образом

D, =/ к (я+к (т )о

с

Нетрудно показать, что вектор волатильности этой купонной облигации имеет вид

т

IК (я о +К (т РТ ота

IК (я + К (т

Из определения К (я) и К (т) (17),(18), определения &(я) и ^т) (5),(6) и уравнений (14) получаем

DstK(я) = П(я), t < я < т. (20)

Подставляя выражение (20) и соотношение (16) в выражение(19), нетрудно установить, что о= оП+оВ, где оВ - волатильность, определяемая (8). Следовательно, предложенная номинальная облигация может быть использована для хеджирования изменения инвестиционной среды в оптимальной инвестиционной стратегии, определяемой Утверждением.

4.Решение задачи при функции полезности с учетом свойственного

инвестору уровня потребления

Функция полезности с постоянным относительным неприятием риска, использовавшаяся для описания потребительских предпочтений в разделах 13 и в подавляющем числе других работ, посвященных финансовым инвестициям, является аддитивной сепарабельной по времени. Полезность потребления в некоторый момент времени не зависит от уровня потребления в другие моменты времени. Более реалистичным представлением предпочтений инвестора является учет в функции полезности свойственного инвестору уровня потребления, (т.е. зависимости полезности текущего потребления от предыстории потребления) [4-6].

Инвестор с фиксированным временным горизонтом т характеризуется полезностью потока потребления (с )^0 т] следующего вида

где уровень свойственного инвестору потребления \ определяется следующим образом

-р(г-і )

сЖ .

где Л0, а и р - неотрицательные константы. По существу, уровень

свойственного инвестору потребления представляет собой произведение взвешенного среднего уровней потребления с экспоненциально убывающими весами, так что уровни недавнего потребления получают большие веса. Определим процессы F = ^) и G = ^) следующим образом

Г

-V)Г

V — у

і

(і + )і-7 ds

Г ех р[-(р - -1)] —-Ж;і I = Гехр[- (р -а)(і -1) ]В^Жі

* —, *

где В/ - реальная цена в момент t реальной облигации с нулевым купоном, выплачивающей одну единицу потребления в момент і. Можно интерпретировать Е как реальную цену реальной облигации, выплачивающей непрерывный купон, который экспоненциально снижается со временем. Тогда ад суть затраты на обеспечение точного равенства будущего потребления свойственному инвестору уровню, поскольку при с!і = к!і при всех і > t имеем

= ехр[- (р - а)(і -1 ж.

Если записать динамику цены облигации с нулевым купоном следующим образом

ЖВ^ = В\

Г +ІО,

то динамика процесса Е принимает вид

= -ж + ¥і 1Ъ + х t М ]

где

і

е

т

I ехр[- (р - а)(я - і)]б/ а Stds

а я = 1Т--------------------------------------

| ехр [- (р - а)^ - і)]б/ dt

і

Запишем динамику процесса Gt в виде

Применение процедуры, аналогичной доказательству в [1], позволяет получить оптимальный процесс потребления и вектор оптимальной инвестиционной стратегии в следующем виде

Здесь ^ и м>] суть уровень свойственного инвестору потребления и реальный капитал, индуцированные оптимальными стратегиями потребления и инвестирования.

Оптимальное портфельное решение (22) есть сумма четырех составляющих. Первый член представляет собой спекулятивную часть портфеля («близорукий» спрос инвестора, основанный на анализе математического ожидания и дисперсии доходности активов), т.е. размещение активов инвестором, игнорирующим изменения инвестиционных возможностей. Вторая составляющая показывает, как инвестор оптимально хеджирует изменения инвестиционных возможностей. Третий член в (22) обеспечивает экономическому агенту будущий минимальный процесс потребления по крайней мере на свойственном

инвестору уровне, имеющем текущую стоимость . Последняя

составляющая инвестиционной стратегии определяет хеджирование против инфляции. Спекулятивная часть портфеля и спрос инвестора на хеджирование испытывают влияние свойственного инвестору уровня

X,

(аРі) 1 аПі . (22)

(21)

потребления посредством множителя 1 ——*—. Кроме того, свойственный

инвестору уровень потребления влияет на спрос на хеджирование благодаря присутствию параметра уровня потребления а в процессе Gt.

Заключение

В рамках анализа оптимальных стратегий инвестирование-потребление на финансовом рынке номинальных ценных бумаг с учетом стохастических инвестиционных условий рассмотрен случай, когда реальные процентные ставки описываются гауссовским случайным процессом, а реальные риск-премии по акциям являются детерминированными функциями. При этих предположениях оптимальная инвестиционная стратегия инвестора с постоянным относительным неприятием риска включает спекулятивный портфель и единственную реальную облигацию, хеджирующую против изменений инвестиционной среды. Если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, хеджирующая облигация представляет собой реальную облигацию с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте. Если, кроме того, инвестор извлекает полезность из промежуточного потребления, хеджирующая облигация характеризуется непрерывным купоном, пропорциональным ожидаемой будущей реальной интенсивности потребления относительно форвардной мартингальной меры. Этот результат устанавливает тесную взаимосвязь оптимальной стратегии хеджирования и оптимальной стратегии потребления в реальном выражении.

Литература

1. Каранашев А.Х. Математическое моделирование и оптимизация портфельного инвестирования // Управление экономическими системами (электронный научный журнал), 2011. - № 11 (32).

2. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation // Econometrica. -1992.- V. 60, N 1. - P. 77-105.

3. Jamshidian F. An exact bond option formula // Journal of Finance. - 1989. - V. 44, N 1. - P. 205-209.

4. Browning M. A simple nonadditive preference structure for models of household behavior over time // Journal of Political Economy. - 1991. - V. 99, N 3. - P. 607-637.

5. Campbell J.Y., Cochrane J.H. By force of habit: a consumption based explanation of aggregate stock market behavior //Journal of Political Economy. - V. 107, N 2. - P.205-251.

6. Каранашев А.Х. Оптимальная динамика фондовых инвестиций при полезности инвестора с памятью // Управление экономическими системами (электронный научный журнал), 2011. - № 12 (33).